精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

高二数学开学考 一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定数列的前几项，利用观察法求出通项公式. 【详解】前4项的整数部分依次为， 则第项的整数部分为，分数部分的分子是正奇数，分母是2的项数次幂， 则第项的分数部分为，并且按减加相间将两项连结， 所以. 故选：D 2. 已知直线，直线.若，则（ ） A. 4 B. -2 C. 4或-2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由直线平行的必要条件列出方程求解参数，并注意回代检验是否满足平行而不是重合. 【详解】因为，所以，即，得或. 当时，，，符合题意； 当时，，，，重合. 故. 故选：A. 3. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合等比数列的定义，得到，即可求解. 【详解】由， 当时，，可得， 当时，， 因为数列为等比数列，可得，解得. 故选：D. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用焦点三角形的周长为，及，结合椭圆的知识求解出椭圆方程即可. 【详解】因为的最小值为1，所以． 因为的周长为34，所以， 所以．因为， 所以，所以椭圆C的标准方程为． 故选：C. 5. 已知，均为等差数列，且，，，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由于，均为等差数列，则为等差数列， 因此，，所以的公差为1， 故， 故选：B 6. 线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点轨迹所围成图形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解. 【详解】，设为线段中点， ，设，则，即． 则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； 故线段中点轨迹所围成图形的面积为. 故选：D 7. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答. 【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，， 令，则，而，， 于是得， 因此，， 所以与所成角的大小为. 故选：B 8. 已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据点在椭圆上结合得到方程组，解出即可得到离心率. 【详解】设，则，， ，， 因为，即， 整理得，即，即， 由题可知，则，即， 则，则，则， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，根据题意得到，再结合点在椭圆上即可得到离心率. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分. 9. 已知直线与，则（ ） A. 若，则两直线垂直 B. 若两直线平行，则 C. 直线恒过定点 D. 直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【解析】 【分析】由，判断A；由平行关系求出，判定B；由直线的点斜式方程判断C；求出截距判断D. 【详解】当时，， ，则，所以两直线垂直，A正确； 若两直线平行，则，解得， 经检验，当时，两直线平行，B错误； 由，即， 所以直线恒过定点，C正确； 由，与两坐标轴的截距分别为，不相等，D错误. 故选：AC 10. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线与圆必相交 B. 直线与圆不一定相交 C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相切 【答案】AC 【解析】 【分析】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案. 【详解】解：直线过定点， 又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交， 所以A正确，B，D错误， 因为圆心与点间的距离为，圆半径为2. 所以最短弦长为，故C正确， 故选：AC. 11. 已知点，，直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点，到直线距离相等 B. 当时，直线的斜率不存在 C. 当时，直线在轴上的截距为 D. 当时，直线与直线平行 【答案】CD 【解析】 【分析】利用点线距离公式判断A，由直线方程得斜率判断B，取，则，从而判断C，计算得判断D，由此得解. 【详解】对于A：当时，直线为， 此时，，显然不满足题意，故A错误； 对于B：时，直线为，直线斜率为，故B错误； 对于C：时，直线为，取，则，故C正确； 对于D：时，直线为，，不过A点， 而，，所以直线与直线平行，故D正确； 故选：CD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再利用椭圆的定义求解即得. 【详解】椭圆的半焦距，其焦点坐标为， 由椭圆定义得所求长轴长 . 故答案为： 13. 若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________. 【答案】（本题答案不唯一，任选一个即可） 【解析】 【分析】由抛物线的定义即可得抛物线方程. 【详解】由题意得抛物线的准线可能为直线， 所以的标准方程可能为. 故答案为：（答案不唯一，中任选一个即可）. 14. 已知等差数列的前项和为，若，则__________. 【答案】46 【解析】 【分析】由等差数列性质构造等差数列，则由新数列前两项依次求解可得. 【详解】由等差数列的性质可知成等差数列， 即1，8，成等差数列，且公差为， 所以， 得. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的前项和为，公比. （1）求； （2）若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）36 （2）存在，4，12，36 【解析】 【分析】（1）由等比数列的前n项和公式，计算，再求出； （2）设该等差数列为，求出公差和插入的三个数，判断是否存在3个数成等比数列. 【小问1详解】 由，得，所以. 【小问2详解】 设这5个数组成的等差数列为， 则，，得该数列的公差， 所以，，. 因为，所以，，成等比数列，即这3个数为4，12，36. 16. 已知复数是虚数单位，，且，其中是的共轭复数，． （1）证明：数列和均为等比数列． （2）设数列的前项和为，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由复数相等可得，再由构造法可证得数列和均是公比为的等比数列； （2）由，所以，由此可求出，再由分组求和法求解即可. 【小问1详解】 因为复数是虚数单位，，且，，所以， 所以， 所以，又可得 所以， 所以：数列和均是等比数列. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， . 17. 如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，其中是等腰直角三角形，，点在棱上，且三棱锥的体积为，点是棱的中点． （1）判断是否为棱的中点，并说明理由； （2）求平面与底面所成角的余弦值． 【答案】（1）是棱的中点，理由见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意平面PBC，求得体积关系：，即可得出答案； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量和底面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为，，所以，，. 又因为是菱形，，所以，， 因为，所以，平面， 所以平面， 因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC， 所以. 因为， 所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的， 所以，所以为棱的中点. 【小问2详解】 因为平面，平面ABCD， 所以，，又， 如图，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 底面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 取，，得. 设平面与底面所成角为， 所以， 平面与底面所成角的余弦值为. 18. 一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C． （1）求C的方程； （2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆的性质结合抛物线定义，即可求得答案； （2）设，利用点差法求出直线l斜率，即可求得直线方程. 【小问1详解】 依题意，该动圆的圆心到点与到直线的距离相等． 又点不在直线上，根据抛物线的定义可知， 该动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线C的方程为． 【小问2详解】 设，由题意知直线l斜率存在，则， 则， 两式相减得，即． 因为线段AB的中点坐标为， 所以，则，即直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 19. 已知圆经过椭圆的右焦点及右顶点. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程； （3）过点作与轴平行的直线与交于点，直线与轴交于点，证明：点共圆. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，进而求出即得的方程. （2）直线的方程与椭圆方程联立，借助韦达定理求出点即可求出轨迹方程. （3）利用弦长公式求出，再借助相似三角形及圆内四边形的判定推理得证. 【小问1详解】 在圆中，令，解得或，则， 因此椭圆的半焦距，长半轴长，短半轴长， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 点，当直线与轴不重合时，设直线方程为， 由消去得：， 设，则，， 联立得，即， 当直线与轴重合时，点满足方程， 所以线段的中点的轨迹方程是. 【小问3详解】 由，得，不妨令， 直线斜率，则， ， 因此，∽，则， 所以点共圆. 【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学开学考 一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，直线.若，则（ ） A. 4 B. -2 C. 4或-2 D. 3 3. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，均为等差数列，且，，，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 6. 线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分. 9. 已知直线与，则（ ） A. 若，则两直线垂直 B. 若两直线平行，则 C. 直线恒过定点 D. 直线在两坐标轴上的截距相等 10. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线与圆必相交 B. 直线与圆不一定相交 C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D 直线与圆可以相切 11. 已知点，，直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点，到直线距离相等 B. 当时，直线的斜率不存在 C. 当时，直线在轴上的截距为 D. 当时，直线与直线平行 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为______. 13. 若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________. 14. 已知等差数列前项和为，若，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列前项和为，公比. （1）求； （2）若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由. 16. 已知复数是虚数单位，，且，其中是的共轭复数，． （1）证明：数列和均为等比数列． （2）设数列的前项和为，求． 17. 如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，其中是等腰直角三角形，，点在棱上，且三棱锥的体积为，点是棱的中点． （1）判断是否为棱的中点，并说明理由； （2）求平面与底面所成角的余弦值． 18. 一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C． （1）求C方程； （2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程． 19. 已知圆经过椭圆右焦点及右顶点. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程； （3）过点作与轴平行的直线与交于点，直线与轴交于点，证明：点共圆. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$