3 平行线的性质(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

七年级下册 （北师大版）数学 互为余角 ， 所以 ∠BOC+∠BOD=90° 。 因为 ∠BOC=4∠BOD ， 所以 ∠BOC= 4 5 ×90°=72° 。 （ 2 ） 因为 ∠AOC 与 ∠BOC 互为补角， 所以 ∠AOC+∠BOC=180° 。 所以 ∠AOC=180°-∠BOC=180°-72°=108° 。 因为 OE 平分 ∠AOC ， 所 以 ∠COE= 1 2 ∠AOC= 1 2 ×108°=54° 。 所以 ∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126° 。 9． （ 1 ） 2 （ 2 ） 6 （ 3 ） 12 （ 4 ） n （ n-1 ） １０. 35° １1. D 12. B １3. C 1 两条直线的位置关系 （第 2 课时） 1. 垂直 2. 5.13 3. C 4. C 5. C 6. 解： 如图， AD⊥BC 。 7. 解： 如图， 沿着 OE 的方向跑， 最短 的距离为 OE 的长 。 8. 解 ： （ 1 ） 因为由平角定义 ∠AOB=180° ， ∠AOD ∶ ∠BOD=3 ∶ 1 ， 所以 ∠BOD=45° ， ∠AOD=135° 。 又因为 OD 平分 ∠BOC ， 所以 ∠COD=∠BOD=45° 。 所以 ∠AOC=∠AOD-∠COD=90° 。 （ 2 ） 因为 ∠AOC=90° ， 所以 AB⊥OC 。 9. B 2 探索直线平行的条件 （第 1 课时） 1． ∠BGC DE CG AB 2． AB DE BE CD 3． A 4． D 5. 解： AB∥CD 。 理由： 因为 ∠1+∠CGE= 180° ， ∠1=72° ， 所以 ∠CGE=108° 。 因为 ∠2=108° ， 所以 ∠2=∠CGE 。 所以 AB∥CD 。 6. 解： AB∥CE 。 理由： 因为 CD 平分 ∠ECF ， 所以 ∠ECD=∠FCD 。 因为 ∠ACB=∠FCD ， 所以 ∠ECD=∠ACB 。 因为 ∠B=∠ACB ， 所以 ∠B=∠ECD 。 所以 AB∥CE 。 7． 解： 因为 ∠1+∠2=180° ， ∠4+∠2=180° ， 所以 ∠1=∠4 。 又因为 ∠1=∠3 ， 所 以 ∠3=∠4 。 所以 CD∥EF 。 8. B 9. B 2 探索直线平行的条件 （第 2 课时） 1． （ 1 ） DE BC AB 同位 （ 2 ） AB AC DE 同位 （ 3 ） DE BC AC 内错 （ 4 ） AB AC BC 同旁内 2． 答案不唯一， 如 ∠A=∠DCE ， ∠ECB=∠B ， ∠A+∠ECA=180° 。 3. 2 个 4． 120° 5． B 6. D 7. D 8. 解： 答案不唯一， 如因为 ∠1+∠2=180° ， ∠2+∠CNE =180° ， 所以 ∠1=∠CNE 。 所以 AB∥CD 。 9. 解： 因为 ∠1+∠2=90° ， ∠2+∠3 =90° ， 所以 ∠1=∠3 。 所以 a∥b 。 10． 解： 因为 AE ， CE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ACD ， 所 以 ∠BAC=2∠1 ， ∠ACD=2∠2 。 又因为 ∠1 与 ∠2 互余， 所以 ∠1+∠2=90° 。 所以 ∠BAC+∠ACD=2 （ ∠1+ ∠2 ） =180° 。 所以 AB∥CD 。 11. 解： l 1 ∥l 2 ∥l 3 ， l 4 ∥l 5 。 理由： 因为 ∠1=∠4 ， 所以 l 1 ∥l 2 。 因为 ∠2=∠3 ， ∠1+∠2=180° ， 所以 ∠3+∠1=180° ， 所以 l 2 ∥l 3 。 又因为 l 1 ∥l 2 ， 所以 l 1 ∥l 3 ， 即 l 1 ∥l 2 ∥l 3 。 因为 ∠2=∠3 ， 所以 l 4 ∥l 5 。 12. 解： 答案不 唯一： 比如： ∠CGM=42° 。 理由： 因为 EF⊥MN ， 所以 ∠EFN=90° 。 所以 ∠BFN=∠EFN-∠BFE=42° 。 所以 ∠CGM= ∠BFN 。 所以 AB∥CD 。 比如 ： ∠DGM=138° 。 理由 ： 因为 EF⊥MN ， 所以 ∠EFN=90° 。 所以 ∠BFN=∠EFN- ∠BFE=42° 。 所以 ∠BFN+∠DGM=42°+138°=180° 。 所以 AB∥CD 。 13. 解： （ 1 ） 因为 OA ， OB 分别平分 ∠COE 和 ∠DOE ， 所以 ∠AOC= 1 2 ∠COE ， ∠2= 1 2 ∠DOE 。 因为 ∠COE+∠DOE=180° ， 所以 ∠AOC+∠2= 1 2 （ ∠COE+∠DOE ） =90° 。 因为 ∠1+∠2=90° ， 所以 ∠AOC=∠1 。 所以 AB∥CD 。 （ 2 ） 因为 ∠2 ∶∠3=2 ∶ 5 ， ∠2= 1 2 ∠DOE ， 所以 ∠DOE ∶ ∠3=4 ∶ 5 。 因为 ∠DOE+∠3=180° ， 所以 4 5 ∠3+∠3= 9 5 ∠3=180° 。 所以 ∠3=100° 。 * 14. 解： （ 1 ） 作 ∠EPF 等于已 知的 ∠CAD 。 （ 2 ） 方法 1 ： 由作图可知， ∠EPF=∠CAD ， 所以 PF∥l 。 （内错角相等， 两直线平行） 方法 2 ： 由作图的条件可知， 在 △ABP 中， ∠BAP+∠ABP+∠APB=180° 。 又由作图可知 ， ∠EPF=∠BAP ， 所以 ∠EPF+ ∠ABP+∠APB=180° 。 因为 ∠EPF+∠APB=∠BPF ， 所以 ∠BPF+∠ABP=180° 。 所以 PF∥l 。 （同旁内角互补， 两直 线平行） １5. D １6. C 3 平行线的性质 （第 1 课时） 1. 50° 2． 60° 3. （ 1 ） ∠4 两直线平行， 内错角相等 （ 2 ） DC 两直线平行， 同位角相等 4. D 5． D 6. C 7. D 8. B 9. 解： 因为 AD∥BC ， 所以 ∠A=∠ABF 。 又因为 ∠A=∠C ， 所以 ∠ABF=∠C 。 所以 AB∥CD 。 10． 解： 因为 AD∥BC ， 所以 ∠B=∠EAD 。 因为 ∠B=∠D ， 所以 ∠EAD=∠D 。 所以 BE∥DF 。 所以 ∠E=∠F 。 11. 解： 因为 ∠1=32° ， DE 平分 ∠BDC ， 所以 ∠BDC=2∠1=64° 。 ∵AB∥CD ， 所以 ∠ABD+∠BDC=180° ， ∠ABF= ∠2 。 所以 ∠ABD=180°-∠BDC=116° 。 因为 BF 平分 ∠ABD ， 所以 ∠ABF= 1 2 ∠ABD=58° 。 所以 ∠2=58° 。 12. 解： ∠ABD+∠DEF-∠BDE=180° 。 理由： 因为 CD∥EF ， 所以 ∠DEF=∠CDE 。 因为 ∠CDE=∠CDB+∠BDE ， 所以 ∠CDB= ∠CDE-∠BDE 。 所以 ∠CDB=∠DEF-∠BDE 。 因为 AB∥ CD ， 所 以 ∠ABD +∠CDB =180° 。 所 以 ∠ABD +∠DEF - ∠BDE=180° 。 * 13． 解： （ 1 ） 相等 （或 ∠1=∠2 ） 理 由： 因为 AB∥EF ， 所以 ∠CGF=∠2 。 因为 BC∥DE ， 所 以 ∠CGF=∠1 。 所以 ∠1=∠2 。 （ 2 ） 相等 （或 ∠1=∠2 ） 理由 ： 因为 AB∥DE ， 所以 ∠1=∠CGE 。 因为 BC∥ O A B C D E 第 6 题答图 第 7 题答图 第 13 题答图 E G A F B C D 1 2 图 1 图 2 C F D G E 1 2 A B A B C D A B C D A B C D 176 参考答案与提示 EF ， 所以 ∠2=∠CGE 。 所以 ∠1=∠2 。 （ 3 ） ∠1＋∠2=180° ， 如图所示。 选图 1 的理由： 因为 AB∥DE ， 所以 ∠1+∠BGE=180° 。 因为 BC∥DF ， 所以 ∠2=∠BGE 。 所以 ∠1＋∠2=180° 。 选图 2 的理由： 因为 AB∥DF ， 所以 ∠DGC=∠1 。 因为 ED∥BC ， 所以 ∠2+∠DGC=180° 。 所以 ∠1+∠2=180° 。 （ 4 ） 这两个角相等或互补 14. 109° 15. B 16. A 3 平行线的性质 （第 2 课时） 1． 95° 2. 50° 3. B 4. 70° ， 110° 5. C 6． 解： 成立。 因为 ∠1=∠2 ， 所以 l 1 ∥l 2 。 所以 ∠3=∠5 。 又因为 ∠4+∠5=180° ， 所以 ∠3+∠4=180° 。 7. 解： 因为 AB∥CD ， 所以 ∠ABC=∠BCD 。 又因为 ∠1=∠2 ， 所以 ∠ABC-∠1=∠BCD-∠2 ， 即 ∠MBC=∠NCB 。 所以 BM∥CN 。 8． 解 ： （ 1 ） 如图 ， 过点 E 作 EF∥AB ， 所以 ∠B=∠BEF 。 因为 ∠BED= ∠BEF+∠FED ， ∠BED=∠B +∠D ， 所以 ∠FED=∠D 。 所以 EF∥CD 。 所以 AB∥CD 。 （ 2 ） 如图， 过点 E 作 EF∥AB ， 所以 ∠B=∠BEF 。 又因为 AB∥CD ， 所以 EF∥CD 。 所以 ∠FED=∠D 。 因为 ∠BED=∠BEF+∠FED ， 所以 ∠BED=∠B+∠D 。 9． 解 ： 因为 AD∥BC ， 所以 ∠A+∠ABC= 180° 。 又因为 DA⊥AB ， 所以 ∠ABC=∠A=90° 。 因为 ∠ABD＝30° ， 所以 ∠CBD＝60° 。 因为 AD∥BC ， 所以 ∠ADB= ∠CBD＝60° 。 因为 ∠ADB=∠BDC= 1 2 ∠ADC ， 所以 ∠ADC=120° 。 10. 解： BF 平行于同一条直线的两条直线平 行 ∠CBF 两直线平行， 同旁内角互补 90 垂直的定义 ∠ABF 270 * 11． 解： （ 1 ） 理由： 如图 1 ， 过点 P 作 PE∥AC ， 则 ∠PAC=∠1 。 又因为 AC∥BD ， 所以 PE∥BD 。 所以 ∠PBD=∠2 。 所以 ∠1+∠2=∠PAC+∠PBD 。 又 因为 ∠APB=∠1+∠2 ， 所以 ∠APB=∠PAC+∠PBD 。 （ 2 ） 不成立。 （ 3 ） 如图 2 ， 当动点 P 在射线 BA 的右侧 时， 结论是 ∠PBD=∠PAC+∠APB ； 如图 3 ， 当动点 P 在射线 BA 上时， ∠PBD=∠PAC+∠APB ， ∠PAC=∠PBD+ ∠APB 或 ∠APB=0° ， ∠PBD=∠PAC （任写一个即可）； 如图 4 ， 当动点 P 在射线 BA 的左侧时， ∠PAC=∠PBD+ ∠APB 。 选择如图 2 ， 理由： 过点 P 作 EP∥AC ， 所以 ∠EPA=∠PAC 。 因为 AC∥BD ， 所以 EP∥BD 。 所以 ∠PBD= ∠EPB 。 因为 ∠EPB=∠EPA+∠APB ， 所以 ∠PBD=∠PAC+∠APB 。 选择如图 3 ， 理由： 因为动点 P 在射线 BA 上， 所以 ∠APB=0° 。 又因为 ∠PAC=∠PBD ， 所以 ∠PBD =∠PAC+∠APB ， ∠PAC=∠PBD +∠APB 或 ∠APB=0° ， ∠PBD=∠PAC 。 选择如图 4 ， 理由： 过点 P 作 PE∥AC ， 所以 ∠APE+∠PAC=180° 。 因为 AC∥BD ， 所以 PE∥BD 。 所以 ∠EPB+∠PBD=180° 。 所以 ∠PAC+∠APE=∠EPB+∠PBD 。 所以 ∠PAC=∠EPB-∠APE+∠PBD=∠APB+∠PBD 。 * 12. 解： 任务 1 ： 如图 1 ， 过点 G 作 GH∥DF ， 因为 ∠C=90° ， ∠DFE=90° ， ∠B=45° ， ∠D=30° ， 所以 ∠C+∠DFE=180° 。 所以 BC∥DF 。 又因为 GH∥DF ， 所以 ∠HGD=∠D=30° ， ∠BGH=∠B= 45° 。 所以 ∠BGD=∠HGD+∠BGH=30°+45°=75° 。 任务 2 ： ∠DEM- ∠DPB=30° 。 理由 ： 如图 2 ， 过点 D 作 DH∥MN ， 因为 AB∥MN ， 所以 DH∥AB∥MN ， 所以 ∠HDE=∠DEM ， ∠HDP=∠DPB 。 因为 ∠HDE-∠HDP=∠EDF ， ∠EDF=30° ， 所以 ∠DEM-∠DPB=30° 。 任 务 3 ： ∠ACE 角度的所有可能值是 135° 或 150° 或 60° 或 45° 或 15° 。 １3． 120° 14. 60° 15. B 16. B 17. B 18. A １9． 解 ： 因为 AB∥CD ， 所以 ∠DCF＝∠B 。 因为 ∠B＝∠D ， 所以 ∠DCF＝∠D 。 所以 AD∥BC 。 所以 ∠DEF＝∠F 。 第三章 概 率 初 步 1 感受可能性 1. ②⑤ ④ ①③ 2. 不确定或随机 不可能或确定 3. 白球 4. 大 5. 买到座位号是偶数 6. 不及格 7. ③②①④⑤ 8. C 9. D 10. C 11. B 12. 解： （ 1 ） 可能。 理由： 由于 100 个产品中， 既含有正品， 也含有 次品， 因此取出的产品可能是次品。 （ 2 ） 正品的可能性大。 理由： 由于 100 个产品中， 有 10 个是次品， 则有 90 个是正品， 因此取出的产品为正品的可能性大。 （ 3 ） “正品数量多” 这一事件的可能性大。 理由： 由 （ 2 ） 可知， 100 个产品中， 正品的数量大于次品的数量， 因此从中取出 10 个产品， 在这 10 个产品中， “正品数量多” 这一事件的可能性大。 13. 解： （ 1 ） 指向阴影区域的可能性小， 指向白色区域的可能性大。 理由： 因为白色区 域的面积比阴影区域的面积大， 所以指针指向阴影区域的可能性比指针指向白色区域的可能性小。 （ 2 ） 两人 获胜的可能性一样。 理由： 将一枚硬币掷两次， 有 （正， 正）， （正， 反）， （反， 反）， （反， 正） 4 种情况， 两 次朝上的面相同的有 2 种， 两次朝上的面不同的有 2 种， 所以两人获胜的可能性一样。 14. A 15. D 2 频率的稳定性 （第 1 课时） 1． 解： （ 1 ） 0.650 0.620 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （ 2 ） 折线统计图略。 （ 3 ） 当试验次数很 大时， 摸到白球的频率会在 0.6 附近摆动， 即摸到白球的频率具有稳定性。 2. 解： （ 1 ） x＝1 000-412-388＝200 （条）。 （ 2 ） ① 选择 A 酒店获得良好的用餐体验的可能性为 412+388 1 000 ＝0.8 ， 选择 B 酒店获得良好的用餐体验的 H G C B E A （ F ） D D N M H P F A B C E 图 1 图 2 第 12 题答图 第 11 题答图 图 1 图 2 图 3 图 4 A P C DB Ⅳ Ⅱ Ⅲ Ⅰ 1 2 E A C DB Ⅳ Ⅱ Ⅲ Ⅰ P A C DB Ⅳ Ⅱ Ⅲ Ⅰ P E A C DB Ⅳ Ⅱ Ⅲ Ⅰ P E E A C B D F 第 8 题答图 177 七年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图 ， AB∥CD ， AF 分别交 AB ， CD 于点 A ， C ， CE 平分 ∠DCF ， ∠1＝100°， 求∠2 的度数。 【分析】 先根据平行线的性质求得 ∠DCF 的度数， 再根据角平分线的性 质即可求得结果。 【解答】 因为 AB∥CD ， 所以 ∠DCF=∠1＝100° 。 因为 CE 平分 ∠DCF ， 所以 ∠2= 1 2 ∠DCF= 1 2 ×100°=50° 。 【点拨】 本题考查的是平行线、 角平分线的性质， 解答本题的关键是掌握平行线的 性质。 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 已知直线 a∥b ， ∠1=50° ， 则 ∠2= 。 2. 如图， 当直线 a∥b 时， ∠1= 。 3. （ 1 ） 如图， 因为 AB∥DC ， 所以 ∠3= ， 理由是 。 （ 2 ） 如图， 因为 AB∥ ， 所以 ∠5=∠ABC ， 理由是 。 4. 如图， 已知点 B ， C ， E 在同一直线上， 且 DE∥AB ， 若 ∠A=60° ， ∠B=40° ， 则 ∠AEC 为 （ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 5. 如图， 已知 a∥b ， 且 a ， b 都与 c 相交， 在结论： ①∠1=∠2 ， ②∠3= ∠6 ， ③∠4+∠7=180° ， ④∠7+∠8=180° 中， 正确的结论有 （ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 6. 如图， 已知 AB∥CD∥EF ， 则 ∠BAC+∠ACE+∠CEF 等于 （ ） A. 180° B. 270° C. 360° D. 540° E F A B C D １ ２ 例题图 3 平行线的性质 （第 1课时） a b 1 2 A D C B 1 3 4 2 5 a b 1 50° 70° 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 A B D F E C 第 5 题图 第 6 题图 a b 1 3 5 7 6 2 4 8 c A D E B C 第 4 题图 46 相交线与平行线 第二章 7. 如图， 已知 ∠1=∠2=∠3=55° ， 则 ∠4 的度数是 （ ） A. 110° B. 115° C. 120° D. 125° 8. 如图， AB∥EF∥CD ， ∠ABC=46° ， ∠CEF=１５４° ， 则 ∠BCE 等于 （ ） A. 16° B. 20° C. 23° D. 26° 9. 如图， 已知 AD∥BC ， ∠A=∠C ， 试说明： AB∥CD 。 能力提升 综合拓展 10. 如图， AD∥BC ， ∠B=∠D ， 请说明： ∠E=∠F 。 11. 如图， AB∥CD ， ∠ABD 的平分线交 ∠BDC 的平分线于点 E ， 交 CD 于点 F ， ∠1= 32° ， 求 ∠2 的度数。 12. 如图， 直线 AB∥CD∥EF ， 根据图形猜想 ∠ABD ， ∠BDE ， ∠DEF 之间满足的等量 关系， 并说明理由。 A E D F B C 第 9 题图 2 3 4 1 第 7 题图 46° A B F DC 154° E 第 8 题图 E A B C F D 第 10 题图 A B E F D C 2 1 C A D F E B 第 11 题图 第 12 题图 47 七年级下册 （北师大版）数学 * 13. 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行， 结合图例， 请探索这两个角之间的 数量关系， 并说明理由。 （ 1 ） 如图 1 ， AB∥EF ， BC∥DE ， ∠1 与 ∠2 的数量关系是 。 理由： （ 2 ） 如图 2 ， AB∥DE ， BC∥EF ， ∠1 与 ∠2 的数量关系是 。 理由： （ 3 ） 请你再画出一种满足题目要求的两个角不同的位置关系 ［即与 （ 1 ） （ 2 ） 两种情况 不相同］， 并探究这两个角的数量关系。 （ 4 ） 由 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 你得出的结论： 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行， 那么 。 中考链接 真题演练 14. （ 2024 ·广州） 如图， 直线 l 分别与直线 a ， b 相交， a∥b ， 若 ∠1=71° ， 则 ∠2 的度数 为 。 15. （ 2024 ·湖北） 如图， 一条公路的两侧铺设了 AB ， CD 两条平行管道， 并有纵向管道 AC 连通， 若 ∠1=120° ， 则 ∠2 的度数是 （ ） A． 50° B． 60° C． 70° D． 80° 16. （ 2024 ·福建） 在同一平面内， 将直尺、 含 30° 角的三角尺和木工角尺 （ CD⊥DE ） 按 如图方式摆放， 若 AB∥CD ， 则 ∠1 的大小为 （ ） A． 30° B． 45° C． 60° D． 75° C D E G B F A 1 2 E G A F B C D 1 2 图 1 图 2 第 13 题图 a b l 2 1 A C B D 2 1 A C B D E 1 第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图 48