3 乘法公式(第4课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

整式的乘除 第一章 自主导学 典例精析 例题 1 计算： （ 2x-3y ） 2 + （ 2x-3y ）（ 2x+3y ） -3x （ 2x-3y ）。 【分析】 按运算顺序， 先算乘法， 再合并同类项即可得。 【解答】 原式 =4x 2 -12xy+9y 2 +4x 2 -9y 2 - （ 6x 2 -9xy ） =4x 2 -12xy+9y 2 +4x 2 -9y 2 -6x 2 +9xy=2x 2 -3xy 。 【点拨】 在整式运算时， 要先观察算式中包含哪些运算， 如果有不同级的运算， 那么要 根据混合运算顺序的规定， 先算乘除， 再算加减， 有括号要先算括号内的式子； 去括号时要 注意括号前是负号时， 原括号里的各项符号要改变。 例题 2 已知 a+b=7 ， ab=-9 ， 求下列各式的值： （ 1 ） a 2 +b 2 ； （ 2 ） a 2 -ab+b 2 。 【分析】 （ 1 ） 想要得到 a 2 +b 2 的值， 可将公式 （ a+b ） 2 =a 2 +2ab+b 2 ， 变形为 a 2 +b 2 = （ a+b ） 2 - 2ab ； （ 2 ） 由 a 2 +b 2 = （ a+b ） 2 -2ab ， 得 a 2 -ab+b 2 = （ a+b ） 2 -3ab 。 【解答】 （ 1 ） a 2 +b 2 = （ a+b ） 2 -2ab=7 2 -2× （ -9 ） =67 ； （ 2 ） a 2 -ab+b 2 = （ a+b ） 2 -3ab=7 2 -3× （ -9 ） =76 。 【点拨】 本题考查应用完全平方公式求代数式的值， 解题的关键是运用公式将代数式变 形为含有 （ a+b ）， ab 的形式， 然后整体代入求值。 基础巩固 达标闯关 1. 已知（ x+3 ） 2 =x 2 +6x+k－1 ， 则 k= 。 2. 已知（ a+b ） 2 =13 ， ab=1 ， 则（ a－b ） 2 = 。 3. 若（ x－2y ） 2 = （ x+2y ） 2 +A ， 则 A= 。 4. 计算： （ x+1 ） 2 （ x－1 ） 2 = 。 5. 若 （ y+a ） 2 =y 2 －y+b ， 则 a= ， b= 。 6. 已知 x+y=5 ， xy=3 ， 则 x 2 +5xy+y 2 = 。 7. 如果 4x 2 -kx+16 是一个完全平方式， 那么 k 的值是 （ ） A． 2 B． ±4 C． 8 D． ±16 8. 下列计算正确的是 （ ） A. （ a－b ） 2 =a 2 －b 2 B. （ a+3b ） 2 =a 2 +9b 2 C. （ b－a ）（ a+b ） =－a 2 +b 2 D. （ x－9 ）（ x+9 ） =x 2 －9 9. 若 （ x-100 ） 2 + （ x-102 ） 2 =6 ， 则 （ x-101 ） 2 的值为 （ ） A． 0 B． 2 C． 4 D． 6 10. 4 张长为 a 、 宽为 b （ a＞b ） 的长方形纸片， 按如图的方式拼成一 个边长为 （ a+b ） 的正方形， 图中空白部分的面积为 S 1 ， 阴影部分的面积 为 S 2 。 若 S 1 ＝2S 2 ， 则 a ， b 满足 （ ） 第 10 题图 b b b b a a a a 3 乘法公式 （第 4课时） 29 七年级下册 （北师大版）数学 A． 2a＝5b B． 2a＝3b C． a＝3b D． a＝2b 11. 用完全平方公式计算： （ 1 ） 87 2 ； （ 2 ） 504 2 。 能力提升 综合拓展 12. 计算： （ 1 ） x 2 + ! " 5 2 - x 2 - ! " 5 2 ； （ 2 ） （ m+n ）（ m-n ）（ m 2 +n 2 ）（ m 4 -n 4 ）； （ 3 ） 3a+ 1 2 b+ ! " 4 3a+ 1 2 b- ! " 4 ； （ 4 ） 3 （ m+1 ） 2 －5 （ m+1 ）（ m－1 ） +2 （ m－1 ） 2 。 13. 【发现】 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数， 且该偶数 的一半也可以表示为两个正整数的平方和。 【验证】 如 （ 2+1 ） 2 + （ 2-1 ） 2 =10 为偶数。 请把 10 的一半表示为两个正整数的平方和。 【探究】 设 【发现】 中的两个已知正整数为 m ， n ， 请论证 【发现】 中的结论正确。 中考链接 真题演练 14. （ 2023 ·江西） 化简： （ a+1 ） 2 -a 2 = 。 15. （ 2023 ·宿迁） 若实数 m 满足 （ m-2 023 ） 2 + （ 2 024-m ） 2 =2 025 ， 则（ m-2 023 ）（ 2 024- m ） = 。 30 参考答案与提示 9 个方格中填上相应的代数式如图 1 。 因为大正方形的面积为 （ a+b+c ） 2 ， 9 个长方形的面积和为 a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+ 2ac ， 所以 （ a+b+c ） 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ac 。 （ 2 ） 如图 2 ， 因为大正方形的面积为 （ a+b+c+d ） 2 ， 16 个长方形的 面积和为 a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd ， 所以 （ a+b+c+d ） 2 =a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 。 （ 3 ） 因为大正方体的体积为 （ a+b ） 3 ， 分割为 8 个长方体， 这 8 个长方体的体积和为 a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 ， 所以 （ a+b ） 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 。 * 12. 解： （ 1 ） 由题意， 得 F （ x ， y ） +H （ kx ， y ） ＝x 2 +y 2 -kxy 。 因为 F （ x ， y ） +H （ kx ， y ） 是一个完全 平方式， 所以 -k＝±2 ， 即 k＝±2 。 （ 2 ） 因为 F （ 2x+3y ， 2x-3y ） +H （ 7 ， x 2 +2y 2 ） ＝13 ， 所以（ 2x+3y ） 2 + （ 2x-3y ） 2 -7 （ x 2 +2y 2 ） ＝13 。 所以 x 2 +4y 2 ＝13 。 因 为 x+2y＝5 ， 所以 x 2 +4xy+4y 2 ＝25 。 所以 4xy+13＝25 。 所以 xy＝3 。 所以 （ x-2y ） 2 ＝x 2 -4xy+4y 2 ＝13-12＝1 。 （ 3 ） 因为 S 梯形 ABCD -S △ABE ＝2 ， 所以 1 2 · nx ·（ x+y ） - 1 2 AD · EF＝2 。 所以 nx （ x+y ） -y · 4ny＝4 ， 即 nx 2 +nxy-4ny 2 ＝4 。 由 （ 2 ） 知： xy＝3 ， x-2y＝±1 ， x+2y＝5 ， 所以当 x-2y＝1 时， 3n+n （ x+2y ）（ x-2y ） ＝ 4 ， 即 3n+5×1×n＝4 。 所以 n＝ 1 2 。 当 x-2y＝-1 时， 3n+n （ x+2y ）（ x-2y ） ＝ 4 ， 即 3n+5× （ -1 ） ×n＝4 。 ∴n＝-2 。 综上， n 的值是 1 2 或 -2 。 13. 29 14. 解： 原式 =x 2 +2xy+y 2 +x 2 -2xy=2x 2 +y 2 ， 当 x=1 ， y=-2 时， 原式 =2×1 2 + （ -2 ） 2 =6 。 15. 解： （ 1 ） 由图可知 S 1 ＝ （ a+ 2 ）（ a+1 ） ＝a 2 +3a+2 ， S 2 ＝ （ 5a+1 ） ×1＝5a+1 ， 当 a＝2 时， S 1 +S 2 ＝4+6+2+10+1＝23 。 （ 2 ） S 1 ＞S 2 。 理由： 因为 S 1 -S 2 ＝a 2 +3a+ 2-5a-1＝a 2 -2a+1＝ （ a-1 ） 2 >0 ， 所以 S 1 ＞S 2 。 3 乘法公式 （第 4 课时） 1. 10 2. 9 3. -8xy 4. x 4 -2x 2 +1 5. - 1 2 1 4 6. 34 7. D 8. C 9. B 10. D 11. 解： （ 1 ） 87 2 = （ 90－3 ） 2 = 90 2 －2×3×90+3 2 =8 100－540+9=7 569 。 （ 2 ） 504 2 = （ 500+4 ） 2 =500 2 +2×4×500+4 2 =250 000+4 000+16=254 016 。 12. 解： （ 1 ） 原式 = 1 4 x 2 +5x+25－ 1 4 x 2 -5x+2 2 # 5 = 1 4 x 2 +5x+25－ 1 4 x 2 +5x-25=10x 。 （ 2 ） 原式 = （ m 2 -n 2 ）（ m 2 +n 2 ）（ m 4 - n 4 ） = （ m 4 -n 4 ） 2 =m 8 －2m 4 n 4 +n 8 。 （ 3 ） 原式 = 3a+ 1 2 2 2 b 2 －4 2 =9a 2 +3ab+ 1 4 b 2 －16 。 （ 4 ） 原式 =3 （ m 2 +2m+1 ） －5 （ m 2 －1 ） + 2 （ m 2 －2m+1 ） =3m 2 +6m+3－5m 2 +5+2m 2 －4m+2=2m+10 。 13. 解： 【验证】 10 的一半等于 5 ， 5=1+4=1 2 +2 2 。 【探究】 理由： （ m+n ） 2 + （ m-n ） 2 =m 2 +2mn+n 2 +m 2 -2mn+n 2 =2m 2 +2n 2 =2 （ m 2 +n 2 ）， 所以两个已知正整数之和与这两个正整数之差 的平方和一定是偶数， 且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和。 14. 2a+1 15. -1 012 提示： 将等 式转化为完全平方和的形式。 4 整式的除法 1. （ 1 ） 2ab （ 2 ） ab （ 3 ） 4x 2 y 2 （ 4 ） -2×10 6 2. a 2 +2ab+b 2 -1 3. 3 4. a-2b 5. 10a+12b 6. -3 7. B 8. A 9. D 10. A 11. 解 ： （ 1 ） 原式 =- 2 3 x 2 y · 6x 3 y÷4x 2 y 2 =-4x 5 y 2 ÷4x 2 y 2 =-x 3 。 （ 2 ） 原式 =9x 4 y 2 ÷ （ -9x 4 y ） - 8x 3 y 6 ÷x 3 y 5 =-y-8y=-9y 。 （ 3 ） 原式 =y 3 －xy 2 +2x 2 z 。 （ 4 ） 原式 = 3 4 a 4 b 7 － 1 8 a 2 b 6 6 2 ÷ 1 16 a 2 b 4 =12a 2 b 3 －2b 2 。 （ 5 ） 原式 = 16x 2 －4xy+ 1 4 y 2 －4xy 2 － 1 4 y 2 2 ÷8x= （ 16x 2 －8xy ） ÷8x=2x－y 。 （ 6 ） 原式 =2 025 2 － （ 2 025－3 ） × （ 2 025+3 ） =2 025 2 － （ 2 025 2 － 9 ） =9 。 12. 解： （ 1 ） 原式 = （ 4x 2 +4xy+y 2 +3xy+x 2 -3y 2 -xy+2y 2 ） ÷ （ -x ） = （ 5x 2 +6xy ） ÷ （ -x ） =-5x-6y 。 将 x=-2 ， y=1 代 入， 原式 =-5× （ -2 ） -6×1=4 。 （ 2 ） 原式 = （ 9a 2 +4b 2 +12ab-9a 2 +4b 2 -6b 2 +6ab ） ÷ 1 2 b= （ 2b 2 +18ab ） ÷ 1 2 b=4b+36a 。 将 a=- 1 3 ， b= 3 4 代入， 原式 =4× 3 4 +36× - 1 3 2 2 =-9 。 13. 解： （ 1 ） 由已知得 A=-2xy-3y 2 -x 2 +4y 2 +2x 2 +2xy=x 2 +y 2 。 （ 2 ） ∵x+ y=4 ， xy=3 ， ∴A=x 2 +y 2 = （ x+y ） 2 -2xy=4 2 -2×3=10 。 14. 解： （ 1 ） 由图形， 得 S 成年人 =4a · 3a=12a 2 ， S 未成年人 =π · 3 2 2 2 a 2 = 27 4 a 2 ， 整个健身场地的面积 = （ a+4a+5a ）（ 1.5a+3a+1.5a ） =10a · 6a=60a 2 ， ∴S 花草 =60a 2 -12a 2 - 27 4 a 2 = 165 4 a 2 。 （ 2 ） 由 题意， 得 60a 2 ÷12a 2 =5 。 答 ： 整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的 5 倍 。 15. 解 ： （ 2a 3 b ）（ -a 2 b 3 ） ÷ 1 3 a 4 b 2 2 2 （ 7ab 2 2 ' ） =- 6 7 或 1 3 a 4 b 6 # 2 （ 7ab 2 ） ÷ ［（ 2a 3 b ）（ -a 2 b 3 ）］ =- 7 6 。 * 16. 解： （ 1 ） ①3×9－2×10=27－20=7 。 ② 再换 一组 19×13－20×12=247－240=7 。 证明： 设方框框出的四个数分别为 a ， a+1 ， a+7 ， a+8 ， 则 （ a+1 ）（ a+7 ） －a （ a+8 ） =a 2 +8a+7－a 2 －8a=7 。 （ 2 ） ①12×14－6×20=168－120=48 。 ② 再换一组 9×11－3×17=99－51=48 。 证明： 设选择的四个 数的中间数字为 x ， 则四个数为 x－1 ， x+1 ， x－7 ， x+7 ， 则 （ x－1 ）（ x+1 ） － （ x-7 ）（ x+7 ） =x 2 －1－ （ x 2 －49 ） =x 2 －1－x 2 +49=48 。 17. 解： 原式 = （ x 2 +4x+4 ） - （ x 2 +3 ） =x 2 +4x+4-x 2 -3=4x+1 。 当 x=-2 时， 原式 =4× （ -2 ） +1=-8+1=-7 。 18. 解： 原式 = （ 4a 2 +4ab+b 2 -4a 2 +b 2 ） ÷2b= （ 4ab+2b 2 ） ÷2b=2a+b 。 当 a=2 ， b=-1 时， 原式 =2×2-1=3 。 第二章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 （第 1 课时） 1． 140° 2． 45° 3． ∠2-∠1=90° 4． 75° 5． B 6． D 7． 解： 设这个角为 x ， 则它的余角为 90°-x ， 补角为 180°-x 。 依题意有 180°-x=4 （ 90°-x ）， 解得 x=60° 。 所以这个角的度数为 60° 。 8． 解： （ 1 ） 因为 ∠BOC 与 ∠BOD 第 11 题答图 ba c b a c a 2 ab ac ab b 2 bc ac bc c 2 图 1 图 2 ba c b a c a 2 ab ac ab b 2 bc ac bc c 2 ad bd cd a 2 d ad bd cd d 175