精品解析：江西省赣州市于都县2024-2025学年八年级上学期数学期末试卷

江西省赣州市于都县2024-2025学年八年级上学期数学期末试卷 （本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分，考试时间为120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（） A. 蒸馏烧瓶 B. 烧杯 C. 圆底烧瓶 D. 分液漏斗 2. 如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 若，则下列化简一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 木工师傅将一个含45度角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 垂线段最短 B. 等腰三角形的“三线合一” C. 角平分线的性质定理 D. 线段垂直平分线的性质定理 5. 如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点间的距离，可在平地上找到一个可以直接到达点和点的一点，然后延长至，使，延长至，使，则，从而通过测量的长就可得到间的距离，其全等的依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS 6. 已知点A，B是两个居民区的位置，现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P，如图是4位设计师给出的规划图，其中PA＋PB距离最短的是（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：______． 8. 蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为（5，3），则其关于y轴对称的点B的坐标为 _____． 9. 如图，是的角平分线，点P在上，，垂足为D，且，则点P到的距离是______． 10. 如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，如图2，则图2中（1）部分的面积是______． 11. 已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息： x的取值 2 0.5 c 分式的值 无意义 0 3 则c的值是_____________． 12. 在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角α的大小是_______________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分） 13. （1）化简：； （2）因式分解：． 14. 如图，点A，E，F在直线l上，AE=BF，AC//BD，且AC=BD，求证：CF=DE 15. 已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，求整数的最大值． 16. 已知正方形如图所示，M、N在直线上，且． （1）在图1中仅用无刻度的直尺画出一个等腰三角形． 图1 （2）在图2中仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线． 图2 17. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： （1）接力中，自己负责的一步出现错误的是 A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 （2）请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，-2”中选择一个合适的数求值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如图1，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． （1）图2中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a，b的式子表示； （2）图2，图3中空白部分面积分别为19，68，求值． 19. 如图，在中，平分交于点D，平分交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 20. 【教材回顾】如图1，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）【结论应用】在直角中，，若，则______； （2）【变式探究】如图2，在直角中，，求证：． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 乙 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． （1）求x的值； （2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天． 22. 阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：； （2）根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． （3）已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省赣州市于都县2024-2025学年八年级上学期数学期末试卷 （本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分，考试时间为120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（） A. 蒸馏烧瓶 B. 烧杯 C. 圆底烧瓶 D. 分液漏斗 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的形式（其中为整数）以及的确定方法． 要将用科学记数法表示，需确定和的值，根据科学记数法规则，要满足由原数绝对值与1的大小关系确定，然后得出结果． 【详解】解：对于，要使满足，则，此时小数点向右移动了4位，因为原数绝对值，所以，那么用科学记数法表示为米． 故选：B． 3. 若，则下列化简一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质并能正确应用． 根据分式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，看其是否符合性质要求． 【详解】解：A，，选项化简错误，不符合题意； B，，选项化简错误，不符合题意； C，，选项化简错误，不符合题意； D，，选项化简正确，符合题意． 故选：D． 4. 木工师傅将一个含45度角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ） A. 垂线段最短 B. 等腰三角形的“三线合一” C. 角平分线的性质定理 D. 线段垂直平分线的性质定理 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质即可确定答案． 【详解】解：由题意可知，三角尺是等腰的，等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合，若重锤的线经过三角尺底边的中点刻度，说明重锤与三角形底边上的高是重合的，而重锤是和水平面互相垂直的，所以说明此时的横梁是水平的，如果重锤的线没有经过三角尺底边的中点刻度，则说明横梁不是水平的， 因此能解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，理解等腰三角形三线合一（顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合）的性质是解题的关键． 5. 如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点间的距离，可在平地上找到一个可以直接到达点和点的一点，然后延长至，使，延长至，使，则，从而通过测量的长就可得到间的距离，其全等的依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：在和中 ， ∴； 故选D． 6. 已知点A，B是两个居民区的位置，现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P，如图是4位设计师给出的规划图，其中PA＋PB距离最短的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称的性质以及线段的性质可得到结论． 【详解】解：根据题意知，在墙l边上建立一个垃圾站点P，使PA＋PB距离最小，则作A或者B关于l的对称点，然后连接找到点P，则D选项符合要求． 故选：D 【点睛】主要考查轴对称的性质的应用，最短路线的数学模型问题，其次考查作图能力，要求学生能够把实际问题转化为数学模型． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的运算，解题的关键是掌握零指数幂的运算法则． 根据零指数幂的运算法则，对进行计算得出结果． 【详解】根据零指数幂的定义：任何非零数的0次幂都等于1，即． ． 故答案为：1． 8. 蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为（5，3），则其关于y轴对称的点B的坐标为 _____． 【答案】（-5，3） 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点的特点为：横坐标互为相反数，纵坐标相等，直接求解即可． 【详解】解：关于y轴对称的点的特点为：横坐标互为相反数，纵坐标相等， ∴， 故答案为： ． 【点睛】题目主要考查坐标系中对称点的特点，熟练掌握关于坐标轴对称的点的特点是解题关键． 9. 如图，是的角平分线，点P在上，，垂足为D，且，则点P到的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离，作于，由角平分线的性质定理可得，即可得解． 【详解】解：如图，作于， ∵是的角平分线，点P在上，，垂足为D， ∴， ∴点P到的距离是， 故答案为：． 10. 如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，如图2，则图2中（1）部分的面积是______． 【答案】150 【解析】 【分析】根据在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，得出，，问题即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 故图中（1）部分的面积是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据已知得出，是解题的关键． 11. 已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息： x的取值 2 0.5 c 分式的值 无意义 0 3 则c的值是_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据表格的数据分别确定，，然后根据分式的值为3求解即可． 【详解】解：由表格数据得：当时，分式无意义， ∴， ∴， 当时，分式的值为0， ∴， 解得：， ∴分式为， 当分式的值为3时，即， 解得：， 检验，为分式方程的解， ∴， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查分式有意义的条件与分式的值为0的条件，解分式方程，熟练掌握运算法则是解题关键． 12. 在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角α的大小是_______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．分三种情况考虑：当，分别求出夹角的大小即可． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ①当时， ∴，即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当是等腰三角形时，或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分） 13. （1）化简：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算和因式分解，解题的关键是掌握幂的运算法则以及因式分解的方法． （1）先根据幂的乘方法则计算幂的乘方，再根据同底数幂的乘除法则进行运算； （2）先变形式子，然后提取公因式，最后利用平方差公式继续分解． 【详解】解：（1） ， （2） ． 14. 如图，点A，E，F在直线l上，AE=BF，AC//BD，且AC=BD，求证：CF=DE 【答案】 证明：∵AE＝BF， ∴AF＝BE， ∵AC∥BD， ∴∠CAF＝∠DBE， 又AC＝BD， ∴△ACF≌△BDE(SAS)， ∴CF＝DE. 【解析】 【分析】利用SAS证明△ACF≌△BDE，根据全等三角形的性质即可得. 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键. 15. 已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，求整数的最大值． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最大的整数即可． 【详解】解：由三角形的三边关系可知：， 即， 因此整数的最大值是9． 16. 已知正方形如图所示，M、N在直线上，且． （1）在图1中仅用无刻度的直尺画出一个等腰三角形． 图1 （2）在图2中仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线． 图2 【答案】（1） 解：如图：为所求； （2） 如图：直线为所求； 【解析】 【分析】（1）连接和，相交于点，连接、即可； （2）连接，，交于F，连接，，交于E，作直线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作与复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定和垂直平分线的判定． 17. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： （1）接力中，自己负责的一步出现错误的是 A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 （2）请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，-2”中选择一个合适的数求值． 【答案】（1）D （2）， 【解析】 【分析】（1）根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断． （2）化简之后的结果选择一个有意义的数代入求值即可． 【小问1详解】 出现错误是在乙和丁， 故选：D． 【小问2详解】 ， 根据分式有意义的条件可得且， 即只能从和中选择一个， 代入，得出结果为． 【点睛】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如图1，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． （1）图2中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a，b的式子表示； （2）图2，图3中空白部分面积分别为19，68，求值． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式的法则，数形结合思想是解题的关键． （1）等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积； （2）先用a，b表示，再列方程求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①， ②， ∴ ， ∴． 19. 如图，在中，平分交于点D，平分交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识点． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和是等相关知识是解决本题的关键． （1）先由角平分线性质求出的度数，再根据外角与内角的关系得，，间关系，最后代入计算得结论； （2）先由三角形外角与内角的关系求出的度数，再由角平分线性质求出的度数，最后利用三角形内角和定理得结论． 【小问1详解】 解：平分， 是的外角，， 【小问2详解】 解：平分平分， 是的外角，， ， ， ． 20. 【教材回顾】如图1，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）【结论应用】在直角中，，若，则______； （2）【变式探究】如图2，在直角中，，求证：． 【答案】（1）4 （2） 延长至点，使，连接， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边三角形判定与性质，解题的关键是熟练掌握含角的直角三角形中边与角的特殊关系． （1）直接运用含角的直角三角形的性质求解； （2）通过延长至点，使，连接，构造，利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明角的度数． 【小问1详解】 解：在直角中，，， ； 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 乙 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． （1）求x的值； （2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天． 【答案】（1）的值是 （2）乙工程队至少施工天 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等，列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设乙工程队单独施工m天，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解， ∴的值是300； 【小问2详解】 解：设乙工程队单独施工m天， 解得：, 答：乙工程队至少施工15天. 22. 阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：； （2）根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． （3）已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）当时，最小值为； （3）的形状是等边三角形， 理由如下： ∵ ∴， 利用拆项得：， 即：， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是，， 所以可以得到，即：的形状是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键． （1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答； （3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到，即可解答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， 当当时，最小值为． 【小问3详解】 略 六、解答题（本大题共12分） 23. 【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 【答案】（1）9； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $