专题09 指数与指数函数（7大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题09 指数与指数函数 【题型归纳目录】 题型一：指数幂的运算 题型二：指数函数的图象及应用 题型三：指数函数过定点问题 题型四：比较指数式的大小 题型五：解指数方程或不等式 题型六：指数函数的最值与值域问题 题型七：指数函数中的恒成立问题 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）指数幂的运算性质 （2）指数函数的图像与性质 2023年新高考I卷第4题，5分 2023年乙卷第4题，5分 2022年甲卷第12题，5分 2020年新高考II卷第11题，5分 （1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质． （2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象． （3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：指数及指数运算 （1）根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． （2）根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数． 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数． （3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘． （4）有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． （5）有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 题型一：指数幂的运算 【典例1-1】化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】设，，是正整数，且，则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知函数，则 ． 知识点2：指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 解题方法总结 1、指数函数常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 题型二：指数函数的图象及应用 【典例2-1】已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】如图所示，若，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若函数的大致图象如图所示，其中，（且）为常数，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 题型三：指数函数过定点问题 【典例3-1】函数的图象恒过的定点是（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（   ） A．9 B．8 C． D． 【变式3-1】已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 【变式3-2】已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四：比较指数式的大小 【典例4-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·北京延庆·一模）设x，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型五：解指数方程或不等式 【典例5-1】方程的解为 ． 【典例5-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·一模）请写出满足方程的一组实数对： ． 【变式5-1】（2024·广东深圳·一模）已知，则的解集为 ． 【变式5-2】（2023·上海杨浦·二模）不等式的解集是 ． 题型六：指数函数的最值与值域问题 【典例6-1】函数的值域是 . 【典例6-2】设函数，的值域是 ． 【变式6-1】（2024·上海杨浦·二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 【变式6-2】（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 . 题型七：指数函数中的恒成立问题 【典例7-1】（2024·全国·模拟预测）已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2022·河南·模拟预测）若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【强化测试】 1．已知、，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．已知x>y，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·北京延庆·一模）延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（    ）      A．为奇函数 B．的最大值为1 C．在上单调递增 D．方程有2个实数解 9．（多选题）已知函数且在区间上单调递增，则实数的取值可能是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知指数函数，且，且，则的可能取值为（   ） A． B．2 C． D．4 11．（多选题）如果函数在区间上的最大值是14，则a的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 12．（多选题）已知函数且，则下列结论中正确的是（    ） A．函数的图象过定点 B．函数在其定义域上有零点 C．函数是奇函数 D．当时，函数在其定义域上单调递增 13．已知指数函数的图象经过点，若，则的最小值为 ． 14．已知实数，函数若，则的值为 ． 15．若曲线与直线有两个公共点，则的取值范围是 ． 16．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则有 ①2是函数的周期； ②函数在上单调递减，在上单调递增； ③函数的最大值是1，最小值是0； ④的图象关于对称． 其中所有正确命题的序号是 ． 17．设函数. (1)证明函数是奇函数； (2)证明函数在内是增函数. 18．已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求在区间上的最小值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 指数与指数函数 【题型归纳目录】 题型一：指数幂的运算 题型二：指数函数的图象及应用 题型三：指数函数过定点问题 题型四：比较指数式的大小 题型五：解指数方程或不等式 题型六：指数函数的最值与值域问题 题型七：指数函数中的恒成立问题 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）指数幂的运算性质 （2）指数函数的图像与性质 2023年新高考I卷第4题，5分 2023年乙卷第4题，5分 2022年甲卷第12题，5分 2020年新高考II卷第11题，5分 （1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质． （2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象． （3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：指数及指数运算 （1）根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． （2）根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数． 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数． （3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘． （4）有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． （5）有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 题型一：指数幂的运算 【典例1-1】化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原式． 故选：C. 【典例1-2】设，，是正整数，且，则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确； 故选：A. 【变式1-1】若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因， 则． 故选：A． 【变式1-2】已知函数，则 ． 【答案】1 【解析】函数，所以. 故答案为：1 知识点2：指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 解题方法总结 1、指数函数常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 题型二：指数函数的图象及应用 【典例2-1】已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， ，在上单调递减，所以排除AB选项； 令，，此时图象①在②的下方 因此C项正确． 故选：C. 【典例2-2】如图所示，若，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以指数函数在上单调递减，故排除A和D； 对于，当时，，所以的图象过点， 因为，故B错误，C正确. 故选：C. 【变式2-1】若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数有零点，则方程有根，即有根， 因此函数的图象与直线有交点， 而函数是R上的偶函数，在上单调递减，函数的值域为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，当且仅不，即时，函数的图象与直线有交点， 所以的取值范围为. 故选：C 【变式2-2】若函数的大致图象如图所示，其中，（且）为常数，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的大致图象可知函数为减函数， 所以，又，所以， 所以函数单调递减，且， 故只有B选项的图象符合题意. 故选：B. 题型三：指数函数过定点问题 【典例3-1】函数的图象恒过的定点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，所以函数的图象恒过点. 故选：D 【典例3-2】函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（   ） A．9 B．8 C． D． 【答案】B 【解析】由的图象恒过定点，可得，，则； 因， 当且仅当时等号成立， 由，可解得， 故当时，的最小值为8. 故选：B. 【变式3-1】已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 【答案】D 【解析】对于函数（且），当时，，即， 因为点A在角θ的终边上， 所以， 于是， 故选：D 【变式3-2】已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】     ，恒过定点， ，，，其图象如图所示， 因此不经过第四象限， 故选：D． 题型四：比较指数式的大小 【典例4-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意不妨取， 代入检验可得不成立，即A错误； 此时，可得B错误； 对于C，当时，此时，即； 当时，此时，即； 当时，显然； 综上可知当时，成立，即C正确； 对于D，因为指数函数为单调递减函数，因此时，，可知D错误. 故选：C 【典例4-2】若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 又，所以 故选： 【变式4-1】已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，因，则，由两边同除以，即得，故错误； 对于B，因函数在上单调递增，且，则. 又因当时，，则，所以，故，故正确； 对于C，因，因，取时，，故错误； 对于D，因函数在上单调递减，且，则. 又因当时，，则，所以，故，故错误. 故选：B 【变式4-2】（2025·北京延庆·一模）设x，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 对于A：取，所以，A选项错误； 对于B：取，所以，B选项错误； 对于C：取，所以，C选项错误； 对于D，，当且仅当取等号，所以， 因为，所以，当且仅当取等号，所以， 所以，D选项正确. 故选：D. 题型五：解指数方程或不等式 【典例5-1】方程的解为 ． 【答案】 【解析】设函数，，由于函数在上均为增函数， 又，故方程的解为. 故答案为：. 【典例5-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·一模）请写出满足方程的一组实数对： ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵， ∴， ∴令得：，即：. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式5-1】（2024·广东深圳·一模）已知，则的解集为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为R，，则是R上的奇函数， 函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 不等式，因此， 即，解得或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式5-2】（2023·上海杨浦·二模）不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】由题意可设，定义域为， 由于在都单调递增， 故在上单调递增，且， 故不等式的解集是， 故答案为： 题型六：指数函数的最值与值域问题 【典例6-1】函数的值域是 . 【答案】 【解析】令，则， 当且仅当“”取等号，即原函数的值域为. 故答案为：. 【典例6-2】设函数，的值域是 ． 【答案】 【解析】当时，单调递减，所以， 故的值域为：， 当时，单调递增，，故的值域为：， 综上，的值域为. 故答案为：. 【变式6-1】（2024·上海杨浦·二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 【答案】 【解析】当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为. 故答案为：. 【变式6-2】（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 . 【答案】16 【解析】由，而， 因为单调递增，所以，则的最大值是16. 故答案为：16 题型七：指数函数中的恒成立问题 【典例7-1】（2024·全国·模拟预测）已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由解析式易知：单调递增， 当时，恒成立，则，得． 故选：B． 【典例7-2】已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 函数在上单调递减，所以， 因为恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 【变式7-1】（2022·河南·模拟预测）若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，又恒成立， 即恒成立， 因为在上单调递减，所以，所以，即； 故选：B 【变式7-2】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立，又由（当且仅当时取等号）， 所以． 故选：A． 【强化测试】 1．已知、，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为、，且，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值是. 故选：B. 2．已知x>y，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解析：A选项，当,时,,故A错误;B需 , 同号,B错误； C由,根据函数单调递增, 所以,C正确; D需,D错误. 故选：C 3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为函数在上单调递减， 所以，解得. 故选：A. 4．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，，， 故. 故选：B. 5．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意若函数为单调递增，可得； 若函数为单调递增，可得，即； 若保证在R上单调递增,还需满足，解得； 综上可得，a的取值范围为. 故选：D 6．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知， 由，得，所以， 所以， 故选：C． 7．（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，由，得；由，得；由，得. 因为，所以是关于的减函数. 又，所以，所以. 故选：A. 8．（2025·北京延庆·一模）延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（    ）      A．为奇函数 B．的最大值为1 C．在上单调递增 D．方程有2个实数解 【答案】D 【解析】对A，定义域为R，∵，则为偶函数，A错误； 对BC，又∵，根据，在R上均单调递增， 则在在R上单调递增，且， 则当时，则，当时，则， ∴的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误； 则，即的最小值为，B错误； 对D，令,， 再结合指数函数性质知方程有2个实数根,故D正确. 故选：D 9．（多选题）已知函数且在区间上单调递增，则实数的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】当且时，函数单调递减， 则要使在区间上单调递增，则函数为减函数， 所以，，解得， 故选：ABC. 10．（多选题）已知指数函数，且，且，则的可能取值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】AC 【解析】由指数函数，且， 可得指数函数为增函数， 根据指数函数单调性可知，所以，AC符合题意， 故选：AC. 11．（多选题）如果函数在区间上的最大值是14，则a的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】AC 【解析】令，则． 当时，因为，所以，又函数在上单调递增， 所以，解得（负值舍去）. 当时，因为，所以，又函数在上单调递增， 则，解得（负值舍去）． 综上知或． 故选：AC 12．（多选题）已知函数且，则下列结论中正确的是（    ） A．函数的图象过定点 B．函数在其定义域上有零点 C．函数是奇函数 D．当时，函数在其定义域上单调递增 【答案】BCD 【解析】对于A选项，因为，故函数的图象过定点，A错； 对于B选项，因为的定义域为，且， 故函数在其定义域上有零点，B对； 对于C选项，因为，该函数的定义域为， 且，即函数是奇函数，C对； 对于D选项，当时，则， 因为函数、均为上的增函数， 所以，函数在上为增函数，D对. 故选：BCD. 13．已知指数函数的图象经过点，若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设（且）， 将代入，得，所以， 从而，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 又在上单调递增，所以，故的最小值为． 故答案为：. 14．已知实数，函数若，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】当时，，解得； 当时，，解得（舍去）． 故的值为． 故答案为：. 15．若曲线与直线有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】画出曲线与直线的图象如图所示， 由图象可得，如果曲线与直线有两个公共点， 则的取值范围是． 故答案为：. 16．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则有 ①2是函数的周期； ②函数在上单调递减，在上单调递增； ③函数的最大值是1，最小值是0； ④的图象关于对称． 其中所有正确命题的序号是 ． 【答案】①②④ 【解析】在中，令，则有，因此2是函数的周期，故①正确； 当时，单调递增，根据函数的奇偶性知，在上单调递减，根据函数的周期性知，函数在上单调递减，在上单调递增，故②正确； 由②，在上的最大值的最小值且是周期为2的周期函数，的最大值是2，最小值是1，故③错误； 为偶函数，，又，，故的图象关于对称，故④正确． 故答案为：①②④. 17．设函数. (1)证明函数是奇函数； (2)证明函数在内是增函数. 【解析】（1）由题意，得，即函数的定义域关于原点对称， ， ∴函数为奇函数. （2）设是内任意两实数，且， 则， ∵，∴，∴， ∴函数在内是增函数. 18．已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求在区间上的最小值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，得，即：，解得. （2）当时，， 令，因为，所以， 所以， 当时，取最小值，所以在区间上的最小值为. （3）若对任意的，总存在，使得， 可得：. 又因为，所以对任意的，， 则对任意的恒成立， 即，即，令，. 因为在区间上为增函数，所以 所以实数的取值范围是. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$