3.平行线的性质(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

相交线与平行线 第二章 自主导学 典例精析 例题 1 如图， BA∥DE ， ∠B＝150°， ∠D＝130°， 求∠C 的度数。 【分析】 要求 ∠C 的度数， 需把 ∠C 与平行线建立起联系， 为此过点 C 作 CF∥AB ， 把 ∠C 分成两个角， 根据平行线的性质即可求出两个角的度 数， 两角之和即为所求。 【解答】 如图， 过点 C 作 CF∥BA ， 因为 BA∥DE ， 所以 BA∥DE∥CF 。 所以 ∠1=180°-∠B=180°-150°=30° ， ∠2=180°-∠D=180°-130°=50° 。 所以 ∠BCD=∠1+∠2=30°+50°=80° 。 【点拨】 通过作辅助线， 找出 ∠B ， ∠D 与 ∠C 的关系是解答本类题的关键。 这类 “火箭 形” 基本图形的等量关系为 ∠B+∠D+∠C=360° 。 例题 2 如图， 已知∠1＋∠2＝180°， ∠3＝∠B， 猜想∠AED 与∠C 的数量关系并说明理由。 【分析】 先根据同角的补角相等得 ∠2=∠4 ， 即可得 EF∥AB ， 从而得到 ∠3=∠5 ， 再结合 ∠3＝∠B 可得 DE∥BC ， 从而得到结论。 【解答】 ∠C=∠AED 。 理由： 因为 ∠1+∠2=180° ， ∠1+∠4=180° ， 所以 ∠2=∠4 。 所以 EF∥AB 。 所以 ∠3=∠5 。 因为 ∠3=∠B ， 所以 ∠5=∠B 。 所以 DE∥BC 。 所以 ∠C=∠AED 。 【点拨】 解答本题的关键是掌握平行线的判定和性质并进行综合运用。 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 已知 AB∥CD ， 若 ∠ABE=120° ， ∠DCE=35° ， 则 ∠BEC= 。 2. 如图， ∠ABC=40° ， ∠ACB=60° ， BO ， CO 分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB ， DE 过点 O ， 且 DE∥BC ， 则 ∠BOD+∠COE 等于 。 3. 如图， 已知 AB∥CD∥EF ， AD∥GE ， 则与 ∠1 相等的角 （ ∠1 除外） 共有 （ ） A. 6 个 B. 5 个 C. 4 个 D. 2 个 3 平行线的性质 （第 2课时） E AB C D 例题 1 图 E F AB C D 1 2 例题 1 答图 E F A B C D 1 2 3 4 5 例题 2 图 C A B E D A O D E B C 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 A B E F C D G 1 49 七年级下册 （北师大版）数学 4. 已知两个角的两边分别平行， 且这两个角的差为 40° ， 则这两个角的度数分别为 。 5. 如图， 已知 AB∥CD ， ∠E=27° ， ∠B=52° ， 则 ∠ECD 的度数是 （ ） A. 25° B. 63° C. 79° D. 101° 6. 如图， 已知 ∠1=∠2 ， 请问： ∠3+∠4=180° 成立吗？ 为什么？ 能力提升 综合拓展 7. 如图， 已知 AB∥CD ， ∠1=∠2 ， 请说明： BM∥CN 。 8. 如图。 （ 1 ） 若 ∠BED=∠B+∠D ， 请说明： AB∥CD 。 （ 2 ） 若 AB∥CD ， 请说明： ∠BED=∠B+∠D 。 9. 如图， 已知 AD∥BC ， DA⊥AB ， DB 平分 ∠ADC ， ∠ABD＝30° ， 求 ∠ADC 的度数。 E C D B A 第 5 题图 l 1 l 2 1 2 3 4 5 第 6 题图 2 1 C D N BA M 第 7 题图 E A C B D 第 8 题图 第 9 题图 A D B C 50 相交线与平行线 第二章 10. 补全下面推理过程： 生活中常见一种折叠拦道闸， 若想求解某些特殊状态下的角度， 需将其抽象为几何图 形， 如图所示， BA 垂直地面 AE 于点 A ， CD 平行于地面 AE ， 求 ∠ABC+∠BCD 的度数。 解： 如图， 过点 B 作 BF∥AE ， 因为 CD∥AE （已知）， 所以 （ ） ∥CD （ ）。 所以 ∠BCD+ （ ） =180° （ ）。 因为 AB⊥AE ， 所以 ∠EAB= （ ） ° （ ）。 因为 BF∥AE ， 所以 （ ） +∠EAB=180° ， 所以 ∠ABF=180°-90°=90° 。 所以 ∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD= （ ） ° 。 * 11. 如图， 已知直线 AC∥BD ， 连接 AB ， 直线 AC ， BD 和线段 AB 把平面分成 Ⅰ ， Ⅱ ， Ⅲ ， Ⅳ 四个部分， 规定： 线上的各点不属于任何部分， 当动点 P 落在某个部分时， 连接 PA ， PB ， 构成 ∠PAC ， ∠PBD ， ∠APB 三个角 （提示： 有公共端点的两条重合的射线所组成的角 是 0° 角）。 （ 1 ） 当动点 P 落在 Ⅰ 时 （如图 1 ）， 请说明 ∠APB=∠PAC+∠PBD 。 （ 2 ） 当动点 P 落在 Ⅱ 时， ∠APB=∠PAC+∠PBD 是否成立？ （直接回答 “成立” 或 “不 成立”） （ 3 ） 当动点 P 落在 Ⅲ 时， 全面探究 ∠APB ， ∠PAC ， ∠PBD 之间的关系， 并写出动点 P 的具体位置和相应的结论， 选择其中一种结论加以说明。 （在其余图形中画出相应图形） A P C DB Ⅳ Ⅱ Ⅲ Ⅰ A C DB Ⅳ Ⅱ Ⅲ Ⅰ A C DB Ⅳ Ⅱ Ⅲ Ⅰ A C DB Ⅳ Ⅱ Ⅲ Ⅰ 第 11 题图 图 1 图 2 图 3 图 4 B C D B C D F A E A E 第 10 题图 51 七年级下册 （北师大版）数学 * 12. 根据以下素材， 探索完成任务。 探究平行线在一副三角尺中的运用 素材背景 亲爱的同学们， 学习数学要求我们 “用数学的眼光观察现实世界”。 一副三角尺为我们观察世 界提供一个小小的窗口， 学完平行线的性质， 可探究三角尺摆放位置不同时所涉及的数学问题 素材 如图 1 是一副三角尺， ∠C＝∠F＝90° ， ∠A＝∠B＝45° ， ∠D＝30° ， ∠E＝60° 问题解决 任务图 任务 1 如图 2 ， 将两个三角尺如图摆放， 使点 A 与点 F 重合， 点 E 在 AC 上， AB 与 DE 相交于点 G ， 求 ∠BGD 的度数 （提示： 过点 G 作 GH∥DF ） 任务 2 如图 3 ， 将三角尺 ABC 的直角顶点放在直线 MN 上， 使 AB∥MN ， 三角尺 DEF 的顶点 E 在直 线 MN 上， DF 与 AB 相交于点 P ， 则 ∠DEM 与 ∠DPB 有怎样的数量关系？ 请说明理由 任务 3 将三角尺 DEF 固定不动， 改变三角尺 ABC 的摆放位置， 但始终保持两个三角尺的顶点 C ， F 重合， 当点 A 在直线 EC 的下方时， 探究这两块三角尺一组边互相平行的情况， 请直接写出 ∠ACE 角度所有可能的值 （如图 4 提供了其中一种情况） A B C D E F 图 1 图 2 图 3 A （ F ） D E G C B M E C N F A P B D C （ F ） E D B A 图 4 52 相交线与平行线 第二章 中考链接 真题演练 13. （ 2024 ·乐山） 如图， 两条平行线 a ， b 被第三条直线 c 所截。 若 ∠1=60° ， 那么 ∠2= 。 14. （ 2023 ·威海） 某些灯具的设计原理与抛物线有关。 如图， 从点 O 照射到抛物线上的 光线 OA 、 光线 OB 等反射后都沿着与 POQ 平行的方向射出。 若 ∠AOB=150° ， ∠OBD=90° ， 则 ∠OAC= 。 15. （ 2024 ·呼和浩特） 如图， 直线 l 1 和 l 2 被直线 l 3 和 l 4 所截， ∠1=∠2=130° ， ∠3=75° ， 则 ∠4 的度数为 （ ） A． 75° B． 105° C． 115° D． 130° 16. （ 2023 ·鄂州） 如图， 直线 AB∥CD ， GE⊥EF 于点 E 。 若 ∠BGE=60° ， 则 ∠EFD 的度 数是 （ ） A． 60° B． 30° C． 40° D． 70° 17. （ 2024 ·达州） 当光线从空气射入水中时， 光线的传播方向发生了 改变， 这就是光的折射现象 （如图所示）， 图中 ∠1=80° ， ∠2=40° ， 则 ∠3 的度数为 （ ） A． 30° B． 40° C． 50° D． 70° 18. （ 2024 ·潍坊） 一种路灯的示意图如图所示， 其底部支架 AB 与吊线 FG 平行， 灯杆 CD 与底部支架 AB 所成锐角 α=15° 。 顶部支架 EF 与灯杆 CD 所成 锐角 β=45° ， 则 EF 与 FG 所成锐角的度数为 （ ） A． 60° B． 55° C． 50° D． 45° 19. （ 2021 ·武汉） 如图， AB∥CD ， ∠B＝∠D ， 直线 EF 与 AD ， BC 的延长 线分别交于点 E ， F 。 求证： ∠DEF＝∠F 。 D F A B C E 第 19 题图 E G A B C D F O P Q C D B A 第 14 题图第 13 题图 第 15 题图 a b c 1 2 1 l 1 l 2 l 3 l 4 4 2 3 第 16 题图 1 3 2 第 17 题图 A β F G D E B C α 第 18 题图 53 参考答案与提示 EF ， 所以 ∠2=∠CGE 。 所以 ∠1=∠2 。 （ 3 ） ∠1＋∠2=180° ， 如图所示。 选图 1 的理由： 因为 AB∥DE ， 所以 ∠1+∠BGE=180° 。 因为 BC∥DF ， 所以 ∠2=∠BGE 。 所以 ∠1＋∠2=180° 。 选图 2 的理由： 因为 AB∥DF ， 所以 ∠DGC=∠1 。 因为 ED∥BC ， 所以 ∠2+∠DGC=180° 。 所以 ∠1+∠2=180° 。 （ 4 ） 这两个角相等或互补 14. 109° 15. B 16. A 3 平行线的性质 （第 2 课时） 1． 95° 2. 50° 3. B 4. 70° ， 110° 5. C 6． 解： 成立。 因为 ∠1=∠2 ， 所以 l 1 ∥l 2 。 所以 ∠3=∠5 。 又因为 ∠4+∠5=180° ， 所以 ∠3+∠4=180° 。 7. 解： 因为 AB∥CD ， 所以 ∠ABC=∠BCD 。 又因为 ∠1=∠2 ， 所以 ∠ABC-∠1=∠BCD-∠2 ， 即 ∠MBC=∠NCB 。 所以 BM∥CN 。 8． 解 ： （ 1 ） 如图 ， 过点 E 作 EF∥AB ， 所以 ∠B=∠BEF 。 因为 ∠BED= ∠BEF+∠FED ， ∠BED=∠B +∠D ， 所以 ∠FED=∠D 。 所以 EF∥CD 。 所以 AB∥CD 。 （ 2 ） 如图， 过点 E 作 EF∥AB ， 所以 ∠B=∠BEF 。 又因为 AB∥CD ， 所以 EF∥CD 。 所以 ∠FED=∠D 。 因为 ∠BED=∠BEF+∠FED ， 所以 ∠BED=∠B+∠D 。 9． 解 ： 因为 AD∥BC ， 所以 ∠A+∠ABC= 180° 。 又因为 DA⊥AB ， 所以 ∠ABC=∠A=90° 。 因为 ∠ABD＝30° ， 所以 ∠CBD＝60° 。 因为 AD∥BC ， 所以 ∠ADB= ∠CBD＝60° 。 因为 ∠ADB=∠BDC= 1 2 ∠ADC ， 所以 ∠ADC=120° 。 10. 解： BF 平行于同一条直线的两条直线平 行 ∠CBF 两直线平行， 同旁内角互补 90 垂直的定义 ∠ABF 270 * 11． 解： （ 1 ） 理由： 如图 1 ， 过点 P 作 PE∥AC ， 则 ∠PAC=∠1 。 又因为 AC∥BD ， 所以 PE∥BD 。 所以 ∠PBD=∠2 。 所以 ∠1+∠2=∠PAC+∠PBD 。 又 因为 ∠APB=∠1+∠2 ， 所以 ∠APB=∠PAC+∠PBD 。 （ 2 ） 不成立。 （ 3 ） 如图 2 ， 当动点 P 在射线 BA 的右侧 时， 结论是 ∠PBD=∠PAC+∠APB ； 如图 3 ， 当动点 P 在射线 BA 上时， ∠PBD=∠PAC+∠APB ， ∠PAC=∠PBD+ ∠APB 或 ∠APB=0° ， ∠PBD=∠PAC （任写一个即可）； 如图 4 ， 当动点 P 在射线 BA 的左侧时， ∠PAC=∠PBD+ ∠APB 。 选择如图 2 ， 理由： 过点 P 作 EP∥AC ， 所以 ∠EPA=∠PAC 。 因为 AC∥BD ， 所以 EP∥BD 。 所以 ∠PBD= ∠EPB 。 因为 ∠EPB=∠EPA+∠APB ， 所以 ∠PBD=∠PAC+∠APB 。 选择如图 3 ， 理由： 因为动点 P 在射线 BA 上， 所以 ∠APB=0° 。 又因为 ∠PAC=∠PBD ， 所以 ∠PBD =∠PAC+∠APB ， ∠PAC=∠PBD +∠APB 或 ∠APB=0° ， ∠PBD=∠PAC 。 选择如图 4 ， 理由： 过点 P 作 PE∥AC ， 所以 ∠APE+∠PAC=180° 。 因为 AC∥BD ， 所以 PE∥BD 。 所以 ∠EPB+∠PBD=180° 。 所以 ∠PAC+∠APE=∠EPB+∠PBD 。 所以 ∠PAC=∠EPB-∠APE+∠PBD=∠APB+∠PBD 。 * 12. 解： 任务 1 ： 如图 1 ， 过点 G 作 GH∥DF ， 因为 ∠C=90° ， ∠DFE=90° ， ∠B=45° ， ∠D=30° ， 所以 ∠C+∠DFE=180° 。 所以 BC∥DF 。 又因为 GH∥DF ， 所以 ∠HGD=∠D=30° ， ∠BGH=∠B= 45° 。 所以 ∠BGD=∠HGD+∠BGH=30°+45°=75° 。 任务 2 ： ∠DEM- ∠DPB=30° 。 理由 ： 如图 2 ， 过点 D 作 DH∥MN ， 因为 AB∥MN ， 所以 DH∥AB∥MN ， 所以 ∠HDE=∠DEM ， ∠HDP=∠DPB 。 因为 ∠HDE-∠HDP=∠EDF ， ∠EDF=30° ， 所以 ∠DEM-∠DPB=30° 。 任 务 3 ： ∠ACE 角度的所有可能值是 135° 或 150° 或 60° 或 45° 或 15° 。 １3． 120° 14. 60° 15. B 16. B 17. B 18. A １9． 解 ： 因为 AB∥CD ， 所以 ∠DCF＝∠B 。 因为 ∠B＝∠D ， 所以 ∠DCF＝∠D 。 所以 AD∥BC 。 所以 ∠DEF＝∠F 。 第三章 概 率 初 步 1 感受可能性 1. ②⑤ ④ ①③ 2. 不确定或随机 不可能或确定 3. 白球 4. 大 5. 买到座位号是偶数 6. 不及格 7. ③②①④⑤ 8. C 9. D 10. C 11. B 12. 解： （ 1 ） 可能。 理由： 由于 100 个产品中， 既含有正品， 也含有 次品， 因此取出的产品可能是次品。 （ 2 ） 正品的可能性大。 理由： 由于 100 个产品中， 有 10 个是次品， 则有 90 个是正品， 因此取出的产品为正品的可能性大。 （ 3 ） “正品数量多” 这一事件的可能性大。 理由： 由 （ 2 ） 可知， 100 个产品中， 正品的数量大于次品的数量， 因此从中取出 10 个产品， 在这 10 个产品中， “正品数量多” 这一事件的可能性大。 13. 解： （ 1 ） 指向阴影区域的可能性小， 指向白色区域的可能性大。 理由： 因为白色区 域的面积比阴影区域的面积大， 所以指针指向阴影区域的可能性比指针指向白色区域的可能性小。 （ 2 ） 两人 获胜的可能性一样。 理由： 将一枚硬币掷两次， 有 （正， 正）， （正， 反）， （反， 反）， （反， 正） 4 种情况， 两 次朝上的面相同的有 2 种， 两次朝上的面不同的有 2 种， 所以两人获胜的可能性一样。 14. A 15. D 2 频率的稳定性 （第 1 课时） 1． 解： （ 1 ） 0.650 0.620 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （ 2 ） 折线统计图略。 （ 3 ） 当试验次数很 大时， 摸到白球的频率会在 0.6 附近摆动， 即摸到白球的频率具有稳定性。 2. 解： （ 1 ） x＝1 000-412-388＝200 （条）。 （ 2 ） ① 选择 A 酒店获得良好的用餐体验的可能性为 412+388 1 000 ＝0.8 ， 选择 B 酒店获得良好的用餐体验的 H G C B E A （ F ） D D N M H P F A B C E 图 1 图 2 第 12 题答图 第 11 题答图 图 1 图 2 图 3 图 4 A P C DB Ⅳ Ⅱ Ⅲ Ⅰ 1 2 E A C DB Ⅳ Ⅱ Ⅲ Ⅰ P A C DB Ⅳ Ⅱ Ⅲ Ⅰ P E A C DB Ⅳ Ⅱ Ⅲ Ⅰ P E E A C B D F 第 8 题答图 177