精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区亿利东方学校开学考试2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

亿利东方学校2024-2025学年第二学期学科素养综合评价 九年级 数学试卷 命题人：初三数学组 审题人：初三数学组 分值：100分 时间：90分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某场比赛颁奖现场的领奖台的示意图，其主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，是等边三角形，若，则（    ） A. B. C. D. 5. 二维码的图案主要由黑，白两种小正方形组成．现对由4个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好涂成两个黑色和两个白色的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，则下列结论不正确的是( ) A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知a是方程的一个根，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 9. 如果关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 二次函数的图象如图所示，与y轴交于点C，与x轴负半轴交于点A，且，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. “九章”是中国科学技术大学潘建伟院士领衔的陆朝阳教授课题组与中科院上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作自主研发的光量子计算原型机．根据官方数据，“九章三号”在过二十亿年才能完成，其中0.000001用科学记数法表示为________． 12. 如图，将半径为6的半圆，绕点A逆时针旋转75°，使点B落到点B′处，则图中阴影部分的面积是__． 13. 将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位后，得到的抛物线的函数表达式为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为______． 15. 如图，等腰中，是腰上的高，点O是线段上一动点，当半径为的与的一边相切时，的长为________． 16. 如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，．连接与对角线相交于点G， 与相交于点M，连接，则下列结论①；②；③；④正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三：解答题（共6题，满分52分） 17. （1）计算； （2）先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即的坡面走了200米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号） 19. “惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．，B． ，C． ，D． ），下面给出了部分信息． 七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3． 八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2． 七八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所占百分比 七年级 1.3 1.1 a 0.26 40% 八年级 1.3 b 1.0 0.23 m% 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中a，b，m的值； （2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 20. 烟花爆竹的发明与火药技术的使用息息相关．最初的爆竹是由唐朝的李畋发明的，他利用火药、纸筒等材料制作爆竹，目的是产生巨大声响以驱鬼辟邪，烟花爆竹不仅在重要节日以示庆贺，还承载着中国人迎祥纳福的美好愿望．小红的爸爸是一家烟花爆竹店的老板，在春节前购进甲，乙两种烟花，用3120元购进甲种烟花与用4200元购进乙种烟花的数量相同，乙种烟花进货单价比甲种烟花进货单价多9元． （1）求甲、乙两种烟花的进货单价； （2）小红的爸爸打算再购进甲、乙两种烟花共1000个，其中乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，如何进货才能花费最少？并求出最少的花费． 21. 如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F． （1）求证：； （2）P是上一点，，求； （3）在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． （1）求抛物线的解析式； （2）如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 亿利东方学校2024-2025学年第二学期学科素养综合评价 九年级 数学试卷 命题人：初三数学组 审题人：初三数学组 分值：100分 时间：90分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整指数幂，合并同类项，同底数幂的乘法与除法，正确的计算是解题的关键． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；        B. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；        D. ，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 2. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 先解出不等式组的解集，将解集表示到数轴上，做出选择即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：B． 3. 如图是某场比赛颁奖现场的领奖台的示意图，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看所得到的图形是：． 故选：A． 4. 如图，直线，是等边三角形，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，等边三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，过点B作，可得，依次求解，，，再利用对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图，过点B作， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B 5. 二维码的图案主要由黑，白两种小正方形组成．现对由4个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好涂成两个黑色和两个白色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画树状图，利用概率公式求解即可. 【详解】解：将涂成黑色的正方体记为，将涂成白色的正方体记为， 依据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种情况，其中恰好涂成两个黑色和两个白色的有6种情况， 恰好涂成两个黑色和两个白色的概率为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了树状图法和概率公式，解题的关键在于熟练掌握概率公式，概率所求情况总情况． 6. 如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，则下列结论不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质逐一判断即可. 【详解】∵将△BCO绕点C按顺时针旋转得到△ACD， ∴BO=AD，故A正确， ∵OC与CD是对应边，C为旋转中心， ∴∠DOC等于旋转角，即∠DOC=60°，故B正确， ∵OC=CD，∠DOC=60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠ODC=60°， ∵∠BOC与∠ADC是对应角， ∴∠ADC=150°， ∴∠ODA=150°-60°=90°，即OD⊥AD，故C正确， ∵∠ADC=150°， ∴∠DAC<30°， ∴∠BAD<90°， ∴∠ODA+∠BAD≠180°， ∴OD与AB不平行，故D错误， 故选D. 【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应边、对应角分别相等，对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，准确找出对应边和对应角是解题关键. 7. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C 【详解】∵函数与的图像交于点P(，)， ∴，，即，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式． 8. 已知a是方程的一个根，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，分式的化简求值，根据方程的解的定义得出，然后变形为，代入要求的式子计算即可，熟练掌握正确的化简技巧进行计算是解决此题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ，即， ， 故选：． 9. 如果关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先求出该方程的解为，再根据解为非负数和可得和，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∵关于x的方程的解是非负数， ∴，解得， ∵， ∴，即，解得， 综上：m的取值范围是且． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解分式方程和不等式，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式的分母不为0． 10. 二次函数的图象如图所示，与y轴交于点C，与x轴负半轴交于点A，且，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．开口方向，对称轴，与轴的交点位置判断①，特殊点判断②和③，对称轴判断④，根据图象过，判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，；故①④错误； 由图象可知：时，， ∴，故③正确， ∵和关于对称轴对称， ∴当时，；故③正确； ∵， ∴图象过， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故⑤正确； 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. “九章”是中国科学技术大学潘建伟院士领衔的陆朝阳教授课题组与中科院上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作自主研发的光量子计算原型机．根据官方数据，“九章三号”在过二十亿年才能完成，其中0.000001用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据0.000001用科学记数法表示为； 故答案为：． 12. 如图，将半径为6的半圆，绕点A逆时针旋转75°，使点B落到点B′处，则图中阴影部分的面积是__． 【答案】30 【解析】 【分析】根据题意得出AB=AB′=6，∠BAB′=75°，根据图形得出图中阴影部分的面积S= S扇形B′AB+S半圆O′-S半圆O，求出即可. 【详解】解：如图： ∵AB=AB′=6×2=12，∠BAB′=75° ∴图中阴影部分的面积是： S=S扇形B′AB+S半圆O′-S半圆O =+×62-×62 =30π. 【点睛】旋转的性质和扇形的面积公式是本题的考点，仔细观察图形利用分割图形求面积法找出阴影部分的面积是解题的关键. 13. 将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位后，得到的抛物线的函数表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，由抛物线配方为，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由抛物线，向上平移个单位，再向右平移个单位后，根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质， 根据平移变换的规律解决问题即可． 【详解】解：由题意，线段向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到线段， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，等腰中，是腰上的高，点O是线段上一动点，当半径为的与的一边相切时，的长为________． 【答案】或． 【解析】 【分析】作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质可得HC的长，再利用三角函数可得DC，根据勾股定理得到BD的长，根据半径为的⊙O与△ABC的一边相切，分三种情况讨论根据相似三角形的性质求解即可得到结论． 【详解】解：如图，作AH⊥BC于点H， ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴HC＝3， ∵∠AHC＝90°，AC＝5， ∴cosC， ∴DC， ∴BD， ①⊙O与AC相切时，切点为D， ∵半径为， ∴OD， ∵BD， ∴OB＝BD﹣OD； ②⊙O与BC相切时，切点为M， ∴OM⊥BC， ∴∠BMO＝∠BDC＝90°， ∵∠MBO＝∠DBC， ∴△MBO∽△DBC， ∴， ∴， ∴BO； ③⊙O与AB相切时，切点为N， ∴ON⊥AB， ∴∠BNO＝∠BDA＝90°， ∵∠NBO＝∠DBA， ∴△NBO∽△DBA， ∴， ∴， ∴BO． 当圆O与AB相切时，OB的长为， ∵BD， ∵， 也就是说，圆O与AB相切，是圆心O在线段BD外即在直线BD上的时候，不符合题意， 故答案只有两种情况，即圆O与AC，AB相切时． 综上所述，AP的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质以及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16. 如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，．连接与对角线相交于点G， 与相交于点M，连接，则下列结论①；②；③；④正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，添加辅助线、构造全等三角形是解题大键． 过点F作交于H，利用证明可得，证得是等腰直角三角形，再证明，即可判断①；求出，根据，即可判断②；根据直角三角形的性质和勾股定理即可判断③；由，可得，进而判断④ 【详解】解：∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， 过点F作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵是直角三角形，G是的中点， ∴， 又∵， ∴，故③错误； ∵是等腰直角三角形，G是的中点， ∴， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴，故④错误 故选B 三：解答题（共6题，满分52分） 17. （1）计算； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、分式的化简求值等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式和绝对值、计算负整数指数幂、余弦，再计算二次根式的混合运算即可得； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 将，代入得：原式． 18. 如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即的坡面走了200米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】作于．解直角三角形分别求出、即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：作于． ，米， （米）， ， 四边形是矩形， （米）， ，， ， ，， ， ， ， ， （米）， 在中， ， （米）， （米）． 19. “惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．，B． ，C． ，D． ），下面给出了部分信息． 七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3． 八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2． 七八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所占百分比 七年级 1.3 1.1 a 0.26 40% 八年级 1.3 b 1.0 0.23 m% 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中a，b，m的值； （2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）； （2）6个； （3）七年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为： ①七年级各班餐厨垃圾质量的众数0.8低于八年级各班的餐厨垃圾质量的众数1.0； ②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨垃圾质量A等级的20%； 八年级各班落实“光盘行动”情况更好，因为： ①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1； ②八年级各班餐厨垃圾孩子里那个的方差0.23低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.26． 【解析】 【分析】（1）根据题中数据及众数、中位数的定义可解a，b的值，由扇形统计图可解得m的值； （2）先计算在10个班中，八年级A等级的比例，再乘以30即可解题； （3）分别根据各年级的众数、中位数、方差等数据结合实际分析解题即可． 【详解】解：（1）根据题意得，七年级10个班的餐厨垃圾质量中， 出现的此时最多，即众数是 ； 由扇形统计图可知， 八年级的A等级的班级数为10×20%=2个，八年级共调查10个班，故中位数为第5个和第6个数的平均数，A等级2个班，B等级的第3个数和第4个数是1.0和1.0，故八年级10个班的餐厨垃圾质量的中位数为（1.0+1.0）÷2=1.0 ； （2）∵八年级抽取的10个班级中，餐厨垃圾质量为A等级的百分比是20%， ∴估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为：30×20%＝6（个）； 答：估计该校八年级各班这一天的餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为6个． （3）略 【点睛】本题考查统计表、扇形统计图、众数、中位数、方差、用样本估计总体等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 20. 烟花爆竹的发明与火药技术的使用息息相关．最初的爆竹是由唐朝的李畋发明的，他利用火药、纸筒等材料制作爆竹，目的是产生巨大声响以驱鬼辟邪，烟花爆竹不仅在重要节日以示庆贺，还承载着中国人迎祥纳福的美好愿望．小红的爸爸是一家烟花爆竹店的老板，在春节前购进甲，乙两种烟花，用3120元购进甲种烟花与用4200元购进乙种烟花的数量相同，乙种烟花进货单价比甲种烟花进货单价多9元． （1）求甲、乙两种烟花的进货单价； （2）小红的爸爸打算再购进甲、乙两种烟花共1000个，其中乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，如何进货才能花费最少？并求出最少的花费． 【答案】（1）甲种烟花的进货单价为26元，则乙种烟花的进货单价为元； （2）购进甲种烟花个，则乙种烟花个，花费最少为元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程及一元一次不等式和相应的函数关系式． （1）设甲种烟花的进货单价为x元，则乙种烟花的进货单价为元，由题意列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲种烟花m个，则乙种烟花个，花费为y元，根据题意确定相应的函数关系式和不等式，然后求解，利用一次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：设甲种烟花的进货单价为x元，则乙种烟花的进货单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种烟花的进货单价为26元，则乙种烟花的进货单价为元； 【小问2详解】 设购进甲种烟花m个，则乙种烟花个，花费为y元， 由题意得：， ∵乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍， ∴， 解得：， ∵，则y随m的增大而减小， ∴当时，y最小，最小为元， 则， 答：购进甲种烟花个，则乙种烟花个，花费最少为元． 21. 如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F． （1）求证：； （2）P是上一点，，求； （3）在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵D是的中点， ∴， ∵且为的直径， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由D是的中点得，由垂径定理得，得到，根据同圆中，等弧对等弦即可证明； （2）连接，证明，设的半径为r，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到； （3）过点B作交于点G，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r， 则， 解得，经检验，是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点B作交于点G， ∴ ∵，是的平分线， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． （1）求抛物线的解析式； （2）如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）存在最大值；最大值为 （3）点M的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）把，代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式； （2）先求出点C的坐标为，连接、、，根据轴对称的性质得出，，得出当最大时，最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，求出最大值即可； （3）过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，设点M的坐标为：，得出，，证明，得出，从而得出，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别求出点M的坐标即可． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：存在最大值； 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接、、，如图所示： ∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大， ∴最大值为：． 【小问3详解】 解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， 设点M的坐标为：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 综上分析可知：点M坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $