第一篇 专题一 第5讲 利用导数研究函数的零点问题-【衡中学案】2025年高考数学二轮总复习学案

第５讲　 利用导数研究函数的零点问题 !"#$ 　 　 　 明方向　 　 　 以指数函数、对数函数、三次有理函数、三角函数为载体，利用导数，通过研究函数的单调性、极值和最值，求 解函数零点或方程解的问题是高考的热点题型． %&'( 　 　 　 明体系　 )*+, 　 　 　 明考向　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（２０２２·全国乙卷）已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ － １ｘ －（ａ ＋ １）ｌｎ ｘ． （１）当ａ ＝ ０时，求ｆ（ｘ）的最大值； （２）若ｆ（ｘ）恰有一个零点，求ａ的取值范围． ２．（２０２２·全国甲卷）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｅ ｘ ｘ － ｌｎ ｘ ＋ ｘ － ａ． （１）若ｆ（ｘ）≥０，求ａ的取值范围； （２）证明：若ｆ（ｘ）有两个零点ｘ１，ｘ２，则ｘ１ｘ２ ＜ １． !"* ３．（２０２２·新课标全国Ⅰ卷）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘ － ａｘ和ｇ（ｘ）＝ ａｘ － ｌｎ ｘ有相同的最小值． （１）求ａ； （２）证明：存在直线ｙ ＝ ｂ，其与两条曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）和ｙ ＝ ｇ（ｘ）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的 横坐标成等差数列． ４．（２０２３·上海高考）已知ａ，ｃ∈Ｒ，函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ２ ＋（３ａ ＋ １）ｘ ＋ ｃ ｘ ＋ ａ ． （１）若ａ ＝ ０，求函数的定义域，并判断是否存在ｃ使得ｆ（ｘ）是奇函数，说明理由； （２）若函数过点（１，３），且函数ｆ（ｘ）与ｘ轴负半轴有两个不同交点，求此时ｃ的值和ａ的取值范围． !#! !-./ 　 　 　 提能力　 !"#$no%&G"'p& ●5678 利用导数研究函数零点 问题的思路 （１）构建函数ｇ（ｘ）（要 求ｇ′（ｘ）易求，ｇ′（ｘ）＝ ０可解），转化确定ｇ（ｘ） 的零点个数问题求解， 利用导数研究该函数的 单调性、极值，并确定定 义区间端点值的符号 （或变化趋势）等，画出 ｇ（ｘ）的图象草图，数形 结合求解． （２）利用零点存在性定 理：先用该定理判断函 数在某区间上有零点， 然后利用导数研究函数 的单调性、极值（最值） 及区间端点值符号，进 而判断函数在该区间上 零点的个数． ●1234 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（２０２４·郑州模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｅａｘ － ｘ． （１）若ａ ＝ ２，求ｆ（ｘ）在（１，ｆ（１））处的切线方程； （２）讨论ｆ（ｘ）的零点个数． ●9:;< １．（２０２４·河南三模）函数ｆ（ｘ）＝ ｅλｘ － ４ｓｉｎ ｘ ＋ λ － ２的图象在ｘ ＝ ０处的切线为 ｙ ＝ ａｘ － ａ － ３，ａ∈Ｒ． （１）求λ的值； （２）求ｆ（ｘ）在（０，＋ ∞）上零点的个数． !#" !"=$qrG"'p&st&'[huvk ●5678 根据函数零点个数确定 参数取值范围的基本思 路也是数形结合，即根 据函数的单调性、极值、 函数值的变化趋势大致 得出函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图 象，再根据零点个数确 定函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象 交点的个数，得出参数 满足的不等式，求得参 数的取值范围，一个基 本的技巧是把ｆ（ｘ）＝ ０ 化为ｇ（ｘ）＝ ｈ（ｘ），据 ｆ（ｘ）零点个数确定函数 ｙ ＝ ｇ（ｘ），ｙ ＝ ｈ（ｘ）图象 的交点个数，得出参数 满足的不等式，求得参 数的取值范围． ●1234 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　２．（２０２４·河北模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｘ３ － ａｘ２ ＋ １． （１）讨论ｆ（ｘ）的单调性； （２）若ｆ（ｘ）在区间［０，２］上有且仅有一个零点，求ａ的取值范围． ●9:;< ２．（２０２４·九江三模）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｅａｘ ＋ ｅ － ａｘ（ａ∈Ｒ，且ａ≠０）． （１）讨论ｆ（ｘ）的单调性； （２）若方程ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ ｘ － １有三个不同的实数解，求ａ的取值范围． 温馨提示：复习至此，请做练案［５］ !## 所以h(x)在(0，+x)上单调递减， 第5讲利用导数研究函数的零点问题 所以，三心，则k=血 真题再现明考向 设m(x)=(1<x<e),则m《x)=- x2 1.(1)当a=0时，x)=--n,>0,则f'(x)= 所以xE(1,e)时，m‘(x)>0.m(x)单调递增，x∈(e,e2)时， 1-x m'(x)<0,m(x)单调递减， , 又m0,ae=。m()= 当x∈(0,1)时f'(x)>0x)单调递增： 当x∈(1，+)时厂'(x)<0,爪x)单调递减： 所以0<≤。，即k的取值范围是(0，门 所以x)=f八1)=-1. 跟踪训练 (2)=a--(a+1)h,>0,则/"()=a+ 2.(1)由题意可得f八x)的定义域为(0，+x), a+l-ar-1)(x-12 f(x)=-a=1-匹(a40). 当a≤0时，m-1≤0，所以当xe(0,1)时/'(x)>0,八x)单 当a<0时，由于x>0,所以f'(x)>0恒成立，从而f八x)在 调递增： (0,+x)上递增： 当x∈(1，+)时厂'(x)<0x)单周递减： 所以fx)m=f(1)=a-1<0,此时函数无零点，不符合 当u>0时，令f()>0,解得0<<合，令f'()<0,解得x 题意： >。,从面x)在(0，日）上递增，在（合+）递减 当0<a<1时.>1，在0.1).（合，+）上.f()>0, 八x)单调递增： (2)令h(x)=f八x)-g(x)=lnx-r- ,要使x)≤g() ax 在(1，)上，f()<0.x)单调递减：又1)=a-1<0, 恒成立， 只需h(x)≤0恒成立，则h(x)m≤0即可， 由(1)得+n≥1，即n1-,所以hx<,ln在<E h'(x)= x-0- 2=-￥++2.-(am+)m-22 In x<2/x, ax 当x>1时，八x)=- ↓-(a+1)nx>r-↓-2(a+1)G 令()=0，解得=名或x=-会)。 >ax-(2a+3), 4()在(0，)上单调递增，在（名+云上单调递减。 则存在m=(日+2>使得m)>0, 所以=（）=h子-30, 所以)仅在（合，+）有唯一零点，符合题意： 解得>号所以：的最小值为号 当a=1时，)=任-少≥0，所以单满递增，又） x2 3.(1)由x)>4+4可得me-2>4+4,即m>+4+4 =a-1=0 所以爪x)有唯一零点，符合题意： 设g(x)=+4+4则g()=-+2红 e 当4>1时， 合<1，在(0，)(1，+)上 当x≥0时，g(x)≤0，g(x)单调递减.则g(x)n=g(0)=4 f'(x)>0,八x)单调递增： 所以实数m的取值范围为(4，+x), 在（口上，f"()<0)单调递减：此时1）=a-1>0, (2)由到<0可得ame-<0,即m<号 设专则2】 由)得当0<：<1时，h>1-子h,左所以h e 令'(x)=0可得x=0或2. 》 当x∈[-1,0)时，h'(x)<0,h(x)单调递诚： 此时f(x)=a-↓-(a+1)nx<m--2(a+ 当xe(0,2)时，h'(x)>0,h(x)单调递增： 当x∈(2,4]时，k'(x)<0,h(x)单调递诚， -2a出 所以4(：)的极大值为A(2)=专 存在m4a+厅<石使得了(a)<0.所以fx)在 又h(-1)=e>h(2),则h(x)在[-1,4]内的最大值为h(-1) =e, (0,有一个零点，在（什+]无零点。 故m<e,即m的取值范围为(-。，c) 所以八x)有唯一零点，符合题意；综上，“的取值范围为 259 (0,+) 当x>lna时f'(x)>0,故x)在(lna,+e)上为增函数， 2.(1)八x)的定义域为(0，+) 故f爪x)m=f八lna）=a-ala f")=(位---+(-） 当0<x<时，g()<0,故g)在(0，）上为减函数。 当>时，6)>0，故e)在（日+上为增函数。 令f'(x)=0,得x=1,当xe(0,1),∫'(x)<0,f(x)单调 递减， 故g()=(日）1-h 当x∈(L,+),∫'(x)>0代x)单调递增八x)≥f代1)=e+1 因为八x)=e-r和g(x)=ax-lnx有相同的最小值， -a, 故1-m=a-aha,整理得到=na,其中a>0, 若八x)≥0，则e+1-a≥0，即a≤e+1,所以a的取值范围为 1+a (-0,e+1] 2 (2)证明：由题知x)一个零点小于1，一个零点大于1， 设4(e)(o@)=。-ha,a>0,则N(o）an 不妨设，<1<，要证码<1，即证<方，因为号 故h(a)为(0，+)上的减函数，面(1)=0. 0,,即证)>f() 故4(o)=0的唯一解为a=1,故日=ha的解为a=1综 因为x)=).即证)>()】月 上，a=l. 即证g-lnx+x-e-lnx->0,xe(1,+)。 (2)证明：由(1)可得f八x)=e-x和g(x)=x-nx的最小值 为1-ln1=1-ln=1 即证兰-÷-h-->0, 当b>1时，考虑e-x=b的解的个数、x-lnx=b的解的 下面证明>1时，号-e>0,x--）<0,设g() 个数 (x)=e-x-b.S'(x)=e"-1. =g->1. 当x<0时，S'(x)<0,当x>0时，S'(x)>0. 故S(x)在(-x,0)上为减函数，在(0，+x)上为增函数， 则g()=(任)e-【÷+·(】 所以S(x)m=S(0)=1-b<0, ---) 而S(-b)=e*>0.S()=e-2b, 设u(b)=e-2b,其中b>1,则n'(b)=。-2>0, =-兰-)-) 故u(b)在(1，+c)上为增函数，枚a(b)>u(1)=e-2>0. 故S(b)>0,故S(x)=e-x-b有两个不同的零点，即e-x 设()=c>100=(生e>0, =b的解的个数为2. 所以p()>p(1)=心，而e÷<e,所以g-心>0，所以g(x） (x)=z-Inx-6.T(x)=1 当0<x<1时，T(x)<0,当x>1时，T(x）>0, >0 故T(x)在(0,1)上为减函数.在(1，+0)上为增函数， 所以(x)在(1，+)单调递增，即g(x)>g(1)=0,所以 所以T(x)=T(1)=1-b<0, 而T(e)=e+>0.T(e)=e-2h>0, -xe>0. T(x)=x-nx-b有两个不同的零点即x-lnx=b的解的个 令)=n-(-）>1,h到=-+)= 数为2 2x-2-1.-=<0 当b=1,由(1)讨论可得x-nx=b,e-x=b仅有一个零点， 2x2 2x2 当b<1时，由(1)讨论可得x-nx=b,c-x=b均无零点， 所以h(x)在(1，+)单调递减，即h(x)<h(1)=0,所以 故若存在直线y=b与曲线y=f代x)y=g(x)有三个不同的交 n-(-)<0: 点，则6>1. 设h(x)=心+nx-2x,其中x>0,故h'(x)=e+上-2. 综上，号-过-如x-s-月>0，所以<1 设s(x)=e-x-1,x>0,则s'(x)=e-1>0 3.(1)/八x)=e-r的定义域为R,而'(x)=e-a, 故s(x)在(0，+)上为增函数，故s(x)>s(0)=0即e>x 若a≤0，则f'(x)>0,此时f(x)无最小值，故a>0. +1, (x)=ax-lnx的定义域为(0，+)，而g'(x)=a- 所以h(x)>x+了-1≥2-1>0，所以(x)在(0，+)上 =x-1 为增函数。 当x<na时，f'(x)<0,故f孔x)在(-e,lna)上为减函数 而4(0=e-2>0,）=-3-子<e-3-<0， 260 故()在(0，+云)上有且只有一个零点，后<<1且： 考点突破提能力 考点一 当0<x<n时，h(x)<0即e'-x<x-nx即fx)<g(x) 典例研析 当x>xu时，h(x)>0即e-x>x-lnx即fx)>g(x), 1.(1)若a=2,则fx)=e2"-x,f'(x)=2e2-1, 因此若存在直线y=b与曲线y=代x)3=(x)有三个不同的 又f1)=2-1f‘(1)=2e2-1. 交点， 故所求切线方程为y-(e-1)=(2e2-1)(x-1). 故b=八x)=g(x)>1, 即y=(2e2-1)x-e2: 此时：-x=b有两个不同的零点与，0(，<0<) (2)由题f'(x)=ae"-1, 此时x-lhx=b有两个不同的零点x(0<x<1<x4), ①当a≤0时，f'(x)<0,f(x)在R上单调递减，又f0)=1> 故e-x1=b,e"-无=b,4-ln-b=0,-ln0-b=0 0f1)=e”-1≤0. 所以x-b=lnx即e4=x,即e4-(x,-b)-b=0, 八x)存在一个零点： 故4-b为方程e-x=b的解，同理。-b也为方程-x=b ②当a>0时，令f'(x)<0得x<_血“，此时(x)单调递减. 的解 又1-x1=b可化为e1=1+b即名1-n(x1+b)=0即（名 令f'(x)>0得x3-血4，此时x)单调递增 +b)-ln(1+b)-b=0, 故，+b为方程x-nx=b的解，同理x。+b也为方程x-lnx 则承)的最小值为(-）+血口 =b的解， 所以{x,x0}={x-b,x-b1,而b>1, u.当4=时，f代x)的最小值为0，此时fx)有一个零点 故品-6即有+=2 五.当>时，八x)的最小值大于0，此时x)没有零点 x1=0-b, e 4（若a=0,则e)=之=++山. 6当0<a<时代x)的最小值小于0-)=e“+1>0, 要使函数有意义，则x≠0，即f八x)的定义域为xx≠0！， f(-）0<0一+×时)一+多.此时到有 :y=x+是奇函数y=1是偶函数， 两个零点 “函数x)=++1为非奇非偶函数，不可能是奇函数， 综上，当a≤0或a=时)有-个零点：当0<a<。时， 故不存在实数c,使得八x)是奇函数 八x)有两个零点： (2)若函数过点(1,3)，则/1)=1+3如+1+c.3a+2+c。 当a>。时)没有零点， 1+ 1+a 3,得3+2+e=3+3a,得c=3-2=1, 跟踪训练 此时)-+(3和+x+山，若数x)与x轴负半轴有两个 1.(1)因为f八x)=e:-4sinx+A-2,'(x)=Ae"-4co8x, x+d 所以f‘(0)=A-4.所以切线斜率为A-4,即a=入-4， 不同交点， 所以切线方程为y=(A-4)x-入+1， 即x)=+(3a+x=0,得2+(3a+1)x+1=0.当： 又(0)=入-1，所以切点坐标为(0，A-1). x十往 代入得入-1=-入+1，解得A=1. <0时，有两个不同的交点 (2)由(1)得f代x)=e-4sinx-1,f'(x)=e-4cosx, 设g(x)=x2+(3n+1)x+1, 令g(x)=f'(x)=e-4cosx,则g'(x)=e+4inx, 4=(3a+1)2-4>0, 当x≥T时，f'(x)=e-4sx>0恒成立，所以八x)在[r,+0) x2=1>0. 上单调递增， 则{名+与=-（3a+)<0,得+1>2或3a+1K-2得 所以fx)≥f八r）=e”-4sinx-1≥e"-1>0, 13a+1>0 3a*1<0, 因此x)在[π，+如)无零点： 12 当0<x<r时，g'(x)=e+4sinx>0恒成立，所以∫'(x)单调 >或a<-l 递增， 即a231 又f'(0)=-3<0,f'(m）=e+4>0. a>-3 所以∫'(x)在(0，π)上存在唯一的零点： 当x∈(0，x）,f"(x)<0代x)单湖递减： 若x+a=0即x=-a是方程x2+(3a+1)x+1=0的根， 当xe(,r),f'(x)>0x)单调递增： 则。2-(3a+1)a+1=0,即2m2+a-1=0,得a=之或a= 又f0)=0x）<f0)=0π=e-1>0. 因此尺x)在(0.云)上仅有1个零点： -1 综上x)在(0，+)上仅有1个零点 则实数a的取值范围是a>号且a≠分且a≠-1，即 考点二 (3,(3,*} 典例研析 2.(1)fx)=2x3-r2+1,则f'(x)=6x2-2r=2x(3x-a), 261 当a=0时f"(x)≥0恒成立，f(x)在R上单调递增： 当x>0时，g(x)>0,即f'(x)>0. 当a<0时，令"()<0解得xe(号0，令f'(e)>0,解得xe 八x)在(-，0)上单调递减，在(0，+）上单调递增。 (2)由代x)=x+x',得e"+e=x+x',易得x>0 (-的，号）U0+), 令h(x)=e'+e',则h(ar)=h(lnx), 又h(x)=e+e"为偶函数 故代x)在（兮，0上单调递减，在(-0，？）和(0，+x)上单 ..laxl)=h(IIn xl). 调递增： 由(1)知h(x)在(0，+)上单调递增， 当a>0时，令f'(x)<0,解得xe(0,)令f'(x)>0,解得 ÷lax=lxl,即血=lal有三个不同的实数解， xe(-*,0)U(号，+）月 令m(x)=血，则m(x)=-h 2 故)在(0，号）上单调递减，在(-”，0)和（分，+×上单 由m'(x)>0,得0<x<e:由m'(x)<0,得x>e, m(x)在(0，e]上单调递增，在(e,+g)上单调递诚，且 调递增： 综上，a=0时(x)在R上单调递增： m）=0.me)= a<0时x)在（号，0上单调递减，在(-，号）和(0，+） ,y=1m(x)|在(0,1]上单调递减，在(1，e]上单调递增，在 (e,+%)上单调递减 上单调递增： 当x0时，m(x)→+x:当x→+e时，m(x)-0,m(x)>0, 4>0时.f(x)在(0，号）上单调递减.在(-，0)和 故0<lul<。 (行，+)上单调递增。 解得- <a<0或0<a<1 伊 (2)当a=0时，fx)=2x+1在区间[0,2]上不存在零点： 当a<0时八x)在(0，+)上单调递增，故在区间[0,2]上单 放a的取值范围是(-。.u(0,。) 调递增， 又xe[0,2]时，f八x)≥f0)=1, 微专题 常用构造函数的几种方法 故(x)在区间[0,2]上不可能存在零点： 题型选讲 当a>0时)在(0，兮）上单调递诚，在（号，+）上单调题型一 递增： 典例研析 若号<2，即a<6时，f(x)在(0，兮）上单调递减，在 1ac2Ba油b=令)则/) (号2上单调递增。 1-h,令f'(x)=0,则x=e,当xe(0,e)时.f"（x)>0:当x 又0)=山，f(号)-引+1,2)=17-4如，故只能在 e(e,+云)时，f'(x)<0,故(x)=血在(0，)上单调递 [0,号]上有零点 增，在(e,+)上单调递减，由7>5>e,则血，h5,血1 5> 7 即b>e>a. o)f(3)<0. 解得a> ,或 (2)令f八x)=in-x,则f'(x)=csx-1≤0，所以f八x)在定 由零点存在性定理有 4 义域上单调递减，所以当x>0时.f八x)<f(0)=0.即sinx< V(号)2)>0. (号)=-易+1=0， ,所以6=9n0<9x0=0<1,又a=而>7=1，c 3>折=1，且a5=10,c5=3°=3×9<10，所以a>c>b 解得a=3:放此时ae3U(仔，6满足条件： 题型二 典例研析 若号≥2，即a≥6时，(x)在(0,2)上单调递减，则(0)· 2.(1)A(2)A(3)(0,+)(1)根据题意，令g(x)= 八2)<0，此时均满足题意，故∈[6，+)满足条件.综上， x八x),其导函数g'(x）=2xyx)+x'(x),又对任意的x>0 ae3u(.+} 都有2x)+f(x)>0成立，则当x>0时，有g'(x)= x[2x)+对'(x)]>0恒成立，即函数g(x)在(0，+)上为增 跟踪训练 函数，又由函数八x)是定义在R上的偶函数，则尺-x)=八x),则 2.(1)f'(x)=a(e"-eu). 有g(-x)=(-x)八-x)=x八x)=g(x）,即函数g(x)也为偶 令g(x)=a(e"-e“),则g'(x)=a2(e"+e“)>0 函数，则有g(-2)=g(2),且g(2)<g(3),则有g(-2)< ∴g(x)在R上单调递增， g(3),即有4r-2)<9/r3) 又g(0)=0, (2)构造F()=卫，则F‘(x)='()o)m三，导 ·当x<0时，g(x)<0.即f'(x）<0, cos x 262