精品解析：2025届黑龙江省齐齐哈尔市高三一模数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，则. 故选：D. 2. 已知，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算计算出，然后根据共轭复数的定义求出，由的实虚部可知对应的点的坐标，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以对应的点的坐标是，位于第一象限. 故选：A. 3. 双曲线的渐近线方程为，则的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由渐近线列出关于的方程组即可求解. 【详解】由题意得， 因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以. 故选：A. 4. 圆柱的母线长为4，底面半径为2，该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据圆柱的体积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的母线长为4，底面半径为2，所以圆柱的体积为. 故选：C. 5. 如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（ ） A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先通过已知求出点的坐标，利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】在平面四边形中，，可以建立如图平面直角坐标系， ，，设， 因为，所以，解得，所以， 又，所以，所以，， 所以． 故选：C． 6. 为了分析某次数学模拟考试成绩，在90分及以上的同学中随机抽取了100名同学的成绩，得到如下成绩分布表： 分数区间 人数 14 16 18 30 20 2 根据表中的数据，下列结论中正确的是（ ） A. 所抽取的100名同学的成绩的中位数小于120 B. 所抽取的100名同学的成绩低于130所占比例超过 C. 所抽取的100名同学的成绩的极差不小于40且不大于60 D. 所抽取的100名同学的成绩的平均分数介于100至110之间 【答案】C 【解析】 【分析】结合中位数定义判断A，计算成绩低于的同学所占比例判断B，根据极差的定义判断C，计算平均数的估计值判断D. 【详解】对于A选项，根据人数分布可知，所以所抽取的100名同学的成绩的中位数不小于120，所以A选项不正确； 对于B选项，所抽取的100名同学的成绩低于130的人数为， 故所抽取的名同学的成绩低于所占比例低于，所以B选项不正确； 对于C选项，所抽取的100名同学的成绩的极差最大值为，极差最小值大于，所以C选项正确； 对于D选项，成绩的平均分数，所以D选项不正确， 故选：C. 7. 已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出点的坐标，并表示出点，再代入已知曲线方程即可. 【详解】设点，由轴于点，且，得，则， 又点是曲线上的任意一点，因此， 所以点的轨迹方程为. 故选：A 8. 函数结构是值得关注的对象为了研究的结构，两边取对数，可得，即，两边取指数，得，即，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型结合上述材料，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对，两边取对数，得，令，分析单调性，可求得最小值. 【详解】因为，两边取对数，可得，即， 令，则， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， ∴， ∴，，的最小值为， 故选：C. 【点睛】 二、多项选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与最小正周期不相同 D. 与的图象存在相同的对称轴 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简两个函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AD选项；利用正弦型的最值可判断B选项；利用正弦型函数的周期公式可判断C选项. 【详解】因为， ， 对于A选项，对于函数，由，可得， 对于函数，由，可得， 故函数的零点为，函数的零点为， 所以，函数、没有相同的零点，A错； 对于B选项，的最大值为，的最大值为，故与的最大值相同，B对； 对于C选项，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 这两个函数的最小正周期不同，C对； 对于D选项，因为，， 所以，函数与的图象存在相同的对称轴，D对. 故选：BCD. 10. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的2倍，若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 圆的方程为：，其上一动点，则的最小值为 D. 点的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：设出，结合题意计算即可得；对B：由双曲线方程得渐近线，根据渐近线与双曲线的位置关系判断；对C：结合点与双曲线的位置关系，根据点与圆的位置关系求解；对D：联立两方程，借助判断有无交点即可得. 【详解】对于A，设，则有，整理可得， 故点的轨迹方程是，故A正确； 对于B，由点的轨迹方程是知，双曲线的渐近线为， 可得直线为其一条渐近线，故直线与点的轨迹方程没有交点， 则直线不是“最远距离直线”，故B错误； 对于C，圆的方程为：，其圆心，半径为， 由点与圆的位置关系可知，，又即， 根据点与双曲线的位置关系可得， 故，故C正确； 对于D，联立圆与点的轨迹方程，有，可得， ，故点的轨迹与圆有交点，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数有两个极值 B. 过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 C. 当时，若是与的等差中项，直线与曲线有三个交点，则 D. 当时，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导函数，根据当时，，得单调递增，根据极值的概念判断A，设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入，通过方程解的个数判断切线的条数判断B，由等差中项的定义得直线恒过点，且此点在上，再通过对称中心定义得为的对称中心，利用对称性求得判断C，利用导数法得在上单调递减，求出值域，再利用换元法求出的值域即可判断D. 【详解】由得， 对于A，当时，则有， 所以当时，，所以单调递增， 此时函数没有两个极值，故A错误； 对于B，设过点且与曲线相切于点， 则斜率为，可得切线方程为， 代入得，整理得， 令，则，令得或， 令得，所以在和上单调递增， 在上单调递减，又，，， 所以函数只有一个零点，即方程只有一个解， 所以过点且与曲线相切的直线有且仅有一条，故B正确； 对于C，当时，，又因为是与的等差中项， 所以直线即为直线，即， 该直线过定点，且此点在曲线上， 又，令得或， 令得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 由题意作出函数的示意图， 设函数的对称中心为，则，即， 整理得， 所以，解得， 所以函数图象关于点中心对称，设， 则有，所以，故C正确； 对于D，当时，，则， 令得或，令得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又，，作出作出函数的示意图 所以在上单调递减，所以，即， 令，当时，，则在上单调递减， 所以，所以，即，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：判断函数的极值点个数：可通过函数的单调性也就是的取值正负来判断，若的取值正负不易直接判断，可先通过判断的正负来确定的单调性，由此来确定的取值正负； 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设数列满足，且，则____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据递推关系逐一求解的值即可求解. 【详解】由以及可得， 故， 故答案为：4 13. 在中内角的对边分别为，已知，则____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同角关系以及和差角公式化简可得，即可利用正弦定理边角互化求解. 【详解】由可得, 故, , 由正弦定理可得， 故答案为：3 14. 在如图的的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为”的概率为______. 11 13 13 15 20 22 23 24 31 32 33 35 41 42 42 44 【答案】##0.125 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】在如图的的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中， 则所有的可能为：, , ， ，共24种可能； 其中满足“选中方格中的4个数之和为”的可能为： ，共3种可能； 故所求为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 阶行列式是一种二阶方阵的行列式，其计算方法如下：，函数，（其中），若，函数的最小正周期为． （1）求函数的解析式； （2）中，若，为锐角，三个内角分别对应边，面积为，则的最小值为？ 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用行列式的定义可得，即可利用二倍角公式以及赋值角公式化简，利用周期公式求解得解， （2）根据可求解，即可利用面积公式求解，由基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题知 ∴ ∵的最小正周期为，∴，∴ ∴ 【小问2详解】 ∵为锐角，∴ ∴，∴， ∵，∴ ∴当且仅当时，取最小值4 16. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算性质、直线的点斜式方程进行求解即可； （2）对不等式进行参变分离，构造函数，利用导数研究函数的最值即可. 【小问1详解】 当时，，， 则， 所以所求切线方程为，即； 【小问2详解】 ，即， 即，即对恒成立， 令，则， 当时，，当，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 17. 如图，在直三棱柱中，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 由题知平面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，所以四边形是正方形，得到， 又，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，结合题意根据线面垂直的判定定理证明平面，进而利用线面垂直的性质得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系，因为， 则， 得到 平面与平面夹角为， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，则：， 令，则，所以平面的法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 现市场上治疗某种疾病的药品有两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药的治愈率为，且每位病人是否被治愈相互独立． A B C（新药） 治愈率 患者占比 （1）记100个病人中恰有80人被治愈的概率为，求的最大值点； （2）设用新药的患者占比为（药品减少的患者占比，均为新药增加占比的一半，，以（1）问中确定的作为的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用表示） （3）按照市场预测，使用新药的患者占比能达到以上，不足的概率为，不低于且不超过的概率为，超过的概率为，某药企计划引入药品的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的影响，关系如下表： 患者占比 最多投入生产线条数 1 2 3 若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品的年总利润均值最大，应引入几条生产线？ 【答案】（1） （2） （3）引入两条生产线 【解析】 【分析】（1）由题意，得到的解析式，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而可解； （2）设事件为“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件为“该患者服用药品治疗”，事件为“该患者服用药品治疗”，事件为“该患者服用药品治疗”，代入概率公式求解即可； （3）设随机变量为生产药品产生的年利润，分别讨论投入1条，2条，3条生产线时所对应的概率，代入期望公式求解，比较大小即可得解. 【小问1详解】 100个病人中恰好有80人被治愈的概率为， 则， 令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的最大值点为. 【小问2详解】 设事件“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件“该患者服用药品治疗”， 事件“该患者服用药品治疗”，事件“该患者服用药品治疗”， 则 因此： 所以. 【小问3详解】 设随机变量为生产药品产生的年利润 ①若投入1条生产线，由于服用药品的患者的占比总大于，所以一条生产线总能运行， 此时对应的年利润 ②若投入2条生产线，当，1条生产线运行， 年利润，当时，2条生产线运行， 年利润， 此时的分布列如下： 700 2000 所以； ③若投入3条生产线，当时，1条生产线运行， 年利润 ， 当时2条生产线运行，年利润， 当时，3条生产线运行，年利润， 此时的分布列如下： 400 1700 3000 所以 综上所述，欲使该药企生产药品的年度总利润均值最大，应引入两条生产线. 19. 如图所示，已知动圆与直线相切，并与定圆相内切． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）过原点作斜率为1的直线交曲线于（为第一象限点），又过作斜率为2的直线交曲线于，再过作斜率为4的直线交曲线于，…，如此继续，过作斜率为的直线交曲线于，设． ①令，求证：数列是等比数列； ②数列的前项和为，试比较与的大小． 【答案】（1） （2） ①设，则， 又因为直线的斜率为，有， 所以，即， 所以， 所以数列是以为公比的等比数列； ②当时，； 当时，； 当且时，. 【解析】 【分析】（1）方法1：根据抛物线的定义求解轨迹方程； 方法2：直接法，设点的坐标，结合两点距离公式，利用两圆的位置关系列式化简求解轨迹方程. （2）①根据题意得到有，结合等比数列定义进行证明； ②结合①的结论，转化为比较与的大小，分别研究，，的情形，当时，使用二项式定理进行比较. 【小问1详解】 方法1：由题意知，点到原点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线定义知，点轨迹是以原点为焦点，直线为准线的抛物线， 其轨迹方程为． 方法2：设，动圆的半径为， 由题意知：， 所以， 由题意知，∴，即 所以动圆圆心的轨迹的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由①知，， 所以，下面只要比较与的大小； 当时，，有； 当时，，有； 当时，，有； 猜测当时，时，． 利用二项式定理，得 ， 所以时，，即：， 所以． 综上：当时，； 当时，； 当且时，. 【点睛】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义、等比数列的定义及二项式的的应用，放缩法的应用，解答本题的关键是如何比较与的大小，利用二项式定理展开式和放缩法是解决此类问题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 双曲线的渐近线方程为，则的关系为（ ） A. B. C. D. 4. 圆柱的母线长为4，底面半径为2，该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（ ） A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 6. 为了分析某次数学模拟考试成绩，在90分及以上的同学中随机抽取了100名同学的成绩，得到如下成绩分布表： 分数区间 人数 14 16 18 30 20 2 根据表中的数据，下列结论中正确的是（ ） A. 所抽取的100名同学的成绩的中位数小于120 B. 所抽取的100名同学的成绩低于130所占比例超过 C. 所抽取的100名同学的成绩的极差不小于40且不大于60 D. 所抽取的100名同学的成绩的平均分数介于100至110之间 7. 已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 函数结构是值得关注的对象为了研究的结构，两边取对数，可得，即，两边取指数，得，即，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型结合上述材料，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与最小正周期不相同 D. 与的图象存在相同的对称轴 10. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的2倍，若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 圆的方程为：，其上一动点，则的最小值为 D. 点的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数有两个极值 B. 过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 C. 当时，若是与的等差中项，直线与曲线有三个交点，则 D. 当时，若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设数列满足，且，则____________． 13. 在中内角的对边分别为，已知，则____________． 14. 在如图的的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为”的概率为______. 11 13 13 15 20 22 23 24 31 32 33 35 41 42 42 44 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 阶行列式是一种二阶方阵的行列式，其计算方法如下：，函数，（其中），若，函数的最小正周期为． （1）求函数的解析式； （2）中，若，为锐角，三个内角分别对应边，面积为，则的最小值为？ 16. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若，求实数的取值范围. 17. 如图，在直三棱柱中，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 现市场上治疗某种疾病的药品有两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药的治愈率为，且每位病人是否被治愈相互独立． A B C（新药） 治愈率 患者占比 （1）记100个病人中恰有80人被治愈的概率为，求的最大值点； （2）设用新药的患者占比为（药品减少的患者占比，均为新药增加占比的一半，，以（1）问中确定的作为的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用表示） （3）按照市场预测，使用新药的患者占比能达到以上，不足的概率为，不低于且不超过的概率为，超过的概率为，某药企计划引入药品的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的影响，关系如下表： 患者占比 最多投入生产线条数 1 2 3 若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品的年总利润均值最大，应引入几条生产线？ 19. 如图所示，已知动圆与直线相切，并与定圆相内切． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）过原点作斜率为1的直线交曲线于（为第一象限点），又过作斜率为2的直线交曲线于，再过作斜率为4的直线交曲线于，…，如此继续，过作斜率为的直线交曲线于，设． ①令，求证：数列是等比数列； ②数列的前项和为，试比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $