专题11 玩转指对幂比较大小-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题11 玩转指对幂比较大小 【方法技巧与总结】 （1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小. （2）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定. （3）转化为两函数图象交点的横坐标 （4）特殊值法 【典型例题】 例1．（2025·陕西宝鸡·二模）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则，故. 故选：B. 例2．已知，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，因为，所以， 因为，所以， ， 所以. 故选：A 例3．（2025·高三·天津河西·开学考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， 所以. 故选：C. 例4．（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ，故， 故选：D. 例5．（2025·高三·湖南永州·开学考试）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是单调递增函数，所以, 是单调增函数， 所以, 所以, 故选：A. 例6．已知 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，，， 又，，. 故选：D. 例7．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数，都是减函数， 所以；； 又，所以． 故选：D. 例8．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，其中， 所以，所以， 故选：D. 例9．（2025·四川·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，， 所以. 故选：C 【强化测试】 1．（2025·高三·广西·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故； 所以. 故选：D. 2．设关于x的方程有两个不相等的实数根a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AB选项，画出和的函数图象，如下： 显然， ，， 由于，故， 结合图象可知，，故，A错误； 由于，故， 结合图象可知，B正确； C选项，，，两式相减得 ，故，C错误； D选项，由C知，，故， 又，在上单调递减， 故，D错误. 故选：B 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，令，易知函数在上单调递增， 由，，则； 由，令，易知函数在上单调递增； 由，，则. 综上可得. 故选：D. 4．（2025·高三·山东青岛·期末）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为,,所以； 因为， 又因为； 所以. 故选：A 5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，所以. 故选：C. 6．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，， 所以. 故选：C 7．（2025·高三·山东聊城·开学考试）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数为增函数，， 所以， 因为函数为增函数，， 所以， 因为函数为增函数，， 所以， 即，，， 所以. 故选：B. 8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， ， ∴． 故选：A． 9．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 又、、， 由，故. 故选：C. 10．（2025·云南·模拟预测）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数在上单调递增， 可得，即， 又因为，所以. 故选:B. 11．（2025·高三·湖南·开学考试）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则，故. 故选：B 12．（2025·高三·湖南娄底·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】D 【解析】法一：由，则，由，则，即. 因为，所以， 因为，所以，故； 法二：由，，， ∵，∴，故 . 故选：D. 13．（2025·高三·河北·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，则，， 所以， 故选：B 14．（2025·高三·江苏扬州·期末）已知，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数为增函数，， 所以， 所以，故， 因为函数为增函数，， 所以，故， 所以， 因为函数为增函数，， 所以， 故，即， 所以. 故选：D. 15．（2025·高三·全国·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 又因为，所以 又因为单调递增， 所以. 故选：C. 16．（2025·高三·山东聊城·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，故C正确. 故选：C 17．（多选题）已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因为为上的增函数，所以. 因为函数在上有增有减，所以A中的不等式不恒成立，故A错误； 所以当，，时，，但是“，”这个条件没有，对数可能没有意义，故B错误； 因为在上单调递增，所以当时，，故C正确； 因为函数在上单调递增， 所以当时，，故D正确. 故选： CD. 18．（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，得，则， 对于A，，A正确； 对于B，令，，则，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，若，则，D错误. 故选：AC 19．（多选题）（2025·高三·湖南·开学考试）设，则使得“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题意可得，函数单调递增，故， 对于A，，故“”是“”的充要条件，故A错误； 对于B，由得，能推出，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，由可得，故，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，或，故“”是“”的充分不必要条件，故D正确， 故选：BCD． 20．（多选题）（2025·高三·吉林松原·期末）已知实数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为，所以，，故A和B正确； 因为， 所以，故C错误； 令，，则， ，此时，故D错误. 故选：AB. 21．（多选题）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，由，，得， 又函数在上单调递增，且，所以，A错误； 对于B，， 且，所以，则，B正确； 对于C，由指数函数在上单调递增，所以，C正确； 对于D，由指数函数在上单调递减，且， 即，所以，D正确. 故选：BCD. 22．（多选题）已知，，且，则下列不等式恒成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，，恒成立，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C正确； 对于D，取，符合题意，而，D错误. 故选：ABC 23．（多选题）（2025·高三·江西萍乡·期中）已知实数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，因为，所以指数函数在上为减函数， 所以，即，故A错误； 对于B，因为幂函数在上为增函数，所以，即，故B正确； 对于C，因为，所以，，所以，故C正确； 对于D，取，，可得，，不满足，故D错误． 故选：BC． 24．（多选题）已知x，，且，则下列不等式正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】令函数，函数分别是R上的增函数和减函数，因此在R上递增 由，得，即有，因此， 对于AC，，，AC正确； 对于BD，取，满足，而，选项D中表达式无意义，BD错误. 故选：AC 25．（2025·高三·浙江·开学考试）已知，则的大小关系为： .（填）. 【答案】> 【解析】同时取为底的对数，得， 则转换为比较和的大小， 设，则， 当时，，即在上单调递减，由， 所以，则，即， 所以在数字和中，更大的数字是. 故答案为：> 26．设都是正数，且，则与的大小关系是 ． 【答案】 【解析】． 若．则； 若，则． 故答案为：． 27．已知，，则，的大小关系为 ． 【答案】 【解析】法一：， ， ， ． 法二：令， 显然是上的减函数， ，即． 故答案为： 28．已知实数满足.则下列关系式中可能成立的是 .（填序号） ①   ②    ③      ④      ⑤ 【答案】①②⑤ 【解析】设，，则，，, 分别画出函数，，的图象如图所示： 根据图象知： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，. 故答案为：①②⑤ 29．（2025·北京通州·三模）已知，，，则三者大小关系为 （按从小到大顺序） 【答案】 【解析】因为， ，且， ， 故， 故答案为：. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 玩转指对幂比较大小 【方法技巧与总结】 （1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小. （2）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定. （3）转化为两函数图象交点的横坐标 （4）特殊值法 【典型例题】 例1．（2025·陕西宝鸡·二模）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 例2．已知，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·高三·天津河西·开学考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例4．（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例5．（2025·高三·湖南永州·开学考试）若，，，则（    ） A． B． C． D． 例6．已知 则（    ） A． B． C． D． 例7．若，，，则（    ） A． B． C． D． 例8．设，则（    ） A． B． C． D． 例9．（2025·四川·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【强化测试】 1．（2025·高三·广西·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．设关于x的方程有两个不相等的实数根a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高三·山东青岛·期末）设，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 7．（2025·高三·山东聊城·开学考试）若，，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·云南·模拟预测）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·高三·湖南·开学考试）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·高三·湖南娄底·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A．且 B．且 C． D． 13．（2025·高三·河北·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025·高三·江苏扬州·期末）已知，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·高三·全国·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 16．（2025·高三·山东聊城·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 17．（多选题）已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 18．（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 19．（多选题）（2025·高三·湖南·开学考试）设，则使得“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 20．（多选题）（2025·高三·吉林松原·期末）已知实数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（多选题）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 22．（多选题）已知，，且，则下列不等式恒成立的有（   ） A． B． C． D． 23．（多选题）（2025·高三·江西萍乡·期中）已知实数，，满足，则（    ） A． B． C． D． 24．（多选题）已知x，，且，则下列不等式正确的为（   ） A． B． C． D． 25．（2025·高三·浙江·开学考试）已知，则的大小关系为： .（填）. 26．设都是正数，且，则与的大小关系是 ． 27．已知，，则，的大小关系为 ． 28．已知实数满足.则下列关系式中可能成立的是 .（填序号） ①   ②    ③      ④      ⑤ 29．（2025·北京通州·三模）已知，，，则三者大小关系为 （按从小到大顺序） 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$