3乘法公式(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

七年级下册 （北师大版）数学 （ 4 ） -2a 3 b 3 （ x-y ） 5 或 2a 3 b 3 （ y-x ） 5 8. 解： （ 1 ） 原式 =4m 4 n 2 + 1 3 m 4 n 2 = 13 3 m 4 n 2 。 （ 2 ） 原式 =3x 3 y 3 · - 2 3 x 2 y y " 2 - 1 27 x 6 y 3 · 9xy 2 =-2x 5 y 5 - 1 3 x 7 y 5 。 （ 3 ） 原式 =4 （ a-b ） 2 ·（ a-b ） 4 ·（ a-b ） 3 ·（ a-b ） 3 =4 （ a-b ） 6 - （ a-b ） 6 =3 （ a-b ） 6 。 （ 4 ） 原式 = -36× 1 3 y " （ m 2 · m ）（ n 2 · n 2 ）［（ y-x ） 2 ·（ y-x ） 3 ］ =-12m 3 n 4 （ y-x ） 5 =12m 3 n 4 （ x-y ） 5 。 9. 解： 因为 （ 2a m+1 b n+2 ） 1 2 a 2n-1 b 2m y " = 2× 1 2 y " （ a m+1 · a 2n-1 ）（ b n+2 · b 2m ） =a m+1+2n-1 b n+2+2m =a m+2n b 2m+n+2 ， 所以 a m+2n b 2m+n+2 =a 5 b 3 。 所以 m+2n=5 ， 2m+n+2=3 ， 即 m+2n= 5 ， 2m+n=1 。 所以 3m+3n=6 。 所以 m+n=2 。 10. 3m 2 11. D 12. C 2 整式的乘法 （第 2 课时） 1. 3x 2 -6x 3 2. -4a 3. -28 4. 3 5. -7 6. B 7. A 8. D 9. C 10. B 11. C 12. A 13. D 14. B 15. （ 1 ） - 3 2 x+ 3 2 x 2 -6x 3 +3x 5 （ ２ ） - 1 3 a 3 b 2 + 2 3 a 4 b 3 - 1 5 ab （ ３ ） ３６x n y n+1 -24x n+1 y n+3 +12x n y 2 （ ４ ） 12a 4 b 5 -8a 3 b 5 -16a 2 b 7 （ 5 ） 2x 2 +24y 2 -14xy （ 6 ） 12 （ 7 ） -x 3 +4x （ 8 ） 4x 2 +17xy-10y 2 16. 解： （ 1 ） 原式 =2x-6x 2 +6x 2 +9x-8x-12= 3x-12 ， 当 x=- 1 3 时， 原式 =- 1 3 ×3-12=-1-12=-13 。 （ 2 ） 原式 =2x 2 +x-2x-1- （ x 2 -5x+2x-10 ） =2x 2 -x-1-x 2 +3x+10= x 2 +2x+9 。 因为 x 2 +2x+2=0 ， 所以 x 2 +2x=-2 。 所以原式 =-2+9=7 。 （ 3 ） 原式 =4x 2 +2xy+3xy+x 2 -3y 2 -xy+3y 2 =5x 2 +4xy 。 将 x=-2 ， y=2 代入， 原式 =5× （ -2 ） 2 +4× （ -2 ） ×2=4 。 17. 解： （ 1 ） 绿化带的总面积 = （ 2a+b ）（ 3a+2b ） - （ 2a ） 2 =6a 2 +4ab+ 3ab+2b 2 -4a 2 =2a 2 +7ab+2b 2 。 答： 广场上绿化带的总面积是 （ 2a 2 +7ab+2b 2 ） m 2 。 （ 2 ） 把 a=10 ， b=5 代入， 得 2a 2 + 7ab+2b 2 =2×10 2 +7×10×5+2×5 2 =600 （ m 2 ）。 答： 广场上绿化带的总面积是 600 m 2 。 18. 解： 原式 = -4a 3 b 3 +6a 2 b 2 - 8ab=-4 （ ab ） 3 +6 （ ab ） 2 -8ab=-4×5 3 +6×5 2 -8×5=-500+150-40=-390 。 * 19. 解： （ 1 ） （ 2a+b ）（ a+2b ） =2a 2 +5ab+2b 2 。 （ 2 ） 画图如图 1 所示 （答案不唯一）。 （ 3 ） 恒等式是 （ a+2b ）（ a+b ） =a 2 + 3ab+2b 2 ， 如图 2 所示 （答案不唯一）。 * 20. 解： （ 1 ） ∵ （ x+ 3 ）（ x+7 ） - （ x+4 ）（ x+6 ） =x 2 +10x+21-x 2 -10x-24=-3 ， ∴|-3|=3 。 ∴ 该 组平衡多项式的平衡因子是 3 。 （ 2 ） 多项式 x-1 ， x-2 ， x- 4 ， x-5 是一组平衡多项式。 ∵ （ x-1 ）（ x-5 ） - （ x-2 ）（ x-4 ） =x 2 -6x+ 5-x 2 +6x-8=-3 ， ∴ 该组平衡多项式的平衡因子是 |-3|=3 。 （ 3 ） 若多项式 x+2 ， x-4 ， x+1 ， x+m （ m 是常数） 是一组平衡 多项式， 有三种情况： ① （ x+2 ）（ x-4 ） - （ x+1 ）（ x+m ） =x 2 -2x-8-x 2 - （ 1+m ） x-m 。 ∵ 是一组平衡多项式， ∴-2- （ 1+m ） =0 。 ∴m=-3 。 ② （ x+2 ）（ x+1 ） - （ x-4 ）（ x+m ） =x 2 +3x+2-x 2 - （ m-4 ） x+4m 。 ∵ 是一组平衡多项式， ∴3- （ m-4 ） =0 。 ∴m=7 。 ③ （ x+2 ）（ x+m ） - （ x+1 ）（ x-4 ） =x 2 + （ 2+m ） x+2m-x 2 +3x+4 。 ∵ 是一组平衡多项式， ∴2+m+3=0 。 ∴m=-5 。 综上所述， m 的值为 -3 或 7 或 -5 。 21. D 22. D 23. C 24. 解： 原式 =x 2 +2x-x-2-3x+3=x 2 -2x+1 。 3 乘法公式 （第 1 课时） 1. （ 1 ） 4a 2 -b 2 （ 2 ） 1-16a 2 （ 3 ） x 2 -y 2 2. a b-1 3. x 4 - 1 16 4. -2y+5x 5. 27 6. 2 7. 8 4 8. A 9. D 10. C 11. D 12. B 13. （ 1 ） 1－9x 2 （ 2 ） 4x 2 y 2 －9y 2 （ 3 ） 9x 4 y 2 －25a 2 b 2 （ 4 ） b 2 - 1 4 a 2 （ 5 ） 4 9 a 2 - 9 25 b 2 （ 6 ） －5m 2 +3t 2 14. 解： 原式 =3xy+x 2 +2y 2 。 当 x=-1 ， y= 1 2 时， 原式 =3× （ -1 ） × 1 2 + （ -1 ） 2 +2× 1 2 y " 2 =0 。 15. 解： （ 1 ） 原式 = （ x 2 -4y 2 ）（ x 2 +4y 2 ） - （ x 4 -y 4 ） =x 4 -16y 4 -x 4 +y 4 =-15y 4 。 （ 2 ） 原式 = （ x 2 -9y 2 ）（ x 2 +9y 2 ） + （ 9x 2 -y 2 ）（ 9x 2 +y 2 ） =x 4 -81y 4 + 81x 4 -y 4 =82x 4 -82y 4 。 16. 解： （ 2n+1 ） 2 - （ 2n-1 ） 2 =8n 。 左边 = （ 2n+1+2n-1 ）［（ 2n+1 ） - （ 2n-1 ）］ =8n= 右边。 17. 解： a 2 - 4b 2 = （ a+2b ）（ a-2b ）。 理由： 图 1 中阴影部分的面积等于 a 2 -4b 2 ， 图 2 中长方形的长为 （ a+2b ）， 宽为 （ a-2b ）， 因此 阴影部分的面积为 （ a+2b ）（ a-2b ）， 所以 a 2 -4b 2 = （ a+2b ）（ a-2b ）。 18. b 2 -a 2 19. -6 20. D 21. 解： 原式 = （ xy- 4x 2 ） + （ 4x 2 -y 2 ） =xy-4x 2 +4x 2 -y 2 =xy-y 2 。 当 x= 1 2 ， y=2 时， 原式 = 1 2 ×2-2 2 =1-4=-3 。 3 乘法公式 （第 2 课时） 1. 30 1 3 30 1 3 899 8 9 2. x 2n -y 2n+2 3. x 2 + 1 4 4. -5y-7x 5. D 6. B 7. A 8. （ 1 ） 3 599 （ 2 ） 99.99 （ 3 ） -8 999 999 （ 4 ） 9 999 9 25 9. 解： 原式 =x 2 -1+9x 2 -4=10x 2 -5 ， 因为 3 2x-2 =1 ， 所以 2x-2=0 。 所以 x=1 。 所 以原式 =10×1 2 -5=5 。 10. 解： 原因如下： 去年租给乙的土地面积为 a 2 ， 今年租给乙的土地面积为 （ a+5 ）（ a-5 ） = a 2 -25 ， 因为 a 2 >a 2 -25 ， 所以乙吃亏了。 * 11. 解： （ 1 ） a 2 -b 2 （ a+b ）（ a-b ） a 2 -b 2 = （ a+b ）（ a-b ） （ 2 ） ① 原式 = （ x 2 -4 ）（ x 2 +4 ） =x 4 -16 。 ② 由 （ 1 ） 知， 4m 2 -n 2 = （ 2m-n ）（ 2m+n ）。 又因为 2m-n=5 ， 2m+n=11 ， 所以原式 = （ 2m-n ）（ 2m+n ） = 5×11=55 。 （ 3 ） 原式 = （ 2-1 ）（ 2+1 ）（ 2 2 +1 ）（ 2 4 +1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1= （ 2 2 -1 ）（ 2 2 +1 ）（ 2 4 +1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1= （ 2 4 -1 ）（ 2 4 + 1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1= （ 2 8 -1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1= （ 2 16 -1 ）（ 2 16 +1 ） +1=2 32 -1+1=2 32 。 12. D 13. 解： 原式 =2m-m 2 +2m+m 2 - 9=4m-9 。 当 m= 5 2 时， 原式 =4× 5 2 -9=10-9=1 。 3 乘法公式 （第 3 课时） 1. （ 1 ） x 2 +4x+4 （ 2 ） 9a 2 +6ab+b 2 2. （ 1 ） x 2 -2xy+y 2 （ 2 ） x 2 -4xy+4y 2 3. -2xy 2xy 4. （ 1 ） 24xy （ 2 ） y 5. ±12 6. B 7. D 8. C 9. （ 1 ） -22ab-2b 2 （ 2 ） m 4 -18m 2 +81 １0． 解： 方案二： a 2 +ab+ （ a+b ） b=a 2 +ab+ab+b 2 =a 2 + 2ab+b 2 = （ a+b ） 2 。 方案三： a 2 + ［ a+ （ a+b ）］ b 2 + ［ a+ （ a+b ）］ b 2 =a 2 +ab+ 1 2 b 2 +ab+ 1 2 b 2 =a 2 +2ab+b 2 = （ a+b ） 2 。 11. 解： （ 1 ） 第 19 题答图 图 1 图 2 aaba 2 b 2 b 2 ab bba a b ab b 2 b b ab a b b 2 b 2 ab abab a 2 174 七年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 计算： （ -y-3xy ）（ -3xy+y ）。 【分析】 本题有两种思路： （ 1 ） 若将原式变形为 ［ - （ y+3xy ）］（ y-3xy ）， 可用平方差公式 计算； （ 2 ） 观察两因式中， 都有 －3xy ， 又有互为相反数的两项 y 和 －y ， 也可以直接用平方 差公式计算， 可得（ -3xy ） 2 -y 2 。 【解答】 方法 1 ： （ -y-3xy ）（ -3xy+y ） ＝ ［ - （ y+3xy ）］（ y-3xy ） ＝- ［ y 2 -(3xy ） 2 ］ ＝-y 2 +9x 2 y 2 ； 方法 2 ： （ -y-3xy ）（ -3xy+y ） ＝ ［（ -3xy ） -y ］［（ -3xy ） +y ］ ＝ （ -3xy ） 2 -y 2 ＝9x 2 y 2 -y 2 。 【点拨】 根据平方差公式的特征， 一般常见的变形有位置变化， 如（ a+b ）（ -b+a ）， 符号变 化， 系数变化； 还有一些较复杂的变形， 如 （ -a+b-c-d ）（ a-c+b+d ）， 两因式中都有 b-c ， 并 且 -a-d 与 a+d 互为相反数， 因此， 可以转化为平方差公式的结构特征， 即 ［（ b-c ） - （ a+d ）］· ［（ b-c ） + （ a+d ）］。 基础巩固 达标闯关 1. 计算： （ 1 ） （ b+2a ）（ 2a－b ） = ； （ 2 ） （ －4a－1 ）（ 4a－1 ） = ； （ 3 ） （ －x+y ）（ －x－y ） = 。 2. （ a－b+1 ）（ a+b－1 ） = （ ） 2 － （ ） 2 。 3. 计算： x+ 1 2 2 " x- 1 2 2 " x 2 + 1 4 2 " = 。 4. （ －5x－2y ）（ ） =4y 2 －25x 2 。 5. 已知 x+y=9 ， x－y=3 ， 则 x 2 －y 2 的值为 。 6. 已知 x 2 －y 2 =8 ， x+y=4 ， 则 x－y 的值为 。 7. 若（ a 2 +b ）（ a 4 +b 2 ）（ a 2 －b ） =a m －b n ， 则 m= ， n= 。 8. 下列各整式乘法能用平方差公式计算的是 （ ） A. （ －x－y ）（ x－y ） B. （ －x－y ）（ x+y ） C. （ x－y ）（ －x+y ） D. （ x+y ）（ x+y ） 9. 下列各式计算正确的是 （ ） A. （ x+3 ）（ x－3 ） =x 2 －3 B. （ 2x－3 ）（ 3－2x ） =4x 2 －9 C. （ 2x+3 ）（ x－3 ） =2x 2 －9 D. （ 5ab+1 ）（ 5ab－1 ） =25a 2 b 2 －1 10. 计算（ x－1 ）（ x+1 ）（ x 2 +1 ） － （ x 4 +1 ）的值是 （ ） A. 0 B. 2 C. －2 D. 2x 4 11. （ a+b ） 2 － （ a－b ） 2 的化简结果是 （ ） A. 0 B. －2ab C. 2ab D. 4ab 3 乘法公式 （第 1课时） 20 整式的乘除 第一章 能力提升 综合拓展 12. 下列各整式乘法不能转化为平方差公式形式的是 （ ） A. （ a+b+c ）（ a－b+c ） B. （ a－b+c ）（ －a+b－c ） C. （ a－b+c ）（ a+b－c ） D. （ －a+b+c ）（ －a－b－c ） 13. 计算： （ 1 ） （ 1-3x ）（ 3x+1 ）； （ 2 ） （ -2xy+3y ）（ -2xy-3y ）； （ 3 ） （ 5ab－3x 2 y ）（ －3x 2 y-5ab ）； （ 4 ） b+ 1 2 2 " a b- 1 2 2 " a ； （ 5 ） - 2 3 a+ 3 5 2 " b - 2 3 a- 3 5 2 " b ； （ 6 ） （ 2m+t ）（ 2m－t ） － （ 3m+2t ）（ 3m－2t ）。 14. 化简求值： （ 2x－y ）（ 2y+x ） － （ 2y－x ）（ －x－2y ）， 其中 x=－1 ， y= 1 2 。 15. 计算： （ 1 ） （ x+2y ）（ x－2y ）（ x 2 +4y 2 ） － （ x 2 －y 2 ）（ x 2 +y 2 ）； 21 七年级下册 （北师大版）数学 （ 2 ） （ x－3y ）（ x+3y ）（ x 2 +9y 2 ） + （ 3x+y ）（ 3x－y ）（ 9x 2 +y 2 ）。 16. 给出下列各算式： ①3 2 －1 2 =8=8×1 ； ②5 2 －3 2 =16=8×2 ； ③7 2 －5 2 =24=8×3 ； ④9 2 －7 2 =32=8× 4 ， …。 观察以上算式， 探究规律并用含有 n 的代数式 （ n 表示第 n 个式子） 表示这个规律， 请 用本章所学知识证明你的结论。 17. 如图 1 ， 边长为 a 的大正方形中有四个边长均为 b 的小正方形， 小华将阴影部分拼 成一个长方形 （如图 2 ）， 从图 1 、 图 2 的面积关系中你能得出什么等式？ 请说明理由。 中考链接 真题演练 18. （ 2024 ·上海） 计算： （ a+b ）（ b-a ） = 。 19. （ 2024 ·凉山州） 已知 a 2 -b 2 =12 ， 且 a-b=-2 ， 则 a+b= 。 20. （ 2024 ·遂宁） 下列运算结果正确的是 （ ） A． 3a-2a=1 B． a 2 · a 3 =a 6 C． （ -a ） 4 =-a 4 D． （ a+3 ）（ a-3 ） =a 2 -9 21. （ 2024 ·济宁） 先化简， 再求值： x （ y-4x ） + （ 2x+y ）（ 2x-y ）， 其中 x= 1 2 ， y=2 。 第 17 题图 图 1 图 2 b a b a 22