精品解析：浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高一下学期期初返校考试数学试题

北仑中学2024学年第二学期高一年级期初考试数学试卷 命题：高一数学备课组 审题：高一数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念求解出结果. 【详解】因为，所以， 故选：C. 2. 设命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知， 命题的否定为. 故选：D． 3. “”是“方程有实根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由得到有实数根满足的条件，根据真包含关系得到答案. 【详解】若方程有实根，则，即或． 由于是的真子集， 故“”是“或”的充分不必要条件． 故选：A 4. 已知向量，不平行，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，则. 故选：B 5. 函数的图象为　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分离常数，结合反比例函数的图象可得答案； 【详解】函数y； 可得x， ∵0， ∴y 又x＝3时，y＝0 结合反比例函数的图象，可得x时，函数图象单调性递减； 故选C． 【点睛】本题考查了函数图象变换及函数图像的识别，是基础题． 6. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性可得，，，可得结论. 【详解】因为在上单调递减，又，所以，所以， 因为在上单调递增，又，所以， 因为在上单调递增，又，所以， 所以. 故选：B. 7. 已知a，b为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将代入，利用基本不等式可求最小值. 【详解】由题意，，又a，b为正实数， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 8. 设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角函数的图象，可找到满足条件的所在的区间，解不等式组，可求得结果. 【详解】， 在上恰有两个零点，恰有两个最高点， ， 即， 当时，不符合题意， 当时，不等式组为，不等式无解， 当时, 不等式组为，不等式无解， 当时，，解得， 当时，，不等式无解， 当时，不等式无解. . 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据在上恰有两个零点、两个最高点建立不等式组. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义和基本函数的性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，定义域为，令，因为， 所以此函数为偶函数，由幂函数性质可知函数在区间上单调递减， 所以A正确； 对于B，定义域为，令，因为， 所以此函数为偶函数，因为在上单调递减，所以B正确； 对于C，定义域为，为定义域递减的函数，不具有奇偶性，所以C错误； 对于D，定义域为，令，因为， 所以此函数为偶函数，当时，，因为在上单调递减， 所以D正确. 故选：ABD 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求；对于B，结合选项A中结论，判断得，从而求得的取值范围即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，即可解答. 【详解】对于A，由①，以及， 对等式①两边取平方得，则②，故A正确； 对于B，∵，∴，由②知，，故B正确； 对于C，又，故C错误； 对于D，由方程，解得，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数的值可以为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】令，可得，讨论与图象位置关系求解即可. 【详解】由题意，作出函数的图象如图. 令，则函数，即，即，即. 由题意函数所有零点的乘积为1， 可知的所有解的乘积为1， 而的解可看作函数的图象与直线的交点的横坐标. 结合的图象可知， 当时，函数的图象与直线有2个交点， 不妨设交点横坐标为，则， 且，即，所以，所以，符合题意； 当时，函数的图象与直线有3个交点， 其中只有最左侧交点的横坐标小于等于0， 则的所有解的乘积小于等于0，不合题意； 当时，函数的图象与直线有2个交点， 不妨设交点横坐标为，则， 且，即，所以，所以，符合题意. 综合以上，可知实数的取值范围为， 故选：BD. 【点睛】方法点睛：（1）转化法：利用换元法，令，将函数所有零点的乘积为1，转化为的所有解的乘积为1； （2）数形结合法：作出函数的图象，数形结合，分类讨论解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，的长度分别为4和3，夹角为，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义，即可求解. 【详解】由向量数量积的定义可知，. 故答案为：6 13. 中，若，，，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系得，最后利用正弦定理即可解出. 【详解】因为，为三角形内角，则， 则由正弦定理得，即，解得. 故答案为：. 14. 设为实数，若实数是关于的方程的解，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】将已知等式变为，构造函数，结合其单调性推出，即得，由此可化简求值，即得答案. 【详解】由题意知，得， 即， 设，则在上单调递增， 则由可得， 而实数是关于的方程的解，即， 故， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是能够变形得到，从而结合的单调性推出，即，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合. （1）求集合； （2）设集合，若集合，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式得到或，根据补集和交集概念求出答案； （2）得到为的真子集，且，从而得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ， 等价于，解得或， 故或，， 而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 由是的充分不必要条件，故为的真子集， 又， 故，解得， 故实数a的取值范围是. 16. 在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点． （1）若，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用结合向量的线性运算表示，再借助数量积及运算律求解作答. （2）令，，利用结合向量的线性运算表示，再借助数量积及运算律求解作答. 【小问1详解】 依题意，，，， 而是边的中点，，则， 因此，又，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知：令，，则， ， 则有， 当时，，当时，， 所以的取值范围是. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域. 【答案】（1）最小正周期， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒变换化简可得，再由周期公式以及正弦函数的对称轴方程即可求得结果； （2）求出函数的解析式再由复合函数单调性即可得出其值域. 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期. 令，解得. 所以图象的对称轴方程为. 【小问2详解】 由题知， 则， 令， 则， 当时，；当时，. 综上可知，所求值域为. 18. 已知函数满足，函数． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件构造关于和的方程组，即可求解； （2）首先不等式转化为在上恒成立，再通过换元，并参变分离为，，在上恒成立，转化为求函数的最值问题； （3）根据函数的解析式，并将不等式转化为，并利用换元，转化为二次函数零点分布问题，即可求解. 【小问1详解】 因为①， 则②， 故联立上述方程，解得； 【小问2详解】 由（1）知，， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，所以，而在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 方程等价于， 即，， 令，则方程化为，（）， 因为方程有四个不同的实数解，而t的每个值对应x的值有2个， 所以，（）有两个不同的正根、， 记， 所以，解得， 所以． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 19. 定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数． （1）若，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若是“距”增函数，求的取值范围； （3）若，，其中，且为“2距”增函数，求的最小值． 【答案】（1）是“1距”增函数，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义，作差比较大小即可； （2）根据定义可知恒成立，代入转化为一元二次方程大于零恒成立，利用判别式求解即可； （3）先根据“2距”增函数的定义，利用复合函数单调性分类讨论去绝对值求出的取值范围，再由结合的范围求出的最小值即可. 【小问1详解】 对任意,， 因为，， 所以，即， 所以是 “1距”增函数. 小问2详解】 因为， 又“距”增函数， 所以恒成立， 因为，所以恒成立， 所以，即， 解得. 【小问3详解】 因为，，其中，且为“2距”增函数， 所以当时，恒成立， 因为是增函数， 所以根据复合函数单调性可知对恒成立， 当时，，即恒成立， 只需，即，解得， 当时，，即恒成立， 所以解得， 综上所述， 又， 因为，， 所以当时，在时取得最小值，最小值为， 此时函数的最小值为， 当时，在时取得最小值，最小值为， 此时函数的最小值为， 综上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北仑中学2024学年第二学期高一年级期初考试数学试卷 命题：高一数学备课组 审题：高一数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“方程有实根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，不平行，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 函数的图象为　　 A. B. C. D. 6. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 8. 设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数的值可以为（ ） A B. 2 C. 3 D. 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，长度分别为4和3，夹角为，则的值为______． 13. 在中，若，，，则_________. 14. 设为实数，若实数是关于的方程的解，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合. （1）求集合； （2）设集合，若集合，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16. 在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点． （1）若，求的值； （2）求的取值范围． 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域. 18. 已知函数满足，函数． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若关于x方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围． 19. 定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数． （1）若，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若是“距”增函数，求的取值范围； （3）若，，其中，且为“2距”增函数，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$