第17章 专题4 勾股定理中的3种数学思想方法【大概念整合】（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（人教版）

2025春季学期 《学练优》·八年级数学下·RJ 第十七章　勾股定理 专题4　勾股定理中的3种数学思想方法 【大概念整合】 【典例精讲】 例1：方程思想·单勾股如图，长方形ABCD中，AB ＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，点D落在点D' 处，求重叠部分△AFC的面积. 解：由题意知AD'＝AD＝BC＝4.易证 △AFD'≌△CFB，∴D'F＝BF. 设D'F＝BF＝ x，则AF＝8－x.在Rt△AFD'中，（8－x）2＝x2 ＋42，解得x＝3.∴AF＝5.∴S△AFC＝ AF·BC＝ 10. 解：由题意知AD'＝AD＝BC＝4.易证 △AFD'≌△CFB，∴D'F＝BF. 设D'F＝BF＝ x， 则AF＝8－x.在Rt△AFD'中，（8－x）2＝x2 ＋42， 解得x＝3.∴AF＝5.∴S△AFC＝ AF·BC＝10. 方法总结 解决折叠或垂直平分线问题的关键是抓住对称性， 利用线段相等，再由勾股定理列出方程，运用方程 思想解决问题. 例2：方程思想·双勾股如图，在△ABC中， BC＝4，AC＝13，AB＝15，求S△ABC的值. 解：过点A作AD⊥BC于点D，设CD＝x. ∵AD2＝AC2－CD2＝AB2－BD2，∴132－x2＝152 －（4＋x）2. ∴x＝5.∴AD＝ ＝12. ∴S△ABC＝ BC·AD＝24. 解：过点A作AD⊥BC于点D，设CD＝x. ∵AD2＝AC2－CD2＝AB2－BD2， ∴132－x2＝152 －（4＋x）2. ∴x＝5.∴AD＝ ＝12. ∴S△ABC＝ BC·AD＝24. 方法总结 在解决非直角三角形问题中，往往需要构建直角三 角形，当几个直角三角形出现共边时，常常考虑多 次运用勾股定理来建立方程解决. 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， BC＝18，DE是线段AB的垂直平分线，则BD的长 为（　C　） A. 8 B. 10 C. 13 D. 15 C 变式训练 2. 共边图形如图，AD为△ABC的高，已知AB＝ 13，BC＝21，AC＝20，求△ABC的面积. 解：设BD＝x，则CD＝21－x.在Rt△ABD中， AD2＝AB2－BD2＝132－x2.在Rt△ACD中，AD2＝ AC2－CD2＝202－（21－x）2. ∴132－x2＝202－（21－x）2，解得x＝5. ∴AD＝ ＝12. ∴S△ABC＝ BC·AD＝ ×21×12＝126. 解：设BD＝x，则CD＝21－x.在Rt△ABD中， AD2＝AB2－BD2＝132－x2.在Rt△ACD中， AD2＝ AC2－CD2＝202－（21－x）2. ∴132－x2＝202－（21－x）2，解得x＝5. ∴AD＝ ＝12. ∴S△ABC＝ BC·AD＝ ×21×12＝126. 3. （2024·北京朝阳区期中）如图，A，B，H是直 线l上的三个点，AC⊥l于点A，BD⊥l于点B， HC＝HD，AB＝5，AC＝2，BD＝3，求AH的长. 解：∵AC⊥l于点A，BD⊥l于点B， ∴∠CAH＝∠HBD＝90°.∵A，B，H是直线上 的三个点， ∴AH＋BH＝AB＝5.∴BH＝5－AH. 在Rt△ACH中，AC2＋AH2＝CH2，即4＋AH2＝ CH2.在Rt△BHD中，BH2＋BD2＝DH2，即（5－ AH）2＋9＝DH2.∵HC＝HD，∴4＋AH2＝（5－ AH）2＋9.∴AH＝3.故AH的长为3. 解：∵AC⊥l于点A，BD⊥l于点B， ∴∠CAH＝∠HBD＝90°. ∵A，B，H是直线上的三个点， ∴AH＋BH＝AB＝5.∴BH＝5－AH. 在Rt△ACH中，AC2＋AH2＝CH2，即4＋AH2＝ CH2. 在Rt△BHD中，BH2＋BD2＝DH2， 即（5－ AH）2＋9＝DH2.∵HC＝HD， ∴4＋AH2＝（5－AH）2＋9.∴AH＝3.故AH的长为3. 【典例精讲】 例3：分类讨论思想·直角不明如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P 从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动 的时间为ts. （1）BC边的长为 cm； 4　 （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值. 解：由题意知BP＝tcm.分两种情况： ①当∠APB为直角时，点P与点C重合， BP＝BC＝4cm，即t ＝4.②当∠BAP为直角时， BP＝tcm，CP＝（t－4）cm.在Rt△ACP中， AP2＝32＋（t－4）2，在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2， 即52＋[32＋（t－4）2]＝t2，解得t＝ . 故当△ABP为直角三角形时，t的值为4或 . 方法总结 当图中的直角边、斜边不明或动态问题中直角顶点 有多种可能时，往往需要进行分类讨论，避免漏解. 变式训练 4. △ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD ＝12，则BC＝ ⁠. 5. 在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的两个顶 点的坐标分别为A（－4，0），B（2，0），则点 C的坐标是 ⁠. 14或4　 （－1，3 ）或（－1，－3 ）　 【典例精讲】 例4：转化思想如图是一个三级台阶，它的每一级的 长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，点A和点B是 这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想 到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点 B的最短路程是 dm. 25　 变式训练 6. 如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别 为3.5cm，3.5cm，24cm，一只蚂蚁想从盒底的点A 沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程 是 cm. 25　 第6题图 7. （2024·济宁月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器 （容器厚度忽略不计）的高为20cm，在容器内壁离 容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正 好在容器外壁，位于离容器上沿4cm与蜂 蜜相对的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行 的最短路径为25cm，则该圆柱底面周长 为 ⁠. 30cm　 第7题图 方法总计 阶梯：A→B 圆柱：A→B 长方体：A→F 说明：若BC＜AB＜AD，则按图①路线行进时，路 径最短. $$