2.6.2函数的极值（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册)

2.6.2函数的极值 题型一：函数极值和极值点辨析 1．下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 2．设函数，则下列选项错误的是（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 3．（多选）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（   ） A．是函数的极值点 B．在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零 4．设函数. (1)求的单调区间; (2)若存在极值M，求证：. 题型二：求已知函数的极值 1．如图，直线与曲线交于两点，其中A是切点，记，则下列判断正确的是（   ）    A．只有一个极值点 B．有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C．的极小值点小于极大值点，且极小值为 D．的极小值点大于极大值点，且极大值为2 2．已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值； (2)求的极值． 3．已知函数，其中为非零常数． (1)当时，求的单调区间； (2)若函数的图象在点处的切线斜率为，求的极值． 4．已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求函数的极值； 题型三：根据极值求参数 1．已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 2．已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在处有极值1． (1)求函数的单调区间 (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围． 4．已知函数． (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求当的极大值等于时，实数的值． 题型四：根据极值点求参数 1．设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知的一个极值点为2，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．存在，使得恰有1个零点 B．过曲线上任意一点，均可作两条直线与相切 C．若存在两个极值点，且，则 D．若存在两个极值点，，则 4．已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若是函数唯一的极值点，求实数a的取值范围. 题型五：函数(导函数)图象与极值和极值点的关系 1．已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是， C．当时，有极值 D．当时， 3．（多选）函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 4．已知函数是上的可导函数，的导函数的图象如图，则下列结论不正确的是（   ） A．分别是极大值点和极小值点 B．分别是极大值点和极小值点 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 1．函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 2．已知，是函数在定义域上的两个极值点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 4．若函数无极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 6．已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 7．已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（     ）. A． B． C． D． 9．（多选）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 10．（多选）已知函数，则（   ） A． B．在上为增函数 C．在上为减函数 D．的极值为 11．（多选）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有实数根，，，则（    ） A． B． C． D．的最小值为5 12．函数的极小值为 ． 13．若函数在时取得极小值，则的极大值为 ． 14．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 . 15．已知函数． (1)求的单调区间； (2)求函数的极值； 16．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的值． 17．已知，函数，（是自然对数的底数）． (1)讨论函数极值点的个数； (2)若对任意的恒成立，求实数的值； (3)在第（2）小题的条件下，若存在，使得，求实数的取值范围． 18．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在，使得曲线关于直线对称.若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (3)当时，，求的取值范围. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6.2函数的极值 题型一：函数极值和极值点辨析 1．下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据极值定义逐一分析即可. 【详解】对于：函数是实数集上的增函数，不存在极值； 对于：函数在上单调递增，不存在极值； 对于：函数在区间上单调递减，不存在极值； 对于：在上单调递增，在上单调递减， 因此是函数的极小值点，符合题意. 故选：D. 2．设函数，则下列选项错误的是（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】A选项，求导分析极值点即可；B选项，根据的单调性比较大小；C选项，根据复合函数的单调性得到的单调性，然后求范围即可；D选项，利用作差法比较大小. 【详解】, 令得或，令得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以是的极小值点，故A正确； 当时，，且， 因为在单调递增，所以，故B错； 当时，，所以在上单调递减， ，， 所以，故C正确； 当时，， 令，因为单调递减，单调递增，所以单调递减， 则， 所以，故D正确. 故选：B. 3．（多选）函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（   ） A．是函数的极值点 B．在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零 【答案】AB 【分析】根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合极值的定义，逐一求解. 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确； 则是函数的极小值点，故A正确； 在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； 函数在处的导数大于切线的斜率大于零，故D不正确． 故选：AB 4．设函数. (1)求的单调区间; (2)若存在极值M，求证：. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）讨论参数a，应用导数研究单调区间； （2）讨论参数a，利用导数研究函数极值即可证. 【详解】（1）由题设， 当时，恒成立，故的增区间为，无减区间； 当时，令，得，故上，上， 所以的减区间为，增区间为. （2）由（1）知，当时，在上单增，没有极值； 当时，在上单减，在上单增， 存在极小值 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，在时取最大值0， 所以恒成立，即. 题型二：求已知函数的极值 1．如图，直线与曲线交于两点，其中A是切点，记，则下列判断正确的是（   ）    A．只有一个极值点 B．有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C．的极小值点小于极大值点，且极小值为 D．的极小值点大于极大值点，且极大值为2 【答案】D 【分析】设的极值点为，得到，利用导数得到函数的单调性，结合极值点和极值的定义，即可求解. 【详解】因为直线与曲线相交于点，则的横坐标分别为， 所以有两个解， 设的极大值点为，极小值点为，可得， 当时，；当时，， 又因为，可得， 所以，所以， 当时，，当时，； 所以当是函数的极大值点，且， 设的极小值点为，可得， 当时，；当时，， 又因为，可得， 所以，所以， 当时，；当时，， 所以当是函数也有极小值点，且满足， 所以的极小值点大于极大值点，且极大值为. 故选： D. 2．已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值； (2)求的极值． 【答案】(1)2 (2)极小值为，无极大值. 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，可求的值. （2）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值. 【详解】（1）因为，. 所以，. 由题意. （2）因为，. 所以，. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且. 3．已知函数，其中为非零常数． (1)当时，求的单调区间； (2)若函数的图象在点处的切线斜率为，求的极值． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)极大值为，无极小值 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的导函数，根据导数的几何意义可知，求得的值，根据求极值的步骤依次求解即可. 【详解】（1）当时，定义域为， 又， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减； 即的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）因为，所以，解得， 所以，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以在处取得极大值，且极大值为，无极小值． 4．已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求函数的极值； 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【分析】（1）求出，求导，得到，由导数几何意义得到切线方程； （2）求定义域，求导，得到函数单调性，从而求出极值. 【详解】（1）， ， 故的图象在点处的切线为， 即； （2）的定义域为， 由（1）知， 令得，令得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故在上取得极小值，极小值为，无极大值； 题型三：根据极值求参数 1．已知函数在处取得极值0，则（    ） A．6 B．12 C．24 D．12或24 【答案】C 【分析】根据在处取得极值0可得，解出即可. 【详解】由题意知，，又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在R上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 令或，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，， 则. 故选：C. 2．已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助导数，判定函数单调性，再结合极大值为，求，验证即可. 【详解】解：由题意，， 则， 令，解得或， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，解得， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，不符合题意， 当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意， 综上所述，. 故选：D. 3．已知函数在处有极值1． (1)求函数的单调区间 (2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2) 【分析】（1）求出函数的导数，由题意列出方程组，求出的值，再结合导数与单调性的关系，即可求得答案. （2）结合（1）求出函数的极大值极小值，结合零点与函数图象交点的关系，即可求得答案. 【详解】（1）由，得， 故，解得， 故， 令，得或；令，得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）， 由（1）可得的极大值为，极小值为， 当x趋向于正无穷大和负无穷大时，也分别趋向于正无穷大和负无穷大， 故函数恰有3个零点，即的图象有3个交点， 故. 4．已知函数． (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求当的极大值等于时，实数的值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间，利用函数的极值与导数的关系，结合题意可求得实数的值. 【详解】（1）因为，所以，， 所以，又， 所以所求切线的方程为，即． （2）的定义域为， ， 当时，或． 由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值． 由，解得． 题型四：根据极值点求参数 1．设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求函数的导数，利用导数在内存在零点，利用参变分离，转化为函数值域问题，即可求解. 【详解】依题意，在内存在变号零点，而不是的零点，从而得，又在上递增，所以. 故选：B 2．已知的一个极值点为2，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】求导，令，利用只有一个极值点，可得，求解即可. 【详解】，令0，得或， 又的一个极值点为2，则，解得，经检验满足题意. 故选：B. 3．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．存在，使得恰有1个零点 B．过曲线上任意一点，均可作两条直线与相切 C．若存在两个极值点，且，则 D．若存在两个极值点，，则 【答案】AC 【分析】因为存在使得恰有1个零点，判断A选项；根据三次函数的性质判断B选项；通过求导得到的极值点，在根据解得的取值范围判断C选项；通过求三次函数的对称中心判断D选项. 【详解】当时，，恰有1个零点，A对； 三次函数经过曲线的对称中心，仅能作一条切线，B错； 由，令得的极值点为0，， 所以，解得，，C对； 由，设，则，令得， 所以，曲线的对称中心为，所以，D错． 故选：AC. 4．已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若是函数唯一的极值点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）当时时,求得函数定义域,然后求导,在定义域上研究导函数的正负,即可求得函数的单调区间; （2）由 是函数的唯一极值点,转化为是唯一变号零点,结合导函数解析式,转化为恒成立问题,求得a的取值范围. 【详解】（1）当时,,其定义域为, 则. 设,则, 当时,;当时,, ∴,∴,∴. ∴当时,;当时,. 因此,函数的单调递增区间为,单调递减区间为. （2）, ∵是函数唯一的极值点, ∴当时,恒成立或恒成立, 即或恒成立, 当时,恒成立，则恒成立，即, 令，则， 当时,，当时,, 所以在上单调递减，在上单调递增， 当趋向于时，函数， 当趋近正无穷大时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长，所以, 所以函数不存在最大值，故时，不恒成立; 当时，恒成立，即， 由上分析知：在处取得最小值， ∴，即实数a的取值范围是. 故实数a的取值范围是. 题型五：函数(导函数)图象与极值和极值点的关系 1．已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，以及导数的几何意义，即可判断选项. 【详解】A.由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立； B.，故B成立； C.由图可知，，，但不确定与的大小关系，故C不一定成立. D.由图可知，函数在上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立. 故选：C 2．已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是， C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 当时，，可得，且； 对于AB，易知时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是，的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，可得，因此，即D错误. 故选：A 3．（多选）函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 【答案】AB 【分析】根据导函数的图象求出函数的极大值和极小值点即可. 【详解】由图象可知，当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 且，，， 所以和是函数的极小值点，是函数的极大值点. 故选：AB． 4．已知函数是上的可导函数，的导函数的图象如图，则下列结论不正确的是（   ） A．分别是极大值点和极小值点 B．分别是极大值点和极小值点 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 【答案】ABD 【分析】根据的正负，从而确定函数的单调性和极值点的情况，即可对每个选项进行判断. 【详解】根据的图象可知： 当时，，单调递减；当时，，且不恒为零，单调递增； 对AB：根据单调性可知，只有极小值点，没有极大值点，故AB错误； 对CD：根据单调性可知，在单调递增，在也单调递增，故C正确，D错误. 故选：ABD. 1．函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【答案】B 【分析】对函数求导，令导数等于0，求得，分别研究导函数在,和时的单调性，从而得极小值点，代入函数解析式求得极小值. 【详解】由函数，求导得, 令,得, 当时, ,函数单调递增; 当时, ,函数单调递减; 当时, ,函数单调递增; 所以是极小值点,所以函数的极小值为. 故选：B 2．已知，是函数在定义域上的两个极值点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，用韦达定理可以求得两根之和，两根之积，代入函数值化简即可. 【详解】由，则， 因为，是函数在定义域上的两个极值点，则，， 因为 ，代入，， 得， 解得. 故选：A 3．已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先由求出，再检验是否符合题意即可. 【详解】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选：A 4．若函数无极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得恒成立，求解即可. 【详解】的导数为， 函数不存在极值点， 在R上恒成立， 即恒成立， ，解得， 即实数a的取值范围是 故选：B. 5．已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】求导，根据极值点可得或，即可代入导数中，确定函数单调性，得函数的极值点求解. 【详解】由题意可得， 由于是极小值点，故，或    , 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极大值点，不符合题意，舍去， 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极小值点，符合题意，且是极大值点，故极大值为， 故选：C 6．已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 【答案】C 【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的极值以及函数的单调性，推出结果． 【详解】解：由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确； 时，，函数单调递增，，，函数单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 在区间上单调递减，D正确； 当时，函数单调递增，可能，所以C不正确； 故选：C． 7．已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为与曲线有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围； 【详解】令，即得，即方程有三个零点， 即直线与曲线有三个不同的交点， 可得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为, 故选：A 8．是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明得到是以为周期的函数，排除C、D.再研究的函数性质，借助导数即可. 【详解】，， 可以得到是以为周期的函数，所以的轨迹在四个象限内应相似，故排除C、D. 由于A、B项均关于对称，所以仅研究，此时，令   ，，令，则， 解得(负数根舍去)，则  在单调递减，单调递增，即在单调递增，在有且仅有一个极值点，所以不会一直增大，B正确.   （注：本题在A、B当中选择亦可使用特殊值法，，选B） 故选：B 9．（多选）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 【答案】ABD 【分析】由有，结合图像逐项去分析即可判断. 【详解】由有， 由图可知的分布如图所示： 当时，，，，所以， 所以在单调递增，故A错误； 当时，，所以，即，在单调递减，故B错误； 当时，，所以，由图可知当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以时的极小值点，故当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，，所以，所以， 所以在单调递增，所以当时，函数有极大值，故D错误. 故选：ABD. 10．（多选）已知函数，则（   ） A． B．在上为增函数 C．在上为减函数 D．的极值为 【答案】BD 【分析】利用导数的应用，讨论函数的性质即可求解. 【详解】，则，故A错误； 令， 所以在上单调递减，在上单调递增，故B正确，C错误； 所以的极小值为，故D正确. 故选：BD. 11．（多选）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有实数根，，，则（    ） A． B． C． D．的最小值为5 【答案】ABD 【分析】由函数的单调性得到，求出，同时的另外一个根，求得，再由，比较系数构造等式即可判断； 【详解】解：由得， 因为在上是增函数，在上是减函数，所以，所以， 此时的另外一个根，所以， 因为方程有3个实数根，它们分别是，，2， 所以，所以， 且， 所以，则， 所以， 因为，所以，所以的最小值是5， 故选：ABD 12．函数的极小值为 ． 【答案】 【分析】求导，判断函数的单调性求出极值. 【详解】由，， 令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，取得极小值，且极小值为， 故答案为：. 13．若函数在时取得极小值，则的极大值为 ． 【答案】 【分析】由题意得，则可求得，再结合导数即可求得极大值. 【详解】由题意可得，，解得， 所以， 故当或时，,当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为． 故答案为：. 14．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数极值点的个数与导函数零点之间的关系，构造函数并出其有两个变号零点时的实数a的取值范围即可. 【详解】因为，所以， 令，则. 由题意可知有且仅有两个零点， 则在上有唯一的极值点且不等于零. ①当时，，单调递增，则至多有一个零点，不符合题意. ②当时，令，解得， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以是函数的极大值点，则， 即，解得, 而当时，，当时，， 故符合题意. 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为： 15．已知函数． (1)求的单调区间； (2)求函数的极值； 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为； (2)极大值为，极小值为． 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）的单调性求出函数的极值. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）由（1）可知当时，有极大值，且极大值为； 当时，有极小值，且极小值为． 16．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的值． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）令并求出x的范围，即可求函数的单调递增区间； （2）根据函数有两个零点，利用函数极大值等于零或极小值等于零列方程即可求实数的值． 【详解】（1）因为， 所以， 令，则或， 所以的单调递增区间为和. （2）由（1）得的单调递增区间为和. 令可得，的单调递减区间为， 当时，取得极大值； 当时，取得极小值. 所以若有两个零点，则或， 解得. 所以. 17．已知，函数，（是自然对数的底数）． (1)讨论函数极值点的个数； (2)若对任意的恒成立，求实数的值； (3)在第（2）小题的条件下，若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，极值点的个数为；当时，极值点的个数为 (2) (3) 【分析】（1）对和分类讨论，即可得到答案； （2）先通过题设条件得到，然后证明满足条件即可； （3）分和进行讨论，在相应情况下利用导数工具研究原条件是否成立即可. 【详解】（1）当时，由知单调递增，所以极值点的个数为； 当时，对有，对有， 所以在上递减，在上递增，所以恰有个极值点. 综上，当时，极值点的个数为； 当时，极值点的个数为； （2）根据已知有，所以，故. 此时由（1）中得到的单调性，可知仅在处取得最小值. 假设，则，但，这导致矛盾，所以，即. 当时，由（1）中得到的单调性知在处取得最小值，所以，确实满足条件. 综上，的值为. （3）此时，，根据（2）的结论，我们有. 设，则. 再设，则. 情况一：若，则对有，故在上递增，从而对有. 从而在上递增，这就意味着对都有. 从而对任意，都有，不满足条件； 情况二：若，令是两个正数和中较小的一个，则对有. 故在上递减，从而对有. 从而在上递减，这就意味着，所以存在使得，满足条件. 综合以上两种情况，可知的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数工具研究相应函数的单调性. 18．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在，使得曲线关于直线对称.若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (3)当时，，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)存在，； (3). 【分析】（1）先求导函数再得出斜率，点斜式写出切线方程即可； （2）先根据定义域得出，再根据对称性定义计算求解得出参数； （3）法1：分，等情况分类求解导函数得出单调性计算求参；法2：先化简再构造函数进而结合导函数讨论单调性计算求解. 【详解】（1）当时，，， 则，所以， 可得曲线在点处的切线方程为， 即. （2）令， 所以的定义域为， 若曲线关于直线对称， 所以的定义域关于对称，故， 则有， 所以， 即， 整理得，所以， 故存在，使曲线关于直线对称. （3）法1：由题，即， 当时，， 所以即， 令，则， 若，所以，所以不满足题意； 若，当时，， 所以在上单调递减，可得， 所以不满足题意； 若，当时，， 所以在上单调递增， 所以，所以满足题意； 当时，，可得， 所以即， 令，则， 由，所以当时，， 所以在上单调递减，所以， 所以不满足题意， 综上所述，的取值范围为. 法2：因为，所以即， 设，则， 设，则， 当时，，所以在上单调递减， 可得，所以在上单调递减，可得， 所以不满足题意， 当时，由得， 若，则， 当时，，所以在上单调递减， 可得，所以在上单调递减， 所以，所以不满足题意， 若，则，所以在上单调递增， 可得，所以在上单调递增， 可得，所以满足题意， 综上所述，的取值范围为. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$