第一篇 专题一 第4讲 利用导数研究不等式问题-【衡中学案】2025年高考数学二轮总复习学案

则y=2-a>1,解得a<1,即实数：的取值范围是(-x, 所以八2-x)>f(x),正确故选ACD. 1).故选D 跟踪训练 2(1)b=0时)=h2产+，其中xa(0,2. 8.Bf'(x)=sin ax+(r-a)csax,令f八x)=(无-a)sina=0, 士2+w22 期f()= x(2-x)+a,xe(0,2). 有6=u或sin。=0, x=a时厂'(x）=0可得sina=0,即sina2=0,则a=kx, 因为(2-)≤(2=1，当且仅当x=1时等号成立. a=k(kEN). 故∫'(x)m=2+4,而∫'(x)≥0成立，故a+2≥0即a≥-2， sina,=0时f'(n)=0,可得a(o-a)c0sa0=0,由cos aro 所以a的最小值为-2 *0. 有a=0或=4，可得a=√云(keN), (2)证明x)=ln2+a+6(x-1少的定义域为(0,2). 又a=0时f(x)是常函数，不存在极值点，故a=√行（∈ 设P(m,n)为y=代x)图象上任意一点 N“).=1时可取云，故选B. P(m,n)关于(1，a)的对称点为Q(2-m,2a-n), 9-33 = 因为P代m,n)在y=)图象上，故n=h2”n+m+b(m- 2 依题意a≥2血x+x+1)-2(nx+x+1业 e'x e'el 1) 2(nx+x+12恒成立 面f(2-m)=n2-m+4(2-m)+b(2-m-1) m 令1=nx+.leR,g0)=2+D.g0)=二2 e -[in2"tom+(m-1)]+2a=-n+2a. 当1<0时g'()>0,1>0时.g()<0, 所以Q(2-m,2a-n)也在y=八x)图象上 所以g()最大值为g(0)=2,即a≥2.得m=2 由P的任意性可得y=八x)图象为中心对称图形，且对称中心 由题意可得T=2π是f（x)=2sinx+sin2x的一个周期， 为(1，a) 所以求f八x)的最小值可考虑求八x)在[0,2π)上的最小值， (3)因为f八x)>-2当且仅当1<x<2,故x=1为八x)=-2 由fx)=2sinx+sin2x,得f'(x）=2cosx+2cos2x=40s2x 的一个解， +2c0sx-2, 所以八1)=-2即a=-2, 由/"()=0，得s=或m=-1 先考虑1<x<2时(x)>-2恒成立 5e[0,2m)时，解得x=号或x=受或= 此时)>-2即为n2若+2(1-)+6(x-1)'>0在 (1,2)上恒成立 5 因为)=2nx+m2x的最值只能在=号=号x 设=-1e(0.),则出-21+>0在0D上标 T,或x=0时取到， 成立 设g(0)=n±-2+bm,1e(0,1). 1-t 所以函数x)的最小值为-3,5 2 2 喝0=己-2+3w-3+2+3 1- 第4讲 当b≥0.-3bM2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0 利用导数研究不等式问题 故g'()>0恒成立.故g()在(0,1)上为增函数 真题再现明考向 故g()>g(0)=0即f八x)>-2在(1,2)上恒成立 1.ACD对A,因为函数fx)的定义域为R, 当-子≤6<0时，-3M+2+36≥2+36≥0. 而∫'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3). 易知当xe(1,3)时f'(x)<0,当xe(-%,1)或xe(3, 故：()≥0恒成立，故g()在(0,1)上为增函数， +e)时，f(x)>0 故g()>g(0)=0即八x)>-2在(1,2)上恒成立 函数八x)在(-，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在 当6<- 则当0<1<√+品<1时，g0<0, 2 (3,+)上单调递增， 故x=3是函数代x)的极小值点，正确： 放在(0，√+品上)为减函数，故g)<80)=0,不合 对B,当0<x<1时，x-x2=x(1-x)>0,所以1>x>x2>0, 而由上可知，函数∫(x）在(0，I)上单调递增，所以 题意，舍： 八x)>八x),错误： 综上爪)>-2在(1,2)上恒成立时6≥-子 对C,当1<x<2时，1<2x-1<3,而由上可知，函数f(x)在 (1,3)上单调递减， 而6≥-号时，由上述过程可得g)在(0,1)递增，放g0)> 所以f1)>f2x-1)>f3).即-4<f(2x-1)<0,正确：对 0的解为(0,1)， D.当-1<x<0时， f2-x)-f八x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)= 即x)>-2的解为(1,2.综上，6≥-号 (x-1)2(2-2x)>0. 3.(1)当a=-2时fx）=(1+2x)n(1+x)-x, 254 故f')=2h1+)+4-1=2n(1+)-++1, 递增， 1+x 故g(x)>g(1)=e°-2+1+n1=0,问题得证 因为y=2加1+y=中+1在(-1，+0)上为增 5.(1)因为f八x)=a(e+a)-x,定义域为R,所以/'(x)=e -1, 函数， 当a≤0时，由于e>0.则ae≤0，故f'(x)=ue-1<0恒 故f(x)在(-1，+x)上为增函数，而f'(0)=0, 成立， 故当-1<x<0时J'(x)<0,当x>0时f'(x)>0, 所以尺x)在R上单调递减； 故f(x)在x=0处取极小值且极小值为f0)=0,无极大值， 当a>0时，令f'(x)=ae'-1=0,解得x=-lna, e(0-咖1+)+g-1-恤1+)- 当x<-lna时，f'(x)<0,则/x)在(-%，-lna)上单调递 (a+l.x≥0， 减： 1+x 当x>-lha时，f'(x)>0,则f八x)在(-lna,+)上单调递 设x)=-nln(1+x)-a+x>0, 增： 1+x 综上：当a≤0时，代x)在R上单调递减： 则(x）=二a (a+1) +-+7 =-a(x+1)+a+1 当a>0时fx)在(-x,-na)上单调递减八x)在(-lna, (1+x)2 +)上单调递增： _r+2a+1 (2)证明：方法一：由(1)得，f(x)n=八-lna)=a(eh"+ (1+x) a)+In a=1+a'+In a, 当a≤-时()>0，故()在(0.+)上为暗函数 要证)>2汕a+号即证1+d+ha>2山a+子即证云 3 故(x)>(0)=0,即f‘(x)>0, 所以八x)在[0，+)上为增函数，故f八x)≥0)=0 ~交-血a>0恒成立， 当-子<a<0时，当0≤x<-20时()<0， 令g(a)=d2--lna(a>0),则g(a)=2a-上.20-l 故()在(0.20）上为减函数放在(0，-2）上( 令ga)<0,则0<a<号令g(a)>0,则a> 、 <s(0), 即在(0,2出）上/()<0即)为减函数。 所以g(如)在(0，号)上单调递减，在（受，+上单调遥增。 故0.2：上)<0=0.不合题意，含 所以go)=8(号)(-号-h号=h2>0,则 当a≥0，此时x'(x)<0在(0，+x)上恒成立， g(a)>0恒成立， 同理可得(0，+)上八x)<f(0)=0恒成立，不合题意，舍； 所以当a>0时)>2ha+恒成立，证华。 棕上4≤-2 方法二：令h(x）=e-x-1,则'(x)=e-1 由于y=g在R上单调递增，所以'(x)=e-1在R上单调 4(1)定义城为(0，+s)“(x)=a-上=-1 递增， 当a≤0时，'(x)=-<0,故x)在(0，+x)上单调 又h'(0)=e°-1=0， 所以当x<0时，h(x)<0:当x>0时，h'(x)>0: 递减； 所以(x)在(-，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增， 当a>0时e(行+)时()>0)单调遥指， 故h(x)≥h(0)=0,则e'≥x+1,当且仅当x=0时，等号 成立， 当x∈(0，时'()<0)单调递减 因为x)=a(e+a）-x=ae2+a2-x=eh"+2-x≥x+ In a+l +a2-x. 综上所述，当a≤0时八x)在(0，+)上单调递减： 当且仅当x+n=0,即x=-na时，等号成立， 4>0时，)在（合，+上单湖遂增，(0，。）上单调递减 所以要证>2山a+号即证+ha+1+->2加a+ (2)证明：a≤2，且x>1时，e-1-fx)=e--a(x-1)+lnx -1≥e1-2x+1+lnx, 多唧证d-行ha>0, 令g(x)=c--2x+1+lnx(x>1),下证g(x)>0即可. 令gw)=d-7-naa>0,则ga)=2a-。24, g()=-2+子再令4()=g(,则公()=e 令ga<0,则0<a<号：令g(a)>0,则a>号 显然h'(x)在(1，+0)上递增，则h'(x)>h'(1)=e°-1=0， 所以g(如)在(0，)上单调递减，在（受，+上单调递增， 即g'(x)=h(x)在(1，+)上递增， 故g(x)>g'(1)=e°-2+1=0，即g(x)在(1，+e）上单调 所以ga)=()=(-号-h号=n2>0,则 255 g(a)>0桓成立 (i)若a<0,有a2x+ax2<asin ax<a2x 所以当a>0时>2na+恒成立，证毕 证明：(1）当a>0时，由(1)知a-a2x2<inr<,所以 a'x-a'x'<osin ax <a'x: 6.(1)证明：①设h(x)=sinx-x,x∈(0,1) (ⅲ)当a<0时，由(1)知-ar-(-ax)2<sin(-ax)<-ax, h'(x)=ewx-1≤0对Hx∈[0,1]恒成立，且仅在x=0时有 -a2x-a(-ax)2>asin(-m）>-a2x,亦即有a2x+a232< h'(0)=0 asin ax <a'x, 所以(x)在x∈(0,1)上单调递减， 故上述引理成立 所以有对xE(0.1),有h(x)<h(0)恒成立 下面证明(2)】 又因为h(0)=sin0-0=0. 由题fx)=osx-ln(1-x2)x∈(-1,1) 所以h(x)=sinx-x<0对Vxe(0,I)恒成立.亦即有sinx< I=-asin+2x 所以f'()=-asir-二2兰 1-x2 2g(x)=sin+(0,1).g'(x)=cos x+2x-1, g(x)=-inx+2>0对xe(0,1)恒成立， 且因为f(-动=asi面经f'( 所以g(x)在x∈(0,1)上单调递增，且因为g'(0)=1+0- 所以y=∫'(x)为奇函数. 1=0, 所以Hxe(0,1),g'(x)≥0恒成立，且仅在x=0时g(0) ①当a=0时f'")2当xe(-1,0)时f()<0团 =0, 单调递减，x∈(0,1)时f'(x)>0代x)单调递增， 所以函数y=g(x)在(0.1)上单周递增. 此时x=0是y=八x)的极小值点 所以对Yxe(0,1),有g(x)>g(0)恒成立，又因为g(0)=0. ②当ae(2,+x)时， 所以sinx+x2-x>0对Vx∈(0,1)恒成立.所以x-x2< sin x,x(0.1). 若0≤<m}有m>-, 综上可知：x-x2<sinx<x,x∈(0,1)成立： (2)方法一：代x)=xsw-n(1-x2),x∈(-1,1)， 所以有f()<-a(-)+ 且'()=-am-二是-asin+,2头，满足f0) 1- 2+- =-asin0+0=0. 4x 令)=+-，则f"（)=1+d>0, 且因为f'(-x)=asin ax- 2x I-x =-f'(x),所以y=了'(x) 为奇函数 故代)在0≤<mm,}壮单调递蜡 -mm2-m+22 (1-) 由于F(0)=2-a<0,且因为F(x)在0<x<mim,日}H f(0)=-a2+2. 单调递增， 由极值的第二充分条件：y=(x)在x=x处二阶可导， 所以存在t1>0,使得F(x)在(0,41)上恒小于0， 若∫"()<0，x=。是y=八x)的极大值点： 因此f'(x)<xF(x)<0, 若f“(x)>0,x=。是y=f代x)的极小值点： 又因为y=f'(x)是奇函数，所以在(-1,0)上有矿'(x)>0, (关键点：这里使用了判断极值点的第二充分条件) 因此函数八x)在(-4，0)上单调递增，在(0，，)上单调递减， 所以当ae(-x,-2)U(2,+0)时，有f"(0)<0,得x 所以x=0是函数y=八x)的极大值点. =0是y=八x)的极大值点： ③若a∈(-，2)时， 当ae(-2,2)时∫"(0)>0，得x=0是y=f(x)的极小值 若0≤x<mm,a}ir+a<anr<aix成立 点，不满足条件： 当a=±2时/"(0)=0/'(x)=-2sim2x+2红 1-x 所以有"国<--+=(2店-） 由1知当xe(0,)时，mx>ix-2x, 令F(x)=1- 所以了”()=-2x+2<2-2+ 2x 放FP()在0<x<mm,}上单调递增由于F0)=2- -x a2<0. 2-+小0 且因为F(x)在0<x< m,}上单调递增。 因为y=f'()为奇函数，所以当x(-之，0)时'(x)<0, 所以存在4，>0，使得F(x)在(0,4)上恒小于0： 所以x=0是y=八x)的极小值点，不满足题设条件： 因此f'(x)=xF(x)<0, 综上可知，实数的取值范围是(-，-2)U(,2,+为) 又因为y=∫'(x)是奇函数，所以在(-1,0)上钉'(x)>0. 因此函数八x)在(-1,0)上单调递增，在(0,4)上单调递减。 方法二：首先证明引理：若a0,当0<<mm,}时， 所以x=0是函数y=代x)的极大值点. (i)若a>0,有a2x-a'x2<sinr<a'x: ④当ae[-,2,2]时，有F(0)=2-2≥0. 256 由引理知0≤<m}州，有an< 函数， 故存在e(0,+),使得Hx∈(0,0)，总有g'(x)>0, 2x 2x 所以f"()=-i+> 故g(x)在(0，x,)为增函数，故g(x)>g(0)=0, 故h(x)在(0,6)为增函数，故h(x）>h(0)=-1,与题设 =(2）22>2-2=0 /2 矛盾 故而函数y=八x)在x=0的右侧f‘(x)>0,左侧f'(x)<0, 若0<a≤子，则x)=(1+a)e“-e=em-e, 所以x=0是函数的极小值点，不满足条件 下证：对任意x>0,总有n(1+x)<x成立， 综上可知，实数a的取值范围是(-，-2)U(2,+). 7.(If'（()）=a-ew'x+3sins2xins 正明设s=h+)-放s()=中：1产<0， 06x 故S(x)在(0，+)上为减函数，故S(x)<S(0)=0即1n(1 a-o2x+3sim.4-3-2os今sr1,则1e(0,1）, +x)<x成立. cos'x cos'x 由上述不等式有e14l-e'<e+n-g=e2m-e'≤0， 则/"()=g()=a-3-2-m2+2-3 故'(x)≤0总成立.即(x)在(0，+)上为减函数， 2 2 所以h(x)<h(0)=0. 当a=8,f(x)=g)-8+21-3_(24-1)(4+3) 当a≤0时，有h'(x)=e“-e+re”<1-1+0=0, 所以h(x)在(0，+0)上为减函数，所以h(x)<h(0)=0.综 当e(0,）即e(年)f"()<0.当e(分小即 上，a≤2 e(0.4）f"(x)>0 (3)证明：取a=分则Vx>0,总有心-心+1<0成立，令1 所以x)在(0，）上单调递增，在（牙，）上单调递减 =e,则t>l,2=c,x=2ln (2)设g(x)=f八x)-sin2x, 故2nt<-1即2nt<4-1对任的1>1恒成立 g'(x)=f"(x)-20w2x=g(0-2(2cos3x-1）=r+21-3 2(21-1)=a+2-4+2-3 所以对任意的neN,有2n√A<√n-√n+T' +Π，n+灯_ 1 整理得到ln(n+1)-lnn< 设p()=a+2-442-3」 骨+n 12 故 In 2 In I In 3 0():-4-是+台=二2+6 个+1√2+2 n+n ln2+…+ln(n+1)-lni=ln(n+I),故不等式成立. _21-1)(2+21+3》>0所以p(）<(1)=4-3. 考点突破提能力 ①若ae(-x,3],g(x)=p()<a-3≤0. 考点一 典例研析 即g(x)在(0，受）上单调递减，所以g(x)<g0)=0 1.【证明】(1)设切点A(1,e+),y=1+e, 所以当ae(-,3]f(x)<sim2x,符合题意 =1+e:之即关于1的方程1--e+6-a=0 ②若a∈(3，+0)， 当0，子--3（-+-所以0 有两个不相等的实数根， 设)=(t-a-1)e+b-a,令∫'()=(1-a)e=0,l=a,d -x.p(1）=a-3>0. <a时f'()<(0),1>a时∫'()>0， 故爪)在t=a处取得极小值也是最小值a)=b-a-e°， 所以3e(0,1).使得p(=0,即3e(0,）使得 当一+时t)→+第，当→-0时)一→h-a, g'(x)=0. 当1e(o,1),p()>0,即当xe(0,）,g(x)>0,g(x)单调 若满足方粒有两个不相等的实数根，则->0， lb-n-e"<0. 递增。 ..0<b-a<e",a>In(b-a),a(b-a)>(6-a)In(b-a), 所以当xe(0,x。),g(x)>g(0)=0,不合题意. 设8(=l血x,令g()=1+n￥=0，x=1 综上，的取值范围为(-，3]. 8.(1)当a=1时x)=(x-1)e,则f'(x)=e, 当0<x<时，g()<0,g()单调递减， 当x<0时f'(x)<0,当x>0时f'(x)>0, 故八x)的减区间为(-，0)，增区间为(0，+∞) 当x>时，g(x)>0,g(x)单调道增， (2)设h(x)=xe"-e+1,则h(0)=0,又'(x)=(1+ax)e -e, )在=处取得小值日）=-a6-o>-日 设g(x)=(1+ax)e-e',则g'(x)=(2a+a2x)e"-c', (2)设A(1y)B(,2), 若a>,则g(0)=2m-1>0.因为g(x)为连续不间断 则%=+)=e+e)+ 257 由(1)知，-(a+1)+6-2=0,x-(a+1)+b-2=0, e e 是(-之+） 两式相减整理得：6-a=任-)e” (2)由八x)=x+ln(x+1,xe(-l,+x),得f'(x)=d e1-e2 (6-a)-(-）==)e1"e+e2 e1-e7 2 若a≥0，则八2)=2a+ln3>0,不符合题意. e1+g 2)-e+ 若4<0，令f'(x)=0,解得x=_“+1>-1, e1 不坊孩1>为，m-西>0.2-网>0， 则当xe(-1,-a）时'(x)>0,(x)单调递增，当e 则h(m)=2m-(e"-e").'(m)=2-(e+em)≤2-2 (+时。 =0, ∫'(x)<0八x)单调递减 h(m)在m∈(0，+)上单调递减，∴.h(m)<h(0)=0, (b-a)-(0-x）<0,即4+%>b+0 当-“+1>0，即-1<a<0时，由f(0)=0,可得当xe 跟踪训练 1.(1)因为x)=lnx+m的定义域为(0，+x), (0、）时)>0，不符合题意 所以f'(x)=↓-四=二m,当m≤0时f'(x)>0恒 当“+1<0，即a<-1时，由f(0)=0,可得当xe xx x ! 成立 （-,0时)>0，不符台题意 所以f(x)在(0，+x)上单调递增，当m>0时，令f'(x)=0, 当-“+1=0，即a=-1时，可知(x)在(-1.0)上单调递 得x=m, a 当x∈(0，m)时'(x)<0八x)单调递减， 增，在(0，+)上单调递减， 当xe(m,+)时，∫'(x)>0x)单调递增， 则f尺x)m=f代0)=0，符合题意，故a的取值集合为1-1 综上，当m≤0时，八x)在(0，+)上单调递增 3.(1)函数f八x)的定义域为(0，+)， 当m>0时八x)在(0，m)上单调递减，在(m,+)上单调 当a=1时x)=(x-2c2)nx--2,所以f"(x)=2c 递增。 +Inx. (2)证明：当m=1时x)=hx+ 设到时"()=-2+n,因为=2装y=hx都在 令g(x)=fx)-e-x+e=xnx-e-x+e+l,则g'(x）= (0,+∞)上单调递增， In x e", 所以g(x)在(0，+)上单周递增，且g(e)=0, 令)=g国=h-e,则()=- 所以xe(0,e2)时，g(x)<0,f'(x)<0,x)单调递减： 因为≥1，所以≤1，心≥e>1, xe(e2,+)时，g(x)>0,f(x)>0,八x)单调递增 所以八x)在(0，e)上单调递减，在(e2,+∞)上单调递增 所以当空1时，'(x)=↓-e<0恒成立， (2)由八x)=(x-2e)lnx-m-2e2,xe(0,+g), 得f'()=2+nx+1-a, 所以h(x)在[1，+x)上单调递诚， 即g'(x)=lnx-e'在[1，+。)上单调递减， 因为y=-2 y=nx都在(0，+)上单湖递增，所以f'(x) 所以g(x)≤g'(1)=-e<0, 所以g(x)在[1，+x）上单调递减， 在(0，+∞)上单调递增. 所以g(x)≤g(1)=0,即x)-e-x+e≤0. 已知存在x。∈(1，e),使得f（x)≥f(x。)在(0，+o)上恒 考点二 成立， 所以f尺x)是f八x)的最小值，所以f'(x)=0, 典例研析 2.(1)函数八x)=x+n(x+I),定义域为(-1，+∞)， 即f'()=2+n6+1-4=0,所以a=n+1-2 当a=-2时.(x)=-2x+lh(x+1)'()=-2+x+ 所以fx）=(-2c2)n--2e --2x-1 x+1 =-2a-(6+1-2-2-26% 设h(x)=-2e2lnx-x, 由f'(x)>0得-1<x<-2 由方程f八n)=-e0-2e2:有解，得-2e21n名-o=-e0 1 由f'(x)<0得x>-2 -2er。有解， 即h(x)=h(e)有解. 所以八)的单调增区间是(-)的单调诚区间 因为(x)=2-1<0在0，+0)上恒成立. 258 所以h(x)在(0，+x)上单调递减， 第5讲利用导数研究函数的零点问题 所以，三心，则k=血 真题再现明考向 设m(x)=(1<x<e),则m《x)=- x2 1.(1)当a=0时，x)=--n,>0,则f'(x)= 所以xE(1,e)时，m‘(x)>0.m(x)单调递增，x∈(e,e2)时， 1-x m'(x)<0,m(x)单调递减， , 又m0,ae=。m()= 当x∈(0,1)时f'(x)>0x)单调递增： 当x∈(1，+)时厂'(x)<0,爪x)单调递减： 所以0<≤。，即k的取值范围是(0，门 所以x)=f八1)=-1. 跟踪训练 (2)=a--(a+1)h,>0,则/"()=a+ 2.(1)由题意可得f八x)的定义域为(0，+x), a+l-ar-1)(x-12 f(x)=-a=1-匹(a40). 当a≤0时，m-1≤0，所以当xe(0,1)时/'(x)>0,八x)单 当a<0时，由于x>0,所以f'(x)>0恒成立，从而f八x)在 调递增： (0,+x)上递增： 当x∈(1，+)时厂'(x)<0x)单周递减： 所以fx)m=f(1)=a-1<0,此时函数无零点，不符合 当u>0时，令f()>0,解得0<<合，令f'()<0,解得x 题意： >。,从面x)在(0，日）上递增，在（合+）递减 当0<a<1时.>1，在0.1).（合，+）上.f()>0, 八x)单调递增： (2)令h(x)=f八x)-g(x)=lnx-r- ,要使x)≤g() ax 在(1，)上，f()<0.x)单调递减：又1)=a-1<0, 恒成立， 只需h(x)≤0恒成立，则h(x)m≤0即可， 由(1)得+n≥1，即n1-,所以hx<,ln在<E h'(x)= x-0- 2=-￥++2.-(am+)m-22 In x<2/x, ax 当x>1时，八x)=- ↓-(a+1)nx>r-↓-2(a+1)G 令()=0，解得=名或x=-会)。 >ax-(2a+3), 4()在(0，)上单调递增，在（名+云上单调递减。 则存在m=(日+2>使得m)>0, 所以=（）=h子-30, 所以)仅在（合，+）有唯一零点，符合题意： 解得>号所以：的最小值为号 当a=1时，)=任-少≥0，所以单满递增，又） x2 3.(1)由x)>4+4可得me-2>4+4,即m>+4+4 =a-1=0 所以爪x)有唯一零点，符合题意： 设g(x)=+4+4则g()=-+2红 e 当4>1时， 合<1，在(0，)(1，+)上 当x≥0时，g(x)≤0，g(x)单调递减.则g(x)n=g(0)=4 f'(x)>0,八x)单调递增： 所以实数m的取值范围为(4，+x), 在（口上，f"()<0)单调递减：此时1）=a-1>0, (2)由到<0可得ame-<0,即m<号 设专则2】 由)得当0<：<1时，h>1-子h,左所以h e 令'(x)=0可得x=0或2. 》 当x∈[-1,0)时，h'(x)<0,h(x)单调递诚： 此时f(x)=a-↓-(a+1)nx<m--2(a+ 当xe(0,2)时，h'(x)>0,h(x)单调递增： 当x∈(2,4]时，k'(x)<0,h(x)单调递诚， -2a出 所以4(：)的极大值为A(2)=专 存在m4a+厅<石使得了(a)<0.所以fx)在 又h(-1)=e>h(2),则h(x)在[-1,4]内的最大值为h(-1) =e, (0,有一个零点，在（什+]无零点。 故m<e,即m的取值范围为(-。，c) 所以八x)有唯一零点，符合题意；综上，“的取值范围为 259第４讲　 利用导数研究不等式问题 !"#$ 　 　 　 明方向　 　 　 １．以导数为工具，通过研究函数的单调性、极值和最值，求解不等式问题； ２．函数不等式中的参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论，是高考的必考内容． %&'( 　 　 　 明体系　 )*+, 　 　 　 明考向　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（多选）（２０２４·新课标全国Ⅰ卷）设函数ｆ（ｘ）＝（ｘ － １）２（ｘ － ４），则 （　 　 ） Ａ． ｘ ＝ ３是ｆ（ｘ）的极小值点 Ｂ．当０ ＜ ｘ ＜ １时，ｆ（ｘ）＜ ｆ（ｘ２） Ｃ．当１ ＜ ｘ ＜ ２时，－ ４ ＜ ｆ（２ｘ － １）＜ ０ Ｄ．当－ １ ＜ ｘ ＜ ０时，ｆ（２ － ｘ）＞ ｆ（ｘ） ２．（２０２４·新课标全国Ⅰ卷）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ２ － ｘ ＋ ａｘ ＋ ｂ（ｘ － １） ３ ． （１）若ｂ ＝ ０，且ｆ ′（ｘ）≥０，求ａ的最小值； （２）证明：曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）是中心对称图形； （３）若ｆ（ｘ）＞ － ２当且仅当１ ＜ ｘ ＜ ２，求ｂ的取值范围． ３．（２０２４·全国甲卷理科）已知函数ｆ（ｘ）＝（１ － ａｘ）ｌｎ（１ ＋ ｘ）－ ｘ． （１）当ａ ＝ － ２时，求ｆ（ｘ）的极值； （２）当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）≥０恒成立，求ａ的取值范围． !"& ４．（２０２４·全国甲卷文科）已知函数ｆ（ｘ）＝ ａ（ｘ － １）－ ｌｎ ｘ ＋ １． （１）求ｆ（ｘ）的单调区间； （２）若ａ≤２时，证明：当ｘ ＞ １时，ｆ（ｘ）＜ ｅｘ － １恒成立． ５．（２０２３·新课标全国Ⅰ卷）已知函数ｆ（ｘ）＝ ａ（ｅｘ ＋ ａ）－ ｘ． （１）讨论ｆ（ｘ）的单调性； （２）证明：当ａ ＞ ０时，ｆ（ｘ）＞ ２ｌｎ ａ ＋ ３２ ． ６．（２０２３·新课标全国Ⅱ卷）（１）证明：当０ ＜ ｘ ＜ １时，ｘ － ｘ２ ＜ ｓｉｎ ｘ ＜ ｘ． （２）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ａｘ － ｌｎ（１ － ｘ２），若ｘ ＝ ０是ｆ（ｘ）的极大值点，求ａ的取值范围． ７．（２０２３·全国甲卷理科）已知ｆ（ｘ）＝ ａｘ － ｓｉｎ ｘ ｃｏｓ３ｘ ，ｘ∈ ０，π( )２ ． （１）若ａ ＝ ８，讨论ｆ（ｘ）的单调性； （２）若ｆ（ｘ）＜ ｓｉｎ ２ｘ恒成立，求ａ的取值范围， !"' ８．（２０２２·新课标全国Ⅱ卷）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘｅａｘ － ｅｘ ． （１）当ａ ＝ １时，讨论ｆ（ｘ）的单调性； （２）当ｘ ＞ ０时，ｆ（ｘ）＜ － １，求ａ的取值范围； （３）设ｎ∈Ｎ，证明： １ １２槡＋ １ ＋ １ ２２槡＋ ２ ＋…＋ １ ｎ２ ＋槡 ｎ ＞ ｌｎ（ｎ ＋ １）． !-./ 　 　 　 提能力　 !"#$`Fa'bc ●5678 利用导数证明不等式的 两个妙招 （１）构造函数法证明不 等式 ①移项，使等式右边为 零，左边构造为新函数． ②求导判断单调性，通 常要对参数分类讨论． ③根据单调性，求出最 值与“０”比较即可 得证． （２）转化函数最值法证 明不等式 ①条件：函数很复杂，直 接求导不可行． ②拆分：把复杂函数拆 分成两个易求最值 函数． ③方法：分别求导，结合 单调性和图象以及极 值、最值，比较得出结 论． ●1234 １．（２０２４·衡水模拟）过点Ｐ（ａ，ｂ）可以作曲线ｙ ＝ ｘ ＋ ｅｘ的两条切线，切点为Ａ，Ｂ． （１）证明：ａ（ｂ － ａ）＞ － １ｅ ； （２）设线段ＡＢ中点坐标为（ｘ０，ｙ０），证明：ａ ＋ ｙ０ ＞ ｂ ＋ ｘ０ ． ●9:;< １．（２０２４·红谷滩区校级模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ＋ ｍｘ （ｍ∈Ｒ）． （１）讨论函数ｆ（ｘ）的单调性； （２）当ｍ ＝ １时，证明：当ｘ≥１时，ｘｆ（ｘ）－ ｅｘ － ｘ ＋ ｅ≤０． !"( !"=$`FadefQ gefhijAk lm ●5678 利用导数解决不等式恒 成立问题、存在性问题 的策略 （１）分离参数后转化为 函数最值问题：将原不 等式分离参数，转化为 不含参数的函数的最值 问题，利用导数求该函 数的最值，根据要求得 所求范围．一般地，ｆ（ｘ） ≥ ａ 恒成立，只需 ｆ（ｘ）ｍｉｎ≥ａ即可；ｆ（ｘ）≤ ａ恒成立，只需ｆ（ｘ）ｍａｘ ≤ａ即可． （２）转化为含参函数的 最值问题：将不等式转 化为某含待求参数的函 数的最值问题，利用导 数求该函数的极值（最 值），伴有对参数的分 类讨论，然后构建不等 式求解． （３）解决存在性问题的 一般思路：根据条件将 问题转化为某函数在该 区间上最大（小）值满 足的不等式成立问题， 然后利用导数求函数在 该区间上的最值，最后 构建不等式求解． ●1234 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　２．（２０２４·保定三模）已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ ＋ ｌｎ（ｘ ＋ １）． （１）若ａ ＝ － ２，求ｆ（ｘ）的单调区间； （２）若ｆ（ｘ）≤０恒成立，求ａ的取值集合． ３．（２０２４·河北保定二模）已知函数ｆ（ｘ）＝（ｘ － ２ｅ２）ｌｎ ｘ － ａｘ － ２ｅ２（ａ∈Ｒ）． （１）若ａ ＝ １，讨论ｆ（ｘ）的单调性； （２）已知存在ｘ０∈（１，ｅ２），使得ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ０）在（０，＋ ∞）上恒成立，若方程ｆ（ｘ０）＝ － ｅｋｘ０ － ２ｅ２ｋｘ０有解，求实数ｋ的取值范围． ●9:;< ２．（２０２４·东湖区校级三模）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ － ａｘ，ｇ（ｘ）＝ ２ａｘ，ａ≠０． （１）求函数ｆ（ｘ）的单调区间； （２）若ａ ＞ ０且ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）恒成立，求ａ的最小值． ３．已知函数ｆ（ｘ）＝ｍｅｘ － ｘ２ ． （１）当ｘ≥０时，若ｆ（ｘ）＞ ４ｘ ＋ ４，求实数ｍ的取值范围； （２）若存在ｘ∈［－ １，４］，使得ｆ（ｘ）＜ ０，求实数ｍ的取值范围． 温馨提示：复习至此，请做练案［４］ !")