第一篇 专题一 微专题 常用构造函数的几种方法-【衡中学案】2025年高考数学二轮总复习学案

微专题　 常用构造函数的几种方法 ●wmx4 近几年高考客观题中的 压轴题多以导数为工具 来解决，这类问题具有 结构独特、技巧性高、综 合性强等特点，而构造 函数是解决导数问题的 基本方法．构造函数的 规律方法归类总结 如下． ●5678 构造函数的基本规律 （１）对于ｘｆ ′（ｘ）＋ ｆ（ｘ） ＞ ０（＜ ０），构造ｇ（ｘ） ＝ ｘｆ（ｘ）． （２）对于ｘｆ ′（ｘ）＋ ｋｆ（ｘ）＞ ０（＜ ０），构造 ｇ（ｘ）＝ ｘｋｆ（ｘ）． （３）对于ｘｆ ′（ｘ）－ ｆ（ｘ） ＞ ０（＜ ０），构造ｇ（ｘ） ＝ ｆ（ｘ）ｘ ． （４）对于ｆ ′（ｘ）＋ ｆ（ｘ） ＞ ０（＜ ０），构造函数 ｇ（ｘ）＝ ｅｘ ｆ（ｘ）． （５）对于ｆ ′（ｘ）－ ｆ（ｘ） ＞ ０（＜ ０），构造ｇ（ｘ） ＝ ｆ（ｘ） ｅｘ ． （６）对于ｆ ′ （ｘ） ＝ ｆ ′（ｘ）ｓｉｎ ｘ ＋ ｆ（ｘ）ｃｏｓ ｘ， 构造Ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）ｓｉｎ ｘ． （７）对于ｆ ′ （ｘ） ＝ ｆ ′（ｘ）ｃｏｓ ｘ － ｆ（ｘ）ｓｉｎ ｘ， 构造Ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）ｃｏｓ ｘ． ●5678 与ｅｘ 和ｌｎ ｘ相关的常 见同构模型 （１）ａｅａ≤ｂｌｎ ｂｅａ ｌｎ ｅａ ≤ｂｌｎ ｂ，构造ｆ（ｘ）＝ ｘｌｎ ｘ（或ａｅａ≤ ｂｌｎ ｂ ａｅａ≤（ｌｎ ｂ）ｅｌｎ ｂ，构造 ｇ（ｘ）＝ ｘｅｘ）． （２）ｅ ａ ａ ＜ ｂ ｌｎ ｂ ｅａ ｌｎ ｅａ ＜ ｂｌｎ ｂ， 构造ｆ（ｘ）＝ ｘｌｎ ｘ， 或ｅ ａ ａ ＜ ｂ ｌｎ ｂ ｅａ ａ ＜ ｅｌｎ ｂ ｌｎ ｂ( )， 构造ｇ（ｘ）＝ ｅ ｘ ( )ｘ ． *012 my#$z{|}%&~€ ●1234 　 　 根据所给代数式（等式、不等式）中数学运算的相同点或结构形式的相同点，构 造具体的函数解析式，利用导数研究该函数的性质． １．（１）已知ａ ＝ ｌｎ ７７ ，ｂ ＝ １ ｅ ，ｃ ＝ ｌｎ ５ ５ ，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系为 （　 　 ） Ａ． ｃ ＜ ｂ ＜ ａ　 　 　 Ｂ． ｃ ＜ ａ ＜ ｂ　 　 　 Ｃ． ａ ＜ ｃ ＜ ｂ　 　 　 Ｄ． ａ ＜ ｂ ＜ ｃ （２）设ａ ＝ ９槡１０，ｂ ＝ ９ｓｉｎ １１０，ｃ ＝ ５槡３，则 （　 　 ） Ａ． ｂ ＜ ａ ＜ ｃ Ｂ． ｂ ＜ ｃ ＜ ａ Ｃ． ｃ ＜ ａ ＜ ｂ Ｄ． ｃ ＜ ｂ ＜ ａ my=$XMN&'‚P6ƒz{%&„`Fa…~€ ●1234 ２．（１）（利用ｆ（ｘ）与ｘ构造）已知函数ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的偶函数，设函数ｆ（ｘ）的导 函数为ｆ ′（ｘ），若对任意的ｘ ＞ ０都有２ｆ（ｘ）＋ ｘｆ ′（ｘ）＞ ０成立，则 （　 　 ） Ａ． ４ｆ（－ ２）＜ ９ｆ（３） Ｂ． ４ｆ（－ ２）＞ ９ｆ（３） Ｃ． ２ｆ（３）＞ ３ｆ（－ ２） Ｄ． ３ｆ（－ ３）＜ ２ｆ（－ ２） （２）（利用ｆ（ｘ）与ｓｉｎ ｘ（ｃｏｓ ｘ）构造）已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）对于任意的ｘ∈ － π２ π( )２ 满 足ｆ ′（ｘ）ｃｏｓ ｘ ＋ ｆ（ｘ）ｓｉｎ ｘ ＞ ０（其中ｆ ′（ｘ）是函数ｆ（ｘ）的导函数），则下列不等 式不成立的是 （　 　 ） Ａ．槡２ ｆ π( )３ ＜ ｆ π( )４ Ｂ．槡２ ｆ － π( )３ ＜ ｆ － π( )４ Ｃ． ｆ（０）＜槡２ｆ π( )４ Ｄ． ｆ（０）＜ ２ｆ π( )３ （３）（利用ｆ（ｘ）与ｅｘ构造）若定义在Ｒ上的函数ｆ（ｘ）满足ｆ ′（ｘ）＋ ２ｆ（ｘ）＞ ０，且 ｆ（０）＝ １，则不等式ｆ（ｘ）＞ １ ｅ２ｘ 的解集为　 　 　 　 ． my@$XM†z6z{%& ●1234 ３．（２０２３·合肥模拟）设ｋ，ｂ∈Ｒ，若关于ｘ的不等式ｌｎ（ｘ － １）－ ｂ≤ｘ（ｋ － １）在 （１，＋ ∞）上恒成立，则ｂ － ２ｋ ＋ １ｋ － １ 的最小值是　 　 　 　 ． !#$ （３）ｅａ ± ａ ＞ ｂ ± ｌｎ ｂｅａ ± ｌｎ ｅａ ＞ ｂ ± ｌｎ ｂ，构造 ｆ（ｘ）＝ ｘ ± ｌｎ ｘ（或ｅａ ± ａ ＞ｂ ± ｌｎ ｂｅａ ± ａ ＞ ｅｌｎ ｂ ± ｌｎ ｂ，构造ｇ（ｘ）＝ ｅｘ ± ｘ）． ●5678 本例的第（２）问把恒成 立问题转化为求函数 Ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）－ ｇ（ｘ － １）ｘ － １的最小值，利用同 构思想化简 Ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）－ ｇ（ｘ － １）ｘ － １ ＝ １ｘ （ｘｅ ｘ － ｘ － ｌｎ ｘ － １）＝ １ｘ （ｅ ｘ ＋ ｌｎ ｘ － ｘ － ｌｎ ｘ － １），从而构造 函数φ（ｘ）＝ ｅｘ － ｘ － １， 求导判断单调性，再结合 零点的存在性定理可知 ｘ０∈ １ ｅ ，( )１ ，Ｇ（ｘ０） ＝ ｘ０ ＋ ｌｎ ｘ０ ＝ ０，则 Ｆ（ｘ０）＝ ０，即ｆ（ｘ０）＝ ｇ（ｘ０ － １） ｘ０ ＋ １． 利用 ｆ（ｘ）≥ｈ（ｘ）≥ ｇ（ｘ － １）ｘ ＋ １对ｘ∈（０，＋ ∞）恒 成立，所以，ｆ（ｘ０）≥ ｈ（ｘ０）≥ ｇ（ｘ０ － １）ｘ０ ＋ １ ＝ ｆ（ｘ０）， 所以ｆ（ｘ０）＝ ｈ（ｘ０），即 ｅｘ０ ＝ ｋｘ０ ＋ ｂ．再构造函 数Ｍ（ｘ）＝ ｅｘ － ｋｘ － ｂ， 由Ｍ（ｘ）≥０ ＝ Ｍ（ｘ０）， 知ｘ ＝ ｘ０ 是Ｍ（ｘ）的一 个极小值点，从而得到 ｋ ＝ ｅｘ０， 最终建立ｋ － ｂ ＝ ｅｘ０ － （ｅｘ０ － ｋｘ０）＝ ｋｘ０ ＝ ｘ０ ｅｘ０ ＝ １，即可把直线方程化 为ｈ（ｘ）＝ ｋｘ ＋ ｋ － １ ＝ ｋ（ｘ ＋ １）－ １，即可得出 结果． my]$z{‡%& ●1234 ４．（２０２３·湖南模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘ，ｇ（ｘ）＝ ｌｎ（ｘ ＋ １）＋ １，ｈ（ｘ）＝ ｋｘ ＋ ｂ（ｋ， ｂ∈Ｒ）． （１）若直线ｙ ＝ ｈ（ｘ）是曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）与曲线ｙ ＝ ｇ（ｘ）的公切线，求ｈ（ｘ）的解析式； （２）若ｆ（ｘ）≥ｈ（ｘ）≥ｇ（ｘ － １）ｘ ＋ １对ｘ∈（０，＋ ∞）恒成立，试问直线ｙ ＝ ｈ（ｘ）是否 经过点（－ １，－ １）？请说明理由． !#% 当a=0时f"(x)≥0恒成立，f(x)在R上单调递增： 当x>0时，g(x)>0,即f'(x)>0. 当a<0时，令"()<0解得xe(号0，令f'(e)>0,解得xe 八x)在(-，0)上单调递减，在(0，+）上单调递增。 (2)由代x)=x+x',得e"+e=x+x',易得x>0 (-的，号）U0+), 令h(x)=e'+e',则h(ar)=h(lnx), 又h(x)=e+e"为偶函数 故代x)在（兮，0上单调递减，在(-0，？）和(0，+x)上单 ..laxl)=h(IIn xl). 调递增： 由(1)知h(x)在(0，+)上单调递增， 当a>0时，令f'(x)<0,解得xe(0,)令f'(x)>0,解得 ÷lax=lxl,即血=lal有三个不同的实数解， xe(-*,0)U(号，+）月 令m(x)=血，则m(x)=-h 2 故)在(0，号）上单调递减，在(-”，0)和（分，+×上单 由m'(x)>0,得0<x<e:由m'(x)<0,得x>e, m(x)在(0，e]上单调递增，在(e,+g)上单调递诚，且 调递增： 综上，a=0时(x)在R上单调递增： m）=0.me)= a<0时x)在（号，0上单调递减，在(-，号）和(0，+） ,y=1m(x)|在(0,1]上单调递减，在(1，e]上单调递增，在 (e,+%)上单调递减 上单调递增： 当x0时，m(x)→+x:当x→+e时，m(x)-0,m(x)>0, 4>0时.f(x)在(0，号）上单调递减.在(-，0)和 故0<lul<。 (行，+)上单调递增。 解得- <a<0或0<a<1 伊 (2)当a=0时，fx)=2x+1在区间[0,2]上不存在零点： 当a<0时八x)在(0，+)上单调递增，故在区间[0,2]上单 放a的取值范围是(-。.u(0,。) 调递增， 又xe[0,2]时，f八x)≥f0)=1, 微专题 常用构造函数的几种方法 故(x)在区间[0,2]上不可能存在零点： 题型选讲 当a>0时)在(0，兮）上单调递诚，在（号，+）上单调题型一 递增： 典例研析 若号<2，即a<6时，f(x)在(0，兮）上单调递减，在 1ac2Ba油b=令)则/) (号2上单调递增。 1-h,令f'(x)=0,则x=e,当xe(0,e)时.f"（x)>0:当x 又0)=山，f(号)-引+1,2)=17-4如，故只能在 e(e,+云)时，f'(x)<0,故(x)=血在(0，)上单调递 [0,号]上有零点 增，在(e,+)上单调递减，由7>5>e,则血，h5,血1 5> 7 即b>e>a. o)f(3)<0. 解得a> ,或 (2)令f八x)=in-x,则f'(x)=csx-1≤0，所以f八x)在定 由零点存在性定理有 4 义域上单调递减，所以当x>0时.f八x)<f(0)=0.即sinx< V(号)2)>0. (号)=-易+1=0， ,所以6=9n0<9x0=0<1,又a=而>7=1，c 3>折=1，且a5=10,c5=3°=3×9<10，所以a>c>b 解得a=3:放此时ae3U(仔，6满足条件： 题型二 典例研析 若号≥2，即a≥6时，(x)在(0,2)上单调递减，则(0)· 2.(1)A(2)A(3)(0,+)(1)根据题意，令g(x)= 八2)<0，此时均满足题意，故∈[6，+)满足条件.综上， x八x),其导函数g'(x）=2xyx)+x'(x),又对任意的x>0 ae3u(.+} 都有2x)+f(x)>0成立，则当x>0时，有g'(x)= x[2x)+对'(x)]>0恒成立，即函数g(x)在(0，+)上为增 跟踪训练 函数，又由函数八x)是定义在R上的偶函数，则尺-x)=八x),则 2.(1)f'(x)=a(e"-eu). 有g(-x)=(-x)八-x)=x八x)=g(x）,即函数g(x)也为偶 令g(x)=a(e"-e“),则g'(x)=a2(e"+e“)>0 函数，则有g(-2)=g(2),且g(2)<g(3),则有g(-2)< ∴g(x)在R上单调递增， g(3),即有4r-2)<9/r3) 又g(0)=0, (2)构造F()=卫，则F‘(x)='()o)m三，导 ·当x<0时，g(x)<0.即f'(x）<0, cos x 262 函数f'(x)满足f'(x)cosx+f(x)sinx>0,则F'(x)>0, k=f(0)=e=l则6(x)=x+1 F(x)在(-是，）)内单调递增把选项转化后可知选A (2)直线y=h(x)经过点(-1，-1)，理由如下： (3)构造Fx)=x)·e2",F'(x)=f'(x)·e2+八x)· 2e2=2['(x)+2x)]>0,.F(x)在R上单调递增，且 令函数F)=)-》-1=（0--h-1)= F0)=0)c=l,不等式)>可化为x)e”>1, L(ek:-x-Inx-1), 即F(x)>F(0),x>0,原不等式的解集为(0，+). 令函数p(x)=e-x-1,则p'(x)=-1. 题型三 当xe(-元，0)时，e'(x)<0,p(x)单调递减： 典例研析 当xe(0,+)时，e'(x)>0,e(x)单调递增. 3.-e-3由题意知，不等式n(x-I)+(1-k)x≤b在(1，+x) 故p(x)≥e(0)=0,则F(x)≥0，当且仅当x+lnx=0时，等 上恒成立， 号成立 令t=x-1>0,则lnt+1+1-(t+1)≤b在(0，+第)上恒 令函数G(x)=x+lnx,显然G(x)在(0，+∞)上单调递增 成立， 因为日）k0,c)>0, 令)=n1+1+1-6+1),所以了()=+1-k, 若k≤1，则∫'()>0，()在(0，+∞)递增，当1一→+时， 所以3，e(日小G(o)=+n6=0. 八)一→+，不等式不恒成立， 则F()=0,即)=-》+1 0 放>1，当0<1<时()>0，当>时'0<0. 又fx)≥h(x)≥x-业+1对xe(0,+0)恒成立. 所以当=时)取得最大值()=n石1+1- 所以)≥i()≥6-D+1=). k=-In (k-1)-k. 所以-ln(k-1)-k≤b.所以ln(k-1)+k-1≥-2-(b- 所以八)=(x), 1),所以≥2=业-1. 即eo=n+k..b=e9-kg k-i≥k-i-k-1 令函数(x)=e-x-b,则(x)=e'-左 二2-n（k-D-1,u=k-1,则g(w)=2- 令g(k-1)=-k-1 由M(x)≥0=M(。),知x=是M(x)的一个极小值点， 则M"'(6)=e-k=0.即=e 由+ln=0,得e0=,即无e9=1, 房以=导1：l,当0<<时o)< 2 则k-b=e0-(e0-kx）=kx=xnen=1, 则h(x)=kx+k-1=k(x+1)-1,故直线y=h(x)经过点 0,当u>时，g'(u)>0. (-1,-1) 所以当u=。时，8()取得最小值日）-e-1,二的最 专题二 三角函数及解三角形 小值是-e-1. 第1讲 三角函数的图象和性质 必-2-山-日-2.所求最小值是-3 -1 k-1 真题再现明考向 题型四 1.C因为函数y=sinx的最小正周期为T=2π 典例研析 4.(1)设(x)与y=八x)相切的切点坐标为A(x,e), 函数y=2n3x-君)的最小正周期为7=号。 与g(x)=n(x+I)+I相切的切点坐标为B(:,n(:2+I)+ 所以在x∈[0,2m]上函数y= 1=2sin(3x-） 1) 2ain(x-若)有三个周期的 因为f'(x)=e,8(x)=x+ 图象 所以e1=,1,=-h(馬+1)-1 在坐标系中结合五点法画出两 考*1 1一1 函数图象，如图所示： 则1 点+1+出-1 1 由图可知，两函数图象有6个 一，整理得3=0. 交点.故选C 1- +7=1,则无=0： 若无=0，则=1 2.BC令x)=im2x=0,解得x=钙，k∈乙，即为fx)零点， 2 着60则”名1，期=0 令g()=n(2-哥)=0解得x=复+君eZ,即为 故1==0，切点A(0,1), g(x)零点，显然八x),g(x)零点不同，A选项错误： 显然f八x)an=g(x)m=1,B选项正确： 263