1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理(1) 课件 2024～2025学年湘教版数学七年级下册

1.2.3 运用乘法公式进行 计算和推理 22230-22250 能综合运用乘法公式灵活进行计算和推理.（重、难点） 学习目标 22230-22250 我们已经学了哪些乘法公式？ （1）平方差公式： (a + b)2 = (a + b)(a - b) = （2）完全平方公式： a² - 2ab + b² a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - b² 公式中的 a 与 b 既可以是数，也可以是单项式或多项式. 注意 复习导入 22230-22250 3 （ 计算：(x + 1)(x2 + 1)(x - 1). (x + 1)与(x - 1) 如果直接按从左，计算过程很繁琐，而且容易出错. 1.直接按从左至右的运算顺序进行计算好吗？为什么？ 2.有哪两个因式可以凑成平方差公式吗？ 新知探究 22230-22250 =x4 -1. 解：(x +1)(x2 +1)(x -1) = (x +1)(x -1)(x2 +1) = (x2 -1)( x2 +1) 计算：(x + 1)(x2 + 1)(x - 1). 总结 计算时，能用平方差公式的计算的，要用平方差公式，以简化计算过程. 新知探究 22230-22250 例1 运用乘法公式计算： (1)(a + b + c)2； (2)(a – b + c)(a + b – c). 解：(a – b + c)(a + b – c) = [ a – (b – c)][a + (b – c)] = a2 – (b – c)2 = a2 – (b2 – 2bc + c2) = a2 – b2 + 2bc – c2. = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. 解：(a + b + c)2 可以先将式子变形，使其满足乘法公式的特征哟！ 例题讲解 22230-22250 1.选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. 2. 式子变形添括号时注意符号的变化. 方法总结 22230-22250 例2 运用乘法公式计算： (1)(a + b)2 + (a – b)2； (2)(a + b)2 – (a – b)2. (2)(a + b)2 – (a – b)2 = [(a + b) + (a – b)][(a + b) – (a – b)] = 2a · 2b = 4ab. = a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 2a2 +2b2. 解：(1)(a + b)2 + (a – b)2 还有其他方法吗？ 例题讲解 22230-22250 例3 运用乘法公式计算: (x + y)3. 解：(x + y)³ = (x + y)( x + y)² = (x + y)(x² + 2xy + y2) = x³+ 2x²y + xy2 + yx² + 2xy² + y3 = x³ + 3x²y + 3xy² + y³. (2)(a + b)2 – (a – b)2. = a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 4ab. 解：(a + b)2 – (a – b)2 例题讲解 22230-22250 练一练 运用乘法公式计算: (x - y)3. 解：(x - y)³ = (x - y)( x - y)² = (x - y)(x² - 2xy + y2) = x³- 2x²y + xy2 - yx² + 2xy² - y3 = x³ -3x²y + 3xy² - y³. 22230-22250 先填空：(1) 152 = 100×1×___ ＋ 25； (2) 252 = 100×2× ＋ 25； (3) 352 = 100× × ＋ . 由此猜测：十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数可以表示为 ，它的平方可表示为100×___× ＋ . 请证明你的猜测. 2 3 3 4 25 a (a＋1) 25 10a + 5 想一想 22230-22250 证明：十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数是10a + 5. 由完全平方公式 1 得 (10a + 5)² = (10a)² + 2·10a·5 + 5²=100a² + 100a + 25. 又100a(a + 1) + 25 = 100a² + 100a + 25， 于是(10a + 5)² = 100a(a + 1) + 25. 因此，十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数的平方，等于其十位数字 a 与 a + 1 的积的 100 倍，再加上 25. 22230-22250 1.计算(2x-3y+1)(2x+3y-1)的结果是 （ ） A. 4x2 -12xy+9y2-1 B. 4x2 -9y2-6y-1 C. 4x2 +9y2-1 D. 4x2 -9y2+6y-1 解析： (2x-3y+1)(2x+3y-1) =[2x-(3y-1)](2x+3y-1) =(2x )2 -(3y-1)2 =4x2 -(9y2-6y+1) =4x2 -9y2+6y-1. D 随堂练习 22230-22250 2.计算： （1）(2x+3)2(2x-3)2; （2）(x+y-4)(x+y+4). 解：(1)(2x+3)2(2x-3)2=[(2x+3)(2x-3)]2 =(4x2-9)2=16x4-72x2+81. (2)(x+y-4)(x+y+4)=(x+y)2-42 =x2+2xy+y2-16. 随堂练习 22230-22250 3.先化简，再求值： 2b2 + (a + b)(a - b) - (a - b)2，其中 a =-3，b = . 解：原式 = 2b2 + a2 - b2 - a2 + 2ab - b2 = 2ab. 当 a = - 3，b = 时， 原式 = 2×(-3)× = -3. 随堂练习 22230-22250 4.一个正方形花圃的边长增加到原来的2倍还多 1 m，它的面积就增加到原来的4倍还多21 m2， 求这个正方形花圃原来的边长． 解: 设正方形花圃原来的边长为x m. 由数量关系，得 (2x+1)2=4x2+21， 化简， 得4x2+4x+1=4x2+21,解得x=5. 答：这个正方形花圃原来的边长为5 m. 随堂练习 22230-22250 1.运用乘法公式进行计算的一般步骤： (3)灵活运用公式进行求值计算. (2) 有时会结合其它运算法则； (1)先观察式子的特点，选取适当的乘法公式； 2.常见公式：(a + b + c)2= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (x + y)³= x³ + 3x²y + 3xy² + y³ (x - y)³= x³ -3x²y + 3xy² - y³ 课堂小结 22230-22250 $$