精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期期初考试数学试题

东北师大附中2024—2025学年下学期期初考试 高三年级数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）从小到大排列为如下：甲队：7，12，12，20，，31；乙队：8，9，14，，25，28．这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ） A. 2和3 B. 0和2 C. 0和3 D. 2和4 2. 设椭圆的离心率为，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知等差数列为递增数列，为其前项和，，则（ ） A. 516 B. 440 C. 258 D. 220 4. 若表示两条不重合的直线，表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若相交且都在外，，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 设直线被圆所截弦的中点的轨迹为，则曲线与直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 7. 已知，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 将函数的图象向右平移个单位后的图象关于轴对称 C. 函数的一个对称中心为 D. 函数在区间上单调递减 10. 已知边长为2的等边三角形，点均在平面的上方，，且与平面所成角分别为，则下列说法中正确的是（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 面积的最小值为 C. 四面体体积最大值为1 D. 当四面体体积最大时，其外接球的表面积为 11. 已知，且，，是在内的三个不同零点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，若的真子集的个数是1，则正实数的取值范围为______. 13. 在正四面体中，为边的中点，过点作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积，最小的截面面积为，则__________；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为和，则__________． 14. 已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；(其中为自然对数的底数) （2）在（1）的条件下求的单调区间和极小值． 16. 当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访． （1）求选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率； （2）记选取3个科技企业中BAT中的个数为X，求X的分布列与期望． 17. 如图，在三棱柱中，为的中点，为等边三角形，直线与平面所成角大小为. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知，为椭圆C的左右焦点，且抛物线的焦点为，M为椭圆的上顶点，的面积为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，О为坐标原点，且，若椭圆C上存在一点E，使得四边形OAED为平行四边形，求的取值范围. 19. 给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果集合中最小的数，则称集合为一个元规范数集． （1）判断、哪个是规范数集，并说明理由： （2）任取一个元规范数集，记分别为其中最小数与最大数，求证： 注：分别表示数集中的最小数与最大数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师大附中2024—2025学年下学期期初考试 高三年级数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）从小到大排列为如下：甲队：7，12，12，20，，31；乙队：8，9，14，，25，28．这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ） A. 2和3 B. 0和2 C. 0和3 D. 2和4 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数以及平均数的计算公式即可求解. 【详解】甲队的中位数为，故，解得， 乙队的平均数为， 故，解得， 故选：C 2. 设椭圆的离心率为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要性定义，结合椭圆方程，讨论判断充分性，由离心率定义判断必要性，即可得答案. 【详解】当时，则；当时，则； 所以推不出，充分性不成立； 当时，则，必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知等差数列为递增数列，为其前项和，，则（ ） A. 516 B. 440 C. 258 D. 220 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出，再利用前n项和公式求解作答. 【详解】等差数列为递增数列，则，由，得，而， 解得，所以 故选：D 4. 若表示两条不重合的直线，表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若相交且都在外，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】以三棱柱为例可判断A；根据面面平行的判定以及性质可判断B；根据空间的线面位置关系可判断C；根据线面平行判断线线的位置关系可判断D. 【详解】对于A，如图示三棱柱中，右侧面为，后面的侧面为， 满足，且，但相交，A错误； 对于B，相交且都在外，设确定的平面为，即， 因为，故可得，同理， 故，B正确； 对于C，若，则或，C错误； 对于D，若，则可能平行或相交或异面，D错误， 故选：B 5. 如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】分类分步排列即可. 【详解】由题意1和7是不能漏掉的，所以有以下路线： （1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6条， 故选：B. 6. 设直线被圆所截弦的中点的轨迹为，则曲线与直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线恒过定点，由圆的性质可得，进而可得点的轨迹是一个以为直径的圆，求出该圆的方程，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】由可得，所以该直线恒过定点， 由圆的性质可得：，所以中点的轨迹是以为直径的圆（去除O点）， 所以圆心为，半径为，所以点的轨迹方程为：， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系是相交． 故选：A 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由已知条件求出的值，再利用三角函数恒等变换公式求出的值，然后对利用两角和的正弦公式化简计算即可 【详解】由，得， 所以， ， 所以 ， 故选：A 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值． 【详解】如下图所示，双曲线的右焦点，渐近线的方程为， 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，， 在中，，，， ， 由余弦定理得， 化简得，，即，因此，双曲线的离心率为， 故选：C． 【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法： ①直接求出、，可计算出离心率； ②构造、的齐次方程，求出离心率； ③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 将函数的图象向右平移个单位后的图象关于轴对称 C. 函数的一个对称中心为 D. 函数在区间上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】由辅助角公式得，由正弦型函数性质求最小正周期、代入判断对称中心、整体法判断区间单调性，根据图象平移写出解析式判断奇偶性，即可知各项正误. 【详解】，最小正周期，A对； ，显然不关于轴对称，B错； ，故的一个对称中心为，C错； 由上，，根据正弦型函数性质知：递减， 所以在区间上单调递减，D对. 故选：AD 10. 已知边长为2等边三角形，点均在平面的上方，，且与平面所成角分别为，则下列说法中正确的是（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 面积的最小值为 C. 四面体体积的最大值为1 D. 当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由三棱锥体积公式计算即可判断A项，由三角形面积公式及范围计算即可判断B项，当取最大值且面时四面体体积取得最大值即可判断C项，当四面体体积最大时，，，两两垂直，进而借助模型（长方体外接球直径为其体对角线长）即可求得半径，进而可求得外接球表面积即可判断D项. 【详解】由题意知，与是共轴的圆锥母线，如图所示， 对于A项，由题意知， 因为且与平面所成角为， 所以点到平面的距离为定值， 所以四面体ABCM的体积为定值，故A项错误； 对于B项，与是共轴的圆锥母线，所以，即， 当时，的面积最小，最小值为，故B项正确； 对于C项，当时，的面积最大，最大值为， 当所在平面旋转至与垂直时，四面体ABMN的高最长，最长值为2， 所以体积的最大值为，故C项正确； 对于D项，当四面体体积最大时，线段，，两两垂直， 所以其外接球直径， 所以外接球的表面积为，故D项正确． 故选：BCD． 11. 已知，且，，是在内的三个不同零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意结合正弦函数的图像性质，解出，，，即可判断选项A、B，将根据诱导公式化为，分子分母同乘，结合倍角公式即可判断C，将分子分母同乘，结合积化和差公式进行化简即可判断D. 【详解】由题知，，是的三个根， 可化为，即， 所以可得或，， 解得或，， 因为，所以或或， 故可取，，， 所以选项A错误； 因，所以选项B正确； ， 故选项C正确； 而 ， 根据积化和差公式：， 所以原式可化为： ，故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有： （1）利用诱导公式将角化为关系比较接近的； （2）遇见的形式，分子分母同乘，再用倍角公式化简； （3）积化和差公式：，，，. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，若的真子集的个数是1，则正实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分和讨论即可. 【详解】，则，解得， 若的真子集的个数是1，则中只含有一个元素， 因为为正实数，则，， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 13. 在正四面体中，为边的中点，过点作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积，最小的截面面积为，则__________；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为和，则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将正四面体放置于正方体中，则正方体的外接球就是正四面体的外接球．由外接球的直径等于正方体的对角线长，求出外接球的半径，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值T、最大值S，可得；用等体积法求出正四面体内切球的半径，进而得出其体积，再求出外接球的体积，即可得出． 【详解】将正四面体放置于正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是正四面体的外接球，外接球的球心O为正方体的体对角线DF的中点， 设正四面体的棱长为，则正方体的棱长为， 因为外接球的直径等于正方体的对角线长， 所以外接球的半径为， E为BC边的中点，过E作该正四面体外接球的截面， 当截面过球心O时，截面面积最大，最大值为， 当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积取最小值， 此时球心O到截面的距离为，可得截面圆的半径为， 从而截面面积的最小值为．所以； 设正四面体内切球的球心为G，半径为， 取底面BCD的中心H，连接AH，则AH为正四面体的高，G在AH上，H在DE上， 正四面体的每个面的面积为， ，正四面体的高， 故正四面体体积为， 连接G与正四面体的4个顶点可以得到4个的正三棱锥，每个正三棱锥体积为，则， 所以，求得， 故正四面体内切球的体积， 正四面体外接球的半径为，外接球的体积为， ． 故答案为：；27． 14. 已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义得到，然后将经过且与曲线相切的直线有三条转化为与的图象有三个交点，求导，利用函数单调性画出大致图象，然后列不等式求解. 【详解】，设切点坐标为，切线斜率为， 当时，明显只有一条切线，故 ， 则，整理得， 经过且与曲线相切的直线有三条，即方程有三个解，即与的图象有三个交点， ，当或时，，所以在，上单调递增，当时，，所以在上单调递减， 因为，所以，又，，所以的大致图象如下： 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；(其中为自然对数的底数) （2）在（1）的条件下求的单调区间和极小值． 【答案】（1） （2）的单调减区间是，单调增区间是，极小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得切线的斜率为0，然后利用即可求解； （2）讨论的正负即可得到函数的单调区间，继而得到极小值 【小问1详解】 由可得， 因为在点处的切线与垂直， 所以此切线的斜率为0，即，解得； 【小问2详解】 由（1）可得， 由得，由得， 所以的单调减区间是，单调增区间是， 所以当时，取得极小值 16. 当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访． （1）求选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率； （2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X，求X的分布列与期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）分两种情况求出概率，相加得到答案； （2）求出X的所有取值及对应的概率，得到分布列和期望值. 【小问1详解】 选取的3个科技企业中，BAT中有2个的概率为， BAT中有3个的概率为， 故选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率为． 【小问2详解】 由题意，X的所有取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． 17. 如图，在三棱柱中，为的中点，为等边三角形，直线与平面所成角大小为. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证得平面，从而得到在平面的射影在直线上，即，进而证得，再利用线面垂直的判定定理证得平面，则，接着利用勾股定理证得，由此可得平面； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，先求得所需各点坐标，再求得平面与平面的法向量，从而利用向量夹角余弦的坐标表示即可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 取中点，连接､， 因为，为中点，所以，故， 因为为等边三角形，所以， 又因为，面， 因此平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面平面， 所以直线在平面的射影在直线上，所以直线与平面所成角为，则， 因为，，所以是正三角形，则， 因为为等边三角形，，则， 所以在中，由，得， 则，所以， 因为，面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，在中，，，所以，又， 所以，即， 又平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）可知､､两两垂直，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由于是的中点，易得， 又由可得， 所以，， 设平面的法向量为，则，即， 令，得， 设平面的法向量为，则，即， 令，得， 设平面与平面的夹角为，易知， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知，为椭圆C的左右焦点，且抛物线的焦点为，M为椭圆的上顶点，的面积为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，О为坐标原点，且，若椭圆C上存在一点E，使得四边形OAED为平行四边形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再结合△的面积为，可建立关于，，的方程组，解出即可； （2）设,，,，则,，结合四边形为平行四边形，可得，，设直线，联立直线和椭圆方程，得到两根之和与两根之积，进而可得，从而得解． 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 设椭圆的标准方程为， 则，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 显然直线的斜率存在，设直线， 设,，,，则,， 四边形为平行四边形， ，,， 点，，均在椭圆上， ，，， ， ， ．， 由，消去得，， 显然， ，， ， ， ,． 19. 给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果集合中最小的数，则称集合为一个元规范数集． （1）判断、哪个是规范数集，并说明理由： （2）任取一个元规范数集，记分别为其中最小数与最大数，求证： 注：分别表示数集中的最小数与最大数． 【答案】（1）集合不是，集合是，理由见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算，根据规范集的定义即可求解， （2）根据规范集的定义可知，使得，当时，即可，当时，当时，，结合迭代求解. 【小问1详解】 对于集合：因为，所以集合不是规范数集； 对于集合：因为， 又， 所以相伴数集，即，故集合是规范数集． 【小问2详解】 不妨设集合中的元素为，即， 因为为规范数集，则，则，且， 使得，当时， 则．当且仅当且时，等号成立； 当时，则 ，当且仅当且时，等号成立： 当时，则 ， 当且仅当时，等号成立； 综上所述：． 【点睛】方法点睛：对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $