第05讲 两条直线的位置关系（7个知识清单+12类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

第05讲 两条直线的位置关系 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01平面内两直线的位置关系................................................................................................................................................4 题型02相交线................................................................................................................................................................................6 题型03对顶角的定义....................................................................................................................................................................8 题型04对顶角相等.......................................................................................................................................................................10 题型05求一个角的余角...............................................................................................................................................................13 题型06求一个角的补角...............................................................................................................................................................15 题型07与余角、补角有关的计算...............................................................................................................................................16 题型08同(等)角的余(补)角相等的应用.....................................................................................................................................19 题型09垂线的定义理解...............................................................................................................................................................21 题型10画垂线...............................................................................................................................................................................24 题型11.垂线段最短.......................................................................................................................................................................25 题型12点到直线的距离...............................................................................................................................................................28 分层练习.........................................................................................................................................................................................30 夯实基础.........................................................................................................................................................................................30 能力提升.........................................................................................................................................................................................48 知识点1．余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 知识点2．相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 知识点3．对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 知识点4．垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 知识点5．垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 知识点6．点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 知识点7．平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 题型01平面内两直线的位置关系 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们互相垂直 B．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相垂直 C．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相平行 D．同一平面内，如果两条直线不垂直，那么它们互相平行 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】此题考查了平行线的判定、垂直、相交等知识．根据平行线的判定及垂直、相交的定义判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交，故A不符合题意； 在同一平面内，两条直线不相交，那么这两条直线平行，故B不符合题意； 同一平面内，如果两条直线不相交，那么这两条直线平行，故C符合题意； 同一平面内，如果两条直线不垂直，它们不一定平行，故D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，能相交的是 ，平行的是 ．（填序号） 【答案】 ② ③ 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查了相交线与平行线，熟知直线，射线，线段的特点，以及相交线和平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：对于①，是由两条射线组成，且射线无限延伸后没有交点，故不能相交； 对于②，是由一条直线、一条射线组成，当直线线延时，与射线有交点，故可以相交； 对于③，由两条直线组成，且在同一平面内没有交点，故一定平行， 故答案为：②；③． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的长方体，观察并回答下列问题． (1)用符号表示两条棱的位置关系： ①______；    ②______； ③______；    ④______． (2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 【答案】(1)①，③，②，④ (2)不是，同一平面 【知识点】平面内两直线的位置关系、垂线的定义理解 【分析】本题考查平行线，认识立体图形，关键是掌握平行线的判定方法，垂直的定义． （1）平行线的判定方法，垂直的定义即可判断； （2）由图形即可得到答案． 【详解】（1）根据图可知，，，， 故答案为：①，③，②，④； （2）与所在的直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线． 故答案为：不是，同一平面． 题型02相交线 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系、相交线 【分析】本题考查了平行线、相交线的基本概念，解题的关键在于准确理解并运用这些概念； 根据平行线、相交线的定义及性质，对各选项逐一进行分析． 【详解】A．平行线的定义是在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，而线段有长度限制，即使两条线段不相交，它们所在的直线也可能相交，所以两条不相交的线段不一定是平行线，故该选项说法错误，不符合题意； B．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，二者不能同时成立，不存在既平行又相交的情况，故该选项说法错误，不符合题意； C．根据直线相交的定义，两条相交的直线有且只有一个公共点，故该选项说法正确，符合题意； D．射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，在同一平面内，两条射线没有交点，它们所在的直线也可能相交，所以仅根据两条射线没有交点，不能得出这两条射线平行，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．（24-25七年级·福建厦门·期末）某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 【答案】45 【知识点】相交线 【分析】此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多有个交点是解题的关键；要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，然后可画出图形找出规律即可求解． 【详解】解：如图， ∵两条直线相交，最多有1个交点， 三条直线相交，最多有个交点， 四条直线相交，最多有个交点． 五条直线相交，最多有个交点； …..； ∴n条直线相交，最多有个交点； ∴10条直线相交，最多有个交点； 即交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为45； 故答案为45． 题型03对顶角的定义 6．（24-25七年级·吉林长春·期末）在下列图中，与属于对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟记有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是解答此题的关键．运用对顶角的定义逐一判断即可得解． 【详解】在选项A中，与的两边都不互为反向延长线，B，C选项中，与没有公共点，所以都不是对顶角，是对顶角的只有选项D． 故选：D． 7．（22-23七年级下·广东中山·期中）如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？ ．（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义直接判断即可． 【详解】解：由对顶角的定义可知：与不是对顶角． 故答案为：不是． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 【答案】规律探究：2；6；12；归纳总结：；规律应用：1560对 【知识点】对顶角的定义、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． （1）两条直线相交于一点，数一数即可得出成2对对顶角；三条直线相交于一点，数一数即可得出6对对顶角，4条直线相交于一点，数一数即可得出12对对顶角； （2）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． （3）根据归纳总结得出得结论代入求解即可． 【详解】解：（1）对图形进行点标注．    图①中对顶角有与，与，共2对； 图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对； 图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对； 故答案为： 2；6；12； （2）①，②，③， 则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角， 故答案为：． （3）由归纳总结可知条直线相交于一点共有对对顶角， 当时，共有条对顶角． 题型04对顶角相等 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）知识之树常青，学习便是那不息之泉，滋养心灵，茁壮成长．小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．常见的伸缩门中存在非常多的对顶角，如图为简易伸缩门，当减少时，的度数（   ） A．减小 B．增大 C．增大 D．不变 【答案】A 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，理解“对顶角相等”是解题关键． 【详解】解：与是对顶角， ， 减少时，的度数减少； 故选：A． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，平分，，， ， ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角相等，角的和差及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键，根据对顶角相等求出，根据角平分线的定义求出，再根据余角的定义求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）平面内有3条直线相交于一点，共有多少对对顶角？4条直线呢？10条呢？n条呢？（不包括平角） （2）若（1）中的直线两两相交（没有重复的交点），（1）中的结论仍然成立吗？ 【答案】（1）3条直线相交于一点，共有6对对顶角；4条直线相交于一点，共有12对对顶角；10条直线相交于一点，共有90对对顶角；n条直线相交于一点，共有对对顶角． （2）若（1）中的直线两两相交（没有重复的交点），（1）中的结论仍然成立 【知识点】图形类规律探索、对顶角相等 【分析】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律． （1）由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解． （2）由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解． 【详解】解：（1）如图， 图①中2条直线相交于一点共有对对顶角， 图②中3条直线相交于一点共有对对顶角， 图③中4条直线相交于一点共有对对顶角， ……， 根据上面的规律，10条直线相交于一点有对对顶角； 若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角． （2）（1）中的结论仍然成立．如图， 2条直线相交于一点（没有重复的交点）共有对对顶角， 3条直线两两相交于一点（没有重复的交点）共有对对顶角， 4条直线两两相交于一点（没有重复的交点）共有对对顶角， ……， 根据上面的规律，若有n条直线相交于一点（没有重复的交点），则可形成对对顶角． 题型05求一个角的余角 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与互为余角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个角的余角 【分析】此题考查的是余角的定义，掌握余角的定义是解题关键． 根据两个角的和等于，则这两个角互为余角解答即可． 【详解】解：观察选项中只有选项C中，，即与互为余角， 故选：C． 13．（24-25七年级下·广东·开学考试）已知与互余，且，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了互余的定义，互余的两角之和为，据此作答即可． 【详解】∵与 互余，， ∴， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·江西上饶·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，求的度数． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、求一个角的余角 【分析】本题考查的是角互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键．由与互为余角，，可求出，进而求出，结合平分，可求出，根据对顶角相等得到，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：与互为余角， ， ， ， ， 平分， ， ． 题型06求一个角的补角 15．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的补角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题考查了补角，根据补角的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴的补角， 故选：A． 16．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）已知的补角的度数为，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的补角 【分析】此题考查了互为补角的概念：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．根据概念进行计算． 【详解】解：根据互为补角的概念，得 的度数为：． 故答案为：． 17．（21-22七年级下·广西河池·期中）如图，沿直线向右平移，得到，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个角的补角、利用平移的性质求解、线段的和与差 【分析】（1）根据平移的性质和平角的定义即可求解； （2）根据平移的性质和线段和差关系即可求解． 【详解】（1）解：由平移知，， ∴． （2）解：由平移知，． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平移的性质，平角的定义，线段的和差关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型07与余角、补角有关的计算 18．（2022·浙江丽水·一模）一副三角尺按如图方式摆放，则图中与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查余角，解答的关键是对余角的定义的掌握以及对等量代换思想的灵活应用． 【详解】解： A、由图形可得， 则，故A不符合题意； B、由对顶角相等得：，故B不符合题意； C、由图形可得，故C符合题意； D、根据同角的余角相等，得：，故D不符合题意， 故选：C． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）若与互余，且，则 ． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查余角的定义．根据与互余，可得，结合即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点在同一条直线上，都是射线，与互为余角． (1)与有何关系？请说明理由； (2)与有何关系？请说明理由； (3)试说明：与互为补角． 【答案】(1)与互为余角，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)详见解析 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查的是余角与补角的含义；角的和差运算； （1）证明，求解，可得答案； （2）由，结合，可得结论； （3）由，与互为补角，从而可得结论． 【详解】（1）解： 与互为余角．理由如下： 由点在同一条直线上，知． 由与互为余角，知， 所以， 所以与互为余角． （2）解：．理由如下： 由（1），知． 又因为， 所以． （3）解：由（2），知． 因为与互为补角， 所以与互为补角． 题型08同(等)角的余(补)角相等的应用 21．（24-25七年级下·全国·期中）如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了同角的余角相等，利用该性质可得，熟知同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 22．（23-24七年级下·北京房山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重叠在一起，，，那么，此结论得出的依据是 ． 【答案】同角的余角相等 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】此题考查了余角的性质，，，那么，即可得到依据是同角的余角相等． 【详解】解：将一副三角板的直角顶点重叠在一起，，，那么，此结论得出的依据是同角的余角相等， 故答案为：同角的余角相等 23．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，射线于，射线于，且．求与的度数． 【答案】， 【知识点】对顶角相等、垂线的定义理解、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查求角度问题，涉及垂直定义、对顶角相等、互余等知识，数形结合，准确找到角的和差关系是解决问题的关键．根据及，得到；再根据，利用互余得到． 【详解】解：， ， 又， ， （对顶角相等）， ， ， ，， ． 题型09垂线的定义理解 24．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，下列条件：①；②；③，其中能说明的有（　　） A．① B．①或② C．①或③ D．①或②或③ 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了垂直的定义，解题的关键是通过条件计算出其中一个角为． 根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：①：，可以得出； ②∵，， ∴，可以得出； ③，不能得到； 故能说明的有①②． 故选：B． 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】垂线的定义理解、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查垂线，角的计算，分两种情况进行解答，即在的内部和外部，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由于，设则 当在的内部时，如图1， 有， 即， 解得， ∴， 当在的外部时，如图2， 有， 即， 解得， ∴， 故答案为：或． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知直线与交于点，，垂足为，且． (1)求的度数； (2)过点在上方作射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查垂线的定义，掌握垂线的定义及对顶角、邻补角是解题的关键． （1）根据垂线的定义得到，根据求出，再加上即可； （2）先由平角得出，根据知，继而由可得答案． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 题型10画垂线 27．（2025七年级下·全国·专题练习）过点作的垂线，下列三角板放置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答． 【详解】解：过点作的垂线，三角板的放法正确的是： 其他选项方法错误， 故选：C 28．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过点P分别画出的垂线（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】见详解 【知识点】画垂线 【分析】本题主要考查了作垂线，理解垂线的定义是解题关键．分别过图①，图②，图③的点P作的垂线即可． 【详解】解：过点P分别画出的垂线如下： 题型11垂线段最短 29．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（  ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】D 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，关键是掌握垂线段最短．由垂线段最短，即可得到答案． 【详解】解：于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是垂线段最短． 故选：D． 30．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ．    【答案】 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故答案为：． 31．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，王璐和朱贤两位同学相约同时从各自的家中骑自行车去体育馆．如果他们的骑车速度相同，那么谁先到达体育馆？为什么？ 【答案】朱贤先到达体育馆．因为从朱贤家到体育馆的路程是垂线段，路程最短． 【知识点】垂线段最短 【分析】此题主要考查了垂线段最短，正确把握定义是解题关键． 根据垂线段最短求解即可． 【详解】∵体育馆到朱贤家是垂线段， ∴体育馆到朱贤家的距离小于体育馆到王璐家的距离， ∴朱贤先到达体育馆． 理由是：因为从朱贤家到体育馆的路程是垂线段，路程最短． 题型12点到直线的距离 32．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，，，，点A到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题主要考查点到直线的距离，解答的关键是明确点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离可得结论． 【详解】解：∵， ∴点A到直线的距离是线段的长度． 故选：A． 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为 ． 【答案】6米（答案不唯一） 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，掌握点到直线，垂线段最短是解题的关键． 根据，点到直线，垂线段最短即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴点到的距离，即点到的垂线段长度要小于米， ∴点到的距离可能为米（答案不唯一）， 故答案为：米（答案不唯一） ． 34．（2025七年级下·全国·专题练习）一辆汽车在路段上由点A向点B行驶，M，N分别是位于公路两侧的两所学校（如下图）． (1)汽车在该路段上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响．当汽车行驶到何处时，分别对两所学校的影响最大？在图上标出； (2)当汽车由点A向点B行驶时，在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐增大？在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐减小？在哪一段上噪声对学校M的影响逐渐减小而对学校N的影响逐渐增大（用文字表述，不需说明理由）？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】点到直线的距离、垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短、点到直线的距离，熟练掌握垂线段最短是解题关键． （1）汽车离学校越近，其对学校的影响越大，根据垂线段最短即可得； （2）根据汽车离两所学校的远近、垂线段最短进行分析即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点． 因为汽车离学校越近，其对学校的影响越大， 所以由垂线段最短可知，当汽车行驶到点处时，对学校的影响最大；当汽车行驶到点处时，对学校的影响最大． （2）解：如图，因为当汽车由点向点行驶时，汽车离两所学校都越来越近；当汽车由点向点行驶时，汽车离两所学校都越来越远；当汽车由点向点行驶时，汽车离学校越来越远，而离学校越来越近， 所以当汽车由点向点行驶时，对两所学校的影响逐渐增大；当汽车由点向点行驶时，对两所学校的影响逐渐减小；当汽车由点向点行驶时，对学校的影响逐渐减小而对学校的影响逐渐增大． 夯实基础 一、单选题 1．如图，和不是对顶角的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．根据对顶角定义：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，逐一判断即可． 【详解】解：根据对顶角定义：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线， ①和两边不是互为反向延长线，不是对顶角； ②和两边不是互为反向延长线，没有公共顶点，不是对顶角； ③和两边互为反向延长线，有一个公共顶点，是对顶角； ④和两边不是互为反向延长线，不是对顶角； 所以不是对顶角是①②④，共3个． 故选：C． 2．如图，经过点O的直线a，b，c，d中，有一条直线与直线垂直，请借助三角板判断，与直线垂直的是（    ） A．直线a B．直线b C．直线c D．直线d 【答案】B 【分析】用三角板的两条直角边中的一条与直线L重合，再另一条边直角边能与a、b、c、d中的那条边重合即可得解． 【详解】解：用三角板的两条直角边中的一条与直线l重合，再另一条边直角边能与b重合， 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了两条直线垂直的性质，两条直线垂直其所夹的角为直角． 3．如图，取两根木条，，将它们钉在一起，转到木条，当增大时，下列说法正确的是（   ） A．增大 B．减少 C．减少 D．减少 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角、邻补角，根据对顶角的性质，邻补角的定义可得答案． 【详解】解：与是对顶角， ， 当增大时，增大； 与是邻补角，与是邻补角， ，， 当增大时，减小，减小． 当增大时，正确的是减小． 故选：C． 4．如图是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】此题考查了垂线段最短的性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则． 由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断． 【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短， 故选：A． 5．如图，O为直线上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角的和差关系和平角的定义，先求出，再得结论. 【详解】解：∵O为直线上一点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了角的计算，掌握平角的定义和角的和差关系是解决本题的关键. 6．如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（    ）个． A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个 【答案】D 【分析】根据三条直线是否有平行线分类讨论即可． 【详解】解：当三条直线平行时，交点个数为0； 当三条直线相交于1点时，交点个数为1； 当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2； 当三条直线互相不平行时，且交点不重合时，交点个数为3； 所以，它们的交点个数有4种情形． 故选：D． 【点睛】本题考查多条直线交点问题，解题关键是根据三条直线中是否有平行线和是否交于一点进行分类讨论． 7．如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法： ①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若，则n的倒数是，其中正确的有（      ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据方位角的定义，以及角平分线的定义，分别求出所需角的度数，然后分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵∠AOE＝m°， ∴∠EOD=90°m°， ∴点E位于点O的北偏西90°m°；故①错误； ∵∠EOF＝90°， ∴∠EOD+∠DOF＝90°，∠AOE+∠BOF=90°， ∵∠AOD=∠BOD=90°， ∴∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠FOB=90°， ∠AOM+∠MOD=90°，∠BON+∠DON=90°， ∵OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF， ∴∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON， ∴∠EOM+∠MOD=90°，∠FON+∠DON=90°， ∴图中互余的角共有8对，故②错误； ∵∠BOF＝4∠AOE，∠AOE+∠BOF=90°， ∴∠BOF=72°， ∴∠BON=36°， ∴∠DON=90°36°=54°；故③正确； ∵∠AOE+∠BOF=90°， ∴∠MOE+∠NOF=， ∴， ∴， ∴n的倒数是，故④正确； ∴正确的选项有③④，共2个； 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，方位角的表示，以及角度的和差关系，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出图中角的关系进行判断． 8．如图，在四边形中，，平分，，，P，Q分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（　　）    A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】作点Q关于BD的对称点H，则，．推出，则当C、H、P三点在同一直线上，且时，为最短．得出，根据含角直角三角形的特征，求出，即可求出． 【详解】解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则，．    ∴， ∴当C、H、P三点在同一直线上，且时，为最短． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，垂线段最短，含角直角三角形的特征，解题的关键是掌握轴对称的性质；垂线段最短；含角直角三角形，角所对的边是斜边的一半；以及正确画出辅助线，确定当时，为最短． 二、填空题 9．一个角是它补角的一半，则这个角的余角是 . 【答案】/30度 【分析】本题考查余角和补角的定义，准确的表示出题目中所叙述的关系是解题的关键．如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角．如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角．先根据补角的定义和题中给出的数量关系求出这个角的度数，再求这个角的余角即可． 【详解】解：设这个角是x，则， 解得： 故这个角的余角是， 故答案为： 10．如图，要把河中的水引到农田处，若河岸，垂足为点，则沿着线段铺设管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是 ．    【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短，利用垂线段的性质是解题的关键． 根据垂线段的性质（直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短），可得答案． 【详解】解：根据垂线段的性质（直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短），可知其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 11．如图，已知，，则为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，根据等角的余角相等，即可求解． 【详解】解：因为，，， 所以． 故答案为：． 12．如图，直线a，b分别与黑板边缘形成，，小明量出，，则可以算出直线a，b形成的锐角的度数 °． 【答案】31 【分析】图形可化简，直线a和直线b的夹角为∠5，欲求∠5，根据三角形内角和定理，只需求出∠3＋∠4，而∠1＝∠3，∠2＝∠4，易求出∠5． 【详解】解：图形化简如下图， ∠5为直线a和直线b的夹角， ∵∠3＝∠1＝71°，∠4＝∠2＝78°， ∴∠3＋∠4＝71°＋78°＝149°， ∴∠5＝180°−（∠3＋∠4）＝180°−149°， ∴∠5＝31°， ∴直线a和直线b的夹角为31°． 故答案为：31． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，利用对顶角相等是解本题的关键，本题难度适中． 13．如图，将一副三角尺的直角顶点O重合在一起．若∠COB与∠DOA的比是2：7，OP平分∠DOA，则∠POC＝ 度． 【答案】20 【分析】根据条件可知，并且，再根据与的比是，可求，再根据角平分线的定义和角的和差关系即可求解． 【详解】解：， 又与的比是， ， 平分， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角与补角，角平分线的定义，正确认识 这一个关系是解题的关键，这是一个常用的关系，需熟记． 14．已知与是对顶角，，则 ，的余角 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，余角的定义，角度的换算，根据对顶角相等可得的度数，再根据余角的定义求出的余角，最后进行单位换算即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∵， ∴的余角， 故答案为：，，． 三、解答题 15．说出下列图形中和的度数： 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），． 【分析】（1）根据三角形内角和为、邻补角的定义计算就可得到正确答案； （2）根据三角形内角和为、邻补角的定义计算即可得到正确答案； （3）根据直角三角形中两锐角互余、邻补角的定义计算就可得到正确答案； （4）根据三角形内角和为，角平分线的定义以及邻补角定义，计算即可得出正确答案； （5）由三角形外角的性质，结合三角形内角和定理，列式计算即可； （6）由直角三角形中两锐角互余，结合对顶角，即可计算得到正确答案． 【详解】解：（1）∵ ∴ 又∵ ∴ （2）∵ ∴ 又∵ ∴ （3）∵ ∴ 又∵ ∴ （4）∵ ∴ 又∵平分 ∴ ∴ （5）由三角形外角的性质知 又 （6）设的对顶角为 ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，直角三角形中两锐角互余等知识点，牢记相关内容并结合图形计算是解题关键． 16．如图，与互为补角，与互为余角，且．    (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角与补角等知识，解题的关键是： （1）根据余角的定义求解即可； （2）先根据补角的定义求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为余角， ∴， 又， ∴； （2）解：与互为补角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 17．如图，点在同一条直线上，都是射线，与互为余角． (1)与有何关系？请说明理由； (2)与有何关系？请说明理由； (3)试说明：与互为补角． 【答案】(1)与互为余角，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)详见解析 【分析】本题考查的是余角与补角的含义；角的和差运算； （1）证明，求解，可得答案； （2）由，结合，可得结论； （3）由，与互为补角，从而可得结论． 【详解】（1）解： 与互为余角．理由如下： 由点在同一条直线上，知． 由与互为余角，知， 所以， 所以与互为余角． （2）解：．理由如下： 由（1），知． 又因为， 所以． （3）解：由（2），知． 因为与互为补角， 所以与互为补角． 18．一个角的余角的2倍比这个角的补角的少，求这个角的度数． 【答案】 【分析】本题考查角度计算，余角，补角定义等．根据题意设这个角的度数为，则这个角的余角的度数为，补角的度数为，列式计算即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的余角的度数为，补角的度数为． 依题意得：，解得． 故这个角的度数为． 19．如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握对顶角、角平分线的定义，利用角的和差关系准确计算是解题的关键． （1）利用对顶角和角平分线的定义可得，，； （2）设，，则有，求出，再求即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 平分， ； （2）， 设，， ， ， ， ， ， ． 20．如图，已知等腰三角形、中，，，连接、，说明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，可得，从而可证，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质可得，由，并结合对顶角相等可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 能力提升 一、单选题 21．如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（    ）个． A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个 【答案】D 【分析】根据三条直线是否有平行线分类讨论即可． 【详解】解：当三条直线平行时，交点个数为0； 当三条直线相交于1点时，交点个数为1； 当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2； 当三条直线互相不平行时，且交点不重合时，交点个数为3； 所以，它们的交点个数有4种情形． 故选：D． 【点睛】本题考查多条直线交点问题，解题关键是根据三条直线中是否有平行线和是否交于一点进行分类讨论． 22．如图，是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键．根据余角的定义，角平分线的定义，角度之间的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互为余角；故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故③正确； 当时，；故④正确； 无法得到，故②错误． 故选：B． 二、填空题 23．已知，等于，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了垂线的定义，角的和差运算．结合图形是做这类题的关键．根据垂直关系知，由，可求，根据与的位置关系，分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 的位置有两种：一种是在内，一种是在外． ①当在内时，； ②当在外时，． 故答案为：或． 24．如图，直线，相交于点O，平分．若，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，以及对顶角相等， 由角平分线的性质可得出，再根据对顶角相等可得出答案． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 25．如图，已知等腰三角形、中，，，连接、，说明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，可得，从而可证，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质可得，由，并结合对顶角相等可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 26．如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质得到，证明和，即可证明结论； （2）根据（1）得到的结论进行画图即可． 【详解】（1）解：连接， 点A，点关于l对称，点C在l上， ， ． 同理可得． ， （2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 两条直线的位置关系 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01平面内两直线的位置关系................................................................................................................................................4 题型02相交线................................................................................................................................................................................6 题型03对顶角的定义....................................................................................................................................................................8 题型04对顶角相等.......................................................................................................................................................................10 题型05求一个角的余角...............................................................................................................................................................13 题型06求一个角的补角...............................................................................................................................................................15 题型07与余角、补角有关的计算...............................................................................................................................................16 题型08同(等)角的余(补)角相等的应用.....................................................................................................................................19 题型09垂线的定义理解...............................................................................................................................................................21 题型10画垂线...............................................................................................................................................................................24 题型11.垂线段最短.......................................................................................................................................................................25 题型12点到直线的距离...............................................................................................................................................................28 分层练习.........................................................................................................................................................................................30 夯实基础.........................................................................................................................................................................................30 能力提升.........................................................................................................................................................................................48 知识点1．余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 知识点2．相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 知识点3．对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 知识点4．垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 知识点5．垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 知识点6．点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 知识点7．平行线 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 题型01平面内两直线的位置关系 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们互相垂直 B．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相垂直 C．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相平行 D．同一平面内，如果两条直线不垂直，那么它们互相平行 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，能相交的是 ，平行的是 ．（填序号） 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的长方体，观察并回答下列问题． (1)用符号表示两条棱的位置关系： ①______；    ②______； ③______；    ④______． (2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 题型02相交线 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 5．（24-25七年级·福建厦门·期末）某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 题型03对顶角的定义 6．（24-25七年级·吉林长春·期末）在下列图中，与属于对顶角的是（   ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·广东中山·期中）如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？ ．（填“是”或“不是”） 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 题型04对顶角相等 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）知识之树常青，学习便是那不息之泉，滋养心灵，茁壮成长．小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．常见的伸缩门中存在非常多的对顶角，如图为简易伸缩门，当减少时，的度数（   ） A．减小 B．增大 C．增大 D．不变 10．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，平分，，， ， ． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）平面内有3条直线相交于一点，共有多少对对顶角？4条直线呢？10条呢？n条呢？（不包括平角） （2）若（1）中的直线两两相交（没有重复的交点），（1）中的结论仍然成立吗？ 题型05求一个角的余角 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与互为余角的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·广东·开学考试）已知与互余，且，则的度数为 ． 14．（23-24七年级下·江西上饶·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，求的度数． 题型06求一个角的补角 15．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的补角是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）已知的补角的度数为，则的度数为 ． 17．（21-22七年级下·广西河池·期中）如图，沿直线向右平移，得到，，． (1)求的度数； (2)求的长． 题型07与余角、补角有关的计算 18．（2022·浙江丽水·一模）一副三角尺按如图方式摆放，则图中与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）若与互余，且，则 ． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点在同一条直线上，都是射线，与互为余角． (1)与有何关系？请说明理由； (2)与有何关系？请说明理由； (3)试说明：与互为补角． 题型08同(等)角的余(补)角相等的应用 21．（24-25七年级下·全国·期中）如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 22．（23-24七年级下·北京房山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重叠在一起，，，那么，此结论得出的依据是 ． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，射线于，射线于，且．求与的度数． 题型09垂线的定义理解 24．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，下列条件：①；②；③，其中能说明的有（　　） A．① B．①或② C．①或③ D．①或②或③ 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的度数为 ． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知直线与交于点，，垂足为，且． (1)求的度数； (2)过点在上方作射线，若，求的度数． 题型10画垂线 27．（2025七年级下·全国·专题练习）过点作的垂线，下列三角板放置正确的是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过点P分别画出的垂线（保留画图痕迹，不写画法）． 题型11垂线段最短 29．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（  ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 30．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ．    31．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，王璐和朱贤两位同学相约同时从各自的家中骑自行车去体育馆．如果他们的骑车速度相同，那么谁先到达体育馆？为什么？ 题型12点到直线的距离 32．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，，，，点A到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 33．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为 ． 34．（2025七年级下·全国·专题练习）一辆汽车在路段上由点A向点B行驶，M，N分别是位于公路两侧的两所学校（如下图）． (1)汽车在该路段上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响．当汽车行驶到何处时，分别对两所学校的影响最大？在图上标出； (2)当汽车由点A向点B行驶时，在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐增大？在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐减小？在哪一段上噪声对学校M的影响逐渐减小而对学校N的影响逐渐增大（用文字表述，不需说明理由）？ 夯实基础 一、单选题 1．如图，和不是对顶角的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，经过点O的直线a，b，c，d中，有一条直线与直线垂直，请借助三角板判断，与直线垂直的是（    ） A．直线a B．直线b C．直线c D．直线d 3．如图，取两根木条，，将它们钉在一起，转到木条，当增大时，下列说法正确的是（   ） A．增大 B．减少 C．减少 D．减少 4．如图是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5．如图，O为直线上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（    ）个． A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个 7．如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法： ①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若，则n的倒数是，其中正确的有（      ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．如图，在四边形中，，平分，，，P，Q分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（　　）    A．8 B．10 C．12 D．16 二、填空题 9．一个角是它补角的一半，则这个角的余角是 . 10．如图，要把河中的水引到农田处，若河岸，垂足为点，则沿着线段铺设管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是 ．    11．如图，已知，，则为 ． 12．如图，直线a，b分别与黑板边缘形成，，小明量出，，则可以算出直线a，b形成的锐角的度数 °． 13．如图，将一副三角尺的直角顶点O重合在一起．若∠COB与∠DOA的比是2：7，OP平分∠DOA，则∠POC＝ 度． 14．已知与是对顶角，，则 ，的余角 ． 三、解答题 15．说出下列图形中和的度数： 16．如图，与互为补角，与互为余角，且．    (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 17．如图，点在同一条直线上，都是射线，与互为余角． (1)与有何关系？请说明理由； (2)与有何关系？请说明理由； (3)试说明：与互为补角． 18．一个角的余角的2倍比这个角的补角的少，求这个角的度数． 19．如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数． 20．如图，已知等腰三角形、中，，，连接、，说明： (1)； (2)． 能力提升 一、单选题 21．如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（    ）个． A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个 22．如图，是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 二、填空题 23．已知，等于，则的度数为 ． 24．如图，直线，相交于点O，平分．若，则 ． 三、解答题 25．如图，已知等腰三角形、中，，，连接、，说明： (1)； (2)． 26．如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$