第12讲 复数的运算（3大知识点+7大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修二）

第12讲 复数的运算 目录 题型归纳 1 题型01 复数加减法的代数运算 2 题型02 复数代数形式的乘法运算 3 题型03 复数的乘方 3 题型04 复数范围内方程的根 4 题型05 复数的除法运算 5 题型06 根据复数乘法运算结果求参数 6 题型07 根据除法运算结果求复数特征 7 分层练习 7 夯实基础 7 能力提升 10 知识点01复数的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： (1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 知识点02复数的乘法 (1)复数的乘法类似于两个多项式相乘，即把虚数单位i看作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别结合即可，但要注意把i的幂写成简单的形式； (2)实数范围内的运算法则在复数范围内仍然适用，如交换律、结合律以及乘法对加法的分配律、正整数指数幂的运算律，这些对复数仍然成立． 知识点03复数的除法运算 关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算； (3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式． [易错提醒] 在乘法运算中要注意i的幂的性质： (1)区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a，b∈R); (2)区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)与(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a，b∈R)．　　 题型01复数加减法的代数运算 【例1】（23-24高一下·广东湛江·期末）若，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【变式1】（23-24高一下·湖南衡阳·期中）若复数满足，则的虚部为（    ） A．14 B．5 C． D． 【变式2】（22-23高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知复数，，则 ． 【变式3】（23-24高一下·吉林长春·期末）已知复数，复数满足，则的最小值为 ． 题型02 复数代数形式的乘法运算 【例2】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·新疆·期末）已知a，，，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【变式2】（23-24高一下·新疆·期末）已知，方程的一个根为，则 . 【变式3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）（1）已知，若为纯虚数，求m的值． （2） 已知复数z满足，求z． 题型03 复数的乘方 【例3】（24-25高一上·广西柳州·期中）已知为虚数单位，的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【变式1】（23-24高一下·河南郑州·期中）（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·山东菏泽·期中） ． 【变式3】（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知复数，且是实数. (1)求的值； (2)求的值. 题型04 复数范围内方程的根 【例4】（22-23高一下·山西晋中·期中）方程的一个解可以是（    ） A．0 B． C．1 D． 【变式1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知关于的方程有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·广东广州·期中）是关于的方程的根， ． 【变式3】（23-24高一下·浙江·期中）关于的方程． (1)若是方程的一个虚根，求的值； (2)若，是方程的两个虚根，且，求的值． 题型05 复数的除法运算 【例5】（23-24高一下·河南商丘·期中）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·天津河北·期中）已知是虚数单位，化简的结果为 . 【变式3】（23-24高一下·湖南株洲·期中）计算： (1)； (2). 题型06 根据复数乘法运算结果求参数 【例6】（22-23高一下·湖北·期中）若复数z的虚部小于0，且，则 ． 【变式1】（20-21高一下·山东济南·期中）已知复数满足为虚数单位，则复数的虚部为 . 【变式2】（21-22高一下·福建三明·期中）已知复数． (1)若，求a的值； (2)求的最小值， 【变式3】（22-23高一下·山西阳泉·期中）已知复数为虚数单位. (1)若，求； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求. 题型07 根据除法运算结果求复数特征 【例7】（22-23高一下·福建福州·期中）复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一下·山东·期中）已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（    ） A．i B．－i C．1 D．－1 【变式2】（20-21高二上·上海徐汇·期末）设，其中为虚数单位，则 【变式3】（21-22高一下·天津·期中）已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为 . 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏·期末）已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（24-25高一上·湖南娄底·期中）复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏南通·期中）下列命题中正确的（    ） A．任意两个复数都不能比较大小 B．若R，则当且仅当且时， C．若，C，且，则 D．若C则 二、多选题 5．（23-24高一下·河南南阳·期末）下列有关复数内容表述正确的是（    ） A．若复数满足，则一定为纯虚数 B．对任意的复数均满足： C．设在复数范围内方程的两根为，，则 D．对任意两个复数，，若，则，至少有一个为 6．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）关于复数及其共轭复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．一定是纯虚数 三、填空题 7．（21-22高一下·江苏扬州·期中）计算： ． 8．（23-24高一下·辽宁辽阳·期末）已知复数，则 . 四、解答题 9．（23-24高一下·天津河东·期中）计算： (1)； (2)； 10．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设复数． (1)若是实数，求 (2)若是纯虚数，求． 11．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知复数. (1)计算复数，并求； (2)若复数满足，求实数的值. 12．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数 (1)若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值； (2)若复数满足，求． 13．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数，求复数的模. 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏淮安·期中）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏淮安·期末）已知复数，，则复数（    ） A．i B． C．2i D． 3．（23-24高一下·江苏南通·期中）若，则复数z的虚部（    ） A．4 B． C． D． 4．（24-25高一上·四川眉山·期中）复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一下·内蒙古通辽·期中）下列命题正确的是（    ） A．任何复数的模都是非负数 B．如果复数z1＝i，z2＝－i，z3＝－i，z4＝2－i，那么这些复数的对应点共圆 C．|cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值为0 D．2＋3i>1＋2i 6．（23-24高一下·山东·期中）设，，是复数，，则下列命题中的真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 7．（23-24高一下·山东·期中）复数满足，则 ， ． 8．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数，且，则 ． 9．（21-22高一下·浙江宁波·期末）设复平面内的不同三点对应复数分别为，若（是虚数单位），则的值为 . 四、解答题 10．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知复数满足且． (1)求复数； (2)求． 11．（23-24高一下·江苏南京·期末）设是虚数，，且． (1)求的值及的实部的取值范围； (2)求证：是纯虚数； (3)求的最小值． 12．（23-24高一下·上海·期末）在复数范围解方程． (1)关于的实系数一元二次方程的两根满足，求实数的值； (2)关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论的值． 13．（23-24高一下·四川成都·期中）在复数范围内有关于的方程. (1)求该方程的根； (2)求的值； (3)有人观察到，得，试求的值. 14．（23-24高一下·广东东莞·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，我们有如下运算法则：①；②；③；④. (1)设，求和； (2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论，判断其是否正确并说明理由； (3)设，集合.求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 复数的运算 目录 题型归纳 1 题型01 复数加减法的代数运算 2 题型02 复数代数形式的乘法运算 4 题型03 复数的乘方 6 题型04 复数范围内方程的根 9 题型05 复数的除法运算 12 题型06 根据复数乘法运算结果求参数 14 题型07 根据除法运算结果求复数特征 17 分层练习 19 夯实基础 19 能力提升 27 知识点01复数的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： (1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 知识点02复数的乘法 (1)复数的乘法类似于两个多项式相乘，即把虚数单位i看作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别结合即可，但要注意把i的幂写成简单的形式； (2)实数范围内的运算法则在复数范围内仍然适用，如交换律、结合律以及乘法对加法的分配律、正整数指数幂的运算律，这些对复数仍然成立． 知识点03复数的除法运算 关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算； (3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式． [易错提醒] 在乘法运算中要注意i的幂的性质： (1)区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a，b∈R); (2)区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)与(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a，b∈R)．　　 题型01复数加减法的代数运算 【例1】（23-24高一下·广东湛江·期末）若，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【知识点】复数加减法的代数运算、求复数的模 【分析】根据题意求得，进而求模长. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 【变式1】（23-24高一下·湖南衡阳·期中）若复数满足，则的虚部为（    ） A．14 B．5 C． D． 【答案】B 【知识点】复数加减法的代数运算、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数代数形式的加减法化简，再判断其虚部即可. 【详解】因为， 所以， 所以的虚部为. 故选：B 【变式2】（22-23高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知复数，，则 ． 【答案】 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的减法可求得复数. 【详解】因为复数，，则. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·吉林长春·期末）已知复数，复数满足，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】复数加减法的代数运算、求复数的模 【分析】设，代入中化简可得，则点在以为圆心，3为半径的圆上，从而可求得结果. 【详解】设，因为，， 所以， 所以， 所以点在以为圆心，3为半径的圆上， 所以的最小值为. 故答案为：2 题型02 复数代数形式的乘法运算 【例2】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】由复数的四则运算，模的计算公式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·新疆·期末）已知a，，，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】根据复数代数形式的乘法运算和复数相等的概念求解. 【详解】因为，所以， 所以，解得. 故选：D 【变式2】（23-24高一下·新疆·期末）已知，方程的一个根为，则 . 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】根据复数的乘法运算和复数相等的概念求解. 【详解】因为的一个根为， . 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·江苏无锡·期中）（1）已知，若为纯虚数，求m的值． （2）已知复数z满足，求z． 【答案】（1）；（2） 【知识点】共轭复数的概念及计算、已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）利用乘法运算并结合纯虚数定义可得； （2）依题意可设，由复数相等解方程可得结果. 【详解】（1）因为为纯虚数， 所以且， 解得； （2）因为，且，因此可设， 则， 由题意可得，所以， 解得，即. 题型03 复数的乘方 【例3】（24-25高一上·广西柳州·期中）已知为虚数单位，的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】复数的乘方、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数代数形式的乘方运算化简，即可判断其虚部. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：C 【变式1】（23-24高一下·河南郑州·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的乘方 【分析】利用和幂指数的运算性质求解即可. 【详解】， 故选：C 【变式2】（23-24高一下·山东菏泽·期中） ． 【答案】 【知识点】复数的乘方 【分析】首先计算，再根据指数运算，化简求值. 【详解】，， 即. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知复数，且是实数. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)或， (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的乘方 【分析】（1）首先化简，根据为实数得到，再由余弦函数的性质计算可得； （2）由（1）可得，即可得到，再根据复数的乘方法则计算可得. 【详解】（1）因为， 所以， 因为是实数，所以，则， 所以或，， 解得或，. （2）当，时， 若为偶数，则， 若为奇数，则， 所以； 同理当，时，， 又， 所以当时， 则 ； 当时， 则 ； 故. 题型04 复数范围内方程的根 【例4】（22-23高一下·山西晋中·期中）方程的一个解可以是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】根据复数的概念直接运算即可. 【详解】因为，所以，所以或， 所以方程的一个解可以是. 故选：B 【变式1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知关于的方程有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】先求出方程的两个虚数根，然后由复平面上对应两虚根之间的距离为列方程求解即可. 【详解】由题意得，得， 方程的虚数根为 ， 因为在复平面上对应两虚根之间的距离为， 所以，得， 故选：B 【变式2】（23-24高一下·广东广州·期中）是关于的方程的根， ． 【答案】 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】由题意可得，是实系数一元二次方程的两个虚根，运用韦达定理可得的值． 【详解】由实系数的一元二次方程的虚根成对出现， 可得实系数一元二次方程的两个虚根分别为，， 则，故． 故答案为：． 【变式3】（23-24高一下·浙江·期中）关于的方程． (1)若是方程的一个虚根，求的值； (2)若，是方程的两个虚根，且，求的值． 【答案】(1) (2)． 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】（1）把虚根代入方程，利用复数相等列方程组求求的值； （2）根据虚根成对定理设，，利用已知条件结合韦达定理求的值． 【详解】（1）为方程的虚根， 则有，得， 解得； （2）设，，，可得， 则，， ，所以，所以， 由韦达定理可得，所以． 题型05 复数的除法运算 【例5】（23-24高一下·河南商丘·期中）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算可得答案. 【详解】由，得. 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、求复数的模 【分析】计算出，利用复数除法法则计算出. 【详解】，故， . 故选：B 【变式2】（23-24高一下·天津河北·期中）已知是虚数单位，化简的结果为 . 【答案】 【知识点】复数的除法运算 【分析】利用复数乘除运算法则计算即可求得结论. 【详解】. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·湖南株洲·期中）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）由复数的乘法运算计算可得结果； （2）利用复数的除法运算法则计算出结果. 【详解】（1）易知； （2）. 题型06 根据复数乘法运算结果求参数 【例6】（22-23高一下·湖北·期中）若复数z的虚部小于0，且，则 ． 【答案】-4 【知识点】复数的乘方、根据复数乘法运算结果求参数 【分析】设且，根据，求出，再根据复数的乘方运算即可得解. 【详解】设且， 则， 所以，则或（舍去）， 所以（舍去）或， 所以， 故答案为： 【变式1】（20-21高一下·山东济南·期中）已知复数满足为虚数单位，则复数的虚部为 . 【答案】-1 【知识点】求复数的实部与虚部、根据复数乘法运算结果求参数 【分析】根据复数的计算规则先求解复数z，再写出复数z的虚部即可. 【详解】设 解得 所以复数z的虚部为 故答案为：. 【变式2】（21-22高一下·福建三明·期中）已知复数． (1)若，求a的值； (2)求的最小值， 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求复数的模、根据复数乘法运算结果求参数 【分析】（1）根据复数的运算，化简得到，列出方程，即可求解； （2）根据复数模的公式，化简得到，进而求得有最小值. 【详解】（1）解：由复数， 可得， 所以，解得或． （2）解：由复数， 可得， 所以当时，有最小值，最小值为. 【变式3】（22-23高一下·山西阳泉·期中）已知复数为虚数单位. (1)若，求； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的除法运算、根据复数乘法运算结果求参数、求复数的模 【分析】（1）利用复数的除法进行计算即可； （2）方法一，把直接代入方程，求得，再进行复数的乘法运算. 方法二，由是关于的实系数方程的一个复数根，得是此方程的另一个复数根，根据根与系数关系求得，再进行复数的乘法运算. 【详解】（1）若，则， 所以. （2）方法1：由题得， 所以又，故可解得，即. 则. 方法2：因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是方程的另一个复数根，则， 即，又，故可得.. 则. 题型07 根据除法运算结果求复数特征 【例7】（22-23高一下·福建福州·期中）复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据除法运算结果求复数特征 【分析】化简复数，根据复数定义即可得到虚部. 【详解】∵，∴复数的虚部为. 故选：A． 【变式1】（21-22高一下·山东·期中）已知复数（i为虚数单位），则z的虚部为（    ） A．i B．－i C．1 D．－1 【答案】C 【知识点】根据除法运算结果求复数特征、求复数的实部与虚部 【分析】结合复数的除法法则整理为，由虚部定义即可得到答案. 【详解】由题，，故虚部为1， 故选：C 【变式2】（20-21高二上·上海徐汇·期末）设，其中为虚数单位，则 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部、根据除法运算结果求复数特征 【解析】直接利用复数的除法运算化简得到z的代数形式，再根据定义即得结果. 【详解】因为 所以. 故答案为：. 【变式3】（21-22高一下·天津·期中）已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为 . 【答案】/ 【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算、根据除法运算结果求复数特征 【分析】根据复数的乘除运算法则整理，由共轭复数的定义即可得到答案. 【详解】由题，因为，所以， 所以， 故答案为： 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏·期末）已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的乘方及除法运算求出，进而求出其实部. 【详解】依题意，， 所以的实部为. 故选：A 2．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】由复数的除法、乘法运算，结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由，可得，所以 所以5. 故选：B 3．（24-25高一上·湖南娄底·期中）复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数除法运算和共轭复数概念即可得到答案. 【详解】，则其共轭复数为， 则点即为点. 故选：B. 4．（23-24高一下·江苏南通·期中）下列命题中正确的（    ） A．任意两个复数都不能比较大小 B．若R，则当且仅当且时， C．若，C，且，则 D．若C则 【答案】B 【分析】当两个复数都是实数时能比较大小，据此判断A；由复数相等的定义可判断B；用特殊值可判断C、D. 【详解】对于A，当两个复数均为实数时，这两个复数能比较大小，A错误； 对于B，若R, R则当时，， 反之，若R, R，则由复数相等的定义知，必有成立， 故若R, R，则当且仅当且时，，B正确； 对于C，令，则，此时不满足，C错误； 若C，不妨令，，满足等式，此时不成立，故D错误． 故选:B 二、多选题 5．（23-24高一下·河南南阳·期末）下列有关复数内容表述正确的是（    ） A．若复数满足，则一定为纯虚数 B．对任意的复数均满足： C．设在复数范围内方程的两根为，，则 D．对任意两个复数，，若，则，至少有一个为 【答案】CD 【分析】根据复数的相关定义及运算分别判断各选项. 【详解】A选项：当时，，此时，当为实数，A选项错误； B选项：设，则，，B选项错误； C选项：，则，，则，C选项正确； D选项：设，，则， 即，化简可得，即，则与至少有一个为，即，至少有一个为，D选项正确； 故选：CD. 6．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）关于复数及其共轭复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．一定是纯虚数 【答案】BC 【分析】对于AD举反例即可判断；对于BC，结合共轭复数的概念、复数乘法以及复数模的计算公式即可求解. 【详解】对于A，设，则，故A不正确； 对于B，设，则，从而，故B正确； 对于C，设，则，从而，故C正确； 对于D，设，则，从而，当时，是实数，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 7．（21-22高一下·江苏扬州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】利用复数的除法运算、模长公式计算可得答案. 【详解】. 故答案为：. 8．（23-24高一下·辽宁辽阳·期末）已知复数，则 . 【答案】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再计算其模即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 四、解答题 9．（23-24高一下·天津河东·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的除法运算法则求解即可； （2）利用复数的四则运算法则化简求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 10．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设复数． (1)若是实数，求 (2)若是纯虚数，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的分类特征，结合复数加法和乘法的运算性质进行求解即可； （2）根据复数除法的运算法则，结合纯虚数的定义进行求解即可. 【详解】（1）， 因为是实数， 所以有， 因此； （2）， 因为是纯虚数， 所以有，所以. 11．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知复数. (1)计算复数，并求； (2)若复数满足，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先对复数化简，然后求复数的模； （2）对等式左边化简，再由复数相等的条件列方程组可求出实数的值 【详解】（1）因为 所以. （2）由，得 ， ， ， 所以，解得. 12．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数 (1)若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值； (2)若复数满足，求． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据复数的乘法运算，结合复数相等的充要条件，即可列方程求解， （2）由复数的除法运算可得，即可由模长公式求解. 【详解】（1） ，所以， （2）由可得 故 13．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数，求复数的模. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用纯虚数概念，结合乘法计算即可； （2）运用模长公式，结合除法和共轭复数知识求解. 【详解】（1）由题意得， 是纯虚数， ， ， （2） . 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏淮安·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合平方差公式以及复数的运算求解即可. 【详解】，即. 所以. 所以 . 故选：B 2．（23-24高一下·江苏淮安·期末）已知复数，，则复数（    ） A．i B． C．2i D． 【答案】B 【分析】把代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】复数，， ． 故选：B． 3．（23-24高一下·江苏南通·期中）若，则复数z的虚部（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的概念求解． 【详解】设，则， ，，解得或或 所以复数z的虚部为． 故选：C. 4．（24-25高一上·四川眉山·期中）复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法法则，化简可得，根据共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意得， 所以其共轭复数为. 故选：B 二、多选题 5．（23-24高一下·内蒙古通辽·期中）下列命题正确的是（    ） A．任何复数的模都是非负数 B．如果复数z1＝i，z2＝－i，z3＝－i，z4＝2－i，那么这些复数的对应点共圆 C．|cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值为0 D．2＋3i>1＋2i 【答案】AB 【分析】根据复数的模的定义即可判断A选项，求出各复数的模即可判断B选项，根据即可判断C选项，根据虚数不能比较大小即可判断D选项. 【详解】A正确，因为若z∈R，则|z|≥0，若z＝a＋bi（b≠0，a，b∈R），则； B正确，因为，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上； C错误，因为为定值； D错误，因为虚数不能比较大小. 故选：AB. 6．（23-24高一下·山东·期中）设，，是复数，，则下列命题中的真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据条件，结合共轭复数的定义，复数模的公式，复数的四则运算，即可求解. 【详解】对于A，若，则，，因此，A正确； 对于B，令，，则，但，B错误； 对于C，设，则， 而， 则， 又， 则， 因此，C正确； 对于D，由，得，而，因此，D正确. 故选：ACD 三、填空题 7．（23-24高一下·山东·期中）复数满足，则 ， ． 【答案】 【分析】复数域内解方程，结合方程思想降次化简计算即可. 【详解】由题意可知是在复数域内的两个根，根据韦达定理有； 因为满足，所以，， 则 ， 当时，， 当时，， 综上. 故答案为：；. 8．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数，且，则 ． 【答案】2 【分析】根据复数运算及复数相等得出参数值，最后计算即可求解. 【详解】由，则， 所以，解得， 所以． 故答案为：2. 9．（21-22高一下·浙江宁波·期末）设复平面内的不同三点对应复数分别为，若（是虚数单位），则的值为 . 【答案】 【分析】设，由得，进而求得，，即可求得. 【详解】设，由可得， 即，整理得， 即， 则；又复数对应的向量为， 则，， 则， ， 则，则，则. 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知复数满足且． (1)求复数； (2)求． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）设复数，、，由共轭复数的概念、复数的模长公式结合题意列方程组求解即可； （2）根据（1）中的值，利用复数的乘法法则计算求即可． 【详解】（1）设复数，、，则，， 由且，得， 解方程得，所以复数或； （2）当时， ； 当时， ， 综上，． 11．（23-24高一下·江苏南京·期末）设是虚数，，且． (1)求的值及的实部的取值范围； (2)求证：是纯虚数； (3)求的最小值． 【答案】(1)1； (2)证明见解析. (3) 【分析】（1）设出复数，写出的表示式，进行复数的运算，把整理成最简形式，根据所给的的范围，得到的虚部为，实部属于这个范围，得到的实部的范围． （2）根据设出的，整理的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问求出的、的范围，得到是一个纯虚数． （3），再利用基本不等式即可求的最小值． 【详解】（1）因为是虚数，设，则， ，，，，，此时， ，，即的实部的取值范围. （2），， ，，，是纯虚数. （3） ，可得， 当且仅当，即时取得最小值为. 12．（23-24高一下·上海·期末）在复数范围解方程． (1)关于的实系数一元二次方程的两根满足，求实数的值； (2)关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论的值． 【答案】(1)—1或3； (2) 【分析】（1）根据方程有实数根与复数根进行讨论，从而求出的值；（2）根据方程有实数根与复数根讨论的范围，从而得到的值. 【详解】（1）当，即时，，为实数，则，， 所以，解得：； 当，即时，，为复数，由，解得：，， 所以，解得：； 综上：或 （2）当，即时，，为实数，则，， 当时，，为一正一负，所以 所以； 当，，为两负数， 当，即时，，为复数，由，解得：，， 则，， 所以 综上： 13．（23-24高一下·四川成都·期中）在复数范围内有关于的方程. (1)求该方程的根； (2)求的值； (3)有人观察到，得，试求的值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据求根公式即可求解复数根. （2）对目标式子变形，代入即可求值. （3）由于，结合，即可求解. 【详解】（1）因为， 则在复数范围内由求根公式可得方程的根为， 则，. （2）因为，所以，则， 由（1）知，故. （3）因为，所以， 所以 . 14．（23-24高一下·广东东莞·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，我们有如下运算法则：①；②；③；④. (1)设，求和； (2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论，判断其是否正确并说明理由； (3)设，集合.求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的. 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）代入公式①③即可求解； （2）根据所给定义，以及向量的代数运算法则，即可求解； （3）设满足条件的，表示出，即可得到，根据完全平方数的性质计算可得最小值. 根据所给条件求出，再证明对任意的，根据定义证明即可. 【详解】（1）由， 得，； （2）设，，，、、、、、， ，，， ， 因为，， 所以， ，故正确； （3）不妨令，则， 则 ， 当，时取得最小值2， 此时， 设满足条件的，， ， 则，， 【点睛】关键点睛：对于新定义问题，关键是理解所给定义，再结合所学相应知识解决问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$