精品解析：河南省郑州市中牟县第一高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024——2025学年高二下学期第一次月考 数学试题 一、单项选择题（8小题，每题5分，共40分） 1. 下列函数的求导不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的求导公式及导数的四则运算对四个选项一一判断. 【详解】对于A：由幂函数的导数公式得：.故A正确； 对于B：由导数的四则运算得：.故B正确； 对于C：因为常值函数的导数为0，所以.故C错误； 对于D：由导数的四则运算得：.故D正确. 故选：C. 2. 如图，已知函数的图象在点处的切线为1，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，求出切线斜率和切点坐标，即可计算. 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，， 切线方程为，则切点坐标为，有， 所以. 故选：C. 3. 函数的极值点为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，找到导数为的根，再检验导数为的根两侧导数的符号即可得出结论. 【详解】由题意得：， 令，解得或， 又由于时，，函数为减函数， 时，，函数为减函数， 时，，函数为增函数， 故是函数的极值点， 故选：B. 【点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同． (2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 4. 设函数存在导函数，且满足，则曲线在点处切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义及已知条件求，即可确定处切线的斜率. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 5. 已知点在曲线上，点在直线上，则的最小值为　　 A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切点坐标，求点到直线的距离的最小值等价于求切点到直线的距离，最后利用点到直线的距离公式进行求值． 【详解】函数的定义域为，， 令，可得，（舍去） 所以切点为，它到直线的距离． 即点到直线的距离的最小值为． 则的最小值为． 故选． 【点睛】本题考查利用导数的几何意义研究曲线上某点的切线方程，以及点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要做到脑中有图的解题思想，并会对问题进行等价转化. 6. 已知直线与曲线相切，则实数a的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设切点，利用导数的几何意义计算即可. 【详解】设切点为，易知，则，解之得， 故选：A 7. 已知是定义在上的偶函数，是的导函数；当时，有恒成立，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据是定义在上的偶函数，易得在上也是偶函数，再根据时，，得到在上单调递减，在上单调递增，然后结合，利用其单调性求解. 【详解】令， 因为是定义在上的偶函数， 则， 所以在上也是偶函数. 又因当时， 有， 则对成立， 所以在上单调递减； 由偶函数性质得在上单调递增， 且. 当时，由，得， 即， 解得； 当时，由，得， 即， 解得. 综上所述，不等式的解集是 故选：B 8. 已知则（ ） A. c>a>b B. a>c>b C. b>c>a D. a>b>c 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数利用导数讨论单调性即可判断的大小关系，构造函数利用导数讨论单调性即可判断的大小关系，即可求解. 【详解】令，则， 设恒成立， 所以在单调递增，所以， 即在时恒成立， 所以单调递增， 则， 即，故， 令， ， 因为，， 所以在恒成立， 所以在单调递增，所以， 所以，即， 即，所以， 所以， 故选:A. 二、多项选择题（3小题，每题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 设函数，若，则 C. 已知函数，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，利用求导公式计算即可；B选项，求导后解方程，求出；C选项，求导后代入，得到答案；D选项，求导后代入，解方程，求出答案. 【详解】对于选项A， ,故选项A不正确； 对于选项B, ,则 ,解得 ,故选项B正确； 对于选项C, ,则 ,故选项C不正确； 对于选项D， ，则 ,解得 ，故选项D正确. 故选：BD. 10. 已知，下列说法正确是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 单调递减区间为 C. 的极小值为 D. 方程有两个不同的解 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解；对于B，求导后，由导数小于零求解；对于C，求导后求极值；对于D，函数与的交点个数判断. 【详解】对于A，由，得， 所以， ，所以在处的切线方程为，故A正确； 对于B，由，得，解得， 所以的单调递减区间为，故B正确； 对于C，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，故C错误； 对于D，由C选项可知的最大值为， 当时，，当时，， 所以函数与的图像的交点个数为1，即有1个解，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用导数分析得的图像，从而得解. 11. 已知函数有极值点，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则有且仅有一个极值点 C. 若有两个极值点，则 D. 若是的极大值点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数导数，结合由题意可得有两个不相等的正根或一正一负根，即可判断A；由，判断两根的情况，判断B，由有两个极值点，可得有两个不相等的正根，即可判断出，判断C；由是的极大值点判断为较小的正根，即可判断D. 【详解】函数，定义域为，则， 因为函数有极值点， 故有两个不相等的正根或一正一负根，均有，A错误； 若，则满足，设两根为，则， 即有一正一负根，即由一个变号零点， 此时有且仅有一个极值点，B正确； 若有两个极值点，则需有两个不相等的正根， 即需满足，且，则，C正确； 若是的极大值点，则是的一个根，则， 且另一个根为a，此时需满足，且， 且为较小的正根，即，D正确， 故选：BCD 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 函数的极小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】求导，判断函数的单调性求出极值. 【详解】由，， 令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，取得极小值，且极小值为， 故答案为：. 13. 已知函数是奇函数，当时，，则函数在处的切线方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出切线的斜率，再求出切线的方程. 【详解】当时，，所以， 因为函数是奇函数，所以对称点处的导数相同， 所以， 所以切线的斜率为0， 又因， 所以切线方程为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：曲线在点处的切线方程为，这个结论要理解记住并熟练利用. 14. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】通过分离参数得，研究函数的单调性，极值点，零点，从而得到其大致图像，则得到的范围，解出即可. 【详解】当时，此时，显然无零点. 当时，得， 令，，分别令，， 前者解得，，后者解得或， 故在，递减，递增. 故的极小值为，极大值为， 令，显然分母，则分子，，则有唯一零点0， 作出大致图像如图所示： 所以，解得实数的取值范围是. 故答案：. 四、解答题（5小题，77分） 15. 已知函数，当时，取得极值． （1）求的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3）最大值为1，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据极值定义和函数值，求得的值，从而得到解析式； （2）利用导函数的正负，解出的范围，从而得到函数的单调性； （3）根据在区间上单调性，求得最值即可. 【小问1详解】 依题意可得， 又当时，取得极值， 所以，即，解得， 所以. 此时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以在单调递增，在单调递减. 所以时，取得极小值，极小值为，符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，. 令，解得或；令，解得. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 【小问3详解】 由（2）可知在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以在区间最大值为1， 因为，所以在区间最小值为. 所以在区间上的最大值为1，最小值为. 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在上是单调增函数，求实数取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域以及导数，结合定义域，讨论和情况下，导数的正负，即可得到的单调性； （2）求出，则在上是单调增函数等价于在上恒成立，分离参数，即在恒成立，令， 利用导数求出函数在上的最大值，即可得到实数的取值范围 【详解】（1）函数，则函数的定义域为． ①当时，故函数在上单调递增； ②当时，在有故在单调递减； 在有故在上单调递增． 综上所述：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上为单调递减，在上为单调递减增 （2）由，得． 若函数 为上的单调增函数，则在上恒成立， 即不等式在上恒成立．也即在上恒成立． 令，则 ． 当时，， 在上为减函数，则 所以，即的取值范围为． 【点睛】本题考查函数单调性与导数的关系，通过导数求单调性以及最值，考查学生转化思想和计算能力，属于中档题． 17. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若对任意，都有，求的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为，无单调减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数符号判断的单调区间； （2）构建，分析可知在单调递增，求导整理可得，利用基本不等式运算求解. 【小问1详解】 当时，， 可知的定义域为，且， 所以的单调增区间为，无单调减区间． 【小问2详解】 因为， 则，即， 设函数，可知在单调递增． 且， 则在恒成立．即，可得， 又因为，当且仅当时等号成立， 可得，即． 所以的取值范围是． 18. 已知. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）求证：； （3）若在恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程； （2）当时，利用导数求得，即可证得结论成立； （3）分析可知对任意的，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证对任意的能否恒成立，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，，则， 则，， 所以，函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 解：当时，，该函数的定义域为， 则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，即. 【小问3详解】 解：，则，且， 由题意可知，对任意的，. 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，所以，. ①当时，即当时，， 此时函数在上单调递增， 故当时，，合乎题意； ②当时，即当时，由可得，即， 此时， 解得，，则， 由韦达定理可得，必有， 当时，，此时函数单调递减，则，不合乎题意 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19. 已知函数在点处的切线斜率为0． （1）求a的值； （2）求在上的最大值； （3）设，证明：对任意都有． 【答案】（1）；（2）时， ；时，；时，；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数的几何意义能求出； （2），利用导数性质能求出在，上的最大值； （3），设，，其中，，，，设，则，利用导数性质能证明对任意，都有． 【详解】（1）， 是的一个极值点，， ． （2）由（1）知， 时，，时，， 在上单调递增，在，上单调递减， 当，即时，在，上递增， ， 当，即时，． 当，即时，. （3）， 设，， 其中，，， ， 设，则， ，即在上是增函数． ． 又，由，得，由，得0，， 在上递减，在，上递增， ， ， 对任意，都有． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于第3问，第3问的关键在于求出和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024——2025学年高二下学期第一次月考 数学试题 一、单项选择题（8小题，每题5分，共40分） 1. 下列函数的求导不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知函数的图象在点处的切线为1，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 3. 函数极值点为（ ） A. B. C. 或 D. 4. 设函数存在导函数，且满足，则曲线在点处切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在曲线上，点在直线上，则的最小值为　　 A. B. 1 C. D. 6. 已知直线与曲线相切，则实数a的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 7. 已知是定义在上的偶函数，是的导函数；当时，有恒成立，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知则（ ） A. c>a>b B. a>c>b C. b>c>a D. a>b>c 二、多项选择题（3小题，每题6分，共18分） 9. 下列命题正确是（ ） A. 若，则 B. 设函数，若，则 C. 已知函数，则 D. 设函数的导函数为，且，则 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 单调递减区间为 C. 极小值为 D. 方程有两个不同的解 11. 已知函数有极值点，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则有且仅有一个极值点 C. 若有两个极值点，则 D. 若是的极大值点，则 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 函数的极小值为_____． 13. 已知函数是奇函数，当时，，则函数在处的切线方程为_____． 14. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是___________. 四、解答题（5小题，77分） 15. 已知函数，当时，取得极值． （1）求的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）求在区间上的最值． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在上是单调增函数，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若对任意，都有，求的取值范围． 18 已知. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）求证：； （3）若在恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数在点处的切线斜率为0． （1）求a值； （2）求在上的最大值； （3）设，证明：对任意都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$