3 乘法公式(第3课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

七年级下册 （北师大版）数学 （ 4 ） -2a 3 b 3 （ x-y ） 5 或 2a 3 b 3 （ y-x ） 5 8. 解： （ 1 ） 原式 =4m 4 n 2 + 1 3 m 4 n 2 = 13 3 m 4 n 2 。 （ 2 ） 原式 =3x 3 y 3 · - 2 3 x 2 y y " 2 - 1 27 x 6 y 3 · 9xy 2 =-2x 5 y 5 - 1 3 x 7 y 5 。 （ 3 ） 原式 =4 （ a-b ） 2 ·（ a-b ） 4 ·（ a-b ） 3 ·（ a-b ） 3 =4 （ a-b ） 6 - （ a-b ） 6 =3 （ a-b ） 6 。 （ 4 ） 原式 = -36× 1 3 y " （ m 2 · m ）（ n 2 · n 2 ）［（ y-x ） 2 ·（ y-x ） 3 ］ =-12m 3 n 4 （ y-x ） 5 =12m 3 n 4 （ x-y ） 5 。 9. 解： 因为 （ 2a m+1 b n+2 ） 1 2 a 2n-1 b 2m y " = 2× 1 2 y " （ a m+1 · a 2n-1 ）（ b n+2 · b 2m ） =a m+1+2n-1 b n+2+2m =a m+2n b 2m+n+2 ， 所以 a m+2n b 2m+n+2 =a 5 b 3 。 所以 m+2n=5 ， 2m+n+2=3 ， 即 m+2n= 5 ， 2m+n=1 。 所以 3m+3n=6 。 所以 m+n=2 。 10. 3m 2 11. D 12. C 2 整式的乘法 （第 2 课时） 1. 3x 2 -6x 3 2. -4a 3. -28 4. 3 5. -7 6. B 7. A 8. D 9. C 10. B 11. C 12. A 13. D 14. B 15. （ 1 ） - 3 2 x+ 3 2 x 2 -6x 3 +3x 5 （ ２ ） - 1 3 a 3 b 2 + 2 3 a 4 b 3 - 1 5 ab （ ３ ） ３６x n y n+1 -24x n+1 y n+3 +12x n y 2 （ ４ ） 12a 4 b 5 -8a 3 b 5 -16a 2 b 7 （ 5 ） 2x 2 +24y 2 -14xy （ 6 ） 12 （ 7 ） -x 3 +4x （ 8 ） 4x 2 +17xy-10y 2 16. 解： （ 1 ） 原式 =2x-6x 2 +6x 2 +9x-8x-12= 3x-12 ， 当 x=- 1 3 时， 原式 =- 1 3 ×3-12=-1-12=-13 。 （ 2 ） 原式 =2x 2 +x-2x-1- （ x 2 -5x+2x-10 ） =2x 2 -x-1-x 2 +3x+10= x 2 +2x+9 。 因为 x 2 +2x+2=0 ， 所以 x 2 +2x=-2 。 所以原式 =-2+9=7 。 （ 3 ） 原式 =4x 2 +2xy+3xy+x 2 -3y 2 -xy+3y 2 =5x 2 +4xy 。 将 x=-2 ， y=2 代入， 原式 =5× （ -2 ） 2 +4× （ -2 ） ×2=4 。 17. 解： （ 1 ） 绿化带的总面积 = （ 2a+b ）（ 3a+2b ） - （ 2a ） 2 =6a 2 +4ab+ 3ab+2b 2 -4a 2 =2a 2 +7ab+2b 2 。 答： 广场上绿化带的总面积是 （ 2a 2 +7ab+2b 2 ） m 2 。 （ 2 ） 把 a=10 ， b=5 代入， 得 2a 2 + 7ab+2b 2 =2×10 2 +7×10×5+2×5 2 =600 （ m 2 ）。 答： 广场上绿化带的总面积是 600 m 2 。 18. 解： 原式 = -4a 3 b 3 +6a 2 b 2 - 8ab=-4 （ ab ） 3 +6 （ ab ） 2 -8ab=-4×5 3 +6×5 2 -8×5=-500+150-40=-390 。 * 19. 解： （ 1 ） （ 2a+b ）（ a+2b ） =2a 2 +5ab+2b 2 。 （ 2 ） 画图如图 1 所示 （答案不唯一）。 （ 3 ） 恒等式是 （ a+2b ）（ a+b ） =a 2 + 3ab+2b 2 ， 如图 2 所示 （答案不唯一）。 * 20. 解： （ 1 ） ∵ （ x+ 3 ）（ x+7 ） - （ x+4 ）（ x+6 ） =x 2 +10x+21-x 2 -10x-24=-3 ， ∴|-3|=3 。 ∴ 该 组平衡多项式的平衡因子是 3 。 （ 2 ） 多项式 x-1 ， x-2 ， x- 4 ， x-5 是一组平衡多项式。 ∵ （ x-1 ）（ x-5 ） - （ x-2 ）（ x-4 ） =x 2 -6x+ 5-x 2 +6x-8=-3 ， ∴ 该组平衡多项式的平衡因子是 |-3|=3 。 （ 3 ） 若多项式 x+2 ， x-4 ， x+1 ， x+m （ m 是常数） 是一组平衡 多项式， 有三种情况： ① （ x+2 ）（ x-4 ） - （ x+1 ）（ x+m ） =x 2 -2x-8-x 2 - （ 1+m ） x-m 。 ∵ 是一组平衡多项式， ∴-2- （ 1+m ） =0 。 ∴m=-3 。 ② （ x+2 ）（ x+1 ） - （ x-4 ）（ x+m ） =x 2 +3x+2-x 2 - （ m-4 ） x+4m 。 ∵ 是一组平衡多项式， ∴3- （ m-4 ） =0 。 ∴m=7 。 ③ （ x+2 ）（ x+m ） - （ x+1 ）（ x-4 ） =x 2 + （ 2+m ） x+2m-x 2 +3x+4 。 ∵ 是一组平衡多项式， ∴2+m+3=0 。 ∴m=-5 。 综上所述， m 的值为 -3 或 7 或 -5 。 21. D 22. D 23. C 24. 解： 原式 =x 2 +2x-x-2-3x+3=x 2 -2x+1 。 3 乘法公式 （第 1 课时） 1. （ 1 ） 4a 2 -b 2 （ 2 ） 1-16a 2 （ 3 ） x 2 -y 2 2. a b-1 3. x 4 - 1 16 4. -2y+5x 5. 27 6. 2 7. 8 4 8. A 9. D 10. C 11. D 12. B 13. （ 1 ） 1－9x 2 （ 2 ） 4x 2 y 2 －9y 2 （ 3 ） 9x 4 y 2 －25a 2 b 2 （ 4 ） b 2 - 1 4 a 2 （ 5 ） 4 9 a 2 - 9 25 b 2 （ 6 ） －5m 2 +3t 2 14. 解： 原式 =3xy+x 2 +2y 2 。 当 x=-1 ， y= 1 2 时， 原式 =3× （ -1 ） × 1 2 + （ -1 ） 2 +2× 1 2 y " 2 =0 。 15. 解： （ 1 ） 原式 = （ x 2 -4y 2 ）（ x 2 +4y 2 ） - （ x 4 -y 4 ） =x 4 -16y 4 -x 4 +y 4 =-15y 4 。 （ 2 ） 原式 = （ x 2 -9y 2 ）（ x 2 +9y 2 ） + （ 9x 2 -y 2 ）（ 9x 2 +y 2 ） =x 4 -81y 4 + 81x 4 -y 4 =82x 4 -82y 4 。 16. 解： （ 2n+1 ） 2 - （ 2n-1 ） 2 =8n 。 左边 = （ 2n+1+2n-1 ）［（ 2n+1 ） - （ 2n-1 ）］ =8n= 右边。 17. 解： a 2 - 4b 2 = （ a+2b ）（ a-2b ）。 理由： 图 1 中阴影部分的面积等于 a 2 -4b 2 ， 图 2 中长方形的长为 （ a+2b ）， 宽为 （ a-2b ）， 因此 阴影部分的面积为 （ a+2b ）（ a-2b ）， 所以 a 2 -4b 2 = （ a+2b ）（ a-2b ）。 18. b 2 -a 2 19. -6 20. D 21. 解： 原式 = （ xy- 4x 2 ） + （ 4x 2 -y 2 ） =xy-4x 2 +4x 2 -y 2 =xy-y 2 。 当 x= 1 2 ， y=2 时， 原式 = 1 2 ×2-2 2 =1-4=-3 。 3 乘法公式 （第 2 课时） 1. 30 1 3 30 1 3 899 8 9 2. x 2n -y 2n+2 3. x 2 + 1 4 4. -5y-7x 5. D 6. B 7. A 8. （ 1 ） 3 599 （ 2 ） 99.99 （ 3 ） -8 999 999 （ 4 ） 9 999 9 25 9. 解： 原式 =x 2 -1+9x 2 -4=10x 2 -5 ， 因为 3 2x-2 =1 ， 所以 2x-2=0 。 所以 x=1 。 所 以原式 =10×1 2 -5=5 。 10. 解： 原因如下： 去年租给乙的土地面积为 a 2 ， 今年租给乙的土地面积为 （ a+5 ）（ a-5 ） = a 2 -25 ， 因为 a 2 >a 2 -25 ， 所以乙吃亏了。 * 11. 解： （ 1 ） a 2 -b 2 （ a+b ）（ a-b ） a 2 -b 2 = （ a+b ）（ a-b ） （ 2 ） ① 原式 = （ x 2 -4 ）（ x 2 +4 ） =x 4 -16 。 ② 由 （ 1 ） 知， 4m 2 -n 2 = （ 2m-n ）（ 2m+n ）。 又因为 2m-n=5 ， 2m+n=11 ， 所以原式 = （ 2m-n ）（ 2m+n ） = 5×11=55 。 （ 3 ） 原式 = （ 2-1 ）（ 2+1 ）（ 2 2 +1 ）（ 2 4 +1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1= （ 2 2 -1 ）（ 2 2 +1 ）（ 2 4 +1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1= （ 2 4 -1 ）（ 2 4 + 1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1= （ 2 8 -1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1= （ 2 16 -1 ）（ 2 16 +1 ） +1=2 32 -1+1=2 32 。 12. D 13. 解： 原式 =2m-m 2 +2m+m 2 - 9=4m-9 。 当 m= 5 2 时， 原式 =4× 5 2 -9=10-9=1 。 3 乘法公式 （第 3 课时） 1. （ 1 ） x 2 +4x+4 （ 2 ） 9a 2 +6ab+b 2 2. （ 1 ） x 2 -2xy+y 2 （ 2 ） x 2 -4xy+4y 2 3. -2xy 2xy 4. （ 1 ） 24xy （ 2 ） y 5. ±12 6. B 7. D 8. C 9. （ 1 ） -22ab-2b 2 （ 2 ） m 4 -18m 2 +81 １0． 解： 方案二： a 2 +ab+ （ a+b ） b=a 2 +ab+ab+b 2 =a 2 + 2ab+b 2 = （ a+b ） 2 。 方案三： a 2 + ［ a+ （ a+b ）］ b 2 + ［ a+ （ a+b ）］ b 2 =a 2 +ab+ 1 2 b 2 +ab+ 1 2 b 2 =a 2 +2ab+b 2 = （ a+b ） 2 。 11. 解： （ 1 ） 第 19 题答图 图 1 图 2 aaba 2 b 2 b 2 ab bba a b ab b 2 b b ab a b b 2 b 2 ab abab a 2 174 参考答案与提示 9 个方格中填上相应的代数式如图 1 。 因为大正方形的面积为 （ a+b+c ） 2 ， 9 个长方形的面积和为 a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+ 2ac ， 所以 （ a+b+c ） 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ac 。 （ 2 ） 如图 2 ， 因为大正方形的面积为 （ a+b+c+d ） 2 ， 16 个长方形的 面积和为 a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd ， 所以 （ a+b+c+d ） 2 =a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 。 （ 3 ） 因为大正方体的体积为 （ a+b ） 3 ， 分割为 8 个长方体， 这 8 个长方体的体积和为 a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 ， 所以 （ a+b ） 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 。 * 12. 解： （ 1 ） 由题意， 得 F （ x ， y ） +H （ kx ， y ） ＝x 2 +y 2 -kxy 。 因为 F （ x ， y ） +H （ kx ， y ） 是一个完全 平方式， 所以 -k＝±2 ， 即 k＝±2 。 （ 2 ） 因为 F （ 2x+3y ， 2x-3y ） +H （ 7 ， x 2 +2y 2 ） ＝13 ， 所以（ 2x+3y ） 2 + （ 2x-3y ） 2 -7 （ x 2 +2y 2 ） ＝13 。 所以 x 2 +4y 2 ＝13 。 因 为 x+2y＝5 ， 所以 x 2 +4xy+4y 2 ＝25 。 所以 4xy+13＝25 。 所以 xy＝3 。 所以 （ x-2y ） 2 ＝x 2 -4xy+4y 2 ＝13-12＝1 。 （ 3 ） 因为 S 梯形 ABCD -S △ABE ＝2 ， 所以 1 2 · nx ·（ x+y ） - 1 2 AD · EF＝2 。 所以 nx （ x+y ） -y · 4ny＝4 ， 即 nx 2 +nxy-4ny 2 ＝4 。 由 （ 2 ） 知： xy＝3 ， x-2y＝±1 ， x+2y＝5 ， 所以当 x-2y＝1 时， 3n+n （ x+2y ）（ x-2y ） ＝ 4 ， 即 3n+5×1×n＝4 。 所以 n＝ 1 2 。 当 x-2y＝-1 时， 3n+n （ x+2y ）（ x-2y ） ＝ 4 ， 即 3n+5× （ -1 ） ×n＝4 。 ∴n＝-2 。 综上， n 的值是 1 2 或 -2 。 13. 29 14. 解： 原式 =x 2 +2xy+y 2 +x 2 -2xy=2x 2 +y 2 ， 当 x=1 ， y=-2 时， 原式 =2×1 2 + （ -2 ） 2 =6 。 15. 解： （ 1 ） 由图可知 S 1 ＝ （ a+ 2 ）（ a+1 ） ＝a 2 +3a+2 ， S 2 ＝ （ 5a+1 ） ×1＝5a+1 ， 当 a＝2 时， S 1 +S 2 ＝4+6+2+10+1＝23 。 （ 2 ） S 1 ＞S 2 。 理由： 因为 S 1 -S 2 ＝a 2 +3a+ 2-5a-1＝a 2 -2a+1＝ （ a-1 ） 2 >0 ， 所以 S 1 ＞S 2 。 3 乘法公式 （第 4 课时） 1. 10 2. 9 3. -8xy 4. x 4 -2x 2 +1 5. - 1 2 1 4 6. 34 7. D 8. C 9. B 10. D 11. 解： （ 1 ） 87 2 = （ 90－3 ） 2 = 90 2 －2×3×90+3 2 =8 100－540+9=7 569 。 （ 2 ） 504 2 = （ 500+4 ） 2 =500 2 +2×4×500+4 2 =250 000+4 000+16=254 016 。 12. 解： （ 1 ） 原式 = 1 4 x 2 +5x+25－ 1 4 x 2 -5x+2 2 # 5 = 1 4 x 2 +5x+25－ 1 4 x 2 +5x-25=10x 。 （ 2 ） 原式 = （ m 2 -n 2 ）（ m 2 +n 2 ）（ m 4 - n 4 ） = （ m 4 -n 4 ） 2 =m 8 －2m 4 n 4 +n 8 。 （ 3 ） 原式 = 3a+ 1 2 2 2 b 2 －4 2 =9a 2 +3ab+ 1 4 b 2 －16 。 （ 4 ） 原式 =3 （ m 2 +2m+1 ） －5 （ m 2 －1 ） + 2 （ m 2 －2m+1 ） =3m 2 +6m+3－5m 2 +5+2m 2 －4m+2=2m+10 。 13. 解： 【验证】 10 的一半等于 5 ， 5=1+4=1 2 +2 2 。 【探究】 理由： （ m+n ） 2 + （ m-n ） 2 =m 2 +2mn+n 2 +m 2 -2mn+n 2 =2m 2 +2n 2 =2 （ m 2 +n 2 ）， 所以两个已知正整数之和与这两个正整数之差 的平方和一定是偶数， 且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和。 14. 2a+1 15. -1 012 提示： 将等 式转化为完全平方和的形式。 4 整式的除法 1. （ 1 ） 2ab （ 2 ） ab （ 3 ） 4x 2 y 2 （ 4 ） -2×10 6 2. a 2 +2ab+b 2 -1 3. 3 4. a-2b 5. 10a+12b 6. -3 7. B 8. A 9. D 10. A 11. 解 ： （ 1 ） 原式 =- 2 3 x 2 y · 6x 3 y÷4x 2 y 2 =-4x 5 y 2 ÷4x 2 y 2 =-x 3 。 （ 2 ） 原式 =9x 4 y 2 ÷ （ -9x 4 y ） - 8x 3 y 6 ÷x 3 y 5 =-y-8y=-9y 。 （ 3 ） 原式 =y 3 －xy 2 +2x 2 z 。 （ 4 ） 原式 = 3 4 a 4 b 7 － 1 8 a 2 b 6 6 2 ÷ 1 16 a 2 b 4 =12a 2 b 3 －2b 2 。 （ 5 ） 原式 = 16x 2 －4xy+ 1 4 y 2 －4xy 2 － 1 4 y 2 2 ÷8x= （ 16x 2 －8xy ） ÷8x=2x－y 。 （ 6 ） 原式 =2 025 2 － （ 2 025－3 ） × （ 2 025+3 ） =2 025 2 － （ 2 025 2 － 9 ） =9 。 12. 解： （ 1 ） 原式 = （ 4x 2 +4xy+y 2 +3xy+x 2 -3y 2 -xy+2y 2 ） ÷ （ -x ） = （ 5x 2 +6xy ） ÷ （ -x ） =-5x-6y 。 将 x=-2 ， y=1 代 入， 原式 =-5× （ -2 ） -6×1=4 。 （ 2 ） 原式 = （ 9a 2 +4b 2 +12ab-9a 2 +4b 2 -6b 2 +6ab ） ÷ 1 2 b= （ 2b 2 +18ab ） ÷ 1 2 b=4b+36a 。 将 a=- 1 3 ， b= 3 4 代入， 原式 =4× 3 4 +36× - 1 3 2 2 =-9 。 13. 解： （ 1 ） 由已知得 A=-2xy-3y 2 -x 2 +4y 2 +2x 2 +2xy=x 2 +y 2 。 （ 2 ） ∵x+ y=4 ， xy=3 ， ∴A=x 2 +y 2 = （ x+y ） 2 -2xy=4 2 -2×3=10 。 14. 解： （ 1 ） 由图形， 得 S 成年人 =4a · 3a=12a 2 ， S 未成年人 =π · 3 2 2 2 a 2 = 27 4 a 2 ， 整个健身场地的面积 = （ a+4a+5a ）（ 1.5a+3a+1.5a ） =10a · 6a=60a 2 ， ∴S 花草 =60a 2 -12a 2 - 27 4 a 2 = 165 4 a 2 。 （ 2 ） 由 题意， 得 60a 2 ÷12a 2 =5 。 答 ： 整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的 5 倍 。 15. 解 ： （ 2a 3 b ）（ -a 2 b 3 ） ÷ 1 3 a 4 b 2 2 2 （ 7ab 2 2 ' ） =- 6 7 或 1 3 a 4 b 6 # 2 （ 7ab 2 ） ÷ ［（ 2a 3 b ）（ -a 2 b 3 ）］ =- 7 6 。 * 16. 解： （ 1 ） ①3×9－2×10=27－20=7 。 ② 再换 一组 19×13－20×12=247－240=7 。 证明： 设方框框出的四个数分别为 a ， a+1 ， a+7 ， a+8 ， 则 （ a+1 ）（ a+7 ） －a （ a+8 ） =a 2 +8a+7－a 2 －8a=7 。 （ 2 ） ①12×14－6×20=168－120=48 。 ② 再换一组 9×11－3×17=99－51=48 。 证明： 设选择的四个 数的中间数字为 x ， 则四个数为 x－1 ， x+1 ， x－7 ， x+7 ， 则 （ x－1 ）（ x+1 ） － （ x-7 ）（ x+7 ） =x 2 －1－ （ x 2 －49 ） =x 2 －1－x 2 +49=48 。 17. 解： 原式 = （ x 2 +4x+4 ） - （ x 2 +3 ） =x 2 +4x+4-x 2 -3=4x+1 。 当 x=-2 时， 原式 =4× （ -2 ） +1=-8+1=-7 。 18. 解： 原式 = （ 4a 2 +4ab+b 2 -4a 2 +b 2 ） ÷2b= （ 4ab+2b 2 ） ÷2b=2a+b 。 当 a=2 ， b=-1 时， 原式 =2×2-1=3 。 第二章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 （第 1 课时） 1． 140° 2． 45° 3． ∠2-∠1=90° 4． 75° 5． B 6． D 7． 解： 设这个角为 x ， 则它的余角为 90°-x ， 补角为 180°-x 。 依题意有 180°-x=4 （ 90°-x ）， 解得 x=60° 。 所以这个角的度数为 60° 。 8． 解： （ 1 ） 因为 ∠BOC 与 ∠BOD 第 11 题答图 ba c b a c a 2 ab ac ab b 2 bc ac bc c 2 图 1 图 2 ba c b a c a 2 ab ac ab b 2 bc ac bc c 2 ad bd cd a 2 d ad bd cd d 175 七年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 用完全平方公式计算： （ 1 ） -3y+ 2 3 3 " x 2 ； （ 2 ） （ -a-b ） 2 ； （ 3 ） （ 3a+4b-5c ） 2 。 【分析】 第 （ 1 ） 小题可直接运用完全平方公式， 2 3 x 看成公式中的 a ， 3y 看成公式中的 b ， 利用 （ a-b ） 2 公式进行计算； 第 （ 2 ） 小题应把（ -a-b ） 2 化为（ a+b ） 2 ， 再利用和的完全平方公式 计算； 第 （ 3 ） 小题， 可把任意两项看作公式中的 a ， 如把 （ 3a+4b ） 作为公式中的 a ， 5c 作为 公式中的 b ， 直接利用公式进行计算后， 其中含有 （ 3a+4b ） 2 一项的， 再次运用完全平方公式。 【解答】 （ 1 ） -3y+ 2 3 3 " x 2 = 2 3 x-3 3 " y 2 = 4 9 x 2 -4xy+9y 2 ； （ 2 ） （ -a-b ） 2 = （ a+b ） 2 =a 2 +2ab+b 2 ； （ 3 ） （ 3a+4b-5c ） 2 = （ 3a+4b ） 2 -10c （ 3a+4b ） +25c 2 =9a 2 +24ab+16b 2 -30ac-40bc+25c 2 。 【点拨】 把题目变形为符合公式的形式有多种方法， 做题时要灵活运用。 运用完全平方 公式计算要防止出现以下错误： （ a+b ） 2 =a 2 +b 2 ， （ a-b ） 2 =a 2 -b 2 。 基础巩固 达标闯关 1. 计算： （ 1 ） （ x+2 ） 2 = ； （ 2 ） （ －3a－b ） 2 = 。 2. 计算： （ 1 ） ［ － （ x－y ）］ 2 = ； （ 2 ） （ －x+2y ） 2 = 。 3. 填空： x 2 +y 2 = （ x+y ） 2 + = （ x－y ） 2 + 。 4. 填空： （ 1 ） （ 2x－3y ） 2 + = （ 2x+3y ） 2 ； （ 2 ） y+ 1 2 3 " 2 =y 2 + + 1 4 。 5. 若 4x 2 －mxy+9y 2 是一个完全平方式， 则 m= 。 6. 下列计算不正确的是 （ ） A. （ a－b ）（ a+b ） =a 2 －b 2 B. （ a+b ）（ a+b ） =a 2 +b 2 C. （ －a－b ）（ a+b ） =－a 2 －2ab－b 2 D. （ －a－b ）（ －a－b ） =a 2 +2ab+b 2 7. 下列等式成立的是 （ ） A. x- 1 2 3 " 2 =x 2 － 1 4 B. x+ 1 2 3 " 2 =x 2 + 1 4 C. x- 1 2 3 " 2 = -x- 1 2 3 " 2 D. x- 1 2 3 " 2 = 1 2 - 3 " x 2 8. （ x+y+z ） 2 = （ ） 2 +2y （ ） +y 2 ， 两个括号内都应填 （ ） A. x+y B. y+z C. x+z D. x+y+z 3 乘法公式 （第 3课时） 26 整式的乘除 第一章 能力提升 综合拓展 9. 计算： （ 1 ） （ 11a+b ）（ 11a－b ） － （ 11a+b ） 2 ； （ 2 ） （ m+3 ） 2 （ m－3 ） 2 。 10. 有一张边长为 a cm 的正方形桌面， 因为实际需要， 需将正方形边长增加 b cm ， 木 工师傅设计了如图所示的三种方案。 小明发现这三种方案都能验证公式： a 2 +2ab+b 2 = （ a+b ） 2 。 对于方案一， 小明是这样验证的： a 2 +ab+ab+b 2 =a 2 +2ab+b 2 = （ a+b ） 2 。 请你根据方案二、 方案三， 写出公式的验证过程。 方案二： 方案三： * 11. 我们知道运用拼图法可得到公式 （ a+b ） 2 =a 2 +2ab+b 2 。 基本思路是： 如图， 正方形的 面积等于边长乘边长， S= （ a+b ）（ a+b ）。 又因为该正方形是由面积为 S 1 ， S 2 ， S 3 ， S 4 的图形拼 摆得到的， 即 S=S 1 +S 2 +S 3 +S 4 =a 2 +ab+ab+b 2 ， 所以 （ a+b ） 2 =a 2 +2ab+b 2 。 请类比上述方法解答下列问题： （ 1 ） 在图 1 的 9 个方格中填上相应的代数式， 用拼图法求 （ a+b+c ） 2 。 （ 2 ） 将图 2 中边长为 a+b+c+d 的正方形分割， 画出分割的图形， 并根据分割的图形面积 求 （ a+b+c+d ） 2 。 （ 3 ） 将图 3 中棱长为 a+b 的正方体分割， 请用拼图法求 （ a+b ） 3 。 方案一 方案三 b a a b 第 10 题图 方案二 a b b a a b b a ba b a b a ba c b a c ba b a S 1 S 2 S 3 S 4 图 1 图 2 图 3 第 11 题图 27 七年级下册 （北师大版）数学 * 12. 对于任意四个有理数 m ， n ， p ， q ， 我们规定： F （ m ， n ） ＝m 2 +n 2 ， H （ p ， q ） ＝-pq 。 例 如： F （ 1 ， 2 ） ＝1 2 +2 2 ＝5 ， H （ 3 ， 4 ） ＝-3×4＝-12 。 （ 1 ） 若 F （ x ， y ） +H （ kx ， y ） 是一个完全平方式， 求常数 k 的值。 （ 2 ） 若 x+2y＝5 ， 且 F （ 2x+3y ， 2x-3y ） +H （ 7 ， x 2 +2y 2 ） ＝13 ， 求 xy 与 （ x-2y ） 2 的值。 （ 3 ） 在 （ 2 ） 问的条件下， 将梯形 ABCD 及梯形 ABFE 按照如图方式放置， 其中点 E 在 边 BD 的延长线上， 点 F 在 BC 上， 且 BF＜FC ， ∠BAD＝90° ， 连接 AE 。 若 BC＝x ， AB＝nx ， AD＝y ， EF＝4ny ， 当 S 梯形 ABCD -S △ABE ＝2 时， 求 n 的值。 中考链接 真题演练 13. （ 2024 ·乐山） 已知 a-b=3 ， ab=10 ， 则 a 2 +b 2 = 。 14. （ 2024 ·陕西） 先化简， 再求值： （ x+y ） 2 +x （ x-2y ）， 其中 x=1 ， y=-2 。 15. （ 2023 ·河北） 现有甲、 乙、 丙三种长方形卡片各若干张， 卡片的边长如图 1 所示 （ a＞1 ）。 某同学分别用 6 张卡片拼出了两个长方形 （不重叠、 无缝隙）， 如图 2 和图 3 ， 其面 积分别为 S 1 ， S 2 。 （ 1 ） 请用含 a 的式子分别表示 S 1 ， S 2 ， 当 a＝2 时， 求 S 1 +S 2 的值。 （ 2 ） 比较 S 1 与 S 2 的大小， 并说明理由。 第 15 题图 甲 乙 乙 乙 丙 丙 乙 乙 乙 乙 乙 丙 图 2 图 3 甲 a a a 1 乙 丙 1 1 图 1 第 １2 题图 D F E A B C 28