辽宁省点石联考2025届高三下学期3月联合考试数学试题

2025 届高三年级 3 月份联合考试 数 学 本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。考试结束后,将答题卡交回。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3. 回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题所给的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的) 1. 已知 ,则 A. B. C. D. 2. 已知 ,则 A. B. 2 C. D. 5 3. 探究学习小组收集了 早餐店 2024 年前六个月包子的售卖数据,得出每个月售卖包子的个数 (单位: 万个)与月份 的经验回归方程为 ,已知五月份的售卖量为 2 万个,则 时的残差为 A. -0.2 B. 0.2 C. -0.1 D. 0.1 4. 已知有穷数列 是等差数列,公差为 ,前 项和为 . 命题 , 为等差数列; 命题 为递增数列,则 A. 和 均为真命题 B. 和 均为真命题 C. 和 均为真命题 D. 和 均为真命题 5. 已知 的最小正周期为 ,且 , ,则与 无关的是 A. B. C. D. 在 上的零点个数 6. 在平面直角坐标系 中, 轴正方向的单位向量为 轴正方向的单位向量为 . 已知 是椭圆 上一动点,动点 的轨迹为 ,设 的离心率为 的离心率为 ,则下列选项中满足 的是 A. 且 B. C. D. 7. 已知圆台 的上、下底面半径分别为 ,高为 ,母线与下底面所成的角为 ,上底面上的动点和下底面上的动点距离的最大值为 ,则圆台的体积为 A. B. C. D. 8. 若函数 ,其中 . 若 只有一个零点,则 的最小值为 A. 15 B. 5 C. D. 2 二、多选题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题所给的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的待 0 分 } 9. 已知直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ,则下列说法正确的是 A. 若 ,则 B. 若存在 ,使得 ,则 C. 若 ,则 到 内任意直线的距离等于 到 的距离 D. 若 与 内任意直线所成的角均相等,则 10. 已知抛物线 ,焦点 ,动点 满足 ,则 A. B. 若 在 上,则 是等腰直角三角形 C. D. 的轨迹长度为 11. 函数 的定义域为 ,若存在 满足: 对任意的 恒成立,则称 为 上的 函数,则下列说法正确的是 A. 若 是 上的 函数,则 为 上的 函数 B. 是 上的 函数 C. 是 上的 函数,则 D. 命题“ 是 上的 函数”的一个必要条件为“ ” 三、填空题 (本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分) 12. 某类考试报名人数为 10000 人,已知考试的成绩服从正态分布 (300, 2500),若录取分数线为 350 分,则录取人数约为_____.(结果四舍五入取整数) (参考数据:若 服从正态分布 ,则 ) 13. 已知 ,且 ,则 的值为_____. 14. 为积极响应教育部印发的《全国青少年学生读书行动实施方案》,鼓励学生多读书、品经典,社区举办了“图书在哪”的抽奖活动. 如图,在一个 的方格表中,按如下规则放置了一些图书,小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数,且有数字的小方格上没有图书,其余方格内无限制,且每一个方格只能放 1 本图书. 则在所有可能的情况中,能抽中的图书数目最多为_____,所有可能的图书排列方式总数为 四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 15. (13 分) 记 的内角 的对边分别 ,已知 (1) 求 ; (2) 设 是边 中点,若 ,求 . 16. (15 分) 如图,在四棱锥 中,底面 为梯形, 是棱 上一点,且二面角 - 为直二面角. (1)证明: 是 中点； ( 2 )若 ,且二面角 的余弦值为 ,求 的长. 17. (15 分) 已知函数 . (1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程； (2) 若 的极小值小于 0,求 的取值范围. 18. (17 分) 现有一个质地均匀的骰子, 按照下述规则从左到右依次记录字符: 抛掷骰子,点数为 1,2,3 时,记录字符 AA；点数为 4 时记录字符 B,点数为 5 时记录字符 C, 点数为 6 时记录字符 D. 继续投掷骰子, 按照相同的规则向右记录 AA, B, C, D 的字符. 例如抛掷 5 次骰子得到的点数依次是5,6,2,3,4,则记录的字符为 CDAAAAB,共 7 个字符,其中从左向右第 4 个字符为 A,第 7 个字符为 B. (1)抛掷 3 次骰子,并记录字符. 记字符中 的个数为 ,求 ； (2) 抛掷 次骰子 ,并记录字符. 记第 个字符为 的概率为 . (i) 求证: 是常数列; (ii) 求 的前 项和. 19. (17 分) 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ,双曲线 过点 且离心率为 . (1) 求 的方程; (2)若过点 的直线交 于 两点 (异于 两点),直线 , 交 于 两点 (异于点 ),过 作 ,垂足为 . 求证: 存在定点 ,使得 为定值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$绝密★启用前（点石联考）】 2025届高三年级3月份联合考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标 号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的】 1.已知A={-1,0,1,2},B={xilog:Ix|≤1}，则A∩B= A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2 C.{-1,1,2} D.{1,2} 2.已知z(1一2i)=5i,则|z1= A.√2 B.2 C.5 D.5 3.探究学习小组收集了A早餐店2024年前六个月包子的售卖数据，得出每个月 售卖包子的个数y(单位：万个)与月份x(x=1,2,3,…,6)的经验回归方程为 y=0.1x十1.4，已知五月份的售卖量为2万个，则x=5时的残差为 A.-0.2 B.0.2 C.-0.1 D.0.1 4.已知有穷数列{a.}是等差数列，公差为d,前n项和为Sn,a1>0.命题p:Hd∈R, (为等差数列：命盟q:31<0,S,}为递地数列，则 A.p和g均为真命题 B.一p和g均为真命题 C.p和7g均为真命题 D.一饣和一g均为真命题 5.已知f(x)=sinr(w>0)的最小正周期为T,Hfx)=-fx,)= 3 z,-,<号，则与w无关的是 A.T B. -z:! T C.f'(x1) D.f(x)在[0,2025]上的零点个数 (点右联考)高三数学第1页（共4页】 6.在平面直角坐标系xOy中，x轴正方向的单位向量为，y轴正方向的单位向 量为.已知P是椭图C:。十y2=1上一动点，动点Q(m,m)的轨迹为E,设 E的离心率为er,C的离心率为ec,则下列选项中满足eE>ec的是 A.10P1=1oQ1且O0LOP B.00=20P C.20Q=oP+(0p·a)u D.20Q=OPr(O·)y 7.已知圆台OO:的上、下底面半径分别为r1r2(r:<r2),高为3，母线与下底 面所成的角为行，上底面上的动点和下底面上的动点距离的最大值为，7，则园 台的体积为 A 315 343 B. 193 12m c. 12元 D. 12π 8.若函数f(x)=(e2“-a)(x一b),其中a>0.若f(x)只有-个零点，则a2+ (b-2)2的最小值为 A.5 B.5 C.② D..2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分) 9.已知直线1的方向向量为v,平面a的法向量为n,则下列说法正确的是 A.若n·p=0,则l∥a B.若存在入∈R,使得n=λv,则l⊥a C.若l∥a,则l到a内任意直线的距离等于l到a的距离 D.若1与a内任意直线所成的角均相等，则l⊥a 10.已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点F(1,0),A(一1,0)，动点P(a,b)满足 IPA|=√2{PF,则 A.p=2 B.若P在C上，则△PFA是等腰直角三角形 C.4a≥b D.P的轨迹长度为2x 11.函数f(x)的定义域为I,若存在a∈I满足：f(x)≤2f(a)对任意的x∈I恒 成立，则称f(x)为【上的L。函数，则下列说法正确的是 A.若f(x)是[m,n]上的L。函数，则f(-x)为[-n,一m]上的L-4函数 BVa≥n3,fz)-+是R上的L.函数 Cr)-nor十p是R上的L,函数，则fO)= D.命题“f(x)=(a一x)(x2-a2x+b)是(0，+o∞)上的L。函数”的一个必 要条件为“6≥一27 (点石联考)高三数学第2页（共4页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.某类考试报名人数为10000人，已知考试的成绩服从正态分布N(300, 2500),若录取分数线为350分，则录取人数约为 ·(结果四金五入取 整数) (参考数据：若服从正态分布N(4,a2),则P(u一o≤≤以十o)≈0.6827) 18已知a∈（分小，c(o,经》，且sma+0-年ma-m=- 则1 tan a 1 的值为 tan B 14.为积极响应教育部印发的《全国青少年学生读书行动实施方 案》，鼓励学生多读书、品经典，社区举办了“图书在哪”的抽 奖活动.如图，在一个5×5的方格表中，按如下规则放置了 一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的 图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内 无限制，且每个方格只能放1本图书.则在所有可能的情 况中，能抽中的图书数目最多为 ,所有可能的图书排列方式总数 为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤)】 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别a,b,c,已知acos C-asin C- b+√2c=0. (1)求A: (2②设D是边BC中点，若cosC=-号，求sin∠ADC, 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,PC= PD=4,AB=6,PA=3W2,PB=36,M是棱CD上-点，且二面角M-AP B为直二面角. (1)证明：M是CD中点： (2)若AMLPM,且二面角P-AD-B的余弦值为 ,求CD的长 (点石联考)高三数学第3页（共4页） 17.(15分)已知函数f(x)=e-alnx-a,a>0. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)的极小值小于0，求a的取值范围. 18.(17分)现有一个质地均匀的骰子，按照下述规则从左到右依次记录字符：抛 掷骰子，点数为1,2,3时，记录字符AA:点数为4时记录字符B,点数为5时 记录字符C,点数为6时记录字符D.继续投掷骰子，按照相同的规则向右记 录AA,B,C,D的字符.例如抛掷5次骰子得到的点数依次是5,6,2,3,4，则 记录的字符为CID△AAAB,共7个字符，其中从左向右第4个字符为A,第7 个字符为B. (1)抛掷3次骰子，并记录字符.记字符中A的个数为X,求E(X); (2)抛掷n次骰子(n∈N),并记录字符.记第n个字符为A的概率为pn. 1 （1)求证：p+1+2p.}是常数列： (i)求{p.}的前n项和. 19.17分)已知柄圆C:号+y=1的左，右顶点分别为8，A,双面线E a?- =1(a>0,b>0)过点A,B且离心率为5. (1)求E的方程； (2)若过点D(号，0)的直线交C于M,N两点（异于A,B两点），直线AM, AN交E于P,Q两点（异于点A),过A作AH⊥PQ,垂足为H,求证： 存在定点T,使得TH为定值. (点石联考)高三数学第4页（共4页】·数学· 参考答案及解析 叁春管案及解折 2025届高三年级3月份联合考试·数学 说明： 一、本解答给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订 相应的评分细则. 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的 程度决定后继部分的给分：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分， 三，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四，只给整数分数，选择题和填空题不给中间分」 一、单选题 k∈Z.故=l或lx 2π T 3 4 5 B 2，由三角函数的对称性知1，一1- la:-B:1 2π 二、多选题 1a:-321 ,故B正确.A选项T=红，故其会发生改 9 10 11 2π BD ABC ABD 变.C选项f'(.x1)=wcos w.r1亦会发生变化，D选项 会随着周期的变化而变化. 三、填空题 12.158713.2414.11192 6。C【解析】由已知可知C的离心率c:=一石 一、单选题 1.C【解析】由题意得B={x|一2≤x≤2且x≠0}， 0设点P的坐标为(x·.A选项中，有 所以A∩B=(-1,1,2. 5i5i(1+2i) 2.C【解析】x=-2 =m,或，=一”此时轨迹E的方程为x十 y。=一m y=m 5 =一2+i,所以文 -2-i,所以z=5 6=1,离心率e=0 6 =ee,B选项中，有 3.D【解析】令x=5,得y=0.1×5+1.4=1.9,则所 求残差为2-1.9=0.1. To= 4.A【解析】Vd∈R,S,=a,n+nm二I)d,S 此时锁迹E的方程为号+苦-=1，离心* 2 2 y= 2 十”当-受-号所以停为等差数列 30 6 =.C选项中，有严。二m'此时轨迹E的 y。=2n, p为真命题：当d<0时，{a.)为递减数列，设{a,)的 项数为m,要使(S.}为递增数列，只需a.>0,即 、方程为。+4y三1.离心率g=38、 12 >te,D选项 a十m-1Dd>0.所以2n<d<0.g为真命题。 中，有x。=2m'此时轨迹E的方程为3十y=1, yo= 五B【解折】记sna,=sina,= 3,sin月，=sin月 商心案= <ec. -,其中a(货a:∈(2,8动A∈(e 7.A【解析】设上、下底面的动点分别为P,P.过点 P,作下底面的垂线，垂足为P{,有|P,P:= )∈（受，由1，-<号可知应 PP,+(3),由几何关系可知当P,P:位于圆 在同一个单调区间内，即x,=十26x 台轴截面上下底边相对的顶点时，距离最大.因此， (r1+r:)2+(3)2=7. 月+2张，k∈1或1=+2张不， 由已知可得方程组 -han子-，解得 高三3月联考 1 r1= 2 十是R上的L。函数，故B正确，若f(0)=1 3 则圆台的体积V= 3h(ritritr)= f(x)=sin(.x十g)≤1≤2f(0),即f(x)是L。函 2 数，故C错误.D选项，f(x)=(a一x)(x2一a”x十 13√5 b)≤2f(a)=0在(0，+∞)上恒成立，由于x∈(0， 12元. a)时，a-x>0,x∈(a,+o∞)时，a-x<0,故x∈ 8.B【解析】令f(x)=0,得x=2lna或x=b,因为 (0,a)时，x2-a'x+b≤0，x∈(a,+o∞)时，x ax十b≥0，根据二次函数的性质可知，a是x 了)只有一个零点，所以6=na,如图，在坐标系 a2x十b的右零点，即a2-a十b=0,即b=a1-a2. aO站中，a2十(b一2)2可以看成(a,b)到A(0,2)的距 h(a)=a-a(a>0).h'(a)=3a-2a,可知 离的平方，而A(0,2)到B(1,0)的距离为√5，且函数 为其极小值点，故6)≥A()-音音= b=2na在1,0)处的切线6=名(a-1D与线段 故D正确， 三、填空题 1 AB垂直，则由于函数b=2na(a≠1)的图象在直 12.1587【解折】P≥350)=1-0,6827=0.15865. 2 线6-a-D的下方，可以知道a+山一2的最 所以录取人数为0.15865×10000≈1587（人） 小值为5. 13.21【解桥】由a∈（受x小，3e(0,2)知，a十3∈ (受，）a-月e(0,x由已知可得sin(a+9)= 4.cos(a+)= 4,sin(a-)=3 .cos(a-B)= 二、多选题 万由两角和与两角差的余弦公式可得cos(a十 9.BD【解析】A选项，需注意l丈a:B选项，n与v共 线，故正确：C选项，1到a的距离应为【到a内任意 》=cos s月-sin asin月=-，eosa-g) 直线的距离的最小值：D选项，可知所有角均相等应 为90°，故正确. cos acos月+sin asir血B=一青，两式作差可得 10.ABC【解析】由题意，知号=1，故p=2,抛物线C sin asin = 40又由两角差的正弦公式得n(a一 的方程为y=4x,故A正确.过P向准线作垂线， 3 1 1 B)=sin os月-sin Beos a=5,因此 垂足为H,则|PA|=√反IPFI=反|PHI,故 tan a tan B 3 ∠HAP=牙，不妨取直线AP的方程为y=x+1, cos asin B-cos Bsin a 5 =24. sin asin 8 1 将其与抛物线方程联立，解得P(1,2),故△PFA 40 是等腰直角三角形，故B正确.由PA=√21PF 14,11192【解析】如图所示，灰色 0 得出P的轨迹方程为(a-3)2十b2=8.则b-4a 代表图书位置，此时有11本图书， 2 8-(a-3)2-4a=-(a-1)≤0，故C正确.因为 接下来说明不可能有12本图书。 3 点P的轨迹为以(3,0)为圆心，2√2为半径的圆，故 考虑数字控制的区域，假设有一种 方式可以达到8本图书，首先左上 2 轨迹长度为42π，故D错误. 角区域只有2本图书（下图左），在大图中去掉后变 11.ABD【解析】若f(x)是L。函数，则有f(x)≤ 成了下图中间的样子，并且图中应有6本图书.类似 2f(a).设g(x)=f(-x),则g(-a)=f(a),又 地，下方数字2代表周围单元格中有2本图书，再去 g(x)=f(-x)≤2f(a)=2g(-a),所以g(x)为 掉后形如下方右侧图形，此时需要填4本图书，但只 L,函数，故A正确.f(x)-C 剩下三个空方格，矛盾！故最多有7本，结合不受限 e+1 制的区域，最多能抽中7+4=11本书. 1汉对va≥h3.e+1≥4.所以a)-1-名 +1 2即2fa≥1≥fr,所以Va≥n3f) 接下来求所有可能的方法数。 ·2 ·数学· 参考答案及解析 情形一 (2)由已知可得2AD=AB+AC 2 两边同时平方可得4AD=(AB+AC)2=b+ c*+2bccos A. (8分) 2 由cosC= 可得血C-台 3 如图所示，？处有图书时，在左上数字2的周围有两 种情形，若数字3右侧方格无图书，则4周围的图书 所以如B=sin AcosC+in Coos A=日 10 (10分) 排布方式已经固定，此时下方数字2的排布方式也 在△ABC中， 被固定，此时中间数字3周围只有两本图书，矛盾！ 由正弦定理C白B得c-426, b 所以中间数字3右侧必有图书. 所以4AD=b2+c+2 bccos A=41b3, 即AD=AD= 2b, (12分) ☆4 在△ADC中， 2 AD 此时如上右图阴影区域中有且仅有一本图书，故下 方数字2左侧或右侧有一本图书.若下方数字2左 由正弦定理m乙ADC·可得m∠ADC 侧有一本图书，则右侧没有图书，此时4周围的图书 8√▣ 205· (13分) 排布已经固定，则此时3周围图书也已经符合题意， 只有一种情形. 16.(1)证明：由已知可得PA+AB=18十36= 54=PB, 若下方数字2右侧有一本图书，此时考虑下方数字 由勾股定理知AB⊥PA, (2分) 2周围还应存在的一本图书的位置，若在2右上方， 由二面角M-AP-B为直二面角知平面PAM⊥平面 即上左图中☆位置，则满足题意，并且此时3周围也 PAB. (3分) 满足题意，4周围还剩一本图书，共有两种选择，共 又平面PAM∩平面PAB=PA,ABC平面PAB, 两种：若不在2右上方，则4周围图书的排布已经符 所以AB⊥平面PAM, (4分) 合题意，3周围还应有一本图书，共有两种选择。 又PMC平面PAM,所以AB⊥PM, (5分) 综上，在情形一中，根据分类加法和分步乘法计数 又ABCD,所以CD⊥PM. 原理，共有2×(1十2十2)=10种可能. 又PC=PD,由等腰三角形的性质，知M是CD中 情形二： 0 点 (6分) 3 (2)解：由已知和(1)，以M为原点.MD,MA.MP 分别为x,y,轴的正方向，建立空间直角坐标系. 2 (8分) 如图所示，？处无图书时，左上数字2的图书排布被 故平面ABD的一个法向量n,=(0,0,1). (9分)】 固定，与情形一类似讨论，可知3右侧必有图书，此 设平面PAD的法向量为n:=(x·y,x),MD=m, 时根据3周围应还有2本图书得到下方的2左右两 由已知可得PM=PD°-MD2=16-m, 侧均无图书（否则下方2周围图书数目大于2），故4 AM=PA:-PM=2+m, 周围的图书排列方式被固定，所以3周围还应有一 所以D(m,0,0),P(0,0,√16-m),A(0, 本图书，共有两种选择.故情形二共有2种可能。 √2十m,0), (10分) 所以共有2×(2+10)=192种. 所以AD=(m,一√2+m,0),PD=(m,0. 四、解答题 15.解：(1)根据正弦定理，由已知可得sin Acos C -√16-m). sin Asin C-sin B+2 sin C=0, (2分) n:·AD=0, 由 可得 m.x-√2+my=0, sin B-sin(A+C)-sin Acos C+sin Ccos A. n2·PD=0, m.x-√16-mz=0, 所以sin Acos C-sin Asin C-sin Acos C 1) (12分) sin Ccos A十2sinC=0, (4分) 取nm十m'6 化简得sinA+cosA一√2=0， 1 整理得sin(A+）=1, 所以cos(n1,n2)= 16-m vB 1 6号 因为子<A+<,所以A= √16-m+2+m+m (6分) (14分) ·3· 高三3月联考 化简得7m‘-20m2-32=0, 18.解：(1)由题意知，X的所有可能取值为0,2,4,6. 解得m=一号（食）或m= 则PX-0)-××- 所以m=2 又M是CD中点， 所以CD=2MD=2m=4,即CD长为4.(15分) 1113 【注】第二问建系时需用到第一问的结论，若不指 P(X=4)=Cx2×2×2-8 明，则扣1分 11、11 17.解：(1)当a=1时，f(x)=e-1nx-1,f'(x)= P(X=6)=2X2×2-8 故EG0X)-0x日+2x号+4 8+6x 8-3 (6分) 所以f(1)=e-1,f'(1)=e-1. 所以f(.x)在(1，f(1)处的切线方程为y一(e一1) (2)(1)将第n(n≥3)个字符为A分为两种情形 讨论 (e-1)(.x-1). 即y=(e-1)x ①第一次抛掷的结果为1,2或3， (4分) (2)f(x)的定义域为(0，+o∞)，且有'(x)=e 则最左边的两个字符为AA,剩下的(n一2)个字符 a_re-a 中，第(a-2个字符为A的概率为：《8分) 令g(x）=re-a(x≥0)， ②第一次抛掷的结果为4,5或6， g'(x)=e(x十1)>0在[0，+∞)上恒成立， 侧在剩下的(n一1)个字符中，第(n一1)个字符为A 故g(x)在[0，十∞)上单调递增. 1 (7分) 的概率为之P-” (10分) 而g(0)=-a<0,g(a)=ae-a=a(e-1)>0, 1 又g(x)的图象在[0，a]上连续不断， 综上：p,-2p十p.》 故存在x,∈(0，a),使得g(x。)=0, (8分) 1 1 又g(x)在(0，十∞)上单调递增， 故p.+2p.4=p-+2p.-:(n≥3). 故x。是g(x)在(0，十o∞)上的唯一零点， (9分) 则f(x)的单调性如下表： 即p,+号p是一个常数列。 (12分) (0xo) ra (xu,十0∞) f'(x) 0 + f(r) 极小值 4 p。1十2p.=1. (14分) 所以f(x)的极小值为f(x。)=e一aln ro一a, (11分) 又xoe"-a=0. 即.一号引是以-为首项，一号为公比的等比数 放f,)=e-en-,e=,e( 列 (15分) lnx。-1<0, (12分) 故{p.}的前n项和为 令m(x)=-1nx-1(x>0),m')= 2 1-(-》 上<0在(0，+∞)上恒成立， 3一 6 故m(x)在(0，十∞)上单调递减 (17分) 又m(1)=0,故上-1n,-1<0的充要条件为 扩+ o>1. (14分) 19. 解：1)由题意知a=2,√a+6 =5. 故a=roe>e. (15分) 解得b=4, 【注】零点存在性定理需指明条件后使用，缺条件则 该逻辑段不给分. 因此双自线E的方程为号-。-1 (3分) ·数学· 参考答案及解析 (2)设直线MN:z=my+号M(x1y)N(, 得P=x+ 4x2-y2-16=0, y:).P(xs.).Q(ziy.). 消去y,得4.x2-(kx+1)2一16=0， 将椭圆方程与直线MN方程联立， 即(4-k”).x2-2kt:x一12-16=0，显然△2>0， 6 得r=my+号 则x,x,是该方程两根， 2k1 -t2-16 x2+4y2-4=0, 因此x:+x一4不=有-6 (11分) 消去x得(m+4)y+12my一64 5y一25 =0,显然41>0， 由AP·A反=(x,-2)(x1-2)+yy 则y1,y:是该方程的两根， =(x1-2)(x,-2)+(kx1+1)(kx4+1) 12m 64 =(1+k)xx1+(k:-2)(x,+x,)+t十4 5 则y十=m中4y: 25 m2+4 (5分) =1+)-46+4-2 2k: 4一k四 4-++4 则AM·AN=(x1-2)(x:-2)+y1 =0. (14分) 化简得(2k+1)(10k一3t)=0, =(m-)(my-)+yy 解得10k=3t或2k十1=0， (15分) 16 若2k+1=0,则PQ过点A,舍去， (my上少，+)开2霸 因此10k=3t, 12 此时PQ:y=kx 10 254m 5 ,16 过定点5(-9o)。 =(m+1)m+45‘m2+42西 =0, 取T为AS的中点，即(-子o0),此时TH=号 故AM⊥AN, (9分) (17分) 设直线PQ的方程为y=kx十t, 【注】两个二次方程若不交代判别式情况应分别扣 将PQ与双曲线E的方程联立， 去1分. ·5 高三3月联考 2025届高三年级3月份联合考试·数学细目表 题号 题型 分值 考查的主要内容及知识点 预设难度 1 单选题 g 集合的基本运算 易 2 单选题 5 复数的四则运算、共扼复数 易 3 单选题 分 回归分析 易 4 单选烟 5 等差数列的性质 易 单选题 简单的三角恒等变换 单选题 圆锥曲线与方程 中 7 单选题 5 圆台体积 中 8 单选题 函数零点的应用 难 9 多选题 6 平面向量的实际背景及基本概念 易 10 多选题 直线与抛物线的位置关系 中 11 多选题 6 新定义函数 难 12 填空题 正态分布 易 13 填空题 和与差的三角函数公式 中 14 填空题 5 计数原理 15 解答题 13 解三角形 易 16 解答题 15 线线垂直及二面角 中 17 解答题 15 导数概念及其几何意义 中 18 解答题 17 随机变量的均值，数列的递推公式 中难 19 解客题 12 直线与圆锥曲线的位置关系 中难 ·6·