2 整式的乘法(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版 2024）

七年级下册 （北师大版）数学 （ 4 ） -2a 3 b 3 （ x-y ） 5 或 2a 3 b 3 （ y-x ） 5 8. 解： （ 1 ） 原式 =4m 4 n 2 + 1 3 m 4 n 2 = 13 3 m 4 n 2 。 （ 2 ） 原式 =3x 3 y 3 · - 2 3 x 2 y y " 2 - 1 27 x 6 y 3 · 9xy 2 =-2x 5 y 5 - 1 3 x 7 y 5 。 （ 3 ） 原式 =4 （ a-b ） 2 ·（ a-b ） 4 ·（ a-b ） 3 ·（ a-b ） 3 =4 （ a-b ） 6 - （ a-b ） 6 =3 （ a-b ） 6 。 （ 4 ） 原式 = -36× 1 3 y " （ m 2 · m ）（ n 2 · n 2 ）［（ y-x ） 2 ·（ y-x ） 3 ］ =-12m 3 n 4 （ y-x ） 5 =12m 3 n 4 （ x-y ） 5 。 9. 解： 因为 （ 2a m+1 b n+2 ） 1 2 a 2n-1 b 2m y " = 2× 1 2 y " （ a m+1 · a 2n-1 ）（ b n+2 · b 2m ） =a m+1+2n-1 b n+2+2m =a m+2n b 2m+n+2 ， 所以 a m+2n b 2m+n+2 =a 5 b 3 。 所以 m+2n=5 ， 2m+n+2=3 ， 即 m+2n= 5 ， 2m+n=1 。 所以 3m+3n=6 。 所以 m+n=2 。 10. 3m 2 11. D 12. C 2 整式的乘法 （第 2 课时） 1. 3x 2 -6x 3 2. -4a 3. -28 4. 3 5. -7 6. B 7. A 8. D 9. C 10. B 11. C 12. A 13. D 14. B 15. （ 1 ） - 3 2 x+ 3 2 x 2 -6x 3 +3x 5 （ ２ ） - 1 3 a 3 b 2 + 2 3 a 4 b 3 - 1 5 ab （ ３ ） ３６x n y n+1 -24x n+1 y n+3 +12x n y 2 （ ４ ） 12a 4 b 5 -8a 3 b 5 -16a 2 b 7 （ 5 ） 2x 2 +24y 2 -14xy （ 6 ） 12 （ 7 ） -x 3 +4x （ 8 ） 4x 2 +17xy-10y 2 16. 解： （ 1 ） 原式 =2x-6x 2 +6x 2 +9x-8x-12= 3x-12 ， 当 x=- 1 3 时， 原式 =- 1 3 ×3-12=-1-12=-13 。 （ 2 ） 原式 =2x 2 +x-2x-1- （ x 2 -5x+2x-10 ） =2x 2 -x-1-x 2 +3x+10= x 2 +2x+9 。 因为 x 2 +2x+2=0 ， 所以 x 2 +2x=-2 。 所以原式 =-2+9=7 。 （ 3 ） 原式 =4x 2 +2xy+3xy+x 2 -3y 2 -xy+3y 2 =5x 2 +4xy 。 将 x=-2 ， y=2 代入， 原式 =5× （ -2 ） 2 +4× （ -2 ） ×2=4 。 17. 解： （ 1 ） 绿化带的总面积 = （ 2a+b ）（ 3a+2b ） - （ 2a ） 2 =6a 2 +4ab+ 3ab+2b 2 -4a 2 =2a 2 +7ab+2b 2 。 答： 广场上绿化带的总面积是 （ 2a 2 +7ab+2b 2 ） m 2 。 （ 2 ） 把 a=10 ， b=5 代入， 得 2a 2 + 7ab+2b 2 =2×10 2 +7×10×5+2×5 2 =600 （ m 2 ）。 答： 广场上绿化带的总面积是 600 m 2 。 18. 解： 原式 = -4a 3 b 3 +6a 2 b 2 - 8ab=-4 （ ab ） 3 +6 （ ab ） 2 -8ab=-4×5 3 +6×5 2 -8×5=-500+150-40=-390 。 * 19. 解： （ 1 ） （ 2a+b ）（ a+2b ） =2a 2 +5ab+2b 2 。 （ 2 ） 画图如图 1 所示 （答案不唯一）。 （ 3 ） 恒等式是 （ a+2b ）（ a+b ） =a 2 + 3ab+2b 2 ， 如图 2 所示 （答案不唯一）。 * 20. 解： （ 1 ） ∵ （ x+ 3 ）（ x+7 ） - （ x+4 ）（ x+6 ） =x 2 +10x+21-x 2 -10x-24=-3 ， ∴|-3|=3 。 ∴ 该 组平衡多项式的平衡因子是 3 。 （ 2 ） 多项式 x-1 ， x-2 ， x- 4 ， x-5 是一组平衡多项式。 ∵ （ x-1 ）（ x-5 ） - （ x-2 ）（ x-4 ） =x 2 -6x+ 5-x 2 +6x-8=-3 ， ∴ 该组平衡多项式的平衡因子是 |-3|=3 。 （ 3 ） 若多项式 x+2 ， x-4 ， x+1 ， x+m （ m 是常数） 是一组平衡 多项式， 有三种情况： ① （ x+2 ）（ x-4 ） - （ x+1 ）（ x+m ） =x 2 -2x-8-x 2 - （ 1+m ） x-m 。 ∵ 是一组平衡多项式， ∴-2- （ 1+m ） =0 。 ∴m=-3 。 ② （ x+2 ）（ x+1 ） - （ x-4 ）（ x+m ） =x 2 +3x+2-x 2 - （ m-4 ） x+4m 。 ∵ 是一组平衡多项式， ∴3- （ m-4 ） =0 。 ∴m=7 。 ③ （ x+2 ）（ x+m ） - （ x+1 ）（ x-4 ） =x 2 + （ 2+m ） x+2m-x 2 +3x+4 。 ∵ 是一组平衡多项式， ∴2+m+3=0 。 ∴m=-5 。 综上所述， m 的值为 -3 或 7 或 -5 。 21. D 22. D 23. C 24. 解： 原式 =x 2 +2x-x-2-3x+3=x 2 -2x+1 。 3 乘法公式 （第 1 课时） 1. （ 1 ） 4a 2 -b 2 （ 2 ） 1-16a 2 （ 3 ） x 2 -y 2 2. a b-1 3. x 4 - 1 16 4. -2y+5x 5. 27 6. 2 7. 8 4 8. A 9. D 10. C 11. D 12. B 13. （ 1 ） 1－9x 2 （ 2 ） 4x 2 y 2 －9y 2 （ 3 ） 9x 4 y 2 －25a 2 b 2 （ 4 ） b 2 - 1 4 a 2 （ 5 ） 4 9 a 2 - 9 25 b 2 （ 6 ） －5m 2 +3t 2 14. 解： 原式 =3xy+x 2 +2y 2 。 当 x=-1 ， y= 1 2 时， 原式 =3× （ -1 ） × 1 2 + （ -1 ） 2 +2× 1 2 y " 2 =0 。 15. 解： （ 1 ） 原式 = （ x 2 -4y 2 ）（ x 2 +4y 2 ） - （ x 4 -y 4 ） =x 4 -16y 4 -x 4 +y 4 =-15y 4 。 （ 2 ） 原式 = （ x 2 -9y 2 ）（ x 2 +9y 2 ） + （ 9x 2 -y 2 ）（ 9x 2 +y 2 ） =x 4 -81y 4 + 81x 4 -y 4 =82x 4 -82y 4 。 16. 解： （ 2n+1 ） 2 - （ 2n-1 ） 2 =8n 。 左边 = （ 2n+1+2n-1 ）［（ 2n+1 ） - （ 2n-1 ）］ =8n= 右边。 17. 解： a 2 - 4b 2 = （ a+2b ）（ a-2b ）。 理由： 图 1 中阴影部分的面积等于 a 2 -4b 2 ， 图 2 中长方形的长为 （ a+2b ）， 宽为 （ a-2b ）， 因此 阴影部分的面积为 （ a+2b ）（ a-2b ）， 所以 a 2 -4b 2 = （ a+2b ）（ a-2b ）。 18. b 2 -a 2 19. -6 20. D 21. 解： 原式 = （ xy- 4x 2 ） + （ 4x 2 -y 2 ） =xy-4x 2 +4x 2 -y 2 =xy-y 2 。 当 x= 1 2 ， y=2 时， 原式 = 1 2 ×2-2 2 =1-4=-3 。 3 乘法公式 （第 2 课时） 1. 30 1 3 30 1 3 899 8 9 2. x 2n -y 2n+2 3. x 2 + 1 4 4. -5y-7x 5. D 6. B 7. A 8. （ 1 ） 3 599 （ 2 ） 99.99 （ 3 ） -8 999 999 （ 4 ） 9 999 9 25 9. 解： 原式 =x 2 -1+9x 2 -4=10x 2 -5 ， 因为 3 2x-2 =1 ， 所以 2x-2=0 。 所以 x=1 。 所 以原式 =10×1 2 -5=5 。 10. 解： 原因如下： 去年租给乙的土地面积为 a 2 ， 今年租给乙的土地面积为 （ a+5 ）（ a-5 ） = a 2 -25 ， 因为 a 2 >a 2 -25 ， 所以乙吃亏了。 * 11. 解： （ 1 ） a 2 -b 2 （ a+b ）（ a-b ） a 2 -b 2 = （ a+b ）（ a-b ） （ 2 ） ① 原式 = （ x 2 -4 ）（ x 2 +4 ） =x 4 -16 。 ② 由 （ 1 ） 知， 4m 2 -n 2 = （ 2m-n ）（ 2m+n ）。 又因为 2m-n=5 ， 2m+n=11 ， 所以原式 = （ 2m-n ）（ 2m+n ） = 5×11=55 。 （ 3 ） 原式 = （ 2-1 ）（ 2+1 ）（ 2 2 +1 ）（ 2 4 +1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1= （ 2 2 -1 ）（ 2 2 +1 ）（ 2 4 +1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1= （ 2 4 -1 ）（ 2 4 + 1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1= （ 2 8 -1 ）（ 2 8 +1 ）（ 2 16 +1 ） +1= （ 2 16 -1 ）（ 2 16 +1 ） +1=2 32 -1+1=2 32 。 12. D 13. 解： 原式 =2m-m 2 +2m+m 2 - 9=4m-9 。 当 m= 5 2 时， 原式 =4× 5 2 -9=10-9=1 。 3 乘法公式 （第 3 课时） 1. （ 1 ） x 2 +4x+4 （ 2 ） 9a 2 +6ab+b 2 2. （ 1 ） x 2 -2xy+y 2 （ 2 ） x 2 -4xy+4y 2 3. -2xy 2xy 4. （ 1 ） 24xy （ 2 ） y 5. ±12 6. B 7. D 8. C 9. （ 1 ） -22ab-2b 2 （ 2 ） m 4 -18m 2 +81 １0． 解： 方案二： a 2 +ab+ （ a+b ） b=a 2 +ab+ab+b 2 =a 2 + 2ab+b 2 = （ a+b ） 2 。 方案三： a 2 + ［ a+ （ a+b ）］ b 2 + ［ a+ （ a+b ）］ b 2 =a 2 +ab+ 1 2 b 2 +ab+ 1 2 b 2 =a 2 +2ab+b 2 = （ a+b ） 2 。 11. 解： （ 1 ） 第 19 题答图 图 1 图 2 aaba 2 b 2 b 2 ab bba a b ab b 2 b b ab a b b 2 b 2 ab abab a 2 174 整式的乘除 第一章 自主导学 典例精析 例题 1 计算： （ 1 ） （ －3ab ）（ 2a 2 b-ab＋2 ）； （ 2 ） x （ x－2 ） －2x （ x＋1 ） －3x （ x－5 ）。 【分析】 单项式与多项式相乘， 其实质就是乘法分配律的应用， 将单项式乘多项式转化 为单项式乘单项式， 再转化为同底数幂相乘。 【解答】 （ 1 ） （ －3ab ）（ 2a 2 b－ab＋2 ） ＝ （ －3ab ）· 2a 2 b＋ （ －3ab ）·（ －ab ） ＋ （ －3ab ） ×2 ＝－6a 3 b 2 ＋3a 2 b 2 －6ab ； （ 2 ） x （ x－2 ） －2x （ x＋1 ） －3x （ x－5 ） ＝x · x＋x ·（ －2 ） ＋ （ －2x ）· x＋ （ －2x ）· 1＋ （ －3x ）· x＋ （ －3x ）·（ －5 ） ＝－4x 2 ＋11x 。 【点拨】 掌握同底数幂乘法运算性质和单项式乘单项式法则， 是正确进行单项式乘多项 式运算的关键。 单项式与多项式相乘， 结果是一个多项式， 其项数与因式中多项式的项数相 同， 运算时可以此来检验运算中是否漏乘。 例题 2 计算： （ 1 ） （ 5a－2b ）（ 2a＋b ）； （ 2 ） （ a 2 －a＋1）（a＋1）。 【分析】 多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项， 再 把所得的积相加， 即（ a＋b ）（ m＋n ） ＝am＋an＋bm＋bn 。 【解答】 （ 1 ） （ 5a－2b ）（ 2a＋b ） ＝5a · 2a＋5a · b－2b · 2a－2b · b ＝10a 2 ＋5ab－4ab－2b 2 ＝10a 2 ＋ab－2b 2 ； （ 2 ） （ a 2 －a＋1 ）（ a＋1 ） ＝a 2 · a＋a 2 · 1－a · a－a · 1＋1 · a＋1 ＝a 3 ＋a 2 －a 2 －a＋a＋1 ＝a 3 ＋1 。 【点拨】 多项式乘多项式时， 应注意以下几点： （ 1 ） 相乘时， 按一定的顺序进行， 才能 做到不重不漏； （ 2 ） 多项式与多项式相乘， 仍得多项式， 在合并同类项之前， 积的项数应 等于原多项式的项数之积； （ 3 ） 相乘后， 若有同类项应该合并。 基础巩固 达标闯关 1. 计算： 3x （ x-2x 2 ） = 。 2. 计算 a （ a-2 ） - （ a 2 +2a ） 的结果为 。 2 整式的乘法 （第 2课时） 15 七年级下册 （北师大版）数学 3. 如果 （ 5-a ）（ 6+a ） =12 ， 那么 -2a 2 -2a+8 的值为 。 4. 如果 （ x+m ）（ x-3 ） 的乘积中不含 x 的一次项， 则 m 的值为 。 5. 已知 M=y 2 +2y+a ， N=-y ， P=y 3 +2y 2 -7y+2 ， 且 M · N+P 的值与 y 无关， 则 a= 。 6. 计算 －a （ a 2 －2a－1 ）的结果是 （ ） A. －a 3 +2a 2 －a B. －a 3 +2a 2 +a C. －a 3 +2a 2 +1 D. －a 3 +2a 2 －1 7. x n+1 （ x n －x n－1 +x ）的计算结果是 （ ） A. x 2n+1 －x 2n +x n+2 B. x 2n+1 －x 2n+2 +x n+2 C. x 2n+1 －x 2n +x n+1 D. x 2n+1 －x 2n －x n+2 8. 下列计算正确的是 （ ） A. （ 6xy 2 －4x 2 y ）· 3xy=18xy 2 －12x 2 y B. （ －x ）（ 2x+x 2 －1 ） =－x 3 －2x 2 +1 C. （ －3x 2 y ）（ －2xy+3yz－1 ） =6x 3 y 2 －9x 2 y 2 z 2 +3x 2 y D. 3 4 a n+1 - 1 2 2 " b · 2ab= 3 2 a n+2 b－ab 2 9. 一个长方体礼品盒的长、 宽、 高分别是 3x－4 ， 2x ， x ， 它的体积是 （ ） A. 3x 3 －4x 2 B. x 2 C. 6x 3 －8x 2 D. 6x 2 －8x 10. 计算 （ x-5 ）（ 2x+1 ） 的结果是 （ ） A． 2x 2 -9x+5 B． 2x 2 -9x-5 C． 2x 2 +9x+5 D． 2x 2 +9x-5 11. 若 （ x+3 ）（ x-9 ） =x 2 +mx-27 ， 则 m 的值是 （ ） A． 12 B． 6 C． -6 D． -12 12. 已知 m+n=-3 ， mn=2 ， 则 （ 1-m ）（ 1-n ） 的值为 （ ） A． 6 B． 2 C． 0 D． -4 13. 通过计算比较图 1 、 图 2 中阴影部分的面积， 可以 验证的计算式子是 （ ） A． a （ b-x ） =ab-ax B． b （ a-x ） =ab-bx C． （ a+x ）（ b+x ） =ab+ax+bx+x 2 D． （ a-x ）（ b-x ） =ab-ax-bx+x 2 14. 若 n 为整数， 则代数式 （ 3n+3 ）（ n+3 ） +3 的值一定可以 （ ） A． 被 2 整除 B． 被 3 整除 C． 被 5 整除 D． 被 9 整除 15. 计算： （ 1 ） － 3 2 x （ 1－x+4x 2 －2x 4 ）； （ 2 ） 5 3 a 2 b- 10 3 a 3 b 2 + 2 " 1 （ －0.2ab ）； 图 1 图 2 第 13 题图 a b x x b x x a x x 16 整式的乘除 第一章 （ 3 ） 12x n y 2 ［ 3y n－1 －2xy n+1 + （ －1 ） 2 024 ］； （ 4 ） （ －2ab 2 ） 2 （ 3a 2 b－2ab－4b 3 ）； （ 5 ） 2 （ －x+3y ）（ 4y－x ）； （ 6 ） （ x+2 ）（ x+3 ） － （ x+6 ）（ x－1 ）； （ 7 ） （ 2x+4 ） - 1 2 x 2 + + " x ； （ 8 ） （ 2x+5y ）（ 3x-2y ） - 2 3 x （ 3x-9y ）。 能力提升 综合拓展 16. 化简求值： （ 1 ） 2x （ 1-3x ） + （ 3x-4 ）（ 2x+3 ）， 其中 x=- 1 3 ； （ 2 ） （ x-1 ）（ 2x+1 ） - （ x-5 ）（ x+2 ）， 其中 x 2 +2x+2=0 ； （ 3 ） 2x （ 2x+y ） + （ x-y ）（ 3y+x ） +3y 2 ， 其中 x=-2 ， y=2 。 17 七年级下册 （北师大版）数学 17. 某居民小区为响应党的号召， 开展全民健身活动， 准备修建一块如图所示的长为 （ 3a+2b ） m 、 宽为 （ 2a+b ） m 的长方形健身广场， 广场内有一个边长为 2a m 的正方形活动 场所， 其余地方为绿化带。 （ 1 ） 用含 a ， b 的代数式表示绿化带的总面积。 （结果写成最简形式） （ 2 ） 若 a=10 ， b=5 ， 求出绿化带的总面积。 18. 在数学课上， 张老师出示下列问题： 已知 x 2 y=3 ， 求 2xy （ x 5 y 2 -3x 3 y-4x ） 的值。 下列是小王同学思考和解答这个问题的过程： 小王同学的思考过程： 考虑到满足 x 2 y=3 的 x ， y 的可能值较多， 不可以逐一代入求解， 故考虑整体思想， 将 x 2 y=3 整体代入， 因此要将代数式中含有 x ， y 的项化为以 x 2 y 为底数的 幂的形式的多项式。 解： 2xy （ x 5 y 2 -3x 3 y-4x ） =2x 6 y 3 -6x 4 y 2 -8x 2 y=2 （ x 2 y ） 3 -6 （ x 2 y ） 2 -8x 2 y=2×3 3 -6×3 2 -8×3=-24 。 请你用上述方法解答问题： 已知 ab=5 ， 求 -2b （ 2a 3 b 2 -3a 2 b+4a ） 的值。 * 19. 在探索有关整式的乘法法则时， 我们借助几何图形的面积推导出多项式乘多项式法 则。 实际有些代数恒等式也可以借助这种方法来验证等式的正确性， 例如： （ 2a+b ）（ a+b ） = 2a 2 +3ab+b 2 就可以用图 1 中的几何图形的面积的两种不同表示方法验证。 （ 1 ） 请利用图 2 中的几何图形， 写出一个多项式乘多项式以及它的恒等变形。 （ 2 ） 试画出一个几何图形， 使它的面积能表示为 （ a+b ）（ a+3b ） 或 a 2 +4ab+3b 2 。 （ 3 ） 请仿照上述方法再写一个含有 a ， b 的多项式乘多项式以及它的恒等变形， 并画出 与之相对应的几何图形。 3a+2b 2 a + b 2 a 第 17 题图 aba 2 a 2 b 2 abab baa a b baa a b b ab ab ab ab ab a 2 b 2 a 2 b 2 图 1 图 2 第 19 题图 18 整式的乘除 第一章 * 20. 阅读下列材料， 完成相应的任务。 定义： 对于一组多项式 x+a ， x+b ， x+c ， x+d （ a ， b ， c ， d 是常数）， 当其中两个多项式 的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数 p 时， 称这样的四个多项式是一组平衡多项 式， p 的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子。 例如： 对于多项式 x+1 ， x+2 ， x+5 ， x+6 ， 因 为 （ x+1 ）（ x+6 ） - （ x+2 ）（ x+5 ） = （ x 2 +7x+6 ） - （ x 2 +7x+10 ） =-4 ， 所以多项式 x+1 ， x+2 ， x+5 ， x+6 是 一组平衡多项式， 其平衡因子为 |-4|=4 。 （ 1 ） 小明发现多项式 x+3 ， x+4 ， x+6 ， x+7 是一组平衡多项式， 在求其平衡因子时， 列 式如下： （ x+3 ）（ x+7 ） - （ x+4 ）（ x+6 ）， 根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子。 （ 2 ） 多项式 x-1 ， x-2 ， x-4 ， x-5 是否为一组平衡多项式？ 若是， 求出平衡因子； 若不 是， 请说明理由。 （ 3 ） 若多项式 x+2 ， x-4 ， x+1 ， x+m （ m 是常数） 是一组平衡多项式， 求 m 的值。 中考链接 真题演练 21. （ 2024 ·兰州） 计算： 2a （ a-1 ） -2a 2 = （ ） A． a B． -a C． 2a D． -2a 22. （ 2024 ·辽宁） 下列计算正确的是 （ ） A． a 2 +a 3 =2a 5 B． a 2 · a 3 =a 6 C． （ a 2 ） 3 =a 5 D． a （ a+1 ） =a 2 +a 23. （ 2023 ·随州） 设有边长分别为 a 和 b （ a＞b ） 的 A 类和 B 类正方形纸片， 长为 a 、 宽 为 b 的 C 类矩形纸片若干张。 如图所示要拼一个边长为 a+b 的正方形， 需要 1 张 A 类纸片、 1 张 B 类纸片和 2 张 C 类纸片。 若要拼一个长为 3a+b 、 宽为 2a+2b 的矩形， 则需要 C 类纸 片的张数为 （ ） A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 24. （ 2024 ·陕西） 计算： （ x-1 ）（ x+2 ） -3 （ x-1 ）。 a a b b A C B C b a C a a A 第 23 题图 b b B 19