专题10 对数与对数函数（7大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题10 对数与对数函数 【题型归纳目录】 题型一：对数式的运算 题型二：对数函数的图象及应用 题型三：对数函数过定点问题 题型四：比较对数式的大小 题型五：解对数方程或不等式 题型六：对数函数的最值与值域问题 题型七：对数函数中的恒成立问题 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）对数的概念及运算性质 （2）对数函数的图象 （3）对数函数的性质 2024年II卷第8题，5分 2024年北京卷第7题，4分 2024年天津卷第5题，5分 2023年北京卷第11题，5分 2023年I卷第10题，5分 2022年天津卷第6题，5分 2022年浙江卷第7题，5分 2022年I卷I卷第7题，5分 （1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. （2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. （3）了解指数函数与对数函数(，且)互为反函数． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 题型一：对数式的运算 【典例1-1】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知且，则 ． 【典例1-2】（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022年新高考浙江数学高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【变式1-2】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【变式1-3】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设，则（    ） A． B． C． D． 知识点2、对数函数的定义及图像 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 【方法技巧与总结】 1、对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 题型二：对数函数的图象及应用 【典例2-1】（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷））函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（山东卷））已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））已知函数（，是常数，其中且）的大致图象如图所示，下列关于，的表述正确的是 A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】（2011年全国新课标普通高等学校招生统一考试文科数学）已知函数的周期为2，当时，，那么函数的图像与函数的图像的交点共有（  ） A．10个 B．9个 C．8个 D．1个 【变式2-3】已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ） A． B． C． D． 题型三：对数函数过定点问题 【典例3-1】（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（山东卷））函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为 . 【典例3-2】已知函数恒过定点，则 . 【变式3-1】已知函数且的图象过定点，则点的坐标为 . 【变式3-2】已知函数过定点，则点的坐标为 ． 题型四：比较对数式的大小 【典例4-1】（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2022年新高考天津数学高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2021年天津高考数学试题）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2021年全国新高考II卷数学试题）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2020年天津市高考数学试卷）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-5】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-6】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若，则（    ） A． B． C． D． 题型五：解对数方程或不等式 【典例5-1】（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷））如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）    A． B． C． D． 【典例5-2】（2006 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（山东卷））设函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））方程的解 ． 【变式5-2】（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷））方程的解是 . 【变式5-3】不等式的解集为 ． 题型六：对数函数的最值与值域问题 【典例6-1】（广西邕衡教育名校联盟2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题）函数值域为R的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【典例6-2】（河南省青桐鸣2025届高三下学期2月联考数学试题）已知函数的最大值为1，则实数（    ） A．1 B．2或 C．4 D．4或 【变式6-1】（重庆市荣昌中学校2024-2025学年高三下学期第一次教学检测数学试题）已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（福建省三明市2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题）已知，当时，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七：对数函数中的恒成立问题 【典例7-1】关于x的不等式对一切恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知函数，若在区间上恒成立，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D．4 【强化测试】 1．（2025·山东·一模）函数在区间上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·一模）已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为（    ） A． B． C． D．5 3．（2025·高三·江苏南通·期末）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为（    ） （参考数据：） A．6 B．12 C．16 D．20 4．（2025·陕西宝鸡·二模）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（   ） A．10 B． C． D． 6．（2025·陕西西安·一模）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东惠州·三模）把函数的图象按向量平移，得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北保定·模拟预测）若关于的方程在定义域内有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量（单位：焦耳）与里氏震级的对应关系为，则（    ） A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于焦耳 C．5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D．3级地震的能量是7级地震的能量的 10．（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．是奇函数 D．若，则 12．（多选题）已知函数，则（   ） A．函数的单调递增区间是 B．函数的值域是 C．函数的图象关于对称 D．不等式的解集是 13．（2025·云南昆明·一模）已知函数则 . 14．（2025·江西上饶·一模）若，则 . 15．（2025·上海宝山·一模）若，且，则 ． 16．函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数（，且）的图象上，则的最小值为 ． 17．（2025·重庆·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过 个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85） 18．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知，则的值为 . 19．设，且． (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最大值． 20．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求函数的零点； (3)若函数的最小值为，求的值． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 对数与对数函数 【题型归纳目录】 题型一：对数式的运算 题型二：对数函数的图象及应用 题型三：对数函数过定点问题 题型四：比较对数式的大小 题型五：解对数方程或不等式 题型六：对数函数的最值与值域问题 题型七：对数函数中的恒成立问题 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）对数的概念及运算性质 （2）对数函数的图象 （3）对数函数的性质 2024年II卷第8题，5分 2024年北京卷第7题，4分 2024年天津卷第5题，5分 2023年北京卷第11题，5分 2023年I卷第10题，5分 2022年天津卷第6题，5分 2022年浙江卷第7题，5分 2022年I卷I卷第7题，5分 （1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. （2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. （3）了解指数函数与对数函数(，且)互为反函数． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 题型一：对数式的运算 【典例1-1】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知且，则 ． 【答案】64 【解析】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 【典例1-2】（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 【变式1-1】（2022年新高考浙江数学高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【解析】因为，，即，所以． 故选：C. 【变式1-2】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【解析】由，当时，， 则. 故选：C. 【变式1-3】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得，所以， 所以有， 故选：B. 知识点2、对数函数的定义及图像 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 【方法技巧与总结】 1、对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 题型二：对数函数的图象及应用 【典例2-1】（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷））函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 【典例2-2】（2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（山东卷））已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小． 由图易得，；取特殊点， ，．选A． 【变式2-1】（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））已知函数（，是常数，其中且）的大致图象如图所示，下列关于，的表述正确的是 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】从题设中提供的图像可以看出， 故得， 故选：D． 【变式2-2】（2011年全国新课标普通高等学校招生统一考试文科数学）已知函数的周期为2，当时，，那么函数的图像与函数的图像的交点共有（  ） A．10个 B．9个 C．8个 D．1个 【答案】A 【解析】由题可知，如图所示： 当时，，根据图像可知，交点个数为10 故选：A 【变式2-3】已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，故，故， 而与关于对称， 各选项中只有B满足， 故选：B. 题型三：对数函数过定点问题 【典例3-1】（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（山东卷））函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为 . 【答案】 【解析】对于函数，令，可得，则， 故函数的图象恒过定点， 因为点在直线上，则，可得， 因为、，所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 【典例3-2】已知函数恒过定点，则 . 【答案】 【解析】令，则，又，所以过定点， 即，，所以 故答案为： 【变式3-1】已知函数且的图象过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】由题意，令，即，可得，故点. 故答案为：. 【变式3-2】已知函数过定点，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】由题意可得，故点的坐标为. 故答案为：. 题型四：比较对数式的大小 【典例4-1】（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 【典例4-2】（2024年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 【变式4-1】（2022年新高考天津数学高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故. 故选：D. 【变式4-2】（2021年天津高考数学试题）设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ，， ，， . 故选：D. 【变式4-3】（2021年全国新高考II卷数学试题）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，即. 故选：C. 【变式4-4】（2020年天津市高考数学试卷）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， ， ， 所以. 故选：D. 【变式4-5】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以. 故选：A. 【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 【变式4-6】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 题型五：解对数方程或不等式 【典例5-1】（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷））如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，∴不等式的解集为，故选C． 【典例5-2】（2006 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（山东卷））设函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，即 ，故 ； 当时，即 或 ，故 ； 综上，不等式的解集为 故选C 【变式5-1】（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））方程的解 ． 【答案】2 【解析】由，得，解得， 故答案为：2 【变式5-2】（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷））方程的解是 . 【答案】 【解析】，，，. 【变式5-3】不等式的解集为 ． 【答案】 【来源】2006年普通高等学校招生考试数学试题（江苏卷） 【解析】由对数函数的单调性可得不等式等价于：， 即， 当时，，当且仅当时等号成立，故时不等式的解集为， 当时，不等式满足即可，即：， 解得：， 综上可得，不等式的解集为：. 题型六：对数函数的最值与值域问题 【典例6-1】（广西邕衡教育名校联盟2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题）函数值域为R的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，满足值域为R，成立； 当时，应有，则， 综上， 对于A，是的充分不必要条件，满足； 对于B，是的充要条件，不满足； 对于C，是的必要不充分条件，不满足； 对于D，是的既不充分也不必要条件，不满足. 故选：A. 【典例6-2】（河南省青桐鸣2025届高三下学期2月联考数学试题）已知函数的最大值为1，则实数（    ） A．1 B．2或 C．4 D．4或 【答案】D 【解析】令 因为在定义域内为增函数，且最大值为1， 可知的最大值为4，则，解得， 经验证均满足题意. 故选：D. 【变式6-1】（重庆市荣昌中学校2024-2025学年高三下学期第一次教学检测数学试题）已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，单调递增，所以当时，有最小值， 当时，单调递减，所以，无最小值， 因为在存在最小值，所以， 令，因为和在上均单调递增， 所以在上均单调递增，又因为， 所以当时，，即成立， 所以的解集为. 故选：D. 【变式6-2】（福建省三明市2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题）已知，当时，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，令， 当时，，不等式， 则恒成立，当时，成立，； 当时，，函数在上单调递减， 当时，，因此； 当时，，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以的取值范围是. 故选：B 题型七：对数函数中的恒成立问题 【典例7-1】关于x的不等式对一切恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】x的不等式对一切恒成立， 当时，不等式对一切恒成立， 当时，时，则有，解得， 所以k的取值范围是. 故选：D 【典例7-2】若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，由，可得，则， 又由，此时不等式不成立，不合题意； 当时，函数在上单调递减， 此时函数在上单调递增， 又由在上单调递增， 要使得不等式在内恒成立， 可得，解得. 故选：A. 【变式7-1】已知函数，若在区间上恒成立，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】C 【解析】∵ 化简得 ∴ ∵在区间上恒成立 ∴的最大值为. 故选：C. 【强化测试】 1．（2025·山东·一模）函数在区间上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数，故，且为减函数， 若，则在为减函数，则函数为增函数，故舍去； 若，则为增函数，因为函数在区间上是减函数， 故. 故的取值范围是. 故选：D. 2．（2025·安徽·一模）已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【解析】由题得， 所以，设等比数列的公比为，所以， 则. 故选：B 3．（2025·高三·江苏南通·期末）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为（    ） （参考数据：） A．6 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【解析】若原来蓝藻数量为，则，可得， 令经过天后蓝藻增长为原来的2倍，则，即， 可得天. 故选：B 4．（2025·陕西宝鸡·二模）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则，故. 故选：B. 5．（2025·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得为方程的两个解，则， 解得，易知. 故选：B. 6．（2025·陕西西安·一模）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，因此有一个零点， 当且仅当函数的图象与直线有且仅有一个公共点， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线的图象， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 当时，函数的图象与直线有1个交点， 所以m的取值范围是. 故选：C 7．（2025·广东惠州·三模）把函数的图象按向量平移，得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意. 故选：A 8．（2025·河北保定·模拟预测）若关于的方程在定义域内有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 即， 可转化为方程在定义域内有解， 由对数函数的定义域可知，又，所以， 所以， 令，则， 因为的图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 所以当时，， 所以，又， 所以. 故选：B. 9．（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量（单位：焦耳）与里氏震级的对应关系为，则（    ） A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于焦耳 C．5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D．3级地震的能量是7级地震的能量的 【答案】ABD 【解析】记表示震级为级地震的能量， 对于项，若，则，所以，故A项正确； 对于B项，若，则，所以，故B项正确； 对于C项，，则，故C项错误； 对于C项，，则，故D项正确. 故选：ABD. 10．（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，得，则， 对于A，，A正确； 对于B，令，，则，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，若，则，D错误. 故选：AC 11．（多选题）（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．是奇函数 D．若，则 【答案】AC 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，易得的定义域为，在定义域上单调递增， 由复合函数的单调性可得在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，故B错误； 对于C，的定义域为，， 所以是奇函数，故C正确； 对于D，因为，所以，解得，故D错误； 故选：AC. 12．（多选题）已知函数，则（   ） A．函数的单调递增区间是 B．函数的值域是 C．函数的图象关于对称 D．不等式的解集是 【答案】BC 【解析】对于A选项，由可得或， 所以函数的定义域为， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且函数为增函数， 所以函数的单调递增区间是，故A错； 对于B选项，由A知函数的定义域为， 当或时，函数值域为， 所以函数的值域是，故B对； 对于C选项，因为， 所以函数的图象关于对称，故C对； 对于D选项，由可得， 解得或， 所以不等式的解集是，故D错. 故选：BC. 13．（2025·云南昆明·一模）已知函数则 . 【答案】 【解析】因为，且， 所以. 故答案为：. 14．（2025·江西上饶·一模）若，则 . 【答案】 【解析】，，又， . 故答案为：. 15．（2025·上海宝山·一模）若，且，则 ． 【答案】6 【解析】由可得， 故， 由于，故， 故答案为：6 16．函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数（，且）的图象上，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】对于函数（，且），令，即， 此时， 即函数（，且）的图象恒过定点， 则（，且）， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为：. 17．（2025·重庆·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过 个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85） 【答案】 【解析】设至少经过个小时后才能驾驶，则有， 即，两边同时取对数得，即， 因为，所以， 所以，即至少经过个小时才能驾驶. 故答案为：. 18．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知，则的值为 . 【答案】或 【解析】，则①， 则②， ①+②得：， 或. 故答案为：或 19．设，且． (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最大值． 【解析】（1）由题意知，且， 故，则， 而，故， 由，可得， 故的定义域为； （2）由（1）可得 而， 在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取到最大值4， 函数为其定义域上的增函数， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上的最大值为. 20．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求函数的零点； (3)若函数的最小值为，求的值． 【解析】（1）因为， 要使函数有意义，则，解得：， 所以函数的定义域为. （2）因为， 令，可得：， 即，解得：， 因为 所以函数的零点为. （3）因为， 若，则， 又因为且函数的最小值为， 则， 即，得，所以. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$