精品解析：河南省平顶山市第一中学2024-2025学年高三下学期开学摸底考试数学试题

平顶山一中2024－2025学年（下）高三开学摸底考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得集合，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 2. 复数在复平面内对应点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数形式,由复数的几何意义与复平面内点一一对应即可求解. 【详解】由题意可得, ， 故复数在复平面内对应点为， 因为是第四象限点， 故选：D 3. 已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义，结合数量积的运算律求解即得. 【详解】由向量与的夹角为，得， 由在方向上的投影向量为，得，则， 整理得，所以. 故选：A 4. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角的正余弦的平方关系，以及二倍角的正弦公式可求解. 【详解】. 故选：A. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，排除C，再由当时，排除A，B，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 且所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C； 又由当时，排除A，B; 故选：D． 6. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在该椭圆上，若满足为直角三角形的点共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】数形结合，问题转化成，进而利用的关系求离心率的取值范围. 【详解】如图： 因为使为直角三角形的点有8个，所以在中，必有，即， 所以，即，可得. 又椭圆的离心率，所以. 故选：A 7. 我国古代的数学著作《九章算术》中提到了“仓”“堑堵”“阳马”等几何体，其中“仓”是长方体，“堑堵”是两底面为直角三角形的棱柱，“阳马”是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．在“阳马”中，平面，分别为、、、的中点，、、、分别为、、、的中点，和交于，平面、平面、平面将阳马分割成一个“仓”，2个“堑堵”和2个小“阳马”，那么分割后2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中中点条件得到2个小“阳马”的高度、底面积与“阳马”的高度和底面积的关系，结合棱锥的体积公式得到结果. 【详解】设底面的面积为，高为h（即的长度），则“阳马”的体积为， 因为分别为、、、的中点，分别为、、、的中点， 所以小“阳马”与的底面都是底面积的，高是“阳马”的高的一半， 因此，每个小阳马的体积为：， 两个小阳马的总体积为：2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为. 所以2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为. 故选：C. 8. 设函数，则函数零点的个数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数零点的意义可得，在同一坐标系内作出函数图象，数形结合求出零点个数. 【详解】依题意，，显然，则， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图， 当时，由，得，解得， 当时，由，得，则， 因此当时，函数有3个零点； 当时，， 观察图象知，在区间上，函数各有2个零点， 当时，， 令，， 函数对是递增的，， 因此当时，，当时，， 则当时，函数无零点，所以函数的零点个数为9. 故选：B 【点睛】关键点点睛：利用函数零点的意义，将函数的零点转化为函数的图象交点，并作出图象是求解的关键. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的最小值是 B. 是函数的一个周期 C. 在上单调 D. 将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数性质逐项判断. 【详解】观察的图象知，，最小正周期，解得， 而，则，又，于是，， 对于A，函数的最小值是，A正确； 对于B，是函数的一个周期，B正确； 对于C，当时，，则当时取得最小值， 因此在上不单调，C错误； 对于D，将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数，D正确. 故选：ABD 10. 由直线上一点向圆引两条切线，，，是切点，则（ ） A. 线段长的最小值为 B. 四边形面积的最小值为 C. 的最大值是 D. 当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由切线长公式求切线可知求得的最小值时可得的最小值，从而也得到四边形面积的最小值，利用余弦的二倍角公式得出越大时，越大，从而判断C，设切点坐标，由切点坐标写出切线方程，并代入点坐标后，比较可得过的直线方程，判断D． 【详解】圆标准方程为：，圆心为，半径为， ，， 所以，A正确； ，由选项A知，其最小值为，B正确； ，显然越大，越大，而无最大值，因此无最大值，C错； 因为，可知点在以为直径的圆上， 当点的坐标为时，则的中点为，且， 即点在圆，即上， 将与作差可得， 所以切点弦所在的直线方程，故D正确． 故选：ABD． 11. 双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”.如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. B. 上存在点，使得 C. 上的点的纵坐标的最大值为 D. 若直线与恰有一个公共点，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象所过的定点，即可判断A，根据方程可得，即可判断B，根据方程的转化，变量的转化，利用韦达定理和判别式求得到取值范围，判断C，联立方程后，方程的根只有0，求的取值范围，即可判断D. 【详解】对于A，由图可知，点在上，则，所以，A正确； 对于B，设曲线上任一点， 由，可得，， 即上不存在点，使得，B不正确； 对于C，方程可化为， 令，得， 由，可得， 即，易知等号成立，故上的点的纵坐标的最大值为，C正确； 对于D，直线与均经过原点，则直线与除原点外无其他公共点， 联立方程组，整理得， 当时，方程仅有一解，满足题意， 当时，整理得， 当时，方程恒成立，因为恒有一解， 所以无解，即当时，方程无解， 综上，，解得或，D不正确. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用方程的思想分析几何问题，C选项转化为关于的方程有正根，D转化为方程只有1个根. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，点是上的点，平分面积是面积的3倍，当的面积最大时，__________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用到角公式求出点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，数形结合，得到当在点处时，的面积最大，结合余弦定理和同角的平方关系计算即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则， 由，得，又，所以， 则，设，由角平分线定理可得， 当时，，可得，此时； 当时，直线的斜率分别为， 则，又， 由到角公式得，即， 得， 整理得，即， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆. 所以当在点处时，的面积最大. 此时， 在中，由余弦定理得， 又为锐角，所以. 故答案为： 13. 已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】为偶函数，则，两边求导得到，即，结合，得到，故是以4为周期的周期函数，由，可得，则可求. 【详解】因为为偶函数，则，即， 又因为为偶函数，则. 由，求导得，即， 所以，则， 所以是以4为周期的周期函数. 由，可得，即， 由，得， 所以， 所以. 故答案为：2 【点睛】知识点点睛：设函数，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； 14. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是_______________；为的中点，则三棱锥体积的最小值为______________. 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标表示两点间距离转化后可得轨迹方程，从而得轨迹求得面积，利用空间向量法求得点到平面的距离，并结合平面上圆的性质求得距离的最小值，从而得棱锥体积最小值． 【详解】如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，，，， 在平面内， 设，则由得， 化简得， 所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆，面积为， 在长方体中，，， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， ， 到平面的距离为， 满足， 所以的最小值等于， 从而到平面的距离的最小值为， ∴三棱锥体积的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】方法点睛：在涉及到空间两点间的距离问题时，如果与长方体、正方体有关的图形时，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量法（把平面解析几何法类比于空间解析几何法）求空间的距离、角度．把几何问题用计算方法求解． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为年—年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中年—年对应的代码依次为—. 年份代码 市场规模 ，，，其中 参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. （1）由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）； （2）已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率，现从我国在线直播购物用户中随机抽取人，记这人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差. 【答案】（1）亿人 （2）， 【解析】 【分析】（1）将题中数据代入最小二乘法公式，求出的值，即可得出与的拟合函数关系式，再将代入函数关系式，即可得出结论； （2）由题意可知，，由结合独立重复试验的概率公式可求得的值，然后利用二项分布的期望和方差公式可求得结果. 【小问1详解】 设，则， 因为，，， 所以，， 所以，与的拟合函数关系式为 当时，， 则估计年我国在线直播生活购物用户的规模为亿人. 【小问2详解】 由题意知，所以，， ， 由，可得， 因为，解得， 所以，，. 16. 如图，平面与不等，，四棱锥的体积为为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用锥体的体积求出，再利用平行公理及线面平行的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 取中点，连接，由，得， 由平面，又平面，则， 而平面， 则平面，由，得， 由平面，得，而， 则由四棱锥的体积为， 得，解得， 取中点，连接， 由为的中点，得， 于是四边形为平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 过点在平面内作，则平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 令平面的法向量，则， 取，得， 令平面的法向量，则， 取，得， 平面与平面所成的角为，则， 所以平面与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列中，，. （1）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，设为数列的前n项和，求使恒成立的最小的整数k. 【答案】（1）证明见解析，； （2）4. 【解析】 【分析】（1）利用取倒数后构造数列，结合等比数列定义推理即得，再求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和及数列不等式恒成立求得答案. 【小问1详解】 在数列中，由，得，则， 所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列， 则，解得， 所以的通项公式. 【小问2详解】 由（1）知， ， ， 两式相减得， 因此，由恒成立，得， 所以使恒成立的最小的整数k为4. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意成立，求实数的值； （3）若，求证：． 【答案】（1） （2）2 （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）直接使用导数的几何意义； （2）先由题设条件得到，再证明时条件满足； （3）先确定的单调性，再对分类讨论. 【小问1详解】 由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. 【小问2详解】 设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. 【小问3详解】 先证明一个结论：对，有 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合的单调性进行分类讨论. 19. 已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. （1）若，求； （2）证明：数列是公比为的等比数列； （3）设为的面积，证明：对任意正整数，. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可； （2）思路一：根据等比数列的定义即可验证结论；思路二：利用点差法和合比性质即可证明； （3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路三：利用点差法得到，，再结合（2）中的结论得，最后证明出即可. 【小问1详解】 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. 【小问2详解】 方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 方法二：因为，，，则， 由于，作差得， ，利用合比性质知， 因此是公比为的等比数列. 小问3详解】 方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 方法二：由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 这就得到， 以及 两式相减，即得. 移项得到. 故. 而，. 所以和平行，这就得到，即. 方法三：由于，作差得， 变形得①， 同理可得， 由（2）知是公比为的等比数列，令则②， 同时是公比为的等比数列，则③， 将②③代入①， 即，从而，即. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平顶山一中2024－2025学年（下）高三开学摸底考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应点所在的象限为（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. D. 4. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在该椭圆上，若满足为直角三角形的点共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代的数学著作《九章算术》中提到了“仓”“堑堵”“阳马”等几何体，其中“仓”是长方体，“堑堵”是两底面为直角三角形的棱柱，“阳马”是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．在“阳马”中，平面，分别为、、、的中点，、、、分别为、、、的中点，和交于，平面、平面、平面将阳马分割成一个“仓”，2个“堑堵”和2个小“阳马”，那么分割后2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则函数零点的个数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的最小值是 B. 是函数的一个周期 C. 在上单调 D. 将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 10. 由直线上一点向圆引两条切线，，，是切点，则（ ） A. 线段长的最小值为 B. 四边形面积的最小值为 C. 的最大值是 D. 当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 11. 双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”.如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. B. 上存在点，使得 C. 上的点的纵坐标的最大值为 D. 若直线与恰有一个公共点，则取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，点是上的点，平分面积是面积的3倍，当的面积最大时，__________. 13. 已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则______． 14. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是_______________；为的中点，则三棱锥体积的最小值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为年—年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中年—年对应的代码依次为—. 年份代码 市场规模 ，，，其中 参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. （1）由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）； （2）已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率，现从我国在线直播购物用户中随机抽取人，记这人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差. 16. 如图，平面与不等，，四棱锥的体积为为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角正弦值. 17. 已知数列中，，. （1）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，设为数列前n项和，求使恒成立的最小的整数k. 18 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意成立，求实数的值； （3）若，求证：． 19. 已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. （1）若，求； （2）证明：数列是公比为的等比数列； （3）设为的面积，证明：对任意正整数，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$