精品解析：河北省盐山中学2025届高三下学期一模数学试题

河北省盐山中学2025届高三下学期一模数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求，再求． 【详解】由已知得，所以，故选C． 【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 2. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得到，则，再利用基本不等式求解. 【详解】因为 所以 所以 ， 当且仅当，即取等号 所以的最小值为8 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 3. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的乘法化简，再利用复数的相关概念求解. 【详解】解：， 复数的虚部为． 故选：． 4. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空， 若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法， 所以2个0不相邻的概率为. 故选：C. 5. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解. 【详解】[方法一]:常规解法 因为， 所以，，得到， 同理，可得， 又因为， 故，； 以此类推，可得，，故A错误； ，故B错误； ，得，故C错误； ，得，故D正确. [方法二]：特值法 不妨设则 故D正确. 6. 在中，角所对的边分别为，表示的面积，若 ，则 A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA＝1，即A＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C，从而得到B的值． 【详解】由正弦定理及得 ,因为，所以； 由余弦定理、三角形面积公式及，得, 整理得，又,所以,故. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题． 7. 如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合向量数量积的运算律可求得模长． 【详解】由已知可得，与的夹角为， 因为， 所以， 因，，， 故， 所以， 故选：B 8. 设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确； 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当时， C. 若，则 D. 直线始终过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线的方程得斜率，从而求得倾斜角可判断A；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断B和C；把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标可判断D． 【详解】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A正确； 对于B，等价于，解得，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，，当时，所以直线恒过，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知圆，点是圆上的点，直线，则（ ） A. 直线与圆相交弦长 B. 圆上恰有个点到直线的距离等于 C. 的最大值是 D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据的几何意义可得最值，再根据切线长的计算公式可得最值. 【详解】 如图所示， 由已知圆，则圆心，半径， A选项：圆心到直线的距离， 则弦长为，A选项正确； B选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，B选项错误； C选项：可表示点与点连线的斜率， 易知当直线与圆相切时，斜率取得最值， 设斜率，则直线，即， 则，解得， 所以，其最大值为，C选项错误； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：AD. 11. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列四个命题，正确的是（ ） A. 对任意三点，都有； B. 已知点和直线，则； C. 到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形. D. 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断； 对于选项B，设点是直线上一点，且，可得，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值； 对于选项C，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断； 对于选项D，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断． 【详解】A选项，设，由题意可得： 同理可得：，则： ， 则对任意的三点，，，都有；故A正确； B选项，设点是直线上一点，且， 可得， 由，解得或，即有，当时，取得最小值； 由，解得，即有，的范围是，无最值， 综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故B错误； C选项，设，则， 若，则，两边平方整理得；此时所求轨迹为或 若，则，两边平方整理得；此时所求轨迹为或， 故没法说所求轨迹是正方形，故C错误； D选项，定点、，动点满足（），则：， 显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0. (1)当时，有，得：； (2)当时，有，此时无解； (3)当时，有； 则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线. 结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，故D正确. 故选：AD. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得. 【详解】设直线的方程为，则点， 由于直线与圆相切，且圆心为，半径为， 则，解得或，所以， 因为，故. 故答案为：. 13. 若，使不等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用同构思想将原式变形，构造新不等式，通过数形结合得到的范围，由此反推出的范围. 【详解】由题，原式变形：， 移项且两边同时加1得， 令，原式可得，令，， 因为，， 由下图图像可知，当时，可得， 所以，因为题目中为存在性命题，且， 所以，解得 故答案为： 【点睛】同构题型识别度较高，当题目中同一个参数出现在多个位置，且一般无法分离，同时式子中指数对数幂函数三类形式的函数时，常常想到同构思想来解题. 14. 已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，，，则________；设是函数的零点，，则数列的前项和________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据求出，根据的递推关系可得的递推关系，结合等比数列的定义可求的通项，从而可求. 【详解】因为，所以. 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为. 令，得，即. 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以，，所以. 因为， 故， 而，故为等比数列，且首项为1，公比为2， 所以，故. 故答案为： 【点睛】思路点睛：已知数列的递推关系求其通项时，可对原递推关系适当变形，从而运用等差或等比数列的通项公式的求法求出新数列的通项从而得到原数列的通项. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，点，是图象上的两点. （1）求，的值； （2）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）把图象上的两点代入函数解析式，由方程组求，的值； （2）定义法求函数单调性，由单调性求最值. 【小问1详解】 因为点，是图象上的两点， 所以，解得. 【小问2详解】 设， 则， 因为，所以，， 则，即， 所以函数在上单调递减. 故，. 16. 已知角的终边为射线. （1）求，，的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义求解； （2）利用正弦展开式，恒等变换再代入数值求解. 【小问1详解】 在射线上取一点， 所以； 【小问2详解】 17. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求证: 直线平面; （2）求异面直线、所成角的大小. 【答案】（1） 由题意得O为的中点， 连结，又因为P是的中点，故， 又因为平面，平面， 所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】（1）设和交于点O，则O为的中点，证得，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）由（1）知，，得到异面直线与所成的角就等于与所成的角，在直角中，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 所以异面直线与所成的角就等于与所成的角， 故即为所求；因为，为的中点，则， 则易知，因为为中点，则， 在直角中，可得， 又因为，所以. 18. 已知抛物线x2=2py（p>0）上一点R(m，2)到它的准线的距离为3.若点A，B，C分别在抛物线上，且点A、C在y轴右侧，点B在y轴左侧，△ABC的重心G在y轴上，直线AB交y轴于点M且满足3|AM|<2|BM|，直线BC交y轴于点N.记△ABC，△AMG，△CNG的面积分别为S1，S2，S3. （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】 （1）由抛物线x2=2py（p>0）上一点R(m，2)到它的准线的距离为3构建方程，求得p，则可得准线方程； （2）设点，，由面积公式可知由点G为的重心，且在y轴上，可以表示，由相似三角形可知，即可表示，令，整理得，由，得将视为二次函数求得值域，进而求得的范围，取倒即可得答案. 【详解】（1）有题意知，，，所以准线方程： （2）设点， 点G为的重心，且在y轴上， 所以，且，则，且由相似三角形可知 所以 令， 因为，所以，故，则 故 【点睛】本题考查在抛物线的背景下探究平面图形面积比的范围问题，涉及求抛物线的标准方程，还考查了三角形重心的性质，属于难题. 19. 设函数． （1）求的单调区间； （2）已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明： （ⅰ）若，则； （ⅱ）若，则． （注：是自然对数的底数） 【答案】（1）的减区间为，增区间为. （2）（ⅰ）因为过有三条不同的切线，设切点为， 故， 故方程有3个不同的根， 该方程可整理为， 设， 则 ， 当或时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 因为有3个不同的零点，故且， 故且， 整理得到：且， 此时， 设，则， 故为上的减函数，故， 故. （ⅱ）当时，同（ⅰ）中讨论可得： 故在上为减函数，在上为增函数， 不妨设，则， 因为有3个不同的零点，故且， 故且， 整理得到：， 因为，故， 又， 设，，则方程即为： 即为， 记 则为有三个不同的根， 设，， 要证：，即证， 即证：， 即证：， 即证：， 而且， 故， 故， 故即证：， 即证： 即证：， 记，则， 设，则，所以， ， 故在上为增函数，故， 所以， 记， 则， 所以在为增函数，故， 故即， 故原不等式得证： 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性. （2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ） ，，则题设不等式可转化为，结合零点满足的方程进一步转化为，利用导数可证该不等式成立. 【小问1详解】 ， 当，；当，， 故的减区间为，的增区间为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省盐山中学2025届高三下学期一模数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 3. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角所对的边分别为，表示的面积，若 ，则 A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 7. 如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（ ） A. B. C. D. 8. 设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当时， C. 若，则 D. 直线始终过定点 10. 已知圆，点是圆上的点，直线，则（ ） A. 直线与圆相交弦长 B. 圆上恰有个点到直线的距离等于 C. 的最大值是 D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为 11. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列四个命题，正确的是（ ） A. 对任意三点，都有； B. 已知点和直线，则； C. 到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形. D. 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________． 13. 若，使不等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是______. 14. 已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，，，则________；设是函数的零点，，则数列的前项和________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，点，是图象上的两点. （1）求，的值； （2）求函数在上的最大值和最小值. 16. 已知角的终边为射线. （1）求，，的值； （2）求的值. 17. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求证: 直线平面; （2）求异面直线、所成角的大小. 18. 已知抛物线x2=2py（p>0）上一点R(m，2)到它的准线的距离为3.若点A，B，C分别在抛物线上，且点A、C在y轴右侧，点B在y轴左侧，△ABC的重心G在y轴上，直线AB交y轴于点M且满足3|AM|<2|BM|，直线BC交y轴于点N.记△ABC，△AMG，△CNG的面积分别为S1，S2，S3. （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求的取值范围. 19. 设函数． （1）求的单调区间； （2）已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明： （ⅰ）若，则； （ⅱ）若，则． （注：是自然对数的底数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $