2025年九年级中考数学一轮复习考点过关练 第17讲 全等三角形的性质与判定应用

第17讲 全等三角形的性质与判定应用 考点1 平移型全等 4 考点2 轴对称型全等 5 考点3 旋转型全等 6 考点4 倍长中线构造全等应用 8 考点5 截长补短构造全等的应用 9 一、全等的概念与性质 全等图形 （1）能够完全重合的两个图形就是全等图形（2）平移、旋转、对称前后的图形是一组全等图形 四边形四边形 全等多边形 （1）相互重合的顶点为对应点，相互重合的边为对应边，相互重合的角为对应角 （2）对应边、对应角分别相等 全等三角形 的性质 （1）对应边相等 （2）对应角相等 （3）对应边上的高相等 （4）周长、面积相等 二、全等三角形的判定方法 边边边定理（SSS） 三边对应相等的两个三角形全等 即：如果， 那么△ABC≌△DEF（SSS） 边角边定理（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 即：如果 ， 那么△ABC≌△DEF（SAS） 角边角定理（ASA） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 即：如果 ， 那么△ABC≌△DEF（ASA） 角角边定理（AAS） 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 即：如果， 那么△ABC≌△DEF（AAS） 斜边、直角边定理(HL) 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 即：如果，或 那么Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) 三、全等三角形的作图及应用 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段，，．如下图． 求作：，使，， 作法 （1）作一条线段； （2）以B为顶点，以BC为一边，作 角； （3）在射线BD上截取线段； （4）连接AC．△ABC就是所求作的 三角形． 四、全等三角形辅助线的常见作法 1、中点类辅助线作法 倍长中线 已知：是底边的中线 2、角平分线类辅助线作法 两垂直 一对称 一平行 （1）由角平分线上的一点向角的两边作垂线； （2）过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形； （3），这种对称的图形应用得也较为普遍 （4）过角平分线上一点P，作PD∥OB，则为等腰三角形 3、截长补短类辅助线作法 截长（将最长线段一分为二） 四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD， BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180° 证：在BC上截取AB=A’B， 则可证 将较短线段延长，使其与最长线段相等） △ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2， 求证：AB =AC+CD 证：延长AC至点E，使CE=CD， 则可证 4、其他类辅助线作法 连接已有点 如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF 证：连接AD，可证 ， AD为∠EAF的角平分线 作垂直(常见于出现特殊角度时) 等腰直角△ABC中， AD＝AC，求证：CD＝2BE 证：作AH⊥CD于H， 可证△CBE≌△ACH（AAS） 延长已知线段 已知， AB∥CF若AE平分∠BAD，DE平分∠ADF，求证：AD＝AB－CD 证：延长DE交AB于N，可证△ADE≌△ANE（ASA），△CDE≌△BNE（AAS） 考点1 平移型全等 1．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为 ．    2．如图，已知，点在同一条直线上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 3．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数 4．（2024·云南昆明·一模）如图，已知，，，且点，、、在同一条直线上．求证：．    考点2 轴对称型全等 5．如图，若，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，把沿着过点A的某条直线折叠，使点B落在x轴负半轴上的点D处，折痕与y轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)求点C的坐标． 7．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，的延长线于点，的延长线于点．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 8．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点于点，若的周长为12，则的周长为4，则为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 考点3 旋转型全等 9．（2024·江苏淮安·一模）如图，，，，与交于点，与交于点，求证：． 10．（2024·广东汕头·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接． (1)求证：； (2)直接写出和的位置关系． 11．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，，．点D在上，且．连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，分别连接，．则的面积为（    ）． A．3 B． C． D． 12．（2024·山东菏泽·三模）如图，中，，，点D在边上，交于点F，若，则的度数是 ． 13．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 考点4 倍长中线构造全等应用 14．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 15．如图所示，与均为直角三角形，且，，，E是的中点，则的长为（    ） A． B．3 C． D．5 16．如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．    17．【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题． (1)由已知和作图能得到的理由是____________． A．        B．        C．        D． (2)探究得出的取值范围___________． A．        B．        C．        D． 【问题解决】 (3)如图2，在中，，，是的中线，求证：． 考点5 截长补短构造全等的应用 18．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ． 20．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 真题过关检测 一、单选题 1．（2024�安徽�中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024�四川遂宁�中考真题）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．（2024�北京�中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 二、填空题 4．（2024�黑龙江牡丹江�中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 5．（2024�北京�中考真题）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为 ． 6．（2024�四川成都�中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 7．（2024�重庆�中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 三、解答题 8．（2024�江苏盐城�中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 9．（2024�四川内江�中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 10．（2024�四川广安�中考真题）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE． 11．（2024�江苏苏州�中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（2024�云南�中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 13．（2024�四川南充�中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 14．（2024�山东烟台�中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 全等三角形的性质与判定应用 考点1 平移型全等 4 考点2 轴对称型全等 7 考点3 旋转型全等 10 考点4 倍长中线构造全等应用 16 考点5 截长补短构造全等的应用 22 一、全等的概念与性质 全等图形 （1）能够完全重合的两个图形就是全等图形（2）平移、旋转、对称前后的图形是一组全等图形 四边形四边形 全等多边形 （1）相互重合的顶点为对应点，相互重合的边为对应边，相互重合的角为对应角 （2）对应边、对应角分别相等 全等三角形 的性质 （1）对应边相等 （2）对应角相等 （3）对应边上的高相等 （4）周长、面积相等 二、全等三角形的判定方法 边边边定理（SSS） 三边对应相等的两个三角形全等 即：如果， 那么△ABC≌△DEF（SSS） 边角边定理（SAS） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 即：如果 ， 那么△ABC≌△DEF（SAS） 角边角定理（ASA） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 即：如果 ， 那么△ABC≌△DEF（ASA） 角角边定理（AAS） 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 即：如果， 那么△ABC≌△DEF（AAS） 斜边、直角边定理(HL) 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 即：如果，或 那么Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) 三、全等三角形的作图及应用 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段，，．如下图． 求作：，使，， 作法 （1）作一条线段； （2）以B为顶点，以BC为一边，作 角； （3）在射线BD上截取线段； （4）连接AC．△ABC就是所求作的 三角形． 四、全等三角形辅助线的常见作法 1、中点类辅助线作法 倍长中线 已知：是底边的中线 2、角平分线类辅助线作法 两垂直 一对称 一平行 （1）由角平分线上的一点向角的两边作垂线； （2）过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形； （3），这种对称的图形应用得也较为普遍 （4）过角平分线上一点P，作PD∥OB，则为等腰三角形 3、截长补短类辅助线作法 截长（将最长线段一分为二） 四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD， BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180° 证：在BC上截取AB=A’B， 则可证 将较短线段延长，使其与最长线段相等） △ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2， 求证：AB =AC+CD 证：延长AC至点E，使CE=CD， 则可证 4、其他类辅助线作法 连接已有点 如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF 证：连接AD，可证 ， AD为∠EAF的角平分线 作垂直(常见于出现特殊角度时) 等腰直角△ABC中， AD＝AC，求证：CD＝2BE 证：作AH⊥CD于H， 可证△CBE≌△ACH（AAS） 延长已知线段 已知， AB∥CF若AE平分∠BAD，DE平分∠ADF，求证：AD＝AB－CD 证：延长DE交AB于N，可证△ADE≌△ANE（ASA），△CDE≌△BNE（AAS） 考点1 平移型全等 1．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为 ．    【答案】48 【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键． 根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， ， ， ， 故答案为48 2．如图，已知，点在同一条直线上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并准确识图准确找出对应边是解题的关键． （1）由三角形外角性质求得，然后由全等三角形的对应角相等来求的度数； （2）根据全等三角形对应边相等可得，然后根据计算即可得解． 【详解】（1）解：，， ． ， ； （2）解：，， ， ， ． 3．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）根据，可得出，即可判定； （2）首先根据（1）中两三角形全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ． （2）解：，，， ， ． 4．（2024·云南昆明·一模）如图，已知，，，且点，、、在同一条直线上．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质；首先利用平行线的性质，再证明，即可证明． 【详解】证明：， ， ， ， 即， 又， ， ． 考点2 轴对称型全等 5．如图，若，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴, 故选A． 6．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，把沿着过点A的某条直线折叠，使点B落在x轴负半轴上的点D处，折痕与y轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 【分析】（1）直接利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）由折叠的性质可知，．可得，．求解，可得．设，则．再结合勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 将点，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：由折叠的性质可知，． ∴，． ∵，， ∴，． 在中，根据勾股定理，得， ∴． ∴ 设，则． 在中，根据勾股定理，， ∴， 解得， ∴． ∴点C的坐标为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理的应用，全等三角形的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 7．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，的延长线于点，的延长线于点．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理； （1）由可证； （2）结合（1）由勾股定理可求BE的长． 【详解】（1）， ， 又，， ， 在和， ， ； （2）由（1）知：， ， ， ． 8．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点于点，若的周长为12，则的周长为4，则为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可得，，证得，可得，再根据三角形周长可得，即可求解． 【详解】解：∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵ 的周长为 4 ， 的周长为12， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 考点3 旋转型全等 9．（2024·江苏淮安·一模）如图，，，，与交于点，与交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明，即可解决问题． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 10．（2024·广东汕头·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接． (1)求证：； (2)直接写出和的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，证明是解答本题的关键． （1）先证明，然后根据即可证明； （2）延长交于点F，交于点N，由全等三角形的性质得，由可证，进而可证结论成立． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）延长交于点F，交于点N ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 11．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，，．点D在上，且．连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，分别连接，．则的面积为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质．根据旋转得到，然后得到，，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由，，，， 可得，，， 由旋转可知， 所以，， 所以， 所以． 12．（2024·山东菏泽·三模）如图，中，，，点D在边上，交于点F，若，则的度数是 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的利用全等三角形的性质解决问题是关键．由题意可得，进而可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；理由见解析 (3)；理由见解析 【分析】（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证E，B，C三线共线．再证，进而证明，推出，可得． （2）在上取，连接．依次证明，，可得． （3）将绕点A逆时针旋转得，先证E，D，C三点共线，由（1）同理可得，进而可得． 【详解】（1）解：．理由如下： 由旋转的性质，可知，，，， ∴， ∴E，B，C三线共线． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 如图，在上取，连接． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，将绕点A逆时针旋转得， ∴． ∵， ∴， ∴E，D，C三点共线． 由（1）同理可得， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用“半角模型”，正确作出辅助线是解题的关键． 考点4 倍长中线构造全等应用 14．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【详解】解：延长到，使，连接，   点D是的边上的中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故选：A． 15．如图所示，与均为直角三角形，且，，，E是的中点，则的长为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．延长交的延长线于点，先证和全等，得出，，于是求出的长，在中利用勾股定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ， ∴， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，则， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， 故选：C． 16．如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，延长到点G，使，连接，证明，推出，结合证明，进而得出，即可证明． 【详解】证明：延长到点G，使，连接，    ∵为中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题． (1)由已知和作图能得到的理由是____________． A．        B．        C．        D． (2)探究得出的取值范围___________． A．        B．        C．        D． 【问题解决】 (3)如图2，在中，，，是的中线，求证：． 【答案】(1)B (2)C (3)见解析 【分析】（1）根据，，推出和全等即可，据此即可判定； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到F，使，连接，证明， 得出，，证明，得出，证明即可． 【详解】（1）解：是中线， ， 在与中， ， 故选：B； （2）解：由知：， ，， 由三角形三边之间的关系可得：， 即， 解得：， 故选：C； （3）证明：延长到F，使，连接，如图所示： 是中线， ， 在与中， ， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，平行线的判断和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和定理． 考点5 截长补短构造全等的应用 18．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 19．如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ． 【答案】见解析 【分析】延长至点，使得，连接，根据同角的补角相等得，根据证明，则，进而证明，根据证明，得到，则． 【详解】证明：延长至点，使得，连接， 四边形中，，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 20．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 真题过关检测 一、单选题 1．（2024�安徽�中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论． 【详解】解：A、连接，    ∵，，， ∴， ∴     又∵点F为的中点 ∴，故不符合题意； B、连接，    ∵，，， ∴， ∴， 又∵点F为的中点， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； C、连接，    ∵点F为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； D、，无法得出题干结论，符合题意； 故选：D． 2．（2024�四川遂宁�中考真题）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，， 在中，， 在中，， 在中， 综上所述，共有4对“伪全等三角形”， 故选：D． 3．（2024�北京�中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 二、填空题 4．（2024�黑龙江牡丹江�中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 5．（2024�北京�中考真题）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，得，，得到，结合，得到,，，求得的长，解答即可. 本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键. 【详解】解：根据正方形的性质，得，， ∴， ∵， ∴, ， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：． 6．（2024�四川成都�中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 7．（2024�重庆�中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 三、解答题 8．（2024�江苏盐城�中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 9．（2024�四川内江�中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【详解】（1）证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 10．（2024�四川广安�中考真题）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，再由BE=BF，可推出AE=CF，即可利用SAS证明△ADE≌△CDF得到DE=DF，则∠DEF=∠DFE． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C， ∵BE=BF， ∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴DE=DF， ∴∠DEF=∠DFE． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质． 11．（2024�江苏苏州�中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解：，， ． 又， ，． ， ， ． 12．（2024�云南�中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ． 13．（2024�四川南充�中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 【详解】（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 14．（2024�山东烟台�中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）补全图形如图： ，理由如下： 过点作交于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴． 当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：或 2 学科网（北京）股份有限公司 $$