精品解析：河北省保定市定兴县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024—2025学年第一学期学生素质能力监测 九年级数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自已的姓名、准考证号（用0.5毫米的黑色签字笔）填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域的书写的答案无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知的半径为9，点A在内，则的长可能为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系．掌握点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外是解题关键．由点A在内，可知点A到该圆圆心的距离小于其半径，即可得解． 【详解】解：∵的半径为9，且点A在内， ∴， 故选：D． 2. 用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 3. 数学课上张老师给出了如下算式，计算某数据的方差，据此判断下列说法错误的是（ ） A. 样本众数是3 B. 样本中位数是3 C. n的值是4 D. 样本平均数是4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，平均数，解题的关键是根据方差计算公式得出数据．根据方差的计算公式得到各个数值进行判断即可． 【详解】解：根据方差算式可得，样本数据为， 因此，样本众数为， 中位数是， 平均数为， 故选：D． 4. 如图，在中，直径弦于点是上的点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆周角相等；根据垂径定理可得，进而根据等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：直径弦 ， ， ， ， ， 故选：C． 5. 如图，中，于点D，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，然后根据余角的性质，可得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 关于反比例函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，则 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 图象关于直线对称 D. 图象经过点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是熟记反比例函数的性质，灵活应用这些性质解题．根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：反比例函数，，则反比例函数经过第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，则，故A不正确，故该选项符合题意；， 当时，y随x的增大而减小，故B正确，故该选项不符合题意； 图象关于直线对称，故C正确，故该选项不符合题意； ，图象经过点，故D正确，故该选项不符合题意； 故选：A． 7. 如图，已知在中，为上一点，连接，以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理的应用．能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．根据相似三角形的判定定理（有两角分别相等的两个三角形相似，有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形相似）逐个进行判断即可． 【详解】解：根据和，而无法证明，故A符合要求； ， 又， ，故B不符合要求； ∵，， ∴，故C不符合要求； ∵，， ∴，故D不符合要求； 故选：A． 8. 已知方程的两个实数根满足，则实数k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．同时考查代数式的变形．由根与系数关系可得：，；而与可用关系式联系起来． 【详解】解：方程的两个实数根为，； 则，． ，， ， ， 即， ， ， 解得或． 故选：A． 9. 反比例函数中，当时，，点在此反比例函数图象上，则n的值为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图象上点的特征，根据反比例函数的性质得出，再把点代入反比例函数解析式即可． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，， ∴反比例函数图象在一三象限，且当时，， ∴，则 将代入， ∴， 故选：A． 10. 八年级物理课上，老师和学生一起做“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②，得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：C． 11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线与y轴重合，且点B在第一象限内，，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键．过作轴于点，设与轴交于点，由且点在第一象限内，，得，，，，，由矩形的性质可知，则，然后证明，根据性质得，再求出的值即可． 【详解】解：如图，过作轴于点，设与轴交于点， ∴， ∵且点在第一象限内，， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， 故选：D． 12. 从三个数中，任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．若，且中最小值为，则x的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解法及整式的运算是解题的关键．根据题中所给新定义运算及一元二次方程的解法可进行求解． 【详解】若， 当时，即，则，所以原方程无解； 当时，即，则，所以原方程无解； 当时，即，解得：，； ∴综上所述：若，且中最小值为，则，； 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分，把答案写在答题卡上） 13. 若一组数据“”的平均数是5，众数是5，则这组数据的方差为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数据的平均数、众数及方差，先根据这组数的平均数及众数求出都是，再利用方差公式计算即可． 【详解】∵一组数据的众数为5， ∴中至少有一个是5， ∵一组数据的平均数为， ∴， ∴， ∴都是， ∴这组数据的方差为； 故答案为：． 14. 若反比例函数的图象经过点和，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图象上点的特征，先由待定系数法求得，再把点代入反比例函数解析式即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 把代入得：， 故答案为：． 15. 如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有_______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：①②④． 16. 如图，中，，以为直径的半圆O交斜边于点D，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则阴影部分面积为_____（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，运用勾股定理分别算出，再结合计算即可．本题考查扇形的面积、圆周角定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法取阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接，． 在中，，， ， ∴，则， ∵是直径， ∴， ， ∵O是的中点， ∴是的中线， ∴， ， 故答案为． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）按要求解方程： ①（公式法）； ②（因式分解法）； （2）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，（第一步） 方程两边同除以，得，（第二步） ∴原方程的解为．（第三步） ①上面的运算过程第_______步出现了错误． ②请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）①， ②； （2）①二； ②解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）①先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程，即可求解； ②先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． （2）①当时，两边除以无意义，据此可判断求解； ②把右式移到左边，利用因式分解法解答即可； 【详解】解：（1）①解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：，； ②， ∴， ∴， ∴或， 解得：； （2）解：①上面的运算过程第二步出现了错误， 故答案为：二； ② 略 18. 甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下列问题： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 80 40 70 50 60 乙成绩 70 50 70 a 70 （1）统计表中，_________，；甲同学成绩的中位数是_________乙同学成绩的众数是_________ （2）小颖计算了甲同学的成绩平均数为60，方差是，请你求出乙同学成绩的平均数和方差． （3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定． 【答案】（1）40，60，70 （2）乙同学成绩的平均数是60，方差是160 （3）乙同学的成绩更稳定 【解析】 【分析】本题考查了中位数和和众数、平均数和方差，熟练掌握各定义和计算公式是解题关键． （1）根据甲、乙同学5次考试的总成绩相同可求出的值，再根据中位数和和众数的定义求解即可得； （2）根据平均数和方差的计算公式求解即可得； （3）根据平均数和方差的意义求解即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得， 将甲同学成绩从小到大进行排序为， 则甲同学成绩的中位数是60， 乙同学成绩中，70出现的次数最多， 所以乙同学成绩的众数是70， 故答案为：40，60，70． 【小问2详解】 解：乙同学成绩的平均数是， 乙同学成绩的方差是． 【小问3详解】 解：因为甲、乙同学成绩的平均数相同，乙同学成绩的方差小于甲同学成绩的方差， 所以乙同学的成绩更稳定． 19. 某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量凌霄塔的高度如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度平面镜的大小厚度忽略不计 【答案】36米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，，， ， 由平面镜反射可知，， ， ∴ ， ，，8， ， 解得：， ， ， ，， ， ， ， ∴ ， 即， 解得：， 凌霄塔的高度为36米． 20. 已知等腰中，分别是腰上的点，连接，设． （1）当点是的中点时． ①如图1，若是的中点，求的值； ②如图2，若，求的值； （2）如图3，若，当时，直接写出是的值为_______ ． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①如图所示，过点D作交于点F，首先得到是的中位线，然后得到，得到，然后证明出是等腰直角三角形，设，然后根据勾股定理和等腰直角三角形的性质表示出，求出，然后得到； ②如图所示，延长到点F使，得到是等腰直角三角形，然后证明出，得到，设，，表示出，，，然后代入求出，然后得到； （2）如图所示，以为斜边，向下作等腰，连接，作交于点M，交于N，连接交于K，延长交的延长线于点P，设交于点O，交于点G，证明出，得到，证明出边形是正方形，设，然后证明出，得到，然后得到，推出，得到，，然后证明出，得到，然后得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：①如图所示，过点D作交于点F， ∵点是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵等腰中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴设， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长到点F使， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，以为斜边，向下作等腰，连接，作交于点M，交于N，连接交于K，延长交的延长线于点P，设交于点O，交于点G， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴设， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线以及掌握以上知识点． 21. 已知：如图，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）当AB＝10，BC＝8时，求BD的长． 【答案】（1）证明：连接AC， ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB＝90° 又∵OD⊥BC ∴AC∥OE ∴∠CAB＝∠EOB 由对的圆周角相等 ∴∠AEC＝∠ABC 又∵∠AEC＝∠ODB ∴∠ODB＝∠OBC ∴△DBF∽△OBD ∴∠OBD＝90° 即BD⊥AB 又∵AB是直径 ∴BD是⊙O的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）从切线的判定为目标，来求BD⊥AB，连接AC通过相似来证得； （2）通过已知条件和第一步求得的三角形相似求得BD的长度． 【详解】（1）略 （2）∵OD⊥弦BC于点F，且点O圆心， ∴BF＝FC ∴BF＝4 由题意OB是半径即为5 ∴在直角三角形OBF中OF为3 由以上（1）得到△DBF∽△OBD ∴ 即得BD＝． 【点睛】本题考查了切线的判定及其应用，通过三角形相似求得，本题思路很好，是一道不错的题． 22. 某品牌衬衫标价为元件，为提高销售量，经过两次降价后为元件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种衬衫每次降价的百分率； （2）若该种品牌衬衫的进价为元件，两次降价共售出此种品牌衬衫件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？ 【答案】（1）该种衬衫每次降价的百分率为 （2）第一次降价至少要销售出件该种衬衫 【解析】 【分析】设这种衬衫每次降价的百分率为，由题意：衬衫标价为元件，经过两次优惠降价为元件，并且两次降价的百分率相同．列出方程，解方程即可； 设第一次降价要销售出件该种衬衫，由题意：该种品牌衬衫的进价为元件，两次降价共售出此种品牌衬衫件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【小问1详解】 解：设这种衬衫每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该种衬衫每次降价的百分率为； 【小问2详解】 设第一次降价要销售出件该种衬衫， 由题意得： 解得：， 答：第一次降价至少要销售出件该种衬衫． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）是第一象限内直线上方反比例函数图像上一点，过点作轴于点，交于点，连接，若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的性质等知识点， （1）将代入，可得点A坐标，将代入，即可得解； （2）过作轴于，由四边形为矩形，可得，由横坐标与相同，为3，代入可得，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【小问1详解】 将代入得，， 解得，， ∴， 设反比例函数解析式为：， 将代入得，， ∴， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 过作轴于， ， 轴，轴轴， ， 四边形为矩形， ， 纵坐标为1， ， 当时，， ∴， ， 轴，横坐标与相同，为3， ， 当时，， ， ， ， ． 24. 已知：如图，在中，，点D在边的延长线上，点E在线段上，． （1）求证：； （2）如果，连接，求证：． 【答案】（1） 证明：在中， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：连接，取的中点，连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角性质，得结合等边对等角，得，，故，因为，所以证明； （2）因为，所以，结合，则，，因为是的中点，所以，故，证明，则，由等边对等角以及三角形内角和得出，整理得，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形外角性质和内角和，等边对等角，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期学生素质能力监测 九年级数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自已的姓名、准考证号（用0.5毫米的黑色签字笔）填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域的书写的答案无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知的半径为9，点A在内，则的长可能为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 7 2. 用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 3. 数学课上张老师给出了如下算式，计算某数据的方差，据此判断下列说法错误的是（ ） A. 样本众数是3 B. 样本中位数是3 C. n的值是4 D. 样本平均数是4 4. 如图，在中，直径弦于点是上的点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，于点D，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 关于反比例函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 当时，则 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 图象关于直线对称 D. 图象经过点 7. 如图，已知在中，为上一点，连接，以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知方程的两个实数根满足，则实数k的值为（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数中，当时，，点在此反比例函数图象上，则n的值为（ ） A. B. C. 8 D. 10. 八年级物理课上，老师和学生一起做“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线与y轴重合，且点B在第一象限内，，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 从三个数中，任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．若，且中最小值为，则x的值为( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分，把答案写在答题卡上） 13. 若一组数据“”的平均数是5，众数是5，则这组数据的方差为______． 14. 若反比例函数的图象经过点和，则的值为_______． 15. 如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有_______．（填序号） 16. 如图，中，，以为直径的半圆O交斜边于点D，以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则阴影部分面积为_____（结果保留）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）按要求解方程： ①（公式法）； ②（因式分解法）； （2）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，（第一步） 方程两边同除以，得，（第二步） ∴原方程的解为．（第三步） ①上面的运算过程第_______步出现了错误． ②请你写出正确的解答过程． 18. 甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下列问题： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 80 40 70 50 60 乙成绩 70 50 70 a 70 （1）统计表中，_________，；甲同学成绩的中位数是_________乙同学成绩的众数是_________ （2）小颖计算了甲同学的成绩平均数为60，方差是，请你求出乙同学成绩的平均数和方差． （3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定． 19. 某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量凌霄塔的高度如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度平面镜的大小厚度忽略不计 20. 已知等腰中，分别是腰上的点，连接，设． （1）当点是的中点时． ①如图1，若是的中点，求的值； ②如图2，若，求的值； （2）如图3，若，当时，直接写出是的值为_______ ． 21. 已知：如图，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）当AB＝10，BC＝8时，求BD的长． 22. 某品牌衬衫标价为元件，为提高销售量，经过两次降价后为元件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种衬衫每次降价的百分率； （2）若该种品牌衬衫的进价为元件，两次降价共售出此种品牌衬衫件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）是第一象限内直线上方反比例函数图像上一点，过点作轴于点，交于点，连接，若，求的面积． 24. 已知：如图，在中，，点D在边的延长线上，点E在线段上，． （1）求证：； （2）如果，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $