精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

数学 （120分钟 150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的子集个数是（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求得集合，利用子集的定义即得. 【详解】因为，所以，又，所以， 所以的子集有个． 故选：C． 2. 已知复数，则，和在复平面内对应的点关于（ ） A. 坐标原点对称 B. 轴对称 C. 轴对称 D. 直线对称 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算和几何意义求解即可. 【详解】因为，所以，对应的点为， 又，所以，对应的点为， 点与点关于轴对称. 故选:B． 3. 已知向量，，则“”的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由结合平面向量共线的坐标表示可求得的值，再结合充分条件的定义判断即可. 【详解】因为向量，且，则，即， 解得或， 所以，“”的一个充分条件“”. 故选：A. 4. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得圆的圆心与半径，利用对称求得圆心关于直线的对称点，可求对称圆的方程. 【详解】方程，可化为， 则圆心的坐标为，半径， 设圆关于直线对称的圆的圆心为，则半径仍为， 则，解得． 所以圆的方程为. 故选：C． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和与差的正、余弦公式，结合同角的商数关系和两角差的正切公式化简计算即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以． 又，即， 得，解得， 所以. 故选：D． 6. 在正四棱柱中，，点分别是的中点，则直线与所成夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，可证明，进而可得是直线与所成的角，取的中点，连接，则，可求得，，可求直线与所成夹角的余弦值. 【详解】如图，在正四棱柱中，取的中点，连接， 又因为是的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且， 所以与所成的角就是与所成的角，即． 因为是的中点，所以是四边形的中心，所以， 取的中点，连接，则，且， 在矩形中，，所以，则， 在中，， 所以在中，. 故选：B． 7. 定义：若函数存在个极值点，则称为折函数．例如，函数为3折函数．已知函数，则为（ ）（参考数据：） A. 3折函数 B. 4折函数 C. 5折函数 D. 6折函数 【答案】D 【解析】 【分析】求函数的导数，函数的极值点问题，等价于的零点问题，转化为函数与函数的图象在上的交点个数问题. 【详解】因为，所以． 函数的极值点问题，等价于的零点问题，令，得， 所以将函数的零点个数问题， 转化为函数与函数的图象在上的交点个数问题． 因为，所以，又， 在同一坐标系中，画出函数和的图象， 由图象可知，函数与函数的图象在上有5个交点， 所以函数为6折函数. 故选：D． 8. 已知双曲线的离心率为2，其左，右焦点分别为，双曲线上一点到其两条渐近线的距离之积为，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可求得双曲线的渐近线方程，进而根据题意可得，结合离心率可求得，设点在右支上，，由双曲线的定义可知，再利用余弦定理列方程可得，求解即可求得的面积. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为，即． 设，所以， 因为点在双曲线上，所以1，所以， 所以，即，因为，所以， 又，所以，所以，解得． 由双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的右支上，令，则， 因为，所以由余弦定理得， 即16，化简得， 所以的面积． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：关键在于利用余弦定理可求得，进而利用三角形面积公式求得面积. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.） 9. 一组单调递增数据的极差，平均数，中位数，方差依次为，构造一组新的数据（其中），新数据的极差，平均数，中位数，方差依次为，则下列结论中说法正确的（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知及极差、中位数的定义判断A、C；由样本中心在上判断B；由方差的性质判断D. 【详解】对于A，因为数据单调递增，所以数据也单调递增， 所以极差，正确； 对于B，因为，所以，因为，所以，错误； 对于C，由A知，因为，所以，正确； 对于D，因为，所以，即， 因为，所以，正确． 故选：ACD 10. 已知数列的前项和为，满足，数列满足，记，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最大值为8 D. 满足的最大值为8 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知及等差数列的定义确定数列是等差数列，进而求公差并写出判断A；根据等比数列的定义写出的通项公式，进而得到，应用分组求和、等比数列的前n项和公式求判断B；首先判断的单调性，再由不等式恒成立求的最大值判断C；设并判断的单调性，进而确定的最大值 【详解】对于A，因为2），所以， 所以数列是等差数列，设公差为， 因为，，所以，解得， 所以，正确； 对于B，因为，，所以，所以数列是公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以，错误． 对于C，由B知， 所以恒成立，所以数列单调递增， 当时，， 当时，， 所以的最大值为8，正确； 对于D，设， 则， 令，所以， 当时，，即， 所以当时，单调递增， 即当时单调递增， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 因为， 所以满足，的最大值为7，错误． 故选：AC 【点睛】关键点点睛：根据已知求出的通项公式为关键. 11. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点（异于坐标原点），则下列说法正确的是（ ） A. 以为直径的圆与轴相切 B. 若直线过点，则的最小值为 C. 若直线的斜率为2，且，则 D. 若，则直线过定点 【答案】AD 【解析】 【分析】如图，利用两点坐标表示直线斜率之积为-1可得，即可判断A；易知当直线的斜率不存在时；当斜率存在且不为0时，设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义求出弦长即可判断B；由三角形面积关系可得，分类讨论、两种情况，利用两点表示斜率公式求出点坐标，结合两点求弦长即可判断C；分类讨论斜率存在与不存在两种情况，直线方程联立抛物线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示计算即可判断D. 【详解】对于A，，设，取的中点，过点作轴的垂线，垂足为， 则，，所以， 所以，所以以为直径的圆与轴相切，故A正确； 对于B，当直线的斜率不存在时，因为直线过点， 得或，所以； 当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 由，得， 设，则， 此时． 综上所述，，故B错误； 对于C，设，不妨设点A在轴上方，则. 因为，所以，即， 由直线的斜率为2，①当时，设， 所以，所以，解得， 所以，，所以； ②当时，设，所以， 所以，解得，所以，， 所以．结合①，②可得或，故C错误； 对于D，当直线的斜率不存在时，因为，所以， 易得或，则直线的方程为，过点； 当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 由，得，设， 则，所以，因为，所以， 所以，所以，又两点异于坐标原点，所以， 得，所以直线的方程为，则直线过点，故D正确． 故选：AD． 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中的常数项为______． 【答案】60 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式可得，可求得，进而令，计算可求常数项. 【详解】的展开式的通项公式为， 所以展开式中第2项的系数为，二项式系数为，所以，解得． 令，得，所以展开式中的常数项为. 故答案为：60. 13. 定义在上的函数满足对任意的，都有成立，且当时，，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据题意可得函数的奇偶性和单调性，利用函数的单调性和奇偶性可得，解不等式可得答案. 【详解】令，因为，所以，所以为偶函数， 当时，，所以恒成立， 所以在上单调递减，即在上单调递减， 因为，所以， 所以，所以，解得. 故答案为：. 14. 已知正项数列满足，若存在非零常数，使得数列为等比数列，则______；数列的通项公式为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知有，进而有，结合数列为等比数列，讨论、确定参数，并求出数列的通项公式，即可得. 【详解】因为，所以， 所以，设， 所以． 因为数列为等比数列，所以为常数． 当时，， 当时，，且， 所以数列成等比数列，其公比，满足题意； 则， 所以，解得； 当时，，且， 所以数列成等比数列，其公比，满足题意； 则， 所以，解得. 当时，为常数， 则，由，得， 这与为非零常数矛盾，所以时，不满足题意． 综上所述，，. 故答案为:, 【点睛】关键点点睛：首先得到，再由及等比数列的性质求参数a为关键. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知. （1）求； （2）证明：是等差数列，并求出； （3）设，求的前项和. 【答案】（1）； （2） ，故是以1为首项1为公差的等差数列.故. （3） 【解析】 【分析】（1）根据数列递推公式计算即可； （2）根据等差数列定义即可证明，根据等差数列通项公式计算可得数列通项公式； （3）由，根据裂项相消计算即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以 16. 某市为了丰富市民的娱乐，在我国的传统节日春节期间组织系列活动．在广泛宣传之下，有1000名市民参加本次活动．组委会按照参赛市民的年龄，将参加活动的市民分成“青年组”和“老龄组”，得到如下列联表： 男性市民 女性市民 合计 青年组 400 200 600 老年组 250 150 400 合计 650 350 1000 （1）是否有75%的把握认为“参加本次活动的市民与其性别有关”？ （2）采用分层抽样的方法从青年组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行“采访”，记这2人中“女性市民”的人数为，求的分布列及期望； （3）若本次活动有慢跑、冬泳、滑冰三个可选项目，现组委会准备从来自“向阳小区”的4名男性市民和2名女性市民中随机抽取2人参加这三项活动，其中每名女性市民至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男性市民至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的2人的得分之和为，求的期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 【答案】（1）有把握 （2）的分布列为 0 1 2 ． （3）13 【解析】 【分析】（1）根据列联表计算，由独立性检验即可判断； （2）由分层抽样计算抽取的6人中，男性4人，女性2人，根据超几何分布可求得的分布列，可求； （3）根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，即可得，即可求得. 【小问1详解】 零假设为：参加本次活动的市民与其性别无关，根据列联表中的数据可以求得 ， 由于， 所以有的把握认为“参加本次活动的市民与其性别有关”. 【小问2详解】 因为青年组中男性市民与女性市民之比为，所以采用分层抽样的方法抽取的6人中，男性市民有4人，女性市民有2人，则的所有可能取值为，依题意知服从超几何分布，且， 则， 所以的分布列为 0 1 2 所以． 【小问3详解】 设1名女性市民参加活动可获得的分数为，1名男性市民参加活动可获得的分数为，则的所有可能取值为3，6，的所有可能取值为6，9，则，所以， ，所以． 设有名女性市民参加活动，则有名男性市民参加活动， 则， 由（2）可知，，所以， 即随机选取的2人的得分之和的期望为13分． 17. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论的范围确定导数正负可得出单调性； （2）由已知得恒成立，令，利用导数求得的最小值即可. 【小问1详解】 由，则 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得， 时，，则在上单调递增； 时，，则在上单调递减． 【小问2详解】 由题意恒成立， 因为，即得恒成立，即，， 记则， 令，得，令，得，即在上单调递减， 令可得，即在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，动点到点和的距离之和为4．记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设直线与曲线交于两点． ①若点，直线过点且与直线垂直，求的周长； ②若，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）①8；② 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义及其标准方程即可得出； （2）①由（1）可知，为正三角形，得直线为线段的垂直平分线，则的周长为；②当直线的斜率一条为0，另一条不存在时，的面积为；当直线的斜率存在且都不为零时，设直线，与椭圆联立消去得，则，则，则得，同理可得，，代入，变形后利用基本不等式，即可求得其取值范围. 【小问1详解】 由题意知，， 所以动点的轨迹是以和为焦点的椭圆， 故可设椭圆的方程为， 则，所以， 所以曲线的方程为． 【小问2详解】 ①由（1）知，，得为正三角形， 则由，得直线为线段的垂直平分线， 所以，且， 则的周长为 ②（Ⅰ）当直线的斜率一条为0，另一条不存在时，的面积为， （Ⅱ）当直线的斜率存在且都不为零时，设直线， 由，得， 即，则， 则， 同理可得，， 故的面积为 ． 当且仅当，即时取最小值． 综上，的面积的取值范围为． 19. 如图多面体ABCDEF中，面面，为等边三角形，四边形ABCD为正方形，，且，H，G分别为CE，CD的中点． （1）证明：； （2）求平面BCEF与平面FGH所成角的余弦值； （3）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AD交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）． 【答案】（1） 在正方形中，， ∵平面平面，平面平面平面， 平面，又平面， ； （2） （3），作图如下： 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而证明出线线垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而利用平面法向量求出面面角的余弦值； （3）作出辅助线，得到线线平行，进而得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 为等边三角形，设中点为，∴， 又平面平面，面面面，则面， 以为坐标原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示： 因为，则，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取得，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 所以， 所以， 所以平面与与平面成角的余弦值为； 【小问3详解】 如图所示：在上取一点，使得，连接， 因为，，所以，即， 所以为平行四边形，故， 因为H，G分别为CE，CD的中点，所以， 故，即共面， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （120分钟 150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的子集个数是（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 2. 已知复数，则，和在复平面内对应的点关于（ ） A. 坐标原点对称 B. 轴对称 C. 轴对称 D. 直线对称 3. 已知向量，，则“”的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4 6. 在正四棱柱中，，点分别是的中点，则直线与所成夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 定义：若函数存在个极值点，则称为折函数．例如，函数为3折函数．已知函数，则为（ ）（参考数据：） A. 3折函数 B. 4折函数 C. 5折函数 D. 6折函数 8. 已知双曲线的离心率为2，其左，右焦点分别为，双曲线上一点到其两条渐近线的距离之积为，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.） 9. 一组单调递增数据的极差，平均数，中位数，方差依次为，构造一组新的数据（其中），新数据的极差，平均数，中位数，方差依次为，则下列结论中说法正确的（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知数列的前项和为，满足，数列满足，记，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最大值为8 D. 满足的最大值为8 11. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点（异于坐标原点），则下列说法正确的是（ ） A. 以为直径的圆与轴相切 B. 若直线过点，则的最小值为 C. 若直线的斜率为2，且，则 D. 若，则直线过定点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中的常数项为______． 13. 定义在上的函数满足对任意的，都有成立，且当时，，则不等式的解集是______． 14. 已知正项数列满足，若存在非零常数，使得数列为等比数列，则______；数列的通项公式为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知. （1）求； （2）证明：是等差数列，并求出； （3）设，求的前项和. 16. 某市为了丰富市民的娱乐，在我国的传统节日春节期间组织系列活动．在广泛宣传之下，有1000名市民参加本次活动．组委会按照参赛市民的年龄，将参加活动的市民分成“青年组”和“老龄组”，得到如下列联表： 男性市民 女性市民 合计 青年组 400 200 600 老年组 250 150 400 合计 650 350 1000 （1）是否有75%的把握认为“参加本次活动的市民与其性别有关”？ （2）采用分层抽样的方法从青年组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行“采访”，记这2人中“女性市民”的人数为，求的分布列及期望； （3）若本次活动有慢跑、冬泳、滑冰三个可选项目，现组委会准备从来自“向阳小区”的4名男性市民和2名女性市民中随机抽取2人参加这三项活动，其中每名女性市民至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男性市民至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的2人的得分之和为，求的期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 17. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，动点到点和的距离之和为4．记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设直线与曲线交于两点． ①若点，直线过点且与直线垂直，求的周长； ②若，求面积的取值范围． 19. 如图多面体ABCDEF中，面面，为等边三角形，四边形ABCD为正方形，，且，H，G分别为CE，CD的中点． （1）证明：； （2）求平面BCEF与平面FGH所成角的余弦值； （3）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AD交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $