精品解析：广东省珠海市香洲区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

香洲区2024—2025学年度第一学期义务教育阶段质量监测 八年级数学试题 说明： 1．全卷共4页，满分120分，考试用时120分钟．在试卷上作答无效． 2．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔或红色字迹的笔． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 黑体字是一种横平竖直，粗细一致的雄浑字体，以下汉字可以看作轴对称图形的是（ ） A 中 B. 国 C. 自 D. 信 2. 若一个最简分式，则可以是（ ） A. B. 6 C. 3 D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个五边形，它的对角线共有（ ）条 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 7. 在制作酸奶的实验中，某种球状乳酸菌的直径仅为0.6微米（1米微米），将0.6微米用科学记数法表示为（ ）米． A. B. C. D. 8. 已知一个等腰三角形的顶角为，则一个底角的度数用含的式子表示是（ ） A. B. C. D. 9. 如图在四边形中，，，，，，则（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 10. 如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（ ）的长度相等． A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 在平面直角坐标系中点关于轴对称点的坐标是__________． 12. 若分式有意义，则实数的取值范围是________． 13. 已知一个正方形的边长为，将其一边增加，另一边减小得到一个新的长方形，则长方形的面积为________（用含的式子表示）． 14. 如图，某机器零件的横截面如图所示，按要求线段和的延长线相交成直角才算合格．一工人测得，，，请你帮他判断该零件是否合格________（填“合格”或“不合格”）． 15. 如图所示，点，，分别是线段，，的中点，若的面积为，那么的面积为________．（用含的式子表示） 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 化简：． 17 解方程：． 18. 花瓶一般瓶口较小，内部难以直接测量．如图，为测量花瓶内底的宽，可以将两根木条，的中点重合（即，），然后将它们的一端同时放入花瓶内底，再充分张开．此时，只需测量点________与点________之间的距离，即为该花瓶内底的宽，为什么？ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 在代数式的变形中，整式乘法与因式分解是一种方向相反的变形，既有，反之也有．据此，请解答下列问题： （1）如果，则________，________； （2）如果． ①求的值； ②求的值． 20. 在平面直角坐标系中，若存在点，点，点满足，且，则称点为点与点“中垂点”． （1）若点为点与点“中垂点”，则点坐标为________； （2）如图，已知点，点，以及第一象限的点，若点为点与点的“中垂点”，试求点的坐标． 21. 如图，点为等边的边上的一点，作射线，，作点关于射线的对称点，直线交射线于点． （1）求证：； （2）求证：． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 解决数学问题时经常要比较两个数或式的大小，其中“作差法”就是常用的方法之一．比如，要比较代数式与的大小，只需求出它们的差，若，则；若，则；若，则． （1）已知，，比较分式与的大小； （2）已知，求的取值范围； （3）在一条河里，甲，乙两船从同一港口同时同向出发，分别航行1小时后立即返航．若甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，水流速度为，甲、乙两船返航所用时间分别为，，试判断哪条船先返回港？并说明理由． 23. 某数学兴趣小组进行如下探究：如图1，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即．继续探究，如图2，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即①________，②________． （1）【证明结论】①根据“发现”，完成填空：________=________； ②请选择“发现”中的一组线段比进行证明． （2）【应用结论】如图3，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接．①求证：垂直平分； ②在图中画出边上的高（只需体现的位置），并求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 香洲区2024—2025学年度第一学期义务教育阶段质量监测 八年级数学试题 说明： 1．全卷共4页，满分120分，考试用时120分钟．在试卷上作答无效． 2．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔或红色字迹的笔． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 黑体字是一种横平竖直，粗细一致的雄浑字体，以下汉字可以看作轴对称图形的是（ ） A. 中 B. 国 C. 自 D. 信 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是解答本题的关键． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：B、C、D选项中的汉字不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2. 若是一个最简分式，则可以是（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，理解最简分式定义是解题的关键．根据最简分式的定义，即可求解． 【详解】解：A． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； B．，不是最简分式，故该选项不符合题意； C．，不是最简分式，故该选项不符合题意； D．，是最简分式，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式运算，根据同底数幂的乘除法、积的乘方与积的乘方运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故原运算错误，不符合题意； B、，故原运算正确，符合题意； C、，故原运算错误，不符合题意； D、，故原运算错误，不符合题意． 故选：B． 4. 一个五边形，它对角线共有（ ）条 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查多边形对角线， 根据边形对角线有条即可解答． 【详解】解：五边形的对角线条数是：， 故选：C 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．因式分解的定义：把一个多项式分解成几个因式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式，根据完全平方公式、因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解，本选项不符合题意； B、等式的右边不是整式积的形式，不是因式分解，本选项不符合题意； C、，原分解错误，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 6. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．要使，则需使，即点P在线段的垂直平分线上．据此即可对各个选项进行判断． 【详解】解：∵在上确定一点P，使， ∴当时，点P在线段的垂直平分线上， ∴作图正确的是D． 故选：D． 7. 在制作酸奶的实验中，某种球状乳酸菌的直径仅为0.6微米（1米微米），将0.6微米用科学记数法表示为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：1米微米， 0.6微米米米． 故选：B． 8. 已知一个等腰三角形的顶角为，则一个底角的度数用含的式子表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．设等腰三角形的底角为y，根据等腰三角形两底角相等，可列出方程，即可求得答案． 【详解】解：设等腰三角形的底角为y， 则， ． 故选：D． 9. 如图在四边形中，，，，，，则（ ） A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质．延长交于点E，证明是直角三角形，由直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：延长交于点E， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵在四边形中，，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（ ）的长度相等． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题、等边三角形的判定与性质，理解转化思想和等边三角形的性质是解答本题的关键． 在上取点，使得，根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：在上取点，使得，过作于， ， 垂直平分， ，， ，即的最小值为的长， 当时，最小，过作于， ，， 为等边三角形， 于点，于， ， 故选：B． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 在平面直角坐标系中点关于轴对称点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴的对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相等的特点易得答案． 【详解】解：根据关于y轴的对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相等的特点，可得：关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查关于轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，注意区分且准确记忆． 12. 若分式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：要使分式有意义，则 解得， 故答案为：． 13. 已知一个正方形的边长为，将其一边增加，另一边减小得到一个新的长方形，则长方形的面积为________（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式的应用，能根据题意得出代数式是解此题的关键．由题可得，得到的长方形的边长分别为，根据长方形的面积公式列出代数式，即可求解． 【详解】解：依题意，长方形的面积为 故答案为：． 14. 如图，某机器零件的横截面如图所示，按要求线段和的延长线相交成直角才算合格．一工人测得，，，请你帮他判断该零件是否合格________（填“合格”或“不合格”）． 【答案】不合格 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题关键．延长相交F，连接F、E并延长至G．根据三角形的外角的性质可得再根据即可作出判断． 【详解】解：延长相交F，连接F、E并延长至G， 则有 ∵， ∴． 所以零件不合格． 故答案为：不合格． 15. 如图所示，点，，分别是线段，，的中点，若的面积为，那么的面积为________．（用含的式子表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线等分面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 由为中点，设，依次利用三角形的中线等分面积表示出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵为中点， ∴， 设， ∴， ∵为中点， ∴, ∵为中点， ∴， ∴， 同理可得： ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，整式的混合运算，先利用平方差公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以最简公分分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，当时，， 是分式方程的解． 18. 花瓶一般瓶口较小，内部难以直接测量．如图，为测量花瓶内底的宽，可以将两根木条，的中点重合（即，），然后将它们的一端同时放入花瓶内底，再充分张开．此时，只需测量点________与点________之间的距离，即为该花瓶内底的宽，为什么？ 【答案】，，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合． 【详解】解： ，理由如下： 连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴， 故只需测量点与点之间的距离，即为该花瓶内底的宽． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 在代数式的变形中，整式乘法与因式分解是一种方向相反的变形，既有，反之也有．据此，请解答下列问题： （1）如果，则________，________； （2）如果． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）1， （2）①7；② 【解析】 【分析】本题考查整式乘法与因式分解以及乘法公式的应用，根据题意结合相关运算法则进行思考即可． （1）先根据多项式乘多项式法则计算，再根据，求出m，n即可； （2）先求出，再根据，求出和的值，然后根据完全平方公式计算①中的代数式，再把②中的分式通分，最后把和的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， 故答案为：1，； 【小问2详解】 ， ∵， ∴， ① ； ②． 20. 在平面直角坐标系中，若存在点，点，点满足，且，则称点为点与点的“中垂点”． （1）若点为点与点的“中垂点”，则点坐标为________； （2）如图，已知点，点，以及第一象限的点，若点为点与点的“中垂点”，试求点的坐标． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义的应用，等腰直角三角形． （1）根据新定义，等腰直角三角形的性质，结合图形可得到结果； （2）根据题意，画出图形，过点C作于点E，证明，得到C点坐标． 【小问1详解】 解：如图，依题意，点M在的垂直平分线上，且， ∴在等腰直角中，，， ∴， ∴， 同理：， 综上，点M坐标为或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：连接、，过点C作于点E， ∵，， ∴，， ∵点B为点A与点C的“中垂点”， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 21. 如图，点为等边的边上的一点，作射线，，作点关于射线的对称点，直线交射线于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质以及全等三角形的判定与性质，熟练运用相关性质是解题的关键． （1）先连接，得出，表示出和，即可得出； （2）由题意作交于点，连接，随后证明，据此即可证明． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵点关于射线对称点为， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，作交于点，连接． ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵点关于射线的对称点为， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 解决数学问题时经常要比较两个数或式的大小，其中“作差法”就是常用的方法之一．比如，要比较代数式与的大小，只需求出它们的差，若，则；若，则；若，则． （1）已知，，比较分式与的大小； （2）已知，求的取值范围； （3）在一条河里，甲，乙两船从同一港口同时同向出发，分别航行1小时后立即返航．若甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，水流速度为，甲、乙两船返航所用时间分别为，，试判断哪条船先返回港？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，读懂题意，熟练应用作差法比较大小是解题的关键． （1）通过作差法，把两式相减，得到差大于0，从而得到结果； （2）把不等号右侧的式子移项到左边，构成两式差的形式，得到_，然后分情况得到不等式的解集即可． （3）分两种情况，分别表示出甲乙两船返回的时间，通过作差法比较时间的大小，得到结果. 【小问1详解】 解： ， ∵，， ∴，， ∴， 即， ∴ 【小问2详解】 解：∵ ∴，或者，， ∴ 【小问3详解】 解：当返回为顺水时，，， ∵， ∴， 故 当返回为逆水时，，， ， ∵， ∴， 故， 综上，当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回 23. 某数学兴趣小组进行如下探究：如图1，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即．继续探究，如图2，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即①________，②________． （1）【证明结论】①根据“发现”，完成填空：________=________； ②请选择“发现”中的一组线段比进行证明． （2）【应用结论】如图3，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接．①求证：垂直平分； ②在图中画出边上的高（只需体现的位置），并求． 【答案】（1）①，；②见解析 （2）①证明见解析；②图见解析，1 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质、三角形面积公式，可得答案； （2）①由（1）得，依次推出，，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得垂直平分；② 根据高的定义作，延长交的延长线于点G，设，，则，，再证，推出，，，最后根据列式得出，即可得出． 【小问1详解】 解：①根据“发现”，完成填空：， ②选择： 在中，是它的角平分线， 点D到和的距离相等， 即中边上的高，和中边上的高相等，设为h， 则； 选择： 点D在上， 点D到和的距离相等， 即中边上的高，和中边上的高相等，设为， 则； 小问2详解】 解：①证明：， ， 由（1）得， ， 是的中点， ， ， 又是的角平分线， 垂直平分； ②如图，即为所求； 延长交的延长线于点G， 设，， 由①得， ， 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 由①得， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形面积公式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，第二问有一定难度，正确作出辅助线，熟练运用三角形面积公式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$