第19章 专题10 一次函数与面积【一题多变】（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（人教版）

2025春季学期 《学练优》·八年级数学下·RJ 第十九章　一次函数 专题10　一次函数与面积【一题多变】 【根题】如图，直线y＝x＋3交y轴于点A，交x轴 于点B，经过点（2，2）的直线交x轴于点C，交y 轴于点D，交AB于点E，已知点E的横坐标为1. （1）直线CD的解析式为 ⁠； y＝－2x＋6　 （2）求△EBC的面积； 解：（2）∵点E的横坐标为1，将x＝1代入y＝x ＋3中，得y＝4， ∴E（1，4）.把y＝0代入y＝x＋3，得0＝x＋3， 解得x＝－3. ∴B（－3，0）.把y＝0代入y＝－2x＋6，得0＝ －2x＋6， 解得x＝3.∴C（3，0）.∴BC＝6. 解：（2）∵点E的横坐标为1， 将x＝1代入y＝x＋3中，得y＝4， ∴E（1，4）.把y＝0代入y＝x＋3， 得0＝x＋3，解得x＝－3. ∴B（－3，0）. 把y＝0代入y＝－2x＋6，得0＝－2x＋6， 解得x＝3.∴C（3，0）.∴BC＝6. ∴S△EBC＝ ×BC×yE＝ ×6×4＝12. （3）求△ADE的面积. 解：（3）易知点D（0，6），A （0，3），则AD＝3. ∵E（1，4），∴S△ADE＝ ×AD×xE＝ ×3×1＝ . 解：（3）易知点D（0，6）， A（0，3），则AD＝3. ∵E（1，4）， ∴S△ADE＝ ×AD×xE＝ ×3×1＝ . 【变式1】一题多解求四边形AOCE的面积. 方法一：S四边形AOCE＝S△BCE－S△AOB. 解：S四边形AOCE＝S△BCE－S△AOB＝12－ ×3×3＝ . 解：S四边形AOCE＝S△BCE－S△AOB＝12－ ×3×3＝ . 解：∵E（1，4），C（3，0）， ∴EF＝4，OF＝1，CF＝2. 则S四边形AOCE＝S△CEF＋S梯形AEFO＝ ×4×2＋ × （4＋3）×1＝ . 解：∵E（1，4），C（3，0）， ∴EF＝4，OF＝1，CF＝2. 则S四边形AOCE＝S△CEF＋S梯形AEFO＝ ×4×2＋ × （4＋3）×1＝ . 方法二：割补法过点E作EF⊥x轴于点F，则S四边 形AOCE＝S△CEF＋S梯形AEFO. 【变式2】一题多解若点M（m，2）在直线CD 上，求△BEM的面积. 方法一：S△BEM＝S△BCE－S△BCM. 解：∵直线CD的解析式为y＝－2x＋6， 点M（m，2）在直线CD上， ∴－2m＋6＝2，解得m＝2. 即点M的坐标为（2，2）. S△BEM＝S△BCE－S△BCM＝12－ ×6×2＝6. 解：∵直线CD的解析式为y＝－2x＋6， 点M（m，2）在直线CD上， ∴－2m＋6＝2，解得m＝2. 即点M的坐标为（2，2）. S△BEM＝S△BCE－S△BCM＝12－ ×6×2＝6. 方法二：铅垂法过点E作EN∥y轴交直线BM于点 N，则S△BEM＝S△BEN＋S△MEN. 解：∵B（－3，0），M（2，2）， 易得直线BM的解析式为y＝ x＋ . 当x＝1时，y＝ ＋ ＝ . 即点N的坐标为（1， ）. ∴EN＝4－ ＝ . ∴S△BEM＝S△BEN＋S△MEN＝ ×EN×（xE－xB） ＋ ×EN×（xM－xE）＝ × ×4＋ × ×1＝6. 方法总结 S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝ CD·AE＋ CD·BF＝ CD·（AE＋BF）＝ CD·｜xB－xA｜，即S三角形＝ ×铅垂高×水平宽. 针对训练 1. 如图，直线y＝ x＋1经过点A（1，m），B （4，n），点C的坐标为（2，5），求△ABC的 面积. 解：如图，作CM⊥x轴于M，交AB于D. ∵点C的坐标为（2，5）， ∴D的横坐标为2.把x＝2代入直线y＝ x＋1， 得y＝ ×2＋1＝2， ∴D（2，2）.∴CD＝5－2＝3. ∴S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝ ×3×（4－1）＝ . 解：如图，作CM⊥x轴于M，交AB于D. ∵点C的坐标为（2，5）， ∴D的横坐标为2. 把x＝2代入直线y＝ x＋1， 得y＝ ×2＋1＝2， ∴D（2，2）.∴CD＝5－2＝3. ∴S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝ ×3×（4－1）＝ . 2. 如图，已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象 过点A（－1，2），B（m，－2），与x轴交于点 C（－2，0），连接OA，OB. 解：（1）∵点A（－1，2），C （－2，0）在一次函数y＝kx＋b （k≠0）的图象上， ∴ 解得 ∴一次函数的解析式为y＝2x＋4. ∵B（m，－2）在函数的图象上， ∴2m＋4＝－2，解得m＝－3. 解：（1）∵点A（－1，2）， C（－2，0）在一次函数y＝kx＋b （k≠0）的图象上， ∴ 解得 ∴一次函数的解析式为y＝2x＋4. ∵B（m，－2）在函数的图象上， ∴2m＋4＝－2，解得m＝－3. （1）求该一次函数的解析式和m的值. （2）若点P为y轴上的点，是否存在点P，使得 S△OBP＝S△AOB？若存在，请求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（2）存在.∵A（－1，2），B（－3，－2）， C（－2，0）， ∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC ＝×2×2＋ ×2×2＝2＋2＝4. 当点P在y轴上时，设P（0，n）， 则S△OBP＝ ｜n｜×3＝4， 解得n＝± .∴点P的坐标为（0， ）或（0，－ ）. 3. 如图，直线l：y＝－2x＋6分别交x轴、y轴于 点A，E，点B（m，－10）在直线l上，点E关于 x轴的对称点为E'，连接AE'，BE'. （1）求点A的坐标； 解：（1）在直线y＝－2x＋6中，令y＝0，则x＝ 3.∴A（3，0）. 解：（1）在直线y＝－2x＋6中， 令y＝0，则x＝3.∴A（3，0）. （2）求△ABE'的面积； 解：（2）由题意可知E（0，6），E'（0，－6）， ∴EE'＝12. ∵点B（m，－10）在y＝－2x＋6上， ∴－2m＋6＝－10，解得m＝8.∴B（8，－10）. ∴S△ABE'＝S△EBE'－S△EAE'＝ EE'×8－ EE'×3＝ ×12×（8－3）＝30. 解：（2）由题意可知E（0，6）， E'（0，－6），∴EE'＝12. ∵点B（m，－10）在y＝－2x＋6上， ∴－2m＋6＝－10，解得m＝8.∴B（8，－10）. ∴S△ABE'＝S△EBE'－S△EAE'＝ EE'×8－ EE'×3＝ ×12×（8－3）＝30. （3）点Q（1，a）为平面内一动点，连接QA， QE'，若S△QAE'＝ S△ABE'，求点Q的坐标. 解：（3）如图，作QF∥y轴交AE'于点F. 由题意 可知直线AE'的表达式为y＝2x－6，当x＝1时，y ＝－4，∴F（1，－4）. ∵S△QAE'＝ S△ABE'＝15， ∴ QF×（3－1）＋ QF×1＝15. ∴QF＝10.∴｜a＋4｜＝10， 解得a＝6或a＝－14. ∴点Q的坐标为（1，6）或（1，－14）. 解：（3）如图，作QF∥y轴交AE'于点F. 由题意 可知直线AE'的表达式为y＝2x－6，当x＝1时，y ＝－4，∴F（1，－4）. ∵S△QAE'＝ S△ABE'＝15， ∴ QF×（3－1）＋ QF×1＝15. ∴QF＝10.∴｜a＋4｜＝10， 解得a＝6或a＝－14. ∴点Q的坐标为（1，6）或（1，－14）. $$