第17章 专题3 勾股定理中特殊角的运用（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（人教版）

2025春季学期 《学练优》·八年级数学下·RJ 第十七章　勾股定理 专题3　勾股定理中特殊角的运用 基本图形 1. 如图，在△ABC中，BC＝ ＋ ，∠B＝ 30°，∠C＝45°，求AC的长. 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC＝ ∠ADB＝90°. ∵∠C＝45°，∴AD＝CD. 设AD＝CD＝x，则AC＝ ＝ x. ∵∠B＝30°，∴AB＝2x. 在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD2＋BD2＝ AB2，得BD＝ x. ∴BC＝BD＋CD＝（ ＋1）x＝ ＋ . 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， 则∠ADC＝∠ADB＝90°. ∵∠C＝45°，∴AD＝CD. 设AD＝CD＝x，则AC＝ ＝ x. ∵∠B＝30°，∴AB＝2x. 在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD2＋BD2＝ AB2， 得BD＝ x. ∴BC＝BD＋CD＝（ ＋1）x＝ ＋ . 解得x＝ .故AC＝2. 2. 如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠ABC＝ 135°，AB＝4 ，求AC和BC的长. 解：如图，过点A作AD⊥CB，交CB的延长线于 点D， 则∠ADB＝90°. ∵∠ABD＝180°－∠ABC＝45°， ∴AD＝BD. ∵AD2＋BD2＝AB2＝32， ∵AD2＋BD2＝AB2＝32， ∴AD＝BD＝4. 在Rt△ACD中，∠C＝30°， 解：如图，过点A作AD⊥CB， 交CB的延长线于点D， 则∠ADB＝90°. ∵∠ABD＝180°－∠ABC＝45°， ∴AD＝BD. ∴AD＝BD＝4.在Rt△ACD中，∠C＝30°， ∴AC＝2AD＝8. ∴CD＝ ＝4 . ∴BC＝CD－BD＝4 －4. 3. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC ＝∠D＝90°，AB＝8，BC＝4，求AD的长. 解：如图，延长AB，DC交于点E. ∵∠D＝90°，∠A＝60°， ∴∠E＝30°. ∴EC＝2BC＝8. ∴BE＝ ＝4 . ∴AD＝ AE＝ （8＋4 ）＝4＋2 . 解：如图，延长AB，DC交于点E. ∵∠D＝90°，∠A＝60°， ∴∠E＝30°. ∴EC＝2BC＝8. ∴BE＝ ＝4 . ∴AD＝ AE＝ （8＋4 ）＝4＋2 . 4. 【阅读材料】如图①，在Rt△ADC中，∠C＝ 90°，∠D＝22.5°，求 的值. 解：在CD上截取BC＝AC，连接AB， 则∠ABC＝∠BAC＝45°＝2∠D. ∴∠D＝∠DAB. ∴AB＝BD. 设AC＝m， 则BC＝m，AB＝BD＝ m. ∴CD＝BD＋CB＝（ ＋1）m. ∴ ＝ ＝ －1. 【实际运用】如图②，在Rt△ADC中，∠C＝ 90°，∠D＝15°，求 的值. 解：如图，作AD的垂直平分线交CD于点B，连接 AB，则BD＝AB. ∴∠D＝∠DAB＝15°. ∴∠ABC＝∠D＋∠DAB＝30°. 设AC＝x，∵∠C＝90°， ∴AB＝BD＝2x.∴BC＝ x. ∴CD＝BD＋BC＝（2＋ ）x. ∴ ＝ ＝2－ . 解：如图，作AD的垂直平分线交CD于点B， 连接AB，则BD＝AB. ∴∠D＝∠DAB＝15°. ∴∠ABC＝∠D＋∠DAB＝30°. 设AC＝x，∵∠C＝90°， ∴AB＝BD＝2x.∴BC＝ x. ∴CD＝BD＋BC＝（2＋ ）x. ∴ ＝ ＝2－ . $$