第04讲 整式除法（2个知识清单+5类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

第04讲 整式除法 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01计算单项式除以单项式.....................................................................................................................................................2 题型02多项式除以单项式.............................................................................................................................................................3 题型03用科学记数法表示数的除法.............................................................................................................................................5 题型04整式四则混合运算............................................................................................................................................................6 题型05整式的混合运算................................................................................................................................................................8 分层练习........................................................................................................................................................................................10 夯实基础........................................................................................................................................................................................10 能力提升........................................................................................................................................................................................21 知识点1．整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 知识点2．整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 题型01计算单项式除以单项式 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，那么的值分别为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）长方形的面积为，宽为，则它的长为 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）计算： （2）计算：． （3）计算：． （4）计算：． 题型02多项式除以单项式 4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高是 ． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：． 题型03用科学记数法表示数的除法 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的 倍（结果保留整数）． 8．（22-23七年级下·安徽亳州·期中）细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 题型04整式四则混合运算 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，该图形的面积是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）任意给一个非零数，按下列程序进行计算，则输出结果是 ． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 题型05整式的混合运算 12．（2025七年级下·全国·专题练习）若，其中，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 夯实基础 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知，那么的值分别为（   ） A． B． C． D． 4．一颗人造地球卫星的速度为2.88×107米/时，一架喷气式飞机的速度为1.8×106米/时，则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的（　　） A．1600倍 B．160倍 C．16倍 D．1.6倍 5．计算（　　），正确的结果是（　　） A．16 B．42 C． D． 6．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，该图形的面积是（   ） A． B． C． D． 8．某同学在计算加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出原题正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（1） ； （2） ． 10．计算： ． 11．一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高是 ． 12．计算的结果为 ． 13．四个数a，b，c，d排列成，称之为二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则 ． 14．（1） ； （2） ． 三、解答题 15．计算： 16．如果，求m，a，b的值． 17．计算： （1）； （2）． 18．计算． (1)； (2)． 19．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值． 20．计算： (1)． (2)． 能力提升 一、单选题 21．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 22．某同学在计算加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出原题正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 23．已知，则的值为 ． 24．计算： （1） ； （2） ． 三、解答题 25．计算： (1)； (2)． 26．计算： (1)． (2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 整式除法 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01计算单项式除以单项式.....................................................................................................................................................2 题型02多项式除以单项式.............................................................................................................................................................3 题型03用科学记数法表示数的除法.............................................................................................................................................5 题型04整式四则混合运算............................................................................................................................................................6 题型05整式的混合运算................................................................................................................................................................8 分层练习........................................................................................................................................................................................10 夯实基础........................................................................................................................................................................................10 能力提升........................................................................................................................................................................................21 知识点1．整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 知识点2．整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 题型01计算单项式除以单项式 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，那么的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了整式的除法，根据单项式除以单项式可得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）长方形的面积为，宽为，则它的长为 ． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】此题考查了单项式除以单项式的应用．根据长方形的长等于长方形的面积除以宽列式计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 即长方形的长为， 故答案为： 3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）计算： （2）计算：． （3）计算：． （4）计算：． 【答案】（1）（2）（3）（4）a6 【知识点】积的乘方运算、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查幂的运算，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式和单项式除以单项式的法则进行计算即可； （2）先进行积的乘方，再进行单项式除以单项式的法则进行计算即可； （3）根据单项式乘以单项式和单项式除以单项式的法则进行计算即可； （4）根据幂的运算法则，以及单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 题型02多项式除以单项式 4．（2025七年级下·全国·专题练习）计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【详解】 解： ； 故选：D． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高是 ． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】此题考查多项式除以单项式法则：用多项式中的每一项分别除以单项式，再把结果相加．利用面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：设这条边上的高为a， 由题意得：， ∴， 故答案为：． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式运算、整式的除法运算，直接利用单项式乘多项式运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：原式， ， ． 题型03用科学记数法表示数的除法 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的 倍（结果保留整数）． 【答案】391 【知识点】用科学记数法表示数的除法 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 8．（22-23七年级下·安徽亳州·期中）细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 【答案】后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍 【知识点】用科学记数法表示数的除法、乘方的应用 【分析】先求出，细菌分裂的次数，再根据一个细菌在分裂次后，数量变为个，用细菌的数量乘以，即可得到总数，同理求出2h后细菌的个数，两数相除即可得出结果． 【详解】解：次， ∴后，盘子里有细菌：（个）； （次）， ∴后，盘子里有个细菌； ， 答：后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍． 【点睛】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． 题型04整式四则混合运算 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，该图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了单项式乘单项式，由图可知，图形的面积等于大矩形面积加小矩形面积，根据题意列出代数计算即可． 【详解】解：该图形的面积是． 故选：A． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）任意给一个非零数，按下列程序进行计算，则输出结果是 ． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据题意列出算式计算即可，正确理解流程图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴输出结果是， 故答案为：． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式四则混合运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，幂的乘方与积的乘方，单项项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先算幂的乘方，单项式乘多项式，再合并同类项即可； （2）先算积的乘方，再算单项式乘多项式，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：， ， ． 题型05整式的混合运算 12．（2025七年级下·全国·专题练习）若，其中，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算等知识点，掌握运用作差法比较整式的大小解题的关键． 运用作差法、整式的混合运算法则求解即可． 【详解】解：∵ ∴（）， ∴． 故选A． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【答案】1 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算，根据整式的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解： ． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据同底数幂乘法、幂的乘方法则和积的乘方法则计算，再合并同类项解答即可； （2）先根据完全平方公式，多项式乘多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可； （3）先根据多项式乘多项式的法则，多项式除以单项式的法则计算，再合并同类项法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 夯实基础 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：； 故选：B 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 3．已知，那么的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的除法，根据单项式除以单项式可得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， 故选：A． 4．一颗人造地球卫星的速度为2.88×107米/时，一架喷气式飞机的速度为1.8×106米/时，则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的（　　） A．1600倍 B．160倍 C．16倍 D．1.6倍 【答案】C 【分析】本题考查单项式除以单项式、同底数幂的除法，根据题意列出除法算式，再利用单项式除以单项式和同底数幂相除，底数不变指数相减的运算法则计算即可． 【详解】解：， 则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的16倍． 故选：C． 5．计算（　　），正确的结果是（　　） A．16 B．42 C． D． 【答案】D 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则进行运算，再根据积的乘方运算的逆用，即可判定． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式法则，积的乘方运算的逆用，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键 6．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、，原计算错误，符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选C． 7．如图，该图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式，由图可知，图形的面积等于大矩形面积加小矩形面积，根据题意列出代数计算即可． 【详解】解：该图形的面积是． 故选：A． 8．某同学在计算加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出原题正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意算出这个多项式，再与相加即可． 【详解】解：由题意可知，这个多项式为， 正确的计算结果是， 故选A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解题关键． 二、填空题 9．（1） ； （2） ． 【答案】 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案； 【详解】解：（1） =； （2） =； 【点睛】本题主要考查整式的除法，熟练运用多项式除以单项式的法则计算是解题的关键． 10．计算： ． 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式除以单项式，其运算法则是：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 11．一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高是 ． 【答案】 【分析】此题考查多项式除以单项式法则：用多项式中的每一项分别除以单项式，再把结果相加．利用面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：设这条边上的高为a， 由题意得：， ∴， 故答案为：． 12．计算的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查整式的混合运算，根据整式的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解： ． 13．四个数a，b，c，d排列成，称之为二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则 ． 【答案】18 【分析】依题意，列出方程，解方程即可． 【详解】依题意，， 去括号：， 解得：． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了新定义下解一元一次方程，整式的混合运算，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 14．（1） ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）先计算中括号里的完全平方式，整理之后除以后面的单项式即可； （2）先计算括号里的乘方和乘法，再计算多项式除以单项式即可． 【详解】（1） 故答案为：； （2） 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，属于基础题，需要有一定的运算求解能力，熟练掌握运算法则是解题的关键． 三、解答题 15．计算： 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查多项式除以单项式，正确计算是解题的关键． 16．如果，求m，a，b的值． 【答案】 【分析】根据积的乘方和单项式除以单项式的计算法则求解即可得到答案. 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， 解得 ， 【点睛】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 17．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先利用完全平方公式计算 再去括号，合并同类项即可得到答案； （2）分别利用完全平方公式进行简便运算，再去括号，合并同类项即可得到答案. 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，多项式乘以多项式，完全平方公式的应用，掌握利用完全平方公式进行简便运算是解题的关键. 18．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据完全平方公式和多项式除以单项式法则展开，然后合并同类项即可； （2）先计算积的乘方，单项式乘以多项式，单项式除以单项式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值． 【答案】4 【分析】先根据平方差公式及多项式的乘法法则进行化简，再根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，建立关于m的一元一次方程，求出m的值，再代入原式求值即可． 【详解】解： ， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值、一元二次方程的根与判别式的关系、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． 20．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的除法运算，熟练掌握多项式除以单项式的法则． （1）利用整式除法法则，每一项都除以即可； （2）利用整式除法法则，每一项都除以即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 能力提升 一、单选题 21．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按多项式除单项式法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握多项式除以单项式法则是解决本题的关键． 22．某同学在计算加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出原题正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意算出这个多项式，再与相加即可． 【详解】解：由题意可知，这个多项式为， 正确的计算结果是， 故选A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解题关键． 二、填空题 23．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的除法、积的乘方和代数式求值等知识，熟练掌握单项式的除法法则是解题的关键． 根据积的乘方运算法则和单项式的除法法则求出m，n的值，即可求出的值． 【详解】解：左边 ， ， ， ，， 解得，， ∴． 故答案为：． 24．计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则，进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 三、解答题 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘除法，积的乘方，负整数指数幂等知识点，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算单项式乘单项式，再计算单项式除以单项式即可． （2）先计算幂的乘方和积的乘方，再算单项式的乘除法． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 26．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的除法运算，熟练掌握多项式除以单项式的法则． （1）利用整式除法法则，每一项都除以即可； （2）利用整式除法法则，每一项都除以即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$