3 乘法公式(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

七年级下册 （北师大版）数学 （ 4 ） -2a 3 b 3 （ x-y ） 5 或 2a 3 b 3 （ y-x ） 5 8. 解： （ 1 ） 原式 =4m 4 n 2 + 1 3 m 4 n 2 = 13 3 m 4 n 2 。 （ 2 ） 原式 =3x 3 y 3 · - 2 3 x 2 y y " 2 - 1 27 x 6 y 3 · 9xy 2 =-2x 5 y 5 - 1 3 x 7 y 5 。 （ 3 ） 原式 =4 （ a-b ） 2 ·（ a-b ） 4 ·（ a-b ） 3 ·（ a-b ） 3 =4 （ a-b ） 6 - （ a-b ） 6 =3 （ a-b ） 6 。 （ 4 ） 原式 = -36× 1 3 y " （ m 2 · m ）（ n 2 · n 2 ）［（ y-x ） 2 ·（ y-x ） 3 ］ =-12m 3 n 4 （ y-x ） 5 =12m 3 n 4 （ x-y ） 5 。 9. 解： 因为 （ 2a m+1 b n+2 ） 1 2 a 2n-1 b 2m y " = 2× 1 2 y " （ a m+1 · a 2n-1 ）（ b n+2 · b 2m ） =a m+1+2n-1 b n+2+2m =a m+2n b 2m+n+2 ， 所以 a m+2n b 2m+n+2 =a 5 b 3 。 所以 m+2n=5 ， 2m+n+2=3 ， 即 m+2n= 5 ， 2m+n=1 。 所以 3m+3n=6 。 所以 m+n=2 。 10. 3m 2 11. D 12. C 2 整式的乘法 （第 2 课时） 1. 3x 2 -6x 3 2. -4a 3. -28 4. 3 5. -7 6. B 7. A 8. D 9. C 10. B 11. C 12. A 13. D 14. B 15. （ 1 ） - 3 2 x+ 3 2 x 2 -6x 3 +3x 5 （ ２ ） - 1 3 a 3 b 2 + 2 3 a 4 b 3 - 1 5 ab （ ３ ） ３６x n y n+1 -24x n+1 y n+3 +12x n y 2 （ ４ ） 12a 4 b 5 -8a 3 b 5 -16a 2 b 7 （ 5 ） 2x 2 +24y 2 -14xy （ 6 ） 12 （ 7 ） -x 3 +4x （ 8 ） 4x 2 +17xy-10y 2 16. 解： （ 1 ） 原式 =2x-6x 2 +6x 2 +9x-8x-12= 3x-12 ， 当 x=- 1 3 时， 原式 =- 1 3 ×3-12=-1-12=-13 。 （ 2 ） 原式 =2x 2 +x-2x-1- （ x 2 -5x+2x-10 ） =2x 2 -x-1-x 2 +3x+10= x 2 +2x+9 。 因为 x 2 +2x+2=0 ， 所以 x 2 +2x=-2 。 所以原式 =-2+9=7 。 （ 3 ） 原式 =4x 2 +2xy+3xy+x 2 -3y 2 -xy+3y 2 =5x 2 +4xy 。 将 x=-2 ， y=2 代入， 原式 =5× （ -2 ） 2 +4× （ -2 ） ×2=4 。 17. 解： （ 1 ） 绿化带的总面积 = （ 2a+b ）（ 3a+2b ） - （ 2a ） 2 =6a 2 +4ab+ 3ab+2b 2 -4a 2 =2a 2 +7ab+2b 2 。 答： 广场上绿化带的总面积是 （ 2a 2 +7ab+2b 2 ） m 2 。 （ 2 ） 把 a=10 ， b=5 代入， 得 2a 2 + 7ab+2b 2 =2×10 2 +7×10×5+2×5 2 =600 （ m 2 ）。 答： 广场上绿化带的总面积是 600 m 2 。 18. 解： 原式 = -4a 3 b 3 +6a 2 b 2 - 8ab=-4 （ ab ） 3 +6 （ ab ） 2 -8ab=-4×5 3 +6×5 2 -8×5=-500+150-40=-390 。 * 19. 解： （ 1 ） （ 2a+b ）（ a+2b ） =2a 2 +5ab+2b 2 。 （ 2 ） 画图如图 1 所示 （答案不唯一）。 （ 3 ） 恒等式是 （ a+2b ）（ a+b ） =a 2 + 3ab+2b 2 ， 如图 2 所示 （答案不唯一）。 * 20. 解： （ 1 ） ∵ （ x+ 3 ）（ x+7 ） - （ x+4 ）（ x+6 ） =x 2 +10x+21-x 2 -10x-24=-3 ， ∴|-3|=3 。 ∴ 该 组平衡多项式的平衡因子是 3 。 （ 2 ） 多项式 x-1 ， x-2 ， x- 4 ， x-5 是一组平衡多项式。 ∵ （ x-1 ）（ x-5 ） - （ x-2 ）（ x-4 ） =x 2 -6x+ 5-x 2 +6x-8=-3 ， ∴ 该组平衡多项式的平衡因子是 |-3|=3 。 （ 3 ） 若多项式 x+2 ， x-4 ， x+1 ， x+m （ m 是常数） 是一组平衡 多项式， 有三种情况： ① （ x+2 ）（ x-4 ） - （ x+1 ）（ x+m ） =x 2 -2x-8-x 2 - （ 1+m ） x-m 。 ∵ 是一组平衡多项式， ∴-2- （ 1+m ） =0 。 ∴m=-3 。 ② （ x+2 ）（ x+1 ） - （ x-4 ）（ x+m ） =x 2 +3x+2-x 2 - （ m-4 ） x+4m 。 ∵ 是一组平衡多项式， ∴3- （ m-4 ） =0 。 ∴m=7 。 ③ （ x+2 ）（ x+m ） - （ x+1 ）（ x-4 ） =x 2 + （ 2+m ） x+2m-x 2 +3x+4 。 ∵ 是一组平衡多项式， ∴2+m+3=0 。 ∴m=-5 。 综上所述， m 的值为 -3 或 7 或 -5 。 21. D 22. D 23. C 24. 解： 原式 =x 2 +2x-x-2-3x+3=x 2 -2x+1 。 3 乘法公式 （第 1 课时） 1. （ 1 ） 4a 2 -b 2 （ 2 ） 1-16a 2 （ 3 ） x 2 -y 2 2. a b-1 3. x 4 - 1 16 4. -2y+5x 5. 27 6. 2 7. 8 4 8. A 9. D 10. C 11. D 12. B 13. （ 1 ） 1－9x 2 （ 2 ） 4x 2 y 2 －9y 2 （ 3 ） 9x 4 y 2 －25a 2 b 2 （ 4 ） b 2 - 1 4 a 2 （ 5 ） 4 9 a 2 - 9 25 b 2 （ 6 ） －5m 2 +3t 2 14. 解： 原式 =3xy+x 2 +2y 2 。 当 x=-1 ， y= 1 2 时， 原式 =3× （ -1 ） × 1 2 + （ -1 ） 2 +2× 1 2 y " 2 =0 。 15. 解： （ 1 ） 原式 = （ x 2 -4y 2 ）（ x 2 +4y 2 ） - （ x 4 -y 4 ） =x 4 -16y 4 -x 4 +y 4 =-15y 4 。 （ 2 ） 原式 = （ x 2 -9y 2 ）（ x 2 +9y 2 ） + （ 9x 2 -y 2 ）（ 9x 2 +y 2 ） =x 4 -81y 4 + 81x 4 -y 4 =82x 4 -82y 4 。 16. 解： （ 2n+1 ） 2 - （ 2n-1 ） 2 =8n 。 左边 = （ 2n+1+2n-1 ）［（ 2n+1 ） - （ 2n-1 ）］ =8n= 右边。 17. 解： a 2 - 4b 2 = （ a+2b ）（ a-2b ）。 理由： 图 1 中阴影部分的面积等于 a 2 -4b 2 ， 图 2 中长方形的长为 （ a+2b ）， 宽为 （ a-2b ）， 因此 阴影部分的面积为 （ a+2b ）（ a-2b ）， 所以 a 2 -4b 2 = （ a+2b ）（ a-2b ）。 18. b 2 -a 2 19. -6 20. D 21. 解： 原式 = （ xy- 4x 2 ） + （ 4x 2 -y 2 ） =xy-4x 2 +4x 2 -y 2 =xy-y 2 。 当 x= 1 2 ， y=2 时， 原式 = 1 2 ×2-2 2 =1-4=-3 。 3 乘法公式 （第 2 课时） 1. 30 1 3 30 1 3 899 8 9 2. x 2n -y 2n+2 3. x 2 + 1 4 4. -5y-7x 5. D 6. B 7. A 8. （ 1 ） 3 599 （ 2 ） 99.99 （ 3 ） -8 999 999 （ 4 ） 9 999 9 25 9. 解： 原式 =x 2 -1+9x 2 -4=10x 2 -5 ， 因为 3 2x-2 =1 ， 所以 2x-2=0 。 所以 x=1 。 所 以原式 =10×1 2 -5=5 。 10. 解： 原因如下： 去年租给乙的土地面积为 a 2 ， 今年租给乙的土地面积为 （ a+5 ）（ a-5 ） = a 2 -25 ， 因为 a 2 >a 2 -25 ， 所以乙吃亏了。 * 11. 解： （ 1 ） a 2 -b 2 （ a+b ）（ a-b ） a 2 -b 2 = （ a+b ）（ a-b ） （ 2 ） ① 原式 = （ x 2 -4 ）（ x 2 +4 ） =x 4 -16 。 ② 由 （ 1 ） 知， 4m 2 -n 2 = （ 2m-n ）（ 2m+n ）。 又因为 2m-n=5 ， 2m+n=11 ， 所以原式 = （ 2m-n ）（ 2m+n ） = 5×11=55 。 （ 3 ） 原式 = （ 2-1 ）（ 2+1 ）（ 2 2 +1 ）（ 2 4 +1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1= （ 2 2 -1 ）（ 2 2 +1 ）（ 2 4 +1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1= （ 2 4 -1 ）（ 2 4 + 1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1= （ 2 8 -1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1= （ 2 16 -1 ）（ 2 16 +1 ） +1=2 32 -1+1=2 32 。 12. D 13. 解： 原式 =2m-m 2 +2m+m 2 - 9=4m-9 。 当 m= 5 2 时， 原式 =4× 5 2 -9=10-9=1 。 3 乘法公式 （第 3 课时） 1. （ 1 ） x 2 +4x+4 （ 2 ） 9a 2 +6ab+b 2 2. （ 1 ） x 2 -2xy+y 2 （ 2 ） x 2 -4xy+4y 2 3. -2xy 2xy 4. （ 1 ） 24xy （ 2 ） y 5. ±12 6. B 7. D 8. C 9. （ 1 ） -22ab-2b 2 （ 2 ） m 4 -18m 2 +81 １0． 解： 方案二： a 2 +ab+ （ a+b ） b=a 2 +ab+ab+b 2 =a 2 + 2ab+b 2 = （ a+b ） 2 。 方案三： a 2 + ［ a+ （ a+b ）］ b 2 + ［ a+ （ a+b ）］ b 2 =a 2 +ab+ 1 2 b 2 +ab+ 1 2 b 2 =a 2 +2ab+b 2 = （ a+b ） 2 。 11. 解： （ 1 ） 第 19 题答图 图 1 图 2 aaba 2 b 2 b 2 ab bba a b ab b 2 b b ab a b b 2 b 2 ab abab a 2 174 整式的乘除 第一章 自主导学 典例精析 例题 1 利用平方差公式计算： （ 1 ） 1 999×2 001 ； （ 2 ） 40 2 3 ×39 1 3 。 【分析】 运用平方差公式计算两个有理数的积时， 关键是要将其转化为平方差公式的形 式。 通常采用的方法： （ 1 ） 观察法， 如第 （ 1 ） 题适合此法； （ 2 ） 平均数法， 如第 （ 2 ） 题 中， a= 40 2 3 +39 1 3 2 = 80 2 =40 。 【解答】 （ 1 ） 1 999×2 001= （ 2 000－1 ） × （ 2 000+1 ） ＝2 000 2 －1=3 999 999 ； （ 2 ） 40 2 3 ×39 1 3 = 40+ 2 3 3 " × 40- 2 3 3 " =40 2 - 2 3 3 " 2 =1 600- 4 9 =1 599 5 9 。 【点拨】 在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便。 例题 2 计算： （ a-2b ）（ 2a-b ） - （ 2a-b ）（ b+2a ）。 【分析】 前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征， 只能用 “多项式乘多项式”； 后两 个多项式相乘可以用平方差公式。 【解答】 （ a-2b ）（ 2a-b ） - （ 2a-b ）（ b+2a ） =2a 2 -ab-4ab+2b 2 - ［（ 2a ） 2 -b 2 ］ =2a 2 -5ab+2b 2 - （ 4a 2 -b 2 ） =2a 2 -5ab+2b 2 -4a 2 +b 2 =-2a 2 -5ab+3b 2 。 【点拨】 在进行整式乘法运算时， 要观察算式的特点， 是否符合平方差公式特征。 当能 用平方差公式计算的式子不在首位时， 其运算的结果前一定要加上括号， 然后再与其他项进 行加、 减、 乘、 除等运算。 基础巩固 达标闯关 1. 填空： 30 1 3 ×29 2 3 = （ + ） × （ － ） = 。 2. 计算： （ x n +y n+1 ）（ x n －y n+1 ） = 。 3. 若 A× 1 2 + 3 " x × - 1 2 + 3 " x =x 4 － 1 16 ， 则 A= 。 4. 填空： （ 7x－5y ）（ ） =25y 2 －49x 2 。 3 乘法公式 （第 2课时） 23 七年级下册 （北师大版）数学 5. 下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是 （ ） A. （ a 3 +b 3 ）（ a 3 －b 3 ） B. （ a 2 +b 2 ）（ b 2 －a 2 ） C. （ 2x 2 y+1 ）（ 2x 2 y－1 ） D. （ x 2 －2y ）（ 2x+y 2 ） 6. 已知 a 2 －b 2 =4 ， 则（ a－b ） 2 （ a+b ） 2 的结果是 （ ） A. 4 B. 16 C. 7 D. 1 7. 如图 1 ， 在边长为 a 的正方形正中间的位置剪掉一个边长为 b 的小正方形 （ a ﹥ b ）， 把 剩余的部分按照图 1 中虚线剪成四个相同的梯形， 并用这四个梯形拼成如图 2 的平行四边 形， 则根据图 1 中剩余的图形面积与图 2 的面积相等关系， 可以验证 （ ） A. a 2 －b 2 = （ a+b ）（ a－b ） B. （ a+b ）（ a+b ） =a 2 +2ab+b 2 C. （ a－b ）（ a－b ） =a 2 －2ab+b 2 D. （ a+2b ）（ a－b ） =a 2 +ab－2b 2 8. 请你运用平方差公式快速解答下列各题。 （ 1 ） 59×61 ； （ 2 ） 9.9×10.1 ； （ 3 ） （ －2 999 ） ×3 001 ； （ 4 ） 99 1 5 ×100 4 5 。 能力提升 综合拓展 9. 化简求值： （ x+1 ）（ x－1 ） － （ 3x－2 ）（ －3x－2 ）， 其中 x 满足 3 2x－2 =1 。 图 1 图 2 第 7 题图 b a a b a b 24 整式的乘除 第一章 10. 去年， 甲把一边长为 a m 的正方形土地租给乙， 以下内容是今年甲与乙的一番谈话。 甲： “我把这块地的一边增加 5 m ， 另一边减少 5 m ， 继续租给你。” 乙： “不好吧， 这样我就吃亏了！” 请问乙说吃亏的原因是什么。 * 11. 【探究】 （ 1 ） 如图 1 ， 从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形， 将阴影部分按如 图方式剪开， 拼成图 2 的长方形。 请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积， 根据这两 图的阴影部分的面积关系， 我们可以得到一个关于多项式乘法的恒等式， 请写这个恒等式。 【应用】 （ 2 ） 请应用这个等式解决下列各题： ① 计算： （ x-2 ）（ x+2 ）（ x 2 +4 ）； ② 已知 2m-n=5 ， 2m+n=11 ， 求 4m 2 -n 2 的值； 【拓展】 （ 3 ） 计算： （ 2+1 ）（ 2 2 +1 ）（ 2 4 +1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1 的结果。 中考链接 真题演练 12. （ 2024 ·成都） 下列计算正确的是 （ ） A． （ 3x ） 2 =3x 2 B． 3x+3y=6xy C． （ x+y ） 2 =x 2 +y 2 D． （ x+2 ）（ x-2 ） =x 2 -4 13. （ 2024 ·长沙） 先化简， 再求值： 2m-m （ m-2 ） + （ m+3 ）（ m-3 ）， 其中 m= 5 2 。 b b a a a b a b b 图 1 图 2 第 11 题图 25