第19章 专题14 一次函数与几何图形的综合探究问题【单元整合】（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（人教版）

2025春季学期 《学练优》·八年级数学下·RJ 第十九章　一次函数 专题14　一次函数与几何图形的综合探究问题【单元整合】 类型一　一次函数与特殊三角形综合 1. （2024·汉中期末）如图，直线y＝ x＋8与x轴 相交于点A，与y轴相交于点B. 解：（1）直线y＝ x＋8，当x＝0 时，y＝8， ∴点B的坐标为（0，8）.令y＝0，则 x＋8＝0，解得x＝－6，∴点A的坐 标为（－6，0）. 解：（1）直线y＝ x＋8， 当x＝0时，y＝8， ∴点B的坐标为（0，8）.令y＝0， x＋8＝0，解得x＝－6， ∴点A的坐标为（－6，0）. （1）求点A，B的坐标； （2）点M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M 为顶点的三角形是以AB为腰的等腰三角形，请探究 并求出符合条件的所有点M的坐标. 解：（2）∵A（－6，0），B（0， 8），∴OA＝6，OB＝8. ∴AB＝ ＝10. ①当AB＝AM时，则AM＝10，又点 M在x轴上， ∴当点M在点A左侧时，OM＝6＋10 ＝16，此时点M的坐标为（－16， 0）； 解：（2）∵A（－6，0），B（0， 8）， ∴OA＝6，OB＝8. ∴AB＝ ＝10. ①当AB＝AM时，则AM＝10，又点M在x轴上， ∴当点M在点A左侧时，OM＝6＋10＝16， 此时点M的坐标为（－16，0）； 当点M在点A右侧时，OM＝10－6＝4， 此时点M的坐标为（4，0）. ②当AB＝BM时，点M位于y轴右侧.∵BM＝10， ∴OM＝ ＝6. ∴此时点M的坐标为（6，0）. 综上可得， 点M的坐标为（－16，0）或（4，0）或（6，0）. 方法点拨 　　算出三角形的三边长，再根据腰不同分类讨 论.坐标轴上的动点也要注意根据点的不同位置 分类讨论. 2. （2024·东莞一模节选）综合与探索 【探索发现】如图①，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥l于点 D，过点B作BE⊥l于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“K型全等”（不需要证明）. 【迁移应用】如图②，在直角坐标系中，直线l1：y ＝2x＋4分别与y轴、x轴交于点A，B. （1）直接写出OA＝ ，OB＝ ⁠； （2）在第二象限构造等腰直角三角形ABE，使得 ∠BAE＝90°，则点E的坐标为 ⁠； 4　 2　 （－4，6）　 辅助设问 构造K型全等，图③中过B作辅助线 ⁠ ，得△ 是等腰直角三角形. BC⊥l2于点 C　 ABC　 解：（3）如图③，过点B作BC⊥l2于点C，过点 A作AD⊥y轴，过点C作CN⊥x轴，CN的反向延 长线与AD交于点D. 易证△ACD≌△CBN. ∴CN ＝AD，CD＝BN. 解：（3）如图③，过点B作BC⊥l2于点C， 过点A作AD⊥y轴，过点C作CN⊥x轴， CN的反向延长线与AD交于点D. 易证△ACD≌△CBN. ∴CN＝AD，CD＝BN. （3）如图③，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到 l2，求l2的函数解析式. 设CD＝x，则BN＝x，AD＝2＋x， 设CD＝x，则BN＝x，AD＝2＋x，∴CN＝2＋ x.∴2＋x＋x＝4，解得x＝1.∴C（－3，3）.设 直线AC的解析式为y＝kx＋b，则 解得 ∴l2的函数解析式为y＝ x＋4. ∴CN＝2＋x.∴2＋x＋x＝4，解得x＝1. ∴C（－3，3）.设直线AC的解析式为y＝kx＋b， 则解得 ∴l2的函数解析式为y＝ x＋4. 类型二　一次函数与特殊四边形综合 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点， 直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴 交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂 线与过点O的直线相交于点C，直线OC 的解析式为y＝ x，过点C作CM⊥y轴， 垂足为点M，OM＝9. 解：（1）∵CM⊥y轴，OM＝9， ∴y＝9时，9＝ x，解得x＝12. ∴C（12，9）.∵AC⊥x轴，∴A （12，0）. ∵OA＝OB，∴B（0，－12）. 设直线AB的解析式为y＝kx＋b， 解：（1）∵CM⊥y轴，OM＝9， ∴y＝9时，9＝ x，解得x＝12. ∴C（12，9）.∵AC⊥x轴， ∴A（12，0）. ∵OA＝OB， ∴B（0，－12）.设直线AB的解析式为y＝kx＋b， （1）求直线AB的解析式. 则有 解得 ∴直线AB的解析式为y＝x－12. （2）如图，点N在线段MC上，连接ON，点P在 线段ON上（不与点O重合），过点P作PD⊥x 轴，垂足为点D，交OC于点E. 若NC＝OM，求 的值. ∴N（3，9）.∴直线ON的解析式为y＝3x. 解：（2）∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC＝90°， ∴四边形OACM是矩形.∴AO＝CM＝12. ∵NC＝OM＝9，∴MN＝CM－NC＝12－9＝3. ∴N（3，9）.∴直线ON的解析式为y＝3x. 设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），∴OD＝4a. 把x＝4a代入y＝ x中，得y＝3a. ∴E（4a，3a）. ∴DE＝3a.把x＝4a代入y＝3x中，得y＝12a. ∴P（4a，12a）.∴PD＝12a. ∴PE＝PD－DE＝12a－3a＝9a.∴ ＝ ＝ . 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋3 与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，a），与x 轴交于点B. 解：（1）把（1，a）代入y＝x＋ 3，得a＝4，∴C（1，4）. 设直线l2的解析式为y＝kx＋b， 把C（1，4），A（3，0）代入得 解得 ∴直线l2的解析式为y＝－2x＋6. 解：（1）把（1，a）代入y＝x＋ 3， 得a＝4，∴C（1，4）. 设直线l2的解析式为y＝kx＋b， 把C（1，4），A（3，0）代入得 解得 ∴直线l2的解析式为y＝－2x＋6. （1）求直线l2的解析式； （2）若在平面上存在点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标. 解：（2）设D（m，n），而A （3，0），B（－3，0）， C（1，4），以点A，B，C，D为 顶点的四边形是平行四边形， 分三种情况：①以AB，CD为对角 线， 则AB的中点与CD的中点重合， 解：（2）设D（m，n），而A（3，0）， B（－3，0）， C（1，4），以点A，B， C，D为顶点的四边形是平行四边形， 分三种情况：①以AB，CD为对角线， 则AB的中点与CD的中点重合， ∴ 解得 ∴D（－1， －4）. ∴ 解得 ∴D（－1，－4）. ②以AC，BD为对角线， 解得 ∴D（7，4）. ③以AD，BC为对角线，同理可得 解得 ∴D（－5，4）. ③以AD，BC为对角线， 解得 ∴D（－5，4）. 综上所述，以点A，B，C，D为顶点的四边形是 平行四边形时，点D的坐标为（－1，－4）或（7， 4）或（－5，4）. 方法点拨 若AB为对角线，则利用中点坐标公式可得 $$