精品解析：辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校2024-2025学年高三下学期开学数学试题

东北育才学校超常部35届高三下六模数学学科 一．选择题（共8小题） 1. 已知集合，则满足的集合S共有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，进而求得，，进而根据集合间的包含关系求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以满足条件的集合为：，，，，，， ，，共8个. 故选：D. 2. 已知，是复数，则下列命题正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】设，，由共轭复数可得A正确；由复数的乘法运算可得B、C错误；由复数模长的运算可得D错误. 【详解】设，，，，， 对于A：若，故，故，，所以，故A正确； 对于B：由于，所以，不一定满足为实数，故B错误； 对于C：当，由于，故，，故不一定为0，故C错误； 对于D：当，则，故，故不一定与相等，故D错误． 故选：A． 3. 已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法1，由，得，化简后结合数量积的定义可求得结果；解法2，由已知条件可得，，，则，，从而可求得结果. 【详解】解法1：因为，，， 所以， 所以， 因为，所以. 解法2：由，，，， 可知， 令，，则，， ， 因为， 所以. 故选：D 4. 北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某一时期的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（ ） A. 4 B. 13 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：间接方法，从总的条数中去掉不合要求的条数即可； 解法二：直接方法，分3种情况进行求解，再相加即可. 【详解】解法一：用间接方法，过这七个点中任意两个点作直线，一共有条， 其中从共线的，，，的四点任选两点，一共有条， 所得直线的条数为； 解法二：用直接方法，①过点，，，的直线只有1条； ②过，，中的任意两点作直线，可作3条； ③从，，，任取一点，从，，中任取1点作直线，可作直线条数为， 综上，所得直线的条数为. 故选：D. 5. 已知数列满足，设数列的前项和为，若，，成等差数列，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】由累加法可求得，进而利用裂项相消法可求的前项和，进而结合已知可得，求解即可. 【详解】因为，且， 所以当时，． 因为也满足，所以． 因为， 所以． 若成等差数列，则，即，得． 故选：B. 6. 为了降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，给光源加上一个不透光材料做的灯罩，可以起到十分显著的效果．某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角这一水平夹角来衡量．遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角用表示．若图中，，且，则（ ） A. 44 B. 66 C. 88 D. 110 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角公式得到，代入式子得到，解得答案. 【详解】，即，所以， ，解得， 故选：A. 7. 已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，将原问题转化为，再利用导数研究函数、的极值、最值，即可求解. 【详解】，则， 令，解得或；令， 解得， ， 故在单调递减，在单调递增，在单调递减， 且， 故， 任意的，都有成立，则， 因为，则， 当时，在单调递增， 所以， 故，即(舍去)； 当时， 令，解得；令， 解得， 故在上单调递减， 在上单调递增， 所以， 所以，即， 解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A 【点睛】不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图象在 上方即可)； ③分类讨论参数. 8. 已知点O是坐标原点，点是圆上的动点，点在直线上，则当取到最小值时，为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先求点关于直线对称的点为，结合圆的性质可得，再结合几何性质即可得,根据数量积的坐标运算即可求解. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当三点共线时，等号成立， 综上所述：当且仅当时，的最小值为6. 此时 故选：D 二．多选题（共3小题） 9. 已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 除以8所得的余数为1 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式系数公式可得，利用赋值法即可求解求解AB,根据即可求解C，求导，即可求解D. 【详解】根据题意可知，故， 故， 对于A，令，则，令，则，故，故A错误， 对于B，， 故为负值，为正，且令时，， 因此，B正确， 对于C, ,故除以8所得的余数为1，C正确， 对于D，对求导可得 ，令可得，故D正确， 故选：BCD 10. 如图，在正方体中，点在平面内，设直线与直线所成的角分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是与的等差中项 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用平行线计算得出异面直线所成角判断A，建系空间向量法计算向量垂直判断B，应用线面角公式计算C，应用点在平面内计算求参判断D. 【详解】 因为，所以直线与直线所成的角，A正确． 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 直线与直线所成的角， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系． 设，则， 则，得， 所以，则，所以是与的等差中项，B正确． ， 设平面的法向量为，得 取，设直线与平面所成的角为， 则，C错误． 由，得， 因为点在平面内，所以，解得，D正确． 故选：ABD. 11. 已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，与在第一象限的交点为P，且，记与的离心率分别为与.下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 的最小值为1 D. 记的内心为M，若垂直于x轴，则垂足H为的右顶点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆与双曲线的定义，结合它们离心率的定义逐项进行判断. 【详解】令，由，得， 对于A，，解得，， 解得，因此，A正确； 对于B，由，，得， 则，，而，则，B正确； 对于C，，则，，C错误； 对于D，令的内切圆切分别于点，由轴于， 得为圆切的切点，显然， 由，得，因此， 解得，即点为的右顶点，D正确. 故选：ABD 三．填空题（共3小题） 12. 一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据2KB内存，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机______________秒，该病毒占据64 MB内存 (1MB＝210KB)． 【答案】45 【解析】 【分析】由等比数列即可计算出病毒复制的次数. 【详解】由题意可知：每3秒病毒占据的内存容量构成一个首项为4，公比为2的等比数列（注：第一次复制后内存占4KB）， 设病毒占据64MB内存时共复制了次， 则有4×2n-1=64×210=216，所以n=15， 从而开机45秒，该病毒占据64 MB内存． 故答案为：45 13. 函数，（其中），的图象在点处的切线与的图象相切，则______. 【答案】－1或3 【解析】 【分析】先求出的图象在点处的切线方程为，再分当在上与当不在上时两种情况，进行求解. 【详解】，故在的图象上， ，则， 故的图象在点处的切线方程为， 当在上时，，解得：， 故， 则，则， 则在处的切线方程为，满足要求， 当不在上时，设切点为， ，则， 由于在处的切线方程为， 所以， 解得：，，经检验符合要求， 故答案为：-1或3 14. 已知，过点倾斜角为的直线l交C于A，B两点（A在第一象限内），过点A作轴，垂足为D，现将C所在平面以x轴为翻折轴向纸面外翻折，使得平面平面BPD，连接AB，则线段AB的长为__________，三棱锥外接球的表面积为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】翻折前，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点A，的坐标，然后得三棱锥的结构特征，AB的长，外接球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】翻折前，设点、，则，直线的方程为， 联立可得或，即点，， 易知点，则，，，， 翻折后，如图，因为平面平面，平面平面， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，， 设四棱锥的外接球半径为R，外接圆半径为， 则，则， 所以， 外接球表面积为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：棱锥有一条侧棱垂直于底面时，设棱锥高为，底面外接圆半径为，棱锥外接球半径为，则. 四．解答题（共5小题） 15. 某校食堂为了解学生对牛奶豆浆的喜欢情况是否存在性别差异， 从而更有针对性的为广大学子准备营养早餐，于是随机抽取了名学生进行问卷调查，得到了如下的统计结果： 喜欢牛奶 喜欢豆浆 合计 男生 45 55 100 女生 65 35 100 合计 110 90 200 （1）根据的独立性检验，能否认为该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别有关？ （2）小红每天都会在牛奶与豆浆中选择一种当早餐，若前一天选择牛奶，则她后一天继续选择牛奶的概率为；若前一天选择豆浆，则她后一天继续选择豆浆的概率为 ．已知小红第一天选择了牛奶，求她第三天选择牛奶的概率． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3． 841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）可以认为该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，与临界值比较后得结论； （2）由条件概率和全概率公式计算可得. 【小问1详解】 设零假设：该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别无关， ， 根据的独立性检验，零假设不成立， 即可以认为该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别有关． 【小问2详解】 设“小红第二天选择牛奶”为事件A，则事件表示“小红第二天选择豆浆”； 设“小红第三天选择牛奶”为事件B． 根据题意：，，，， 则， 所以小红第三天选择牛奶的概率为． 16. 已知数列中，. （1）若依次成等差数列，求； （2）若，证明：数列为等比数列； （3）若，求的前项和. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系得到，，再结合等差中项的性质建立方程，求解即可. （2）利用等比数列的定义证明即可. （3）结合（2）求出，再利用等比数列前项和公式分组求和即可. 【小问1详解】 由题意得在数列中， 令，得到，令，得到， ， 因为依次成等差数列，所以， 即，解得. 【小问2详解】 由题意得首项为， 因为， 所以，故是首项为1，公比为2的等比数列. 【小问3详解】 由（2）可得，则， 由等比数列前项和公式得， ， . 17. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）当时，函数在R上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分与两种情况讨论可求单调区间； （2）由题意恒成立，构造函数，求导，分，两种情况求的最大值，利用最大值小于0即可求解. 【小问1详解】 因为函数，所以， 当时，，所以函数在R上单调递增； 当时，在R上单调递减，令，可得， 所以当时，；当时，． 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，函数在R上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 因为恒成立，所以恒成立，即恒成立， 令函数，所以恒成立， 所以函数的最大值小于0，， 当时，函数在R上单调递增，函数无最大值， 当，函数，故不符合题意； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为， 令，，易知在上单调递增， 又，，所以，故实数m的取值范围是． 18. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，二面角的大小为，点为线段上一点. （1）证明：平面平面. （2）若，求四棱锥的体积. （3）点为线段上一动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 【答案】（1） 设的中点分别为，连接， 由，得，由，得， 正方形中，，则二面角的平面角为， 由余弦定理，得， ，则，由，平面， 得平面，而平面，因此，又， 平面，于是平面，而平面， 所以平面平面． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用二面角的定义及余弦定理推理证得，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理得证. （2）由（1）结合锥体体积公式计算得解. （3）以为原点建立空间直线坐标系，利用空间向量求出线面角正弦的函数关系，再求出函数最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，四棱锥的高为，点在线段上，且， 则点到平面的距离是点到平面距离的， 所以四棱锥的体积为． 【小问3详解】 由（1）知，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ，设， ，设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则 ， 当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦的最大值为. 19. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线，离心率为，点P是上任意一点．抛物线， （1）求的方程； （2）过点P作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值； （3）是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：设，不妨设OA为渐近线，OB为渐近线， 直线AP的方程为， 联立方程，解得，所以 同理可得， 所以由于直线OA的斜率，因此， 所以， 所以平行四边形PAOB的面积为， 因为点P在双曲线C上，所以，即， 所以平行四边形PAOB的面积为 （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率即可求解； （2），求得坐标，进而得到再结合面积公式求解即可； （3）设，，，通过导数求得切线方程，结合韦达定理求得弦长，点到线的距离公式求得高，代入面积公式，进而可求解； 【小问1详解】 解：设双曲线的焦半距为c，则， 又因为离心率为，所以， 代入得，解得， 所以双曲线的方程为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，，， 因为函数的导数为，所以直线PC的方程为， 由于在直线PC上，则，， 同理， 所以，均满足方程， 所以直线CD的方程为， 联立方程，得， 所以，， 则， 又因为P到直线CD的距离， 所以面积， 又因为， 所以，当P为时T取最小值， 所以面积最小值为 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北育才学校超常部35届高三下六模数学学科 一．选择题（共8小题） 1. 已知集合，则满足的集合S共有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 已知，是复数，则下列命题正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某一时期的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（ ） A. 4 B. 13 C. 15 D. 16 5. 已知数列满足，设数列的前项和为，若，，成等差数列，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 6. 为了降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，给光源加上一个不透光材料做的灯罩，可以起到十分显著的效果．某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角这一水平夹角来衡量．遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角用表示．若图中，，且，则（ ） A. 44 B. 66 C. 88 D. 110 7. 已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点O是坐标原点，点是圆上的动点，点在直线上，则当取到最小值时，为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 二．多选题（共3小题） 9. 已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 除以8所得的余数为1 D. 10. 如图，在正方体中，点在平面内，设直线与直线所成的角分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是与的等差中项 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 若，则 11. 已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，与在第一象限的交点为P，且，记与的离心率分别为与.下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 的最小值为1 D. 记的内心为M，若垂直于x轴，则垂足H为的右顶点 三．填空题（共3小题） 12. 一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据2KB内存，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机______________秒，该病毒占据64 MB内存 (1MB＝210KB)． 13. 函数，（其中），的图象在点处的切线与的图象相切，则______. 14. 已知，过点倾斜角为的直线l交C于A，B两点（A在第一象限内），过点A作轴，垂足为D，现将C所在平面以x轴为翻折轴向纸面外翻折，使得平面平面BPD，连接AB，则线段AB的长为__________，三棱锥外接球的表面积为__________． 四．解答题（共5小题） 15. 某校食堂为了解学生对牛奶豆浆的喜欢情况是否存在性别差异， 从而更有针对性的为广大学子准备营养早餐，于是随机抽取了名学生进行问卷调查，得到了如下的统计结果： 喜欢牛奶 喜欢豆浆 合计 男生 45 55 100 女生 65 35 100 合计 110 90 200 （1）根据的独立性检验，能否认为该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别有关？ （2）小红每天都会在牛奶与豆浆中选择一种当早餐，若前一天选择牛奶，则她后一天继续选择牛奶的概率为；若前一天选择豆浆，则她后一天继续选择豆浆的概率为 ．已知小红第一天选择了牛奶，求她第三天选择牛奶的概率． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3． 841 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列中，. （1）若依次成等差数列，求； （2）若，证明：数列为等比数列； （3）若，求的前项和. 17. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，，二面角的大小为，点为线段上一点. （1）证明：平面平面. （2）若，求四棱锥的体积. （3）点为线段上一动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 19. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线，离心率为，点P是上任意一点．抛物线， （1）求的方程； （2）过点P作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值； （3）是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $