6.3.1 二项式定理（同步教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

人教A版（2019）选择性必修第三册 第六章计数原理 6.3.1 二项式定理 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 题型探究 方法归纳 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力。 2. 组合数公式： 1. 排列数公式： 其中m，n∈N* 且 m≤n，规定 3. 组合数性质： 情景导入 新知探究 下面我们对上述猜想的正确性予以说明． 概念归纳 1. 系数规律： 2. 指数规律： (1)各项的次数均为n； (2)各项里a的指数由n降到0，b的指数由0升到n. 3. 项数规律： 两项和的n次幂的展开式共有n+1个项 . 4. 通项公式: 二项展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项、特定项系数、以及数、式的整除方面有广泛应用 . 定理的特征： 概念归纳 注意： (1) 展开式的第k+1项(通项)为 其中 叫做二项式系数，它与第k+1项的系数是两个不同的概念 . (2) 它可表示二项展开式中的任意项，只要n与k确定，该项也随即确定； (3) 表示的是第k+1项，而不是第k项； (4) 中a, b的位置不能颠倒, 且它们指数和一定为 n. (5) 二项式定理对任意的数a, b都成立，若设a＝1, b＝x，则有 概念归纳 例1 求 的展开式 . 解：根据二项式定理，可得 例题讲解 例2 解：(1) 由通项公式，可得 (2) 由通项公式，可得 例题讲解 解： 解： 由通项公式，可得 课堂练习 解： 由通项公式，可得 课堂练习 解： 由通项公式，可得 含x4的项是由5个括号中任意4个括号各取出1个x，剩余1个括号取出常数相乘得到的，故含x4的项的系数是 解： 课堂练习 题型1　二项式定理的正用、逆用 题型探究方法归纳 【答案】44 1．(a＋b)n的二项展开式有(n＋1)项，是和的形式，各项的幂指数规律是： (1)各项的次数和等于n. (2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. 2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． 题型2　二项展开式通项的应用 【例题迁移1】　(改变问法)本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”． 【例题迁移2】　(改变问法)本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”． 题型3　与展开式中的特定项有关的问题 求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)． (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解． (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 易错警示　将“二项式系数”与“项的系数”混淆 1. 二项式定理： 2. 通项公式： 3. 二项式系数： 课堂小结 【例1】(1)求4的展开式． (2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 解：(1)方法一　4＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋. 方法二　4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2. (2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 【例1】(1)求4的展开式． (2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 【例题迁移】若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________. 【解析】∵(1＋)4＝1＋C×()1＋C×()2＋C×()3＋C×()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，∴a＝28，b＝16.∴a＋b＝28＋16＝44. 【例2】(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； (2)求9的展开式中x3的系数． 解：(1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r·r＝26－rC·(－1)r·x3－ ∴第6项的二项式系数为C＝6，第6项的系数为C·(－1)5·2＝－12. (2)设展开式中的第(r＋1)项为含x3的项，则Tr＋1＝Cx9－r·r＝(－1)r·C·x9－2r，令9－2r＝3，得r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84. 解：由通项Tr＋1＝(－1)r·C·26－r·x3－，知第四项的二项式系数为C＝20， 第四项的系数为C·(－1)3·23＝－160. 解：设展开式中第(r＋1)项为含x5的项，则Tr＋1＝(－1)r·C·x9－2r， 令9－2r＝5，得r＝2.即展开式中的第3项含x5，且系数为(－1)2·C＝36. 二项式系数与项的系数 (1)二项展开式中的二项式系数是指C，C，…，C这些组合数，与a，b无关． (2)项的系数则是展开式中关于某一个(或两个)字母的系数，与a，b有关，项的系数未必是正数． 二项式项与项数 (1)项是指项的系数和含字母的式子的积． (2)项数是指该项在展开式中的位置． 【例3】已知在n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 解：Tk＋1＝Cx(－3)kx－＝C(－3)kx. (1)∵第6项为常数项，∴当k＝5时，有＝0，即n＝10. (2)令＝2，得k＝(10－6)＝2， ∴所求的系数为C(－3)2＝405. (3)由题意，得 令＝t(t∈Z)，则10－2k＝3t，即k＝5－t. ∵k∈N，∴t应为偶数．令t＝2,0，－2，即k＝2,5,8. ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236，295 245x－2. 【例3】已知在n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1. (2)求含xk的项(或xpyq的项)． (3)求常数项． (4)求有理项． 【例4】设在(x－)n的展开式中，第3项的系数为36，试求含x2的项． 错解：第3项的系数为C，依题意得C＝36，即n2－n－72＝0，解得n＝9或n＝－8(舍去)，设(x－)n的展开式中含x2的项为第(r＋1)项，则Tr＋1＝Cx9－r(－)r，由9－r＝2，得r＝7，则(x－)9的展开式中含x2的项为T8＝Cx2(－)7＝－7776x2. 易错防范：上面解答将“二项展开式中的第3项的二项式系数”当成了“第3项的系数”，解答显然是错误的．二项式系数与项的系数是两个既有联系又有区别的概念，二项式系数是展开式中各项所含有的组合数，即C(r＝0,1,2，…，n)，项的系数是各项的字母的系数．对这两个概念如果不注意区别，就十分容易出错． 正解：(x－)n的展开式的第3项为T3＝Cxn－2(－)2， 因此C(－)2＝36，即n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)． 设(x－)4的展开式中含x2的项为第(r＋1)项，则Tr＋1＝Cx4－r(－)r，由4－r＝2，得r＝2，即(x－)4的展开式中含x2项为Cx2(－)2＝36x2. 易错辨析　混淆项的系数与二项式系数 【例5】设(x－ eq \r(2) )n(n∈N*)的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项． 解析：由题设，得T2＝Cxn－1(－)＝－nxn－1， T4＝Cxn－3(－)3＝－2Cxn－3，于是有＝， 化简得n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1(舍去). (x－)4的展开式的通项为Tk＋1＝(－)kCx4－k， 令4－k＝2，则k＝2，所以含x2的项为(－)2Cx2＝12x2. 【易错警示】 易错原因 求解本题易将“二项展开式的某项的系数”与“二项展开式的某项的二项式系数”混为一谈，得到如下错解． (x－ eq \r(2) )n的展开式中第二项与第四项的系数分别为C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(n)) ，C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(n)) ， 则C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(n)) ∶C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(n)) ＝1∶2，化简得n2－3n－10＝0.又n∈N*，所以n＝5. (x－ eq \r(2) )5的展开式的通项式为Tk＋1＝(－ eq \r(2) )kC eq \o\al(\s\up1(k),\s\do1(5)) x5－k，令5－k＝2，则k＝3，所以含x2的项为(－ eq \r(2) )3C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)) x2＝－20 eq \r(2) x2. 纠错心得 (a＋b)n的展开式中的第k＋1项的二项式系数是C eq \o\al(\s\up1(k),\s\do1(n)) (k＝0，1，2，…，n)，仅与n，k有关；第k＋1项的系数不是二项式系数C eq \o\al(\s\up1(k),\s\do1(n)) ，但有时这个系数与二项式系数相等．注意二项式系数C eq \o\al(\s\up1(k),\s\do1(n)) 一定为正，而对应项的系数可能为负． $$