特训01 图形的变换 平行四边形 压轴题（十三大题型，含模型图解）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训01 图形的变换 平行四边形 压轴题（十三大题型） 目录： 题型1：图形的平移 题型2：手拉手模型 题型3：截长补短法 题型4：手拉手模型+截长补短法 题型5：对称问题 题型6：四点共线求最值问题 题型7：平行四边形—传统解答证明题 题型8：平行四边形—分类讨论问题 题型9：平行四边形—动点问题 题型10：平行四边形—旋转问题 题型11：平行四边形—倍长中线法构造平行四边形 题型12：平行四边形—情景探究类（拓展延伸型） 题型13：平行四边形—在平面直角坐标系中的应用 本专题可能用到的几何模型参考： 1、利用旋转构造全等三角形 2、倍长中线模型 3、截长补短法 题型1：图形的平移 1．（2025八年级下·江苏·专题练习）【基础巩固】 在中，，，点是平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，； （1）如图1，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，当A、D、E三点在同一条直线上时，求的大小； 【拓展提高】 （3）如图3，与交于点，点为的中点，交于点，连接，若，且为18，求的长． 题型2：手拉手模型 2．（2025八年级下·江苏·专题练习）图1是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（与重合）的图形． (1)操作：固定，将绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则______度，并直接写出线段BE与AD的数量关系____． (2)操作：若将图1中的，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结AD、BE，如图3． ①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系； ②求的度数． (3)若将图1中的，绕点C按逆时针方向旋转一个角，当等于多少度时，的面积最大？请直接写出答案． 题型3：截长补短法 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）问题背景 如图1：在四边形中，，，．E，F 分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连结．先证明；再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 请你帮他完成证明过程． （2）探索延伸： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以40海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以50海里/小时的速度前进2小时后，指挥中心观测到甲，乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，此时两舰艇之间的距离_______． 题型4：手拉手模型+截长补短法 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【认识模型】如图1，和中，，，，连接、．这里与有一个公共的顶点，其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”． 【理解模型】如图2，点P是等边外一点，．求证：． 聪明的小明同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，将绕点A逆时针旋转到，使点B与点C重合，只要证得P、C、D三点在同一直线上，进而就可以证明为等边三角形，请你根据小明的思路，写出完整的推理过程． 【变式迁移】如图3，四边形中，，，连接．请直接写出、、之间的数量关系：________． 【构造模型】如图4，在中，，，是外一点，若线段、、满足关系式，则的度数为________，请说明理由． 题型5：对称问题 5．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，分别与x轴、y轴相交于点A、B，．为y轴上一点，P为线段上的一个动点． (1)求直线的函数表达式； (2)①连接，若的面积为面积的，则点P的坐标为______； ②若射线平分，求点P的坐标； (3)如图2，若点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，点P的坐标为______．（直接写出所有答案） 题型6：四点共线求最值问题 6．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．    (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转60°到处，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 °． (2)请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图3，中，，E、F为边上的点，且，判断、、之间的数量关系并注明； ②如图4，在中，，在内部有一点P，连接、、，求的最小值． 7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）【操作发现】 如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】 如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】 如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】 如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 题型7：平行四边形—传统解答证明题 8．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图1，四边形中，，，，E、F分别为、上一点，G为延长线上一点，，的延长线交于M，交的延长线于点N，，．    (1)①求证； ②试判断四边形的形状，并加以证明； (2)如图2，过点M作，，，求的长． 题型8：平行四边形—分类讨论问题 9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，连接，以，为邻边作，连接，． (1)如图1，当点D落在上时，与的数量关系是___________，位置关系是___________ (2)如图2，当点D在的内部时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，连接，若，，当时，直接写出的长． 10．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 题型9：平行四边形—动点问题 11．（22-23八年级上·浙江舟山·期末）中，平分交于点E．已知，，．动点P从点E出发，沿方向匀速向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿方向匀速向点E运动，已点P，Q的运动速度都是，运动时间为，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动. (1)求的长； (2)如图1，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得．若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由；     (3)如图2在运动过程中，以为边向下作等边三角形．通过操作发现点M的位置是固定的．请求出此时线段的长； (4)如图3，在运动过程中，以为边向下作等腰直角三角形，使得，．请先判断运动过程中，点M的位置是否发生变化.若M的位置不发生变化，请直接写出的长；若点M的位置发生变化，请直接写出点M的运动路经长． 12．（2025八年级下·江苏·专题练习）在中，，，点是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作交直线于点．    (1)如图1，当点为线段的中点时，请判断出，的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在线段上时，求证：； (3)点在射线上运动，若，，求线段的长． 13．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且． (1)如图1，若，求、的长； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______． 题型10：平行四边形—旋转问题 14．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图1，在中，对角线相交于点O，且，，点E为线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，当点F落在的外面，交于点M，且能构成四边形时，四边形的面积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由． 15．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，在等边中，点D是边上且与A，B不重合的点，是由线段绕点D顺时针旋转得到的．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点A作分别交于点F，G，连接相交于点M，求证：与相互平分； (3)如图3，在（2）的条件下，若N是的中点连接，求证：． 16．（2025八年级下·江苏·专题练习）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若，连接，求证； (2)如图2，若，连接交于，求证：； (3)若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，求出四边形的面积． 题型11：平行四边形—倍长中线法构造平行四边形 17．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们定义：如图，在中，把绕点按顺时针方向旋转（得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图、图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图，当，时，则长为 ； (2)精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点的对应点为点，点的对应点为点），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)猜想论证：在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 题型12：平行四边形—情景探究类（拓展延伸型） 18．（2025八年级下·江苏·专题练习）【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 19．（2025八年级下·江苏·专题练习）数学课上张老师出示了一个问题：如图1，在中， E为边上一点，连接， 求证： ①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图1进行证明． ②小芮同学说：可以添画图2中的辅助线，然后进行证明． （1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程． 【问题探究】 （2）小迪同学在此问题基础上，过点E作 ，交于点F，如图3，小琳根据小迪的作法，写出了线段之间的数量关系：请你判断这一结论是否成立，如果成立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的新结论，并证明． 【类比拓展】 （3）小怡同学突发奇想，过点E作交于点 F，如图4，若的面积为 12，，请你直接写出线段的长． 题型13：平行四边形—在平面直角坐标系中的应用 20．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点，在直线上，点，在直上，若，则四边形是半对角四边形．． (1)如图2，点是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求平行四边形的面积； (2)如图3，以平行四边形的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，为平面上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 21．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图1，直线交轴于点，交轴于点．直线关于轴对称的直线交轴于点C，直线经过点C． (1)①求线段的长； ②求出直线的函数表达式； (2)点R、T分别在直线、上．若以A、B、R、T为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点R的坐标； (3)如图2，点在x轴上，过点E作直线．轴，交直线于点P，点在四边形内部，直线交于点Q，直线交于M，求的值． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训01 图形的变换 平行四边形 压轴题（十三大题型） 目录： 题型1：图形的平移 题型2：手拉手模型 题型3：截长补短法 题型4：手拉手模型+截长补短法 题型5：对称问题 题型6：四点共线求最值问题 题型7：平行四边形—传统解答证明题 题型8：平行四边形—分类讨论问题 题型9：平行四边形—动点问题 题型10：平行四边形—旋转问题 题型11：平行四边形—倍长中线法构造平行四边形 题型12：平行四边形—情景探究类（拓展延伸型） 题型13：平行四边形—在平面直角坐标系中的应用 本专题可能用到的几何模型参考： 1、利用旋转构造全等三角形 2、倍长中线模型 3、截长补短法 题型1：图形的平移 1．（2025八年级下·江苏·专题练习）【基础巩固】 在中，，，点是平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，； （1）如图1，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，当A、D、E三点在同一条直线上时，求的大小； 【拓展提高】 （3）如图3，与交于点，点为的中点，交于点，连接，若，且为18，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）6 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）由，即，可得，用可知； （2）由和均为等腰直角三角形，得，故，而，知，故； （3）连接，，由和均为等腰直角三角形，知，而点为的中点，可得，，又，故，是等腰直角三角形，有，，从而可证，得，，，即得，故，得，从而，即可解得． 【解析】（1）证明：，即， ， 在和中， ， ； （2）解：，，， 和均为等腰直角三角形， ， ， 同（1）可得， ， ； （3）解：如图，连接，， ，，， 和均为等腰直角三角形， ， 点为的中点， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在 和中， ， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型2：手拉手模型 2．（2025八年级下·江苏·专题练习）图1是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（与重合）的图形． (1)操作：固定，将绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则______度，并直接写出线段BE与AD的数量关系____． (2)操作：若将图1中的，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结AD、BE，如图3． ①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系； ②求的度数． (3)若将图1中的，绕点C按逆时针方向旋转一个角，当等于多少度时，的面积最大？请直接写出答案． 【答案】(1)40，BE＝AD (2)①存在，理由见详解；②60° (3)当α＝150°或330°时，的面积最大 【分析】（1）由旋转可得∠BCE=20°，可得出40°，BC＝AC，∠BCE＝∠ACD＝20°，CE＝CD，可求得BE＝AD； （2）方法同（1）； （3）当BC边上的高最大时，△BCD的面积最大，高最大时CD的长，△BCD的面积最大，由两种情形． 【解析】（1）∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA=60°， ∵旋转20° ∴∠BCE＝∠ACD＝20°， ∴△CBE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝AD（全等三角形的对应边相等）， ∵∠BCA－∠BCE ∴60°-20°=40° 故答案为：40，BE＝AD （2）如图1， ①（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵△ABC和△CDE是等边三角形， BC＝AC， CE＝CD， ∵∠BCE＝∠ACD＝120°， ∴△CBE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝AD； ②∵△CBE≌△CAD， ∴∠CBE＝∠CAD， 又∠AOP＝∠BOC， ∴∠APB＝∠ACB＝60°； （3）如图2， 当D运动到D1或D2，即BC⊥D1D2 S△BCD最大 ab， 此时旋转角是60°+90°＝150°， 或360°﹣30°＝330°， ∴当α＝150°或330°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及旋转等知识，解决问题的关键是找全等的对应边和对应角，题目属于中考常考题型． 题型3：截长补短法 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）问题背景 如图1：在四边形中，，，．E，F 分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连结．先证明；再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 请你帮他完成证明过程． （2）探索延伸： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以40海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以50海里/小时的速度前进2小时后，指挥中心观测到甲，乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，此时两舰艇之间的距离_______． 【答案】（1），证明见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3）180海里 【分析】本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握旋转的性质、三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用． （1）问题背景：延长到点，使，连接，证明，得到，证明，得到答案； （2）探索延伸：连接，延长，相交于点，利用全等三角形的性质证明． （3）实际应用：如图3，连接，延长，相交于点，首先证明，，利用结论求解即可． 【解析】解：（1）问题背景：由题意：，， ，， ． 故答案为：； （2）探索延伸：仍然成立． 理由：如图2，延长到点，使，连接 ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ． 在和中， ， ， ， 又， ； （3）实际应用：如图3，连接，延长，相交于点， 在四边形中， ，， 又，，符合探索延伸中的条件， 结论成立． 即，（海里） 此时两舰艇之间的距离为180海里． 故答案为：180海里． 题型4：手拉手模型+截长补短法 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【认识模型】如图1，和中，，，，连接、．这里与有一个公共的顶点，其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”． 【理解模型】如图2，点P是等边外一点，．求证：． 聪明的小明同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，将绕点A逆时针旋转到，使点B与点C重合，只要证得P、C、D三点在同一直线上，进而就可以证明为等边三角形，请你根据小明的思路，写出完整的推理过程． 【变式迁移】如图3，四边形中，，，连接．请直接写出、、之间的数量关系：________． 【构造模型】如图4，在中，，，是外一点，若线段、、满足关系式，则的度数为________，请说明理由． 【答案】【理解模型】证明见解析；【变式迁移】；【构造模型】，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键； 【理解模型】先证明三点在同一直线上，则是等边三角形，即可得出结论； 【变式迁移】将绕点A逆时顺旋转到，证明三点在同一直线上，证明，再根据勾股定理得出结论； 【构造模型】先证明是等边三角形，将绕点C顺时针旋转到，连接，再证明，根据角的和差关系得出结论； 【解析】解：理解模型：将绕点A逆时针旋转到， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， 三点在同一直线上， 是等边三角形， ， ； 变式迁移：将绕点A逆时顺旋转到， ， ， ， ， 三点在同一直线上， ， 是等腰直角三角形， ， ； 构造模型：，， 是等边三角形， 将绕点C顺时针旋转到，连接， ， 是等边三角形， ， ， ． 题型5：对称问题 5．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，分别与x轴、y轴相交于点A、B，．为y轴上一点，P为线段上的一个动点． (1)求直线的函数表达式； (2)①连接，若的面积为面积的，则点P的坐标为______； ②若射线平分，求点P的坐标； (3)如图2，若点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，点P的坐标为______．（直接写出所有答案） 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）作轴，证，得， ，由点B、C即可求解． （2）①过点P作轴，由点B、C、D可得，由得，即可求，从而得点P坐标．②作，证得，由，，得点P坐标． （3）分两种情况讨论，当点在x轴正半轴，当点在x轴负半轴，当延长至点H，由折叠的性质可知，，由得，进而得点P坐标．或根据两点间距离公式求解即可． 【解析】（1） 作轴， ∴， 在和中， ∵，     ∴， ∴， ∵， ∴， 将B、C分别代入得， 解得，， ∴直线的函数表达式． （2）①过点P作轴， 由点B、C、D可知， ∵， ∴， 由点B、D可得， ∵， ∴， ∴． ②作， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）①当点在x轴正半轴， 延长至点H， 由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标值为， ∴， ∴ ∴． ②当点在x轴负半轴， 同①可得， 设， 由题意得，即， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上，或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用、三角形的全等证明、勾股定理、角平分线的性质，掌握相关知识，根据题意正确画出辅助线是解题的关键． 题型6：四点共线求最值问题 6．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．    (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转60°到处，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 °． (2)请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图3，中，，E、F为边上的点，且，判断、、之间的数量关系并注明； ②如图4，在中，，在内部有一点P，连接、、，求的最小值． 【答案】(1)150 (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）连接，利用旋转的性质，易得为等边三角形，得到，，勾股定理定理逆定理，得到，进而推出的度数，即可得解； （2）①将绕点逆时针旋转，得到，连接，利用旋转的性质和等边对等角，得到，为直角三角形，进而得到，证明，得到，即可得出结论； ②将绕点逆时针旋转，得到，连接，，易得为等边三角形，，推出，得到当且仅当四点共线时，的值最小为的长，利用勾股定理求出的长即可． 【解析】（1）解：连接，    ∵将绕顶点A逆时针旋转60°到 ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：150； （2）①由图可知：， ∵， ∴， 将将绕点逆时针旋转，得到，连接，    则：， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， 又，， ∴， ∴， ∴； ②将绕点逆时针旋转，得到，连接，，    则：，， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， 当且仅当四点共线时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是通过旋转，构造全等三角形和特殊三角形．本题考查半角模型，费马点问题，难度较大，属于压轴题． 7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）【操作发现】 如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】 如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】 如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】 如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 【答案】（1）等边（2）（3）（4） 【分析】（1）证明是等边三角形即可； （2）将绕点逆时针方向旋转，得，连接，证明是等边三角形，推出，然后利用勾股定理求解即可； （3）将绕点按逆时针方向旋转，得到，推出是等边三角形，，再求得，，推导出，得到，然后利用勾股定理求得，最后利用求得答案； （4）先由旋转的性质得出，则，推出是等边三角形，那么有，当、、、在一条直线上时，最小，此时，再求得，最后利用求得答案． 【解析】（1）解：等边，理由如下： 将绕点顺时针旋转，得到 ， 是等边三角形 （2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，得，连接， 那么有， 是等边三角形 ， 在中， （3）解：如图， 将绕点按逆时针方向旋转，得到， 是等边三角形，， ， ，即 即 （4）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接、，如图所示： ， ，， 是等边三角形 ， 当、、、在一条直线上时，最小 当最小时， 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题． 题型7：平行四边形—传统解答证明题 8．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图1，四边形中，，，，E、F分别为、上一点，G为延长线上一点，，的延长线交于M，交的延长线于点N，，．    (1)①求证； ②试判断四边形的形状，并加以证明； (2)如图2，过点M作，，，求的长． 【答案】(1)①证明见解析；②平行四边形，证明见解析 (2) 【分析】（1）①由平行线的性质可得，结合已知即可证明； ②在取一点H，使，连接交于点K，可证是等腰直角三角形，，证明，得到，证明，，可得，，是等腰直角三角形，，得到，，即可证明； （2）过点M作，设，由勾股定理可得，求得，，，证明，得到，，，由勾股定理可得，求解即可． 【解析】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴； ②四边形是平行四边形， 证明如下： 如图，在上取一点H，使，连接交于点K，    ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）如图，过点M作，设，    ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴ 解得， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是解题的关键． 题型8：平行四边形—分类讨论问题 9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，连接，以，为邻边作，连接，． (1)如图1，当点D落在上时，与的数量关系是___________，位置关系是___________ (2)如图2，当点D在的内部时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，连接，若，，当时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)成立，见解析 (3)或 【分析】（1）根据，且可判断四边形，证明解答即可． （2）延长交于点K，仿照(1)，利用平行四边形的性质证明即可． （3）分类计算即可．本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【解析】（1）∵四边形是平行四边形，且， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）结论仍然成立，理由如下： 延长交于点K， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （3）当在的右侧时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴共线， ∵和都是等腰直角三角形，，， ， ∴， ∴， 此时； 当在的左侧时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴共线， ∵和都是等腰直角三角形，，， ， ∴， ∴， 此时； 故的长为或． 10．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)等边三角形 (2)等边三角形，见解析 (3)或 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，，利用平行线的性质，得到，，，从而推出，最后判定三角形为等边三角形； （2）连接，交分别、于点、，同理可证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，，得到是等腰三角形，最后联合平行线的性质，得到，从而判定三角形为等边三角形； （3）连接、，同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形有，设，则，，先判定是直角三角形，，取的中点，连接，通过，推出，即此时在边上，那么；连接、，同①，可证是直角三角形，，，此时在边上，可得到． 【解析】（1）解：由题意可得，， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 、、三点共线 ，， 是等边三角形 故答案为：等边三角形． （2）解：是等边三角形，理由如下， 如下图，连接，交分别、于点、， ， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 ，， 点在线段的延长线上 ，即 ， 是等腰三角形 又， 是等边三角形 （3）解：①如下图，连接、 同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形 有 设，则， 是直角三角形， 取的中点，连接 此时在边上 ②如下图，连接、 同①，可证是直角三角形，， 此时在边上 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上知识点，构建合适的辅助线是解题的关键． 题型9：平行四边形—动点问题 11．（22-23八年级上·浙江舟山·期末）中，平分交于点E．已知，，．动点P从点E出发，沿方向匀速向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿方向匀速向点E运动，已点P，Q的运动速度都是，运动时间为，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动. (1)求的长； (2)如图1，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得．若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由；     (3)如图2在运动过程中，以为边向下作等边三角形．通过操作发现点M的位置是固定的．请求出此时线段的长； (4)如图3，在运动过程中，以为边向下作等腰直角三角形，使得，．请先判断运动过程中，点M的位置是否发生变化.若M的位置不发生变化，请直接写出的长；若点M的位置发生变化，请直接写出点M的运动路经长． 【答案】(1) (2)存在； (3) (4)点M的位置发生变化；理由见解析；点M的运动路经长 【分析】（1）根据含30度直角三角形的性质进行求解即可； （2）根据题意得出，根据等腰三角形的判定得出，根据，得出； （3）连接，，证明，得出，，证明为等边三角形，得出点M为一个定点，，，过点M作于点F，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理，求出结果即可； （4）过点M作，过点P作于点D，过点Q作于点G，过点C作于点H，过点M作于点F，证明，得出，，设，则，求出，得出，根据得出，说明随t的变化而变化，说明点M是变化的，且点M在平行于的直线上运动；根据t的取值范围求出点M运动的路径长即可． 【解析】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：存在；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接，，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴点M为一个定点，，， ∴， 过点M作于点F， ∴， ∴， ∴，， ∴． （4）解：点M的位置发生变化；理由如下： 过点M作，过点P作于点D，过点Q作于点G，过点C作于点H，过点M作于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理得：，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 同理得：四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点M到的距离为定值， ∵， ∴， ∴ ， ∴随t的变化而变化， ∴点M是变化的，且点M在平行于的直线上运动； ∵， ∴， ∴的最小值为， 的最大值为， ∴点M运动的路径长为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 12．（2025八年级下·江苏·专题练习）在中，，，点是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作交直线于点．    (1)如图1，当点为线段的中点时，请判断出，的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在线段上时，求证：； (3)点在射线上运动，若，，求线段的长． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）连接，可知是等腰直角三角形，再证明，得； （2）过点作交于点，首先证明，得，再证明是等腰直角三角形，可得结论； （3）分点在线段和的延长线上两种情形，分别画出图形，利用，得，从而解决问题． 【解析】（1）解：连接， 四边形是平行四边形， ， ， ∴， ， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ，， ，    ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作交于点，    ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， ； （3）解：当点在线段上时，如图②，作，交延长线于，    则是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 由（2）得，； ， ， ， 当点在的延长线上时，作，交延长线于，    同理可得， ， ， ， ， 综上：的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． 13．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且． (1)如图1，若，求、的长； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； （2）过点作于点，连接，由垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得到，证明，得到，，进而得出，再证明，得到，即可得出结论； （3）在取点，使得，连接并延长交于，连接，则是等边三角形，结合旋转的性质，可证，得出，进而推出，设与的交点为，点在直线上运动，则当点运动到点处时，有最小值，由（1）可知，，从而得出，再利用勾股定理，求出的长，即为的最小值． 【解析】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，，， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，连接， ，， 垂直平分， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接， 四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设与的交点为， 点在直线上运动， 当点运动到点处时，有最小值， ，， ， 由（1）可知，， ， ， 在中，， ，， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，综合性较强，掌握相关知识点是解题关键． 题型10：平行四边形—旋转问题 14．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图1，在中，对角线相交于点O，且，，点E为线段上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，当点F落在的外面，交于点M，且能构成四边形时，四边形的面积是否发生变化？若不变，请末出这个值，若变化，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不变；4 【分析】（1）可证得，进而证得，从而； （2）由（1）得，从而，因为，从而，从而得出； （3）连接，作，交于，作于，可证得，从而，进一步得出结果． 【解析】（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图1， 设直线交于， 由（1）得，， ， ， ， ； （3）解：如图2．四边形的面积不变，理由如下， 连接，作，交于，作于， ∴， ∴， 由（2）可知，， ， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 由得： ， ， ， ∴四边形的面积为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 15．（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，在等边中，点D是边上且与A，B不重合的点，是由线段绕点D顺时针旋转得到的．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点A作分别交于点F，G，连接相交于点M，求证：与相互平分； (3)如图3，在（2）的条件下，若N是的中点连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，则是等边三角形，证明，进而可求的度数； （2）如图1，连接，则，由，可得，由，可得，证明，证明四边形是平行四边形，进而结论得证； （3）如图2，延长至点H，使，证明，则，，，证明，则，进而结论得证． 【解析】（1）解：∵是由线段绕点D顺时针旋转得到的， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）证明：如图1，连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴与相互平分； （3）证明：如图2，延长至点H，使，    ∵N是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质是解题的关键． 16．（2025八年级下·江苏·专题练习）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若，连接，求证； (2)如图2，若，连接交于，求证：； (3)若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，求出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）在上截取，连接，先证可得，再证可得，然后再线段的和差和等量代换即可解答； （3）先求得,,再连接,则，当，即有最小值，再根据勾股定理求得，最后根据平行四边形的面积公式即可解答． 【解析】（1）解：， ， 在和， ， ， ， （2）解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ∴， ∵ ． （3）解：如图：∵， ∴，, 连接， 由（2）可知， ∴是等边三角形， ∴， ∵将线段绕着点E顺时针旋转得到线段， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，点的轨迹为过点H且平行的直线， 过H作，其延长线角于M，过C作于Q， 由点到直线的距离，垂线段最短，可知：当时，即有最小值 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了平行四边性的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 题型11：平行四边形—倍长中线法构造平行四边形 17．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们定义：如图，在中，把绕点按顺时针方向旋转（得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图、图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图，当，时，则长为 ； (2)精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点的对应点为点，点的对应点为点），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)猜想论证：在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)①；②； (2)图见解析； (3)，证明见解析． 【分析】（1）①根据含直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （）根据线段垂直平分线的性质、利用尺规作图作出点； （）证明四边形′′是平行四边形，得到，，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【解析】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”． ∴， ∴， ∴， 故答案为； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为； （2）解：作线段、的垂直平分线，交点即为点， （3）解：，理由如下：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在′和中， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． 题型12：平行四边形—情景探究类（拓展延伸型） 18．（2025八年级下·江苏·专题练习）【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 【答案】提出问题：证明见解析；问题探究：证明见解析；拓展延伸： 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理； 提出问题：由垂直可得，由，可得，，得到，即可证明； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，先证明，得，，再证明，得到，推出，即可证明，得到，； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，证明，得到，再由勾股定理得到，最后根据计算即可． 【解析】解：提出问题：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，则， ∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，则， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（2025八年级下·江苏·专题练习）数学课上张老师出示了一个问题：如图1，在中， E为边上一点，连接， 求证： ①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图1进行证明． ②小芮同学说：可以添画图2中的辅助线，然后进行证明． （1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程． 【问题探究】 （2）小迪同学在此问题基础上，过点E作 ，交于点F，如图3，小琳根据小迪的作法，写出了线段之间的数量关系：请你判断这一结论是否成立，如果成立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的新结论，并证明． 【类比拓展】 （3）小怡同学突发奇想，过点E作交于点 F，如图4，若的面积为12，，请你直接写出线段的长． 【答案】（1）任选一种，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，即可证明； （2）连接，可得，利用勾股定理，即可证明； （3）过点作，取的中点，连接，可得，设，利用勾股定理列方程，即可解得． 【解析】解：（1）①小芳同学的解法 证明：如图1， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②小芮同学的解法： 证明：如图2，延长与的延长线相较于点 G ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形 ， ， ， ， ； （2）成立，理由如下： 证明: 如图，连接 ， ， 由(1) 得， ∴在中, ∵四边形是平行四边形        ； （3）如图，过点作，取的中点，连接， ， ， ，， ， ，， 的面积为12，， , ， 是的中点， ，， ， 根据勾股定理可得， ， 设， 根据勾股定理可得， ， 即 解得， 题型13：平行四边形—在平面直角坐标系中的应用 20．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点，在直线上，点，在直上，若，则四边形是半对角四边形．． (1)如图2，点是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求平行四边形的面积； (2)如图3，以平行四边形的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，为平面上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，或，或 【分析】（1）根据半对角四边形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长，过点作的垂线交于，利用勾股定理求出，从而求出平行四边形的面积； （2）由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合半对角四边形的定义即可证出四边形是半对角四边形； （3）点的坐标为，，点的坐标为，点的坐标为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，画出图形，作出符合要求的的点、、，根据平行四边形的性质以及中点坐标公式即可求解． 【解析】（1）解：四边形为半对角四边形， ， ， ， ， 过点作的垂线交于，如图： ， ， ， ， 由勾股定理得：， ． （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， 又， 四边形是半对角四边形； （3）解： ，，四边形为平行四边形， ，， ，， 为的中点， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 如图3，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，点的坐标为，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 轴，， 当为对角线时，构成平行四边形， 平行四边形的对角线互相平分， 的中点坐标为，， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：； 综上，点的坐标为，或，或． 【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用半对角四边形的定义及矩形的性质，求出；（2）利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及平行四边形的性质，找出；（3）分点，落在反比例函数图象上和点，落在反比例函数图象上两种情况，求出的值． 21．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图1，直线交轴于点，交轴于点．直线关于轴对称的直线交轴于点C，直线经过点C． (1)①求线段的长； ②求出直线的函数表达式； (2)点R、T分别在直线、上．若以A、B、R、T为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点R的坐标； (3)如图2，点在x轴上，过点E作直线．轴，交直线于点P，点在四边形内部，直线交于点Q，直线交于M，求的值． 【答案】(1)①；②直线的函数表达式为； (2)点的坐标为或或； (3)． 【分析】（1）先求得的坐标，根据勾股定理即可求出AB的长度，根据轴对称的性质求得的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）根据直线和直线关于y轴对称求出直线的解析式，根据点R在直线上，可设点的坐标为，然后分类讨论，结合平行四边形的性质和平移的性质，可用含有m的式子表示点T的坐标，再根据点T在直线上求出m的值，即可求出点的坐标； （3）求出点，进而求出的长度，然后再结合点求出直线和直线的解析式，进而求出点和，即可得到与的长度，最后再代入计算即可． 【解析】（1）解：①∵直线交x轴于A，交y轴于B， 令，． ∴，． ∴，． ∴，． ∴，． ∵， ∴； ②∵点与点C关于轴对称， ∴． ∵直线经过点C． ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵．， ∴设直线． ∴． 解得：． ∴直线． ∵点R在直线上， ∴设点的坐标为． ①如下图所示，当点R在线段上时． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴经过平移之后到达． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴点的坐标为； ②如下图所示，当点R在线段延长线上时． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴经过平移之后到达． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴点的坐标为； ③如下图所示，当点R在线段延长线上时． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴经过平移之后到达． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）解：由题意得， ∴， ∴点的坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线经过点与， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线与x轴交于点Q， ∴． ∴． 解得：． ∴． ∴． 设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴． 解得：和（舍去）． ∴直线的解析式为． ∵直线与直线交于点M． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及坐标与长度的关系，勾股定理，轴对称和平移的性质，平行四边形的性质和判定定理，代数式求值，应用一次函数的性质正确求出点的坐标是解题关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$