海南省2024-2025学年高三下学期学业水平诊断（三）数学试题

绝密★启用前 海南省2024一2025学年高三学业水平诊断（三） 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答素标号涂黑.如需孜 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 城 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 中 是符合题目要求的. 1.抛物线x2=2y的准线方程为 尔 Ax=-2 B.x=-1 C.y=- D.y=-1 2复数： -i的虚部为 毁 c D.1 摞 3.已知集合A={x2a<1川，B=|xl-1<x<1|,则(CA)nB= A.{x0<x<1 B.xl-1<x<0 C.lxl0≤x<1l D.{x-1<x≤0 4.已知m0+引 =-cos0,则an0= A.-5 B-5 3 g D.5 5.已知等差数列{a.}的前n项和为S。,若a6+a,=6-a1,则S:= A.12 B.16 C.20 D.22 6.在同-平面内，向量a,b,c满足1al=2,lcl=1,a·c=0,a·b=2,则1a+b-cl的最小 值为 A.3 B.2 C.1 D. 数学试题第1页（共4页） 者边长为整数的正方形的四个顶点均在精圆C:后+=1上，则C的焦距为 A.2 B26 c20 D.2 3 3 8.已知|a.|是递增的等比数列，若a1-2a1+a1=1,则当a,取得最小值时，a1= A碧 B.1 C.4 D.16 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知实数x,y满足x<y,则下列不等式一定成立的是 A.yx B.log(y-x)>0 c.1>>0 x y n22>-y 10.须弥座是一种古建筑的基座形式，又名“金刚座”，通常用于宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的 基座部分，由多层不同形状的构件组成，具有很高的艺术价值如图所示，某古建筑的须弥座 最下层为正六棱台形状，该正六棱台的上底面边长为3，下底面边长为4，侧面积为215，则 A该正六棱台的高为5 B.该正六棱台的侧面与下底面的夹角为号 C该正六棱台的侧棱与下底面所成角的正弦值为3，厄 13 D.该正六棱台的体积为山区 11.已知函数fx)的定义域为R,且f2)=6,若f八x)=八x-y）+f八y)+y(x-y）,则下列说 法正确的是 A.f八1)=2 B.(x)是奇函数 C.f八4x)=f八x)+16x D.若neN,则a)=+ 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12若+)(。为正常数)的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中的常数项为 13.已知函数八x)=2cs(2ar-)-1(o>0)在[0，引上的最小值为-3，则w的最小值为 14.某商场举行有奖问答游戏，每名参加者要依次回答若干道题，若连续答对两题则结束游 戏，并获得奖品，若连续答错两题也结束游戏，但不能获得奖品，只要没有出现连续答对或 连续答错的情况，就继续答题已知小明答对每道题的概率都为子，则小明获得奖品的标 率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2 acos A (I)求A: (Ⅱ)若bc=4,求△ABC外接圆半径的最小值， 16.(15分) 如图，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线AD翻折，得到四面体PABD. (I)证明：AD⊥平面PBD: (Ⅱ)若AD=2,PB=25,求平面PAD与平面PAB夹角的余弦值 17.(15分) 已知双曲线C号-卡-1(a>0,6>0)的焦距为4反，过点（0,2)的直线1与C交于AB 两点，且当AB∥x轴时，IAB1=42 (I)求C的方程； (Ⅱ)若点A,B都在C的左支上，且以AB为直径的圆与x轴相切，求1的斜率 18.(17分) 已知函数八x)=xe-lnx-(a-1)x2-x-1. (I)若曲线y=八x)在点(1，(1))处的切线平行于直线(2e-4)x-y+2e=0,求a (I)若a=1,且函数y=x)+(1-b)xe只有一个极值点，求实数b的取值范围； (Ⅲ)若八x)≥0，求实数a的取值范围， 19.(17分) 在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有 红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球，则试验 成功：若摸出白球，则试验失败：若摸出黑球，则进人判定环节：判定时，放回两个黑球取出 一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功.若试验成功，则 结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或n轮试验进行完。已知第(i=1, 2,…,n)轮试验开始时，袋中有1个红球，i个黑球，(i+)个白球 (I)求第1轮试验成功的概率； (Ⅱ)某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第： (任=1,2,34,5)轮试验成功志愿者的比例，记名=，发现焉与线性相关，求y 关于x的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例： (Ⅲ)记试验结束时，试验成功的概率为P,证明：P。< 3 参考数播=0.46，=069，启（偶-到2=02，名=1.50阳. 附：回归方程9=x+a中针率和截距的最小二乘估计公式分别为B= 含-动-列 ,a=j-皖 含属-到海南省2024一2025学年高三学业水平诊断（三） 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.C 2.B 3.D 4.A 5.D 6.A 7.B 8.D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.AD 10.BCD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.24 153 14罗 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解析（I)由beos C+ccsB=2 acos A及正弦定理得sin(B+C)=sinA=2 sin Acos A,…(2分) 因为imA≠0，所以2c0sA=1,即c0sA=2,…… ……(4分） 又因为Ae(0,π)，所以A= 3 (6分) (）由题意得外接圆半径r一2A行要使外接圆的半径最小，只需a最小，… (8分) 又因为bc=4,a2=b2+c2-2bcc0sA=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc=4,…(11分) 当且仅当b=c=2时取等号，此时a=2 所以2号，即外接调半径的最小值为9 (13分) 16.解析(I)因为△ABC是等腰直角三角形，AD是斜边BC上的中线， 所以BD⊥AD,CD上AD.…(2分) 由于翻折不改变PD与AD的垂直关系，所以PD上AD.…(3分) 又因为PD门BD=D,… (4分) 所以AD⊥平面PBD.…(5分)》 (Ⅱ)以点D为坐标原点，D,D的方向分别为x轴y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 D 由已知得BD=PD=2,PB=25,所以LBDp-7.. (7分) 故D(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,-1,3),… (8分) 则A=(-2,2,0),P市=(0,3，-3)，设平面PAB的法向量为n=(a,b,c), n·AB=0,「-2a+2b=0, 则 即 取n=(1,1,5).…(10分） m.Pi=0,3b-3c=0, 同理得平面PAD的一个法向量为m=(0,3,1). (12分) 25 .15 因为os(mn三m1·m2+3气， (14分) 所以平面PD与平面PMB夹角的余弦值为 …(15分） 17.解析(I)因为当AB∥x轴时，IAB1=42,所以点(22,2)在C上， -三l.①99 因为C的焦距为42，所以a2+b=(2、2)2=8.②… (3分) 联立①②，解得==4，所以C的方程为-1.… (5分) (Ⅱ)设1：y=kx+2,A(x1,y）,B(2,). y=k如+2， 由 得(k2-1)x2+4hx+8=0, x2-y2=4, 4=16k2-32(k2-1)>0. -4k0, 因为1与C的左支有两个交点，所以名+名 解得1<k<2.…(8分) 80, x为=R-11 所u中4”学x学2品 (10分) 且1AB1=V+F1出，-=个+F石.-4+R2-E k2-1 (12分) k2-1 因为以4B为直径的圆与：箱相切.所以-”， 即2+R2-及。2 /1+5 k2-1 解得k=√2 即1的斜率为 1+5 2 (15分) 18.解析(1)由题意，得f(x)=(x+1)。--2(a-1)x-1.… (1分) 因为f'(1)=2e-1-2(a-1)-1=2e-2a, —2 所以由题意得2e-2a=2e-4,解得a=2.…(4分) (Ⅱ)当a=1时f(x)=xe-lnx-x-I, y=bf(x)+(1-b)xe*=b(xe"-In x-x-1)+(1-b)xe"=xe"-bln x-bx -b. ig(x)=xe"-bln x -bx-b, 则g()=(c+1De-÷-b=(x+1e-+）=气(e-b)>0 …(5分）》 当b≤0时，g'(x)>0,g(x)在(0，+。)上单调递增，g(x)不存在极值.…(6分)》 当b>0时，令g(x)=0,即+1(xe-b)=0,得xe=b. 令h(x)=xe-b,则h'(x)=(x+1)e>0在(0，+o)上恒成立，所以h(x)在(0，+o)上单调递增. 又h(0)=-b<0,h(b)=b(e”-1)>0,所以存在唯一的x0∈(0，b),使得h()=0.…(8分)】 当xe(0,)时，h(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减， 当x∈(x,+0)时，h(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)仅在x=处取得极小值，符合题意， 故当g(x)只有一个极值点时，实数b的取值范围为(0，+0).…(10分) (Ⅲ)由代x)=xe-nx-(a-1)x2-x-1≥0，参变分离得a-1≤c-nt-x-l i设kx）=C-h--l,则a-1≤k(x）… (11分) 因为e=e,所以k(x)=。-(x+n)-l 令t=lnx+x,因为x>0,所以teR. 设p(t)=e'-t-1,于是p'(t)=e-1. 令p'(t)=0,则1=0，当t>0时，p'(t)>0,当1<0时，p'()<0, 所以()在(-，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增， 所以p()m=p(0)=0,即e+"-(lnx+x)-1的最小值为0，即(x)a=0.…(15分) 所以a-1≤0，即a≤1. 故实数a的取值范围为（一∞，1]. (17分)》 19.解析(I)第1轮试验中有1个红球，1个黑球，2个白球， 换出红球.即试验成功的概常为12兰行， 1 (1分) 换出果球且试验成功的概率为好×？-2。， 1+2 3 (3分) 所以第1轮试统成功的概率P=子+。-石 …(4分）》 ∑(x-)(-） (Ⅱ)b= -1.503-5×0.46×0.69=-0.2.…(7分） 0.42 —3— 所以=0.69+0.2×0.46=0.782.…(8分) 所求经验回归方程即为=-0.2x+0.782 (9分) 当试验轮数足够大，即i足够大时，x接近于0，则y接近于0.782， 故预测成功志愿者的比例为0.782.…(10分) (Ⅲ)依题意，轮试验失败的概率为1-P。,设第i轮试验失败的概率为P, 则1-Pn=p乃2p… (11分) P:发生有两种可能，直接摸出白球，概率为，+ i 91+i+i+7=1+7 …(12分） 发者镜出类球后程谈出白球.摄率为+× …(13分)】 所以4=i+1)+i+产-山_(i+)'+(d+-)1.2+4i+4_2i+2 (i+1) (i+1)9 (i+1) (石+1子，…(5分) 、则1p=×324×…×nt22=”+2)2 2× (n+1)14(n+1) ，。…(16分） 因此10器<1-子 (17分) 一4