精品解析：山东省日照市东港区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试卷

义务教育学校学生发展质量检测2024年秋季学期测评 八年级数学试题 （满分120分，时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷共6页．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．选择题，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，请先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题，须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，答在区域外或试卷上均不得分． 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达14（）．数据14用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且满足，那么这个等腰三角形的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 8 5. 若把分式中的同时扩大2倍，则分式的值（ ） A. 是原来的2倍 B. 是原来的 C. 是原来的 D. 不变 6. 如图1，某温室屋顶结构外框为，其中，立柱，且与横梁垂直．冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示．若此时立柱，则向阳面斜梁增加部分的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，．①分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，作直线，交于点D，连接；②以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线，交线段于点P．根据以上信息推断，下列结论错误的是（ ） A. ∠ABP＝∠A B. AD＝CD C ∠PBC＝∠ACD D. ∠BPC＝118° 8. 若关于的不等式组至少有4个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是（ ） A. 17 B. 20 C. 22 D. 25 9. 李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的； 其中所有正确结论有几个？（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）． 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 因式分解：______． 12. 已知，则的值为______． 13. 如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED=_______°． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____． 15. 如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E.若△ABC的周长为11，PE＝2，S△BPC＝2，则S△ABC＝________． 16. 数学美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音，研究这三个数的倒数发现：，因此我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有三个数：5，3，x，若要组成一组调和数，则x的值为__________． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； （3）解方程． 18. 先化简，然后从的范围内选择一个合适的整数作为的值代入求值． 19. 如图，在四边形ABCD中，，E为CD中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证： （1）FC＝AD； （2）AB＝BC+AD． 20. 我们知道，图形是一种重要数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，反之运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图①的图形． （1）请用两种不同的方法表示图①中阴影部分的面积和，可以得到的等式是：________； （2）根据（1）中的等式计算：若，求的值； （3）如图②，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，直接写出图中阴影部分的面积为________． 21. 学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 22. 如图，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接、， （1）求证：，并求出的度数； （2）判断的形状并说明理由． 23. 新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 （2）如图，与为积等三角形，若，，且线段长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 义务教育学校学生发展质量检测2024年秋季学期测评 八年级数学试题 （满分120分，时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷共6页．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．选择题，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，请先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题，须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，答在区域外或试卷上均不得分． 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方，逐项判断即可求解． 【详解】解：A． ，故本选项错误，不符合题意； B． ，故本选项正确，符合题意； C． ，故本选项错误，不符合题意； D． ，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的概念，掌握其概念是解题的关键． 根据因式分解的定义“将多项式化为几个整式的积的形式”，由此即可求解． 【详解】A．不是因式分解，不符合题意； B．不是因式分解，不符合题意； C．等号右边不是整式，不是因式分解，不符合题意； D．是因式分解，符合题意； 故选∶D． 3. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达14（）．数据14用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 4. 已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且满足，那么这个等腰三角形的周长为（ ） A. 14 B. 10 C. 14或10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分边长为a的边是腰和底边两种情况讨论求解即可． 详解】∵， ∴， ∵，，又 ∴，， ∴，． 若长为的边为腰，的边为底，由于，这不能构成三角形； 若长为的边为腰，的边为底，则周长为． 故选：A 5. 若把分式中的同时扩大2倍，则分式的值（ ） A. 是原来的2倍 B. 是原来的 C. 是原来的 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的加法进行计算，再把同时扩大2倍，观察分式值变化即可． 本题考查了分式的加法和分式的基本性质，解题关键是熟练进行分式加法和约分． 【详解】解：，同时扩大2倍得， 分式的值是原来的， 故选：B． 6. 如图1，某温室屋顶结构外框为，其中，立柱，且与横梁垂直．冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示．若此时立柱，则向阳面斜梁增加部分的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角的直角三角形的性质，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵立柱垂直平分横梁，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 7. 如图，在中，，．①分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，作直线，交于点D，连接；②以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线，交线段于点P．根据以上信息推断，下列结论错误的是（ ） A. ∠ABP＝∠A B. AD＝CD C. ∠PBC＝∠ACD D. ∠BPC＝118° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质．利用基本作图可得到点为的垂直平分线与的交点，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以可对B选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，则，接着利用得到，可对A、C选项进行判断；根据三角形内角和定理计算出，则可对D选项进行判断． 【详解】解：，， ， 由作图痕迹得到平分，点为的垂直平分线与的交点， ，所以A选项不符合题意； ，所以B选项不符合题意； ， ， ， 所以C选项不符合题意； ，， ， ， 选项符合题意． 故选：D． 8. 若关于的不等式组至少有4个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是（ ） A. 17 B. 20 C. 22 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解不等式组与分式方程，掌握它们的解法是解题的关键． 分别求出符合不等式组和分式方程解的条件的整数，再计算出所有整数的和． 【详解】解：不等式组， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组至少有4个整数解， ∴， 解式方程得：， ∵分式方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， ∴的取值为且的整数，即3，4，6，7， ∴， 故选：B． 9. 李老师制作了如图1所示学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的； 其中所有正确结论有几个？（ ） A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定之边边角问题，边边角在某些情况下得到的图形是唯一的，而有些情况却有两种情况，解题关键是确定所得的图形是否只有一种画法，据此分别判断①②③即可． 【详解】解：如图，Q点位置有两个，故①错误； 当，时，可得到形状唯一确定的正确，故②正确； 当，时，可得到形状唯一确定的正确，故③正确；   故选：C ． 10. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）． 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的规律，解题的关键是：熟练掌握杨辉三角的规律． 根据题意得到规律求解即可得到答案． 【详解】根据杨辉三角可知，， ∴展开式中含项是展开式中第二项， ∴展开式中含项的系数是：， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是完全平方公式和平方差公式，根据完全平方公式进行计算，然后再用平方差公式进行计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 已知，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟练掌握运算法则，利用整体代入思想求解是解答的关键．先根据得出，然后利用完全平方公式、单项式乘多项式化简原式，再整体代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 13. 如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED=_______°． 【答案】45° 【解析】 【详解】∵正六边形ADHGFE的内角为120°， 正方形ABCD的内角为90°， ∴∠BAE=360°-90°-120°=150°， ∵AB=AE， ∴∠BEA=（180°-150°）÷2=15°， ∵∠DAE=120°，AD=AE， ∴∠AED=（180°-120°）÷2=30°， ∴∠BED=15°+30°=45°． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】过C作CM⊥AB，交AD于P，交AB于M，过P作PQ⊥AC于Q，根据垂直平分线的性质得到PC+PQ的最小值即CM的长，再根据30°角的直角三角形的性质即可求得结果． 【详解】解：如图，过C作CM⊥AB，交AD于P，交AB于M，过P作PQ⊥AC于Q， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴PQ＝PM， 这时PC+PQ有最小值，即CM的长度， ∵CM⊥AB，∠B＝30°，BC＝8， ∴CM＝＝4， ∴PC+PQ的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，30°角的直角三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握各性质是解题的关键． 15. 如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E.若△ABC的周长为11，PE＝2，S△BPC＝2，则S△ABC＝________． 【答案】7 【解析】 【分析】连接AP，先过点P作PF⊥AB于G,由于∠ABC和∠ACB的外角平分线BP,CP交于P，根据角平分线的性质可得PF=PG=PE=2，根据，可得，解得BC=2，再根据△ABC的周长为11，可得AC+AB=11-2=9，继而可得==7． 【详解】解：如图，连接AP， 过点P作PF⊥CB于F，作PG⊥AB交延长线于G， 因为∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于P， 所以PF=PG=PE=2， 因为， 所以， 解得BC=2， 因为△ABC的周长为11， 所以AC+AB=11-2=9， 所以, =， =7 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等，解决本题的关键是要熟练掌握角平分线的性质． 16. 数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音，研究这三个数的倒数发现：，因此我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有三个数：5，3，x，若要组成一组调和数，则x的值为__________． 【答案】15或或 【解析】 【分析】根据题意分3种情况讨论，然后分别列出方程求解即可． 【详解】解：当时，x，5，3，这三个数为一组调和数， ∴，解得∶， 经检验，是原方程的根； 当时，5，x，3，这三个数为一组调和数， ∴，解得∶， 经检验，是原方程的根； 当时，5，3，x，这三个数为一组调和数， ∴，解得∶， 经检验，是原方程的根； 综上所述，若要组成一组调和数，则x的值为15或或． 故答案为：15或或． 【点睛】本题考查了数学常识，解分式方程，理解已知中的调和数是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； （3）解方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，平方差公式，分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则计算即可； （2）根据完全平方公式，平方差公式展开，即可求解， （3）将分式方程去分母转化为一般的一元一次方程，再解一元一次方程，求出的解代入检验即可得出答案． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ， 【小问3详解】 解：， 去分母得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项得：， 将系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． 18. 先化简，然后从的范围内选择一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分式有意义的条件，根据分式的混合运算法则将原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可． 【详解】解： ∵，为整数，且 当时，原式 当时，原式 19. 如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证： （1）FC＝AD； （2）AB＝BC+AD． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得证． 【详解】（1）， ， 点E是CD的中点， ， 在和中，， ， ； （2）由（1）已证：， ， 又， 是线段AF的垂直平分线， ， 由（1）可知，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 20. 我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，反之运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图①的图形． （1）请用两种不同的方法表示图①中阴影部分的面积和，可以得到的等式是：________； （2）根据（1）中的等式计算：若，求的值； （3）如图②，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，直接写出图中阴影部分的面积为________． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用： （1）图①中阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积，图①中阴影部分面积等于两个小正方形的面积之和，据此求解即可； （2）根据（1）的结论可知，据此代值计算即可； （3）设，根据题意可得，，则可根据，求出，据此可得答案． 【小问1详解】 解：图①中阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积，即为， 图①中阴影部分面积等于两个小正方形的面积之和，即为， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 小问3详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即阴影部分面积为12． 21. 学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【答案】（1）甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． （2）共有3种方案． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，根据两种图书数量之间的关系列方程； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据“投入的经费不超过元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题． 【小问1详解】 设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元， 由题意得：， 解得：， 经检验得出：是原方程的根． 则， 答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． 小问2详解】 设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 22. 如图，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接、， （1）求证：，并求出的度数； （2）判断的形状并说明理由． 【答案】（1）证明见解析， （2）是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质： （1）证明，即可得出结论，根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理求出的度数； （2）证明，得到，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵和均是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 是等边三角形，理由见解析 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 23. 新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 （2）如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）与为积等三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）过点作于，通过与是积等三角形，得出，得到，得到为的中线； （2）延长至，使，连接，证明，得出，再根据为正整数，得到； （3）过点作于点，证明，根据，，得到，得出与为积等三角形． 【小问1详解】 证明：过点作于，如图1， 与是积等三角形， ， ， ， 为的中线； 【小问2详解】 解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 为正整数， ； 【小问3详解】 证明：与为积等三角形，理由如下： 如图3，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ∵为钝角三角形，为直角三角形， ∴两个三角形不全等 与为积等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$