6.3.2 二项式系数的性质（同步教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

人教A版（2019）选择性必修第三册 第六章计数原理 6.3.2 二项式系数的性质 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 题型探究 方法归纳 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 2.理解二项式系数的性质并灵活运用 1. 二项式定理： 2. 通项公式： 3. 二项式系数： 情景导入 同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式： 情景导入 这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就． 问题　你能利用上述规律写出下一行的数值吗？ 提示　根据规律下一行的数值分别是：1　7　21　35　35　21　7　1. 情景导入 n (a+b)n的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 新知探究 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 通过计算、填表，你发现了什么规律？ 从表6.3-1可以发现，每一行中的系数具有对称性．除此以外还有什么规律呢？为了便于发现规律，上表还可以写成如图6.3-1所示的形式． ……………………………… …………………………… ………………………… ……………………… ………………… ……………… 观察图6.3-1，你还能发现哪些规律？ 7个孤立的点 O r f ( r ) 6 3 6 14 20 1. 对称性 由此我们可得二项式系数有以下性质： 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． r f(r) O 1 2 3 5 10 15 20 4 5 6 事实上，这一性质可直接由公式 得到． 图象的对称轴为 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2. 增减性与最大值 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 3. 各二项式系数的和 思考 即 这就是说，(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例3 求证：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明： 即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 例题讲解 解： 课堂练习 证明： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 解： 【例1】(1)试求1 99510除以8的余数； (2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除． (1)解：1 99510＝(8×249＋3)10.∵其展开式中除末项为310外， 其余的各项均含有8这个因数， ∴1 99510除以8的余数与310除以8的余数相同． 又∵310＝95＝(8＋1)5， 其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， ∴310除以8的余数为1，即1 99510除以8的余数也为1. 题型1　整除问题 题型探究方法归纳 【例1】(1)试求1 99510除以8的余数； (2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除． 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 【例2】已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5. 解：令x＝1，得(2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1. 题型2　二项展开式的系数的和问题 【例题迁移1】　(改变问法)例2条件不变，将问题改为“求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|”． 解：∵(2x－1)5的展开式中偶数项的系数为负值， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5. 令x＝－1，得[2×(－1)－1]5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5， 即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35＝243. 【例题迁移2】　(改变问法)例2条件不变，将问题改为“求a1＋a3＋a5”． 题型3　求展开式中系数或二项式系数的最大项 【例题迁移1】　(改变问法)在本例条件下，问题改为“求系数最大的项与系数最小的项”． 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论 (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大． (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 错解：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 令A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…，由题意知，B－A＝38. 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n， 易错警示　二项式系数和概念不清致误 答案：B D 习题 B 0 11．下图反映了二项式定理产生、完备和推广所走过的漫长历程： 1. 对称性： 二项式系数有以下性质： 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 得到． 2. 增减性与最大值 课堂小结 (2)证明：32n＋2－8n－9 ＝(8＋1)n＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋(n＋1)×8＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82①. ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除． 解：由上题得 两式相减得a1＋a3＋a5＝×(1－243)＝－121. 1．赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项． 2．一般地，对于多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0)． 【例3】在8的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ 解：Tr＋1＝C·()8－r·r＝(－1)r·C·2r·x4－r. (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，故T5＝C·24·x－6＝1 120x－6. (2)设第(r＋1)项系数的绝对值最大，则 即整理得 所以r＝5或r＝6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． 解：由本例(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 第6项的系数为负，第7项的系数为正． 故系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1 792x－11， 系数最小的项为T6＝(－1)5C·25x－＝－1 792x－. 【例题迁移2】　(变换条件、改变问法)在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中的常数项． 解：由题意知n＝8， 通项为Tk＋1＝(－1)k·C·8－k·x8－k， 令8－k＝0，得k＝6，故常数项为第7项， 且T7＝(－1)6·2·C＝7. 【例4】已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C的值为 (　　) A．28 B．28－1 C．27 D．27－1 ∴(a0＋a2＋…)－(a1＋a3＋…)＝(－3)n， ∴B－A＝(－3)n＝38，∴n＝8. 由二项式系数性质可得，C＋C＋…＋C＝2n＝28. 易错防范：误将C＋C＋…＋C看作是二项展开式各项二项式系数和，忽略了C. 正解：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B． 则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…. 由已知可知B－A＝38.令x＝－1， 得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n， 即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n. 即B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8. 由二项式系数性质可得C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1. 易错辨析　错用二项式系数的性质 【例5】(1＋2x)20的展开式中，x的奇次项系数的和与x的偶次项系数的和各是多少？ 解析：设x的奇次项系数的和为A，x的偶次项系数的和为B，则令x＝1，得A＋B＝320， 令x＝－1，得B－A＝1， ∴2B＝320＋1，∴B＝ eq \f(320＋1,2) ，A＝ eq \f(320－1,2) . 即奇次项系数的和为 eq \f(320－1,2) ，偶次项系数的和为 eq \f(320＋1,2) . 【易错警示】求解本题，容易出现下列两种错误． 错解一　∵二项展开式中奇次项系数的和与偶次项系数的和相同，∴奇次项系数的和与偶次项系数的和均为219. 错解二　由二项展开式知x的奇次项系数的和为C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(20)) ·2＋C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(20)) ·23＋C eq \o\al(\s\up1(5),\s\do1(20)) ·25＋…＋C eq \o\al(\s\up1(19),\s\do1(20)) ·219， x的偶次项系数的和为C eq \o\al(\s\up1(0),\s\do1(20)) ＋C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(20)) ·22＋C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(20)) ·24＋…＋C eq \o\al(\s\up1(20),\s\do1(20)) ·220.错解一是将系数和与二项式系数和混淆了；错解二解法欠妥，很难求出数值．其原因在于没把握住求系数和的根本方法． 纠错心得 对于求系数和的问题，要注意用赋值法解决．奇、偶次项是针对x的指数而言，奇、偶数项是针对第几项而言． $$