2.6.1函数的单调性（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册)

2.6.1函数的单调性 题型一：用导数判断或证明已知函数的单调性 1．下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）设的图象在区间上是一条连续不断的曲线，，，，总有，则称在上是上凸函数.已知是的上凸函数，且（是的导函数），则（    ） A． B． C． D． 3．判断并证明函数（其中）在上的单调性. 4．已知，证明： 题型二：利用导数求函数的单调区间(不含参) 1．已知函数，，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间为 ． 4．已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 题型三：由函数的单调区间求参数 1．已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 2．（多选）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 3．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 4．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 题型四：由函数在区间上的单调性求参数 1．函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递增，则的取值范围为 . 3．已知函数在定义域上单调递增，则实数m的最大值是 . 4．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是 ． 题型五：函数与导函数图象之间的关系 1．已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（   ）    A．   B．   C．   D．   2．已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 3．已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 4．（多选）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是（  ） A．   B．   C．   D．   题型六：含参分类讨论求函数的单调区间 1．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 2．已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，令函数，证明：． 3．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 4．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若对于任意的，有，求的取值范围. 1．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D． 3．在上的导函数为，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．设，则为上的增函数的充要条件是（    ） A． B．， C．， D． 5．若函数有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（   ） A．B．C． D． 7．已知是定义在R上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）函数的单调递增区间可以是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数的图象．在以下四个组合中，可使得函数在R上单调递增的有（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 11．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．此函数的周期为 B．此函数图象关于直线对称 C．此函数在区间上有6个零点 D．此函数在区间上单调递减 12．已知函数，则不等式的解集为 ． 13．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 14．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 15．已知函数. (1)若，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. 16．定理  如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在开区间内至少存在一点，使得，这个定理称为微分中值定理，也称为拉格朗日中值定理. 定理表明，如果函数的图象是闭区间上的一条连续曲线，且当时，曲线上的每点都存在切线，那么，在曲线上至少存在一点，使得该曲线在这一点处的切线平行于曲线两个端点的连线，如图所示. (1)已知，为函数图象位于之间的部分上的一点，其中为坐标原点，求点到直线的距离的最大值； (2)如果，证明：. (3)如果函数在内可导，且对于任意的，都有，证明：函数在内单调递减. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6.1函数的单调性 题型一：用导数判断或证明已知函数的单调性 1．下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导判断导函数在内是否大于等于0恒成立即可. 【详解】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误； 对B，在内大于0恒成立，故B正确； 对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误； 对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误. 故选：B 2．（多选）设的图象在区间上是一条连续不断的曲线，，，，总有，则称在上是上凸函数.已知是的上凸函数，且（是的导函数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据导函数推得单调性比较大小、导数几何意义判断各个选项. 【详解】对于A，由，知得在递增，因为，所以，选项A正确； 对于B，因为在上是“上凸”函数，由导数的几何意义知， 随着的增大，曲线在某点的切线的斜率越来越小， 所以，，选项B错误； 对于C，D，设，， 由切线的几何意义知，， 即， 即.选项C错误D正确. 故选：AD. 3．判断并证明函数（其中）在上的单调性. 【答案】减函数，证明见解析 【分析】法一：根据单调性的定义，按照步骤证明即可；法二：利用导数法求解单调递减区间即可证明. 【详解】证明：法一（定义法）：设， 则. ，，，. 因此当时，，即， 此时函数在上为减函数. 法二（导数法）：对求导得. 又，，所以，所以函数在上为减函数. 4．已知，证明： 【答案】证明见解析 【分析】构造函数，求导即可求证，结合指数函数的单调性可证. 【详解】令， 则，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，等号仅当时成立， 即， 从而，所以. 综上， 题型二：利用导数求函数的单调区间(不含参) 1．已知函数，，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，，当时，，最后利用导数得到函数的单调性即可求解. 【详解】由函数，得当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为. 当时，，，所以在上单调递减. 又，，， 所以，所以. 故选：A. 2．若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果. 【详解】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 3．函数的单调递减区间为 ． 【答案】/ 【分析】先求出导函数，再根据，计算求解即可. 【详解】因为函数，定义域为， 所以， 令，所以， 的单调递减区间为. 故答案为：或. 4．已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1)；； (2)的单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】（1）由导数几何意义得到切线斜率进而求出b和切线方程，再由切点在曲线上又在切线上建立关于a的等量关系即可求出a. （2）求出函数定义域，求导，由导数与函数单调性的关系即可求解. 【详解】（1）由题可得， 所以，即，切线方程为， 所以. 所以；. （2）由（1）得，，函数定义域为， 所以当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 题型三：由函数的单调区间求参数 1．已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，求出函数的单调递增区间，从而得到方程，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以没有单调递增区间，不符合题意； 当时，单调递增，令，解得， 所以的单调递增区间为（或）， 依题意可得，解得. 故选：C 2．（多选）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】BD 【分析】将问题转化为导函数有两个零点问题，由判别式可解． 【详解】当时，，显然不满足题意； 当时，依题意知，有两个不相等的零点， 所以，解得且， 故选：BD． 3．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】 利用导函数研究函数单调性再结合指数函数的值域计算即可. 【详解】 因为在区间上单调递增， 所以当时，恒成立， 即在恒成立， 又，所以. 故答案为：. 4．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解. 【详解】由得， 由于函数的定义域为，故令,解得，故的单调递增区间为， 若在区间上单调递增，则，解得， 故答案为： 题型四：由函数在区间上的单调性求参数 1．函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案. 【详解】， 因为函数在上不单调， 所以函数有零点， 所以方程 有根， 所以函数与 有交点（且交点非最值点）， 因为函数的值域为， 所以 . 故选：D 2．已知函数在上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】方法一：根据导函数恒成立，可得；方法二：根据复合函数单调性得在上也要单调递增，即，由此即可得解. 【详解】解法一：由题意可得，而恒成立， 故仅有时满足题意. 解法二：令，由复合函数单调性可知外层函数在上单调递增， 故内层函数在上也要单调递增， 故时满足，其他情况均不满足， 故的取值范围为. 故答案为：. 3．已知函数在定义域上单调递增，则实数m的最大值是 . 【答案】3 【分析】根据函数在定义域上单调递增，由恒成立求解. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以恒成立， 即恒成立， 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即， 所以实数的最大值为3. 故答案为：3 4．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】现将问题转化成在上恒成立，再用分离参数法求解恒成立问题即可. 【详解】因为在上是增函数， 所以在上恒成立， 所以， 由基本不等式，得（当且仅当，即时取“”）， 所以所以，解得． 故答案为：. 题型五：函数与导函数图象之间的关系 1．已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由导数图像，确定函数单调性，进而可判断； 【详解】由导函数图象可知，在上单调递减，在上单调递增， 结合选项，只有A符合； 故选：A 2．已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 【答案】B 【分析】对函数求导，结合图象判断与的大小关系，从而得出函数的单调性，进而可得出结果. 【详解】由得， 由题中图象可知，当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 故ACD都错，B正确， 故选：B 3．已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 【答案】B 【分析】根据图象判断出过点的为的图象，过点的为导函数的图象，求导得到，在上单调递减，在上单调递增，得到答案. 【详解】从图象可以看出过点的为的图象，过点的为导函数的图象， ， 当时，，故，在上单调递减， 当时，，故，在上单调递增， ACD错误，B正确， 故选：B 4．（多选）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【分析】根据导函数符号如何影响原函数单调性，即可逐个选项判断. 【详解】若单调递增，则，若单调递减，则， 对于A， 若表示图像，则当时恒成立， 当时，，故在上为减函数，在上为增函数 表示图像，符合导函数符号与原函数单调性的关系， A正确； 对于B，若表示图像，恒成立，表示图像，单调递增， 符合导函数符号与原函数单调性的关系，B正确； 对于C，若表示图像，恒成立，表示图像，单调递增， 符合导函数符号与原函数单调性的关系，C正确； 对于D，若表示图像，恒成立，表示图像，有增有减， 不符合导函数符号与原函数单调性的关系， 若表示图像，恒成立，表示图像， 有增有减， 不符合导函数符号与原函数单调性的关系，D错误. 故选：ABC 题型六：含参分类讨论求函数的单调区间 1．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，先求确定切点，再求确定切线斜率，利用直线方程的点斜式可得切线方程. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，则， 从而，， 故所求切线方程为，即（或）. （2）由题意可得. 当，即时，由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，则在上单调递增； 当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 2．已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，令函数，证明：． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数判断函数单调性； （3）利用导数证明一些不等式作为准备工作，然后根据已知条件得到的表达式，即可证明相应结论. 【详解】（1）由于，故，解得或. （2）首先有. 若，则在上递减； 若，则对有， 对有. 所以在上递减，在上递增； 若，则对有， 对有. 所以在上递减，在上递增. 综上，当时，在上递减； 当时，在上递减，在上递增； 当时，在上递减，在上递增. （3）为使有意义，需要，下面的讨论默认为正数. 先证明一些结论作为准备工作： ①设，则对有，对有. 所以在上递减，在上递增，从而，. ②设，则. 所以对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. ③设，则对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故. ④由于，故，所以. 由于，，故. 所以，即，从而. 将和结合，即得. 最后，由于，故. 所以 . 从而原命题得证. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造的恰当的函数以证明相应不等式. 3．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】（1）根据在点处的切线方程为即可求解； （2）由题意有，根据的范围分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 4．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若对于任意的，有，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的定义即可； （2）对分情况判断的正负，即可得到的单调区间； （3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围. 【详解】（1）由，知. 所以当时，有，. 故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即. （2）当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减； 当时，对有，故在上递增； 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减. 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减. （3）我们有. 当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增. 故对任意的，都有，满足条件； 当时，由于，故. 所以原结论对不成立，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果. 1．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，再利用导数求函数的单调减区间即可. 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求得的单调递增区间. 【详解】由题设，且， 可得，所以递增区间为. 故选：C 3．在上的导函数为，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件构造函数，利用导数判断其单调性，从而得到不等关系，即可判断. 【详解】令， 则， ，， 在上单调递增， ，即， . 故选：A. 4．设，则为上的增函数的充要条件是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】D 【分析】求导，得到对恒成立，由根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】，为上的增函数， 对恒成立， ， ． 故选：D 5．若函数有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对，，三种情况分类讨论，即可得到的取值范围. 【详解】设，则对有，对有. 所以在上递增，在上递减，这表明，且等号成立当且仅当. ①当时，对有，故至多有一个零点，不满足条件； ②当时，取充分小的正数，使得，，； 再取充分大的正数，使得，，，则，且 ，，， . 从而根据零点存在定理，可知有个零点，满足条件； ③当时，由于当时，单调递减，故在的范围内至多有一个零点. 而当时，有，且若，则必有，即. 所以在的范围内至多有一个零点. 二者结合，可知至多有两个零点，不满足条件. 综合①②③，可知的取值范围是. 故选：C. 6．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由导函数图象确定和的区间，确定的递增和递减区间，得到答案. 【详解】由导函数图象可知，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， D正确，其他选项不合题意. 故选：D 7．已知是定义在R上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据条件判断的单调性，奇偶性进而解不等式即可. 【详解】设，则， 又上，，则， 即函数在上单调递减， 又是定义在R上的奇函数，则函数为R上的奇函数， 故在R上单调递减，又， 即，可得，解得． 故选：B. 8．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解得即可. 【详解】令，则， 当时，，所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以，所以是偶函数，在单调递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：D 9．（多选）函数的单调递增区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用导数求出函数的单调增区间即可. 【详解】， 令，则， 所以函数的单调增区间为， 则符合题意的选项为AD. 故选：AD. 10．（多选）利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数的图象．在以下四个组合中，可使得函数在R上单调递增的有（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】AC 【分析】根据函数的导函数恒为正，计算各个选项满足即可判断. 【详解】因为， 所以， 当且时，，则在R上单调递增， 对于A：，符合题意； 对于B：，不合题意； 对于C：，符合题意； 对于D：，不合题意； 故选：AC． 11．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．此函数的周期为 B．此函数图象关于直线对称 C．此函数在区间上有6个零点 D．此函数在区间上单调递减 【答案】BD 【分析】利用周期函数定义、轴对称性质判断AB；求出函数的零点判断C；利用导数确定单调性判断D. 【详解】对于A，，函数周期不为，A错误； 对于B，，图象关于直线对称，B正确； 对于C， ，由，得或，又， 则，函数在区间上有7个零点，C错误； 对于D，，当时，，， ，因此，函数在区间上单调递减，D正确. 故选：BD 12．已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先证明函数为奇函数，再利用导数判断函数在上的单调性，再结合函数性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数． 由， 得，即， 又，， 且，所以在上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 13．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】在定义域上存在单调递减区间，即在上有解，进而求的范围. 【详解】法一：， 由题意可知在上有解，即有正实数解， 当时，显然满足要求， 当时，只需满足，即， 综上：的取值范围为. 故答案为：. 法二：， 由题意可知在上有解， 即在上有解，即在上有解， 所以，则的取值范围为. 故答案为：. 14．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数的单调性结合题设即可列出关于m的不等式，解不等式即可得解. 【详解】由题得定义域为R，， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在区间上不单调， 所以，故m的取值范围是. 故答案为：. 15．已知函数. (1)若，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，对分类讨论，根据导函数的正负即可求解单调性. 【详解】（1）由题设，则， 所以，，故切线方程为，         整理得. （2）由题设，且， 当时，当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，时，或时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，即在上单调递减；. 当时，时，或时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 16．定理  如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在开区间内至少存在一点，使得，这个定理称为微分中值定理，也称为拉格朗日中值定理. 定理表明，如果函数的图象是闭区间上的一条连续曲线，且当时，曲线上的每点都存在切线，那么，在曲线上至少存在一点，使得该曲线在这一点处的切线平行于曲线两个端点的连线，如图所示. (1)已知，为函数图象位于之间的部分上的一点，其中为坐标原点，求点到直线的距离的最大值； (2)如果，证明：. (3)如果函数在内可导，且对于任意的，都有，证明：函数在内单调递减. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先证明点到直线的距离不超过，再给出点到直线的距离为的例子，即可说明点到直线的距离的最大值是； （2）对使用题目中的定理，即可得到答案； （3）对使用题目中的定理，即可得到答案. 【详解】（1）显然直线的方程为，设，则，从而. 故点到直线的距离. 当时，点到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最大值是. （2）设，则存在，，使得，. 而，故，所以. 从而 . （3）对，由于函数在内可导， 故函数在上连续，在内可导. 从而存在，使得. 而对于任意的，都有，所以， 从而. 故函数在内单调递减. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对题目中给定定理的适当使用. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$