第一篇 专题一 第3讲 导数的简单应用-【衡中学案】2025年高考数学二轮总复习学案

第３讲　 导数的简单应用 !"#$ 　 　 　 明方向　 　 　 １．导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点． ２．对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题的第一问． ３．利用导数解决函数的单调性与极值（最值）问题是高考的常见题型． %&'( 　 　 　 明体系　 )*+, 　 　 　 明考向　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（２０２３·全国甲卷文科）曲线ｙ ＝ ｅ ｘ ｘ ＋ １在点１， ｅ( )２ 处的切线方程为 （　 　 ） Ａ． ｙ ＝ ｅ４ ｘ　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ｙ ＝ ｅ ２ ｘ　 　 　 　 　 　 　 Ｃ． ｙ ＝ ｅ ４ ｘ ＋ ｅ ４ 　 　 　 　 　 　 　 Ｄ． ｙ ＝ ｅ ２ ｘ ＋ ３ｅ ４ ２．（２０２３·全国乙卷文科）函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ａｘ ＋ ２存在３个零点，则ａ的取值范围是 （　 　 ） Ａ．（－ ∞，－ ２） Ｂ．（－ ∞，－ ３） Ｃ．（－ ４，－ １） Ｄ．（－ ３，０） ３．（２０２３·新课标全国Ⅱ卷）已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｅｘ － ｌｎ ｘ在区间（１，２）上单调递增，则ａ的最小值为 （　 　 ） Ａ． ｅ２ Ｂ． ｅ Ｃ． ｅ － １ Ｄ． ｅ － ２ ４．（２０２２·全国甲卷）当ｘ ＝ １时，函数ｆ（ｘ）＝ ａｌｎ ｘ ＋ ｂｘ取得最大值－ ２，则ｆ ′（２）＝ （　 　 ） Ａ． － １ Ｂ． － １２ Ｃ． １ ２ Ｄ． １ ５．（２０２２·全国乙卷）已知ｘ ＝ ｘ１和ｘ ＝ ｘ２分别是函数ｆ（ｘ）＝ ２ａｘ － ｅｘ２（ａ ＞ ０且ａ≠１）的极小值点和极大值点．若 ｘ１ ＜ ｘ２，则ａ的取值范围是　 　 　 　 ． ６．（２０２３·全国乙卷理科）已知ａ∈（０，１），函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ ＋（ａ ＋ １）ｘ在（０，＋ ∞）上单调递增，则ａ的取值范围是 　 　 　 　 ． !-./ 　 　 　 提能力　 !"#$N&'OPQ RSTU ●-./0 １．导数的几何意义 函数ｆ（ｘ）在点ｘ０ 处的 导数ｆ ′（ｘ０）的几何意 义是在曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）上 点Ｐ（ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切 线的斜率．相应地，切线 方程为ｙ － ｆ （ｘ０）＝ ｆ ′（ｘ０）（ｘ － ｘ０）． ●1234 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）（２０２４·郑州一模）若函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ ＋ １）＝（ｅｘ － ｅ － ｘ）ｓｉｎ ｘ，则ｆ ′（１）＝ （　 　 ） Ａ． ０　 　 　 　 　 　 Ｂ． １　 　 　 　 　 　 Ｃ． ２　 　 　 　 　 　 Ｄ． － １ （２）（２０２４·香坊区校级四模）设ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ，ｆ１（ｘ）＝ ｆ ′（ｘ），ｆ２（ｘ）＝ ｆ ′１（ｘ），…， ｆｎ ＋ １（ｘ）＝ ｆ ′ｎ（ｘ）则∑ ２ ０２４ ｉ ＝ １ ｆｉ π( )６ 等于 （　 　 ） Ａ． ０ Ｂ．槡３２ Ｃ．槡 ３ － １ ２ Ｄ． １ ２ !"" ２．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 ｆ（ｘ）＝ ｃ（ｃ为常数） ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ｆ（ｘ）＝ ｅｘ ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ｆ（ｘ）＝ ｘα（α∈Ｑ） ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ ｆ（ｘ）＝ ａｘ（ａ ＞ ０，ａ≠１） ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇａｘ（ａ ＞０，ａ≠１） 导函数 ｆ ′（ｘ）＝ ０ ｆ ′（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ ｆ ′（ｘ）＝ ｅｘ ｆ ′（ｘ）＝ １ｘ ｆ ′（ｘ）＝ αｘα － １ ｆ ′（ｘ）＝ － ｓｉｎ ｘ ｆ ′（ｘ）＝ ａｘｌｎ ａ ｆ ′（ｘ）＝ １ｘｌｎ ａ ３．导数的运算法则 （１）［ｆ（ｘ）± ｇ（ｘ）］′ ＝ ｆ ′（ｘ）± ｇ′（ｘ）； （２）［ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）］′ ＝ ｆ ′（ｘ）ｇ（ｘ）＋ ｆ（ｘ）ｇ′（ｘ）； （３） ｆ（ｘ）ｇ（ｘ[ ]） ′ ＝ ｆ ′（ｘ）ｇ（ｘ）－ ｆ（ｘ）ｇ′（ｘ）［ｇ（ｘ）］２ ＝ （ｇ（ｘ） ≠０）． ●5678 １．求曲线过点Ｐ的切线方程的方法 （１）当点Ｐ（ｘ０，ｙ０）是切点时，切线方程为 ｙ － ｙ０ ＝ ｆ ′（ｘ０）（ｘ － ｘ０）． （２）当点Ｐ（ｘ０，ｙ０）不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标Ｐ′（ｘ１，ｆ（ｘ１））； 第二步：写出过点Ｐ′（ｘ１，ｆ（ｘ１））的切线方程ｙ － ｆ（ｘ１）＝ ｆ ′（ｘ１）（ｘ － ｘ１）； 第三步：将点Ｐ的坐标（ｘ０，ｙ０）代入切线方程求 出ｘ１； 第四步：将ｘ１的值代入方程ｙ － ｆ（ｘ１）＝ ｆ ′（ｘ１）（ｘ － ｘ１）可得过点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程． ２．利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得 到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式 （组），进而求出参数的值或取值范围． 提醒：（１）注意曲线上横坐标的取值范围； （２）谨记切点既在切线上又在曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）上． 　 （３）（２０２４·邢台二模）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ２ｌｎ ｘ的图 象在Ａ（ｘ１，ｆ（ｘ１）），Ｂ（ｘ２，ｆ（ｘ２））两个不同点处的切 线相互平行，则下面等式可能成立的是 （　 　 ） Ａ． ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ２　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ １０ ３ Ｃ． ｘ１ｘ２ ＝ ２ Ｄ． ｘ１ｘ２ ＝ １０ ３ （４）（２０２４·抚州模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｅｘ ＋ ｘ（ａ ＞ ０） 在点（０，ｆ（０））处的切线为直线ｌ，若直线ｌ与两坐 标轴围成的三角形的面积为２３ ，则实数ａ ＝（　 　 ） Ａ． １２ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ２３ ●9:;< １．（２０２４·冀州区校级模拟）已知函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ）＝ ｆ ′ π( )３ ｓｉｎ ｘ － ｃｏｓ ｘ，则ｆ ′ π( )３ 的值为 （　 　 ） Ａ．槡３　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ．槡３２ Ｃ． －槡３ Ｄ． －槡３２ ２．（２０２４·新县校级模拟）若过点（１，ａ）仅可作曲线ｙ ＝ ｘｅｘ 的两条切线，则ａ的取值范围是　 　 　 　 　 　 　 　 ． !"=$N&*%&'VWA ●-./0 导数与函数单调性的关系 （１）ｆ ′（ｘ）＞ ０是ｆ（ｘ）为增函数的充分不必 要条件，如函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３在（－ ∞，＋ ∞） 上单调递增，但ｆ ′（ｘ）≥０． （２）ｆ ′（ｘ）≥０是ｆ（ｘ）为增函数的必要不充 分条件，当函数在某个区间内恒有ｆ ′（ｘ） ＝ ０时，ｆ（ｘ）为常数函数，函数不具有单 调性． ●1234 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　２．（１）（２０２４·安徽三模）已知ａ ＝ ｅπ － ３，ｂ ＝ ｌｎ（ｅπ － ２ｅ），ｃ ＝ π － ２，则 （　 　 ） Ａ． ｂ ＜ ｃ ＜ ａ　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ｂ ＜ ａ ＜ ｃ Ｃ． ｃ ＜ ａ ＜ ｂ Ｄ． ｃ ＜ ｂ ＜ ａ （２）（２０２４·承德二模）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２（ｅｘ ＋ ｅ － ｘ），若ａ满足 ｆ（ｌｏｇ４ａ）＋ ｆ（ｌｏｇ０． ２５ａ）＜２ ｅ ＋ １( )ｅ ，则实数ａ的取值范围是 （　 　 ） Ａ． １４ ，＋( )∞ Ｂ．（４，＋ ∞） Ｃ．（０，４） Ｄ． １４ ，( )４ （３）（２０２４·东湖区校级三模）已知函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ， 且ｆ（２）＝ １，对任意ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＋ ｘｆ ′（ｘ）＜ ０，则不等式（ｘ ＋ １）ｆ（ｘ ＋ １）＞ ２的解集是 （　 　 ） Ａ．（－ ∞，１） Ｂ．（－ ∞，２） Ｃ．（１，＋ ∞） Ｄ．（２，＋ ∞） !"# ●5678 １．利用导数比较大小的方法 （１）若已知函数解析式比较函数值的大 小，首先要判断已知函数的单调性，根据单 调性比较大小． （２）若是比较数值的大小，其关键是利用 题目条件中的不等关系构造辅助函数，并 根据构造的辅助函数的单调性比较大小． ２．根据函数单调性求参数的一般思路 （１）利用集合间的包含关系处理：ｙ ＝ ｆ（ｘ） 在（ａ，ｂ）上单调，则区间（ａ，ｂ）是相应单调 区间的子集． （２）ｆ（ｘ）为增（减）函数的充要条件是对任意 的ｘ∈（ａ，ｂ）都有ｆ ′（ｘ）≥０（ｆ ′（ｘ）≤０），且在 （ａ，ｂ）内的任一非空子区间上，ｆ ′（ｘ）不恒 为零，应注意此时式子中的等号不能省略， 否则会漏解． （３）函数在某个区间上存在单调区间可转 化为不等式有解问题． ●9:;< ３．（２０２４·河北模拟）已知ａ ＝ ｓｉｎ ０． ５，ｂ ＝ ３０． ５，ｃ ＝ ｌｏｇ０． ３０． ５，则ａ， ｂ，ｃ的大小关系是 （　 　 ） Ａ． ａ ＜ ｂ ＜ ｃ Ｂ． ａ ＜ ｃ ＜ ｂ Ｃ． ｃ ＜ ａ ＜ ｂ Ｄ． ｃ ＜ ｂ ＜ ａ ４．（２０２４·东湖区校级二模）若函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ（ａｘ ＋ １）在（１，２）上 单调递减，则实数ａ的取值范围是 （　 　 ） Ａ．（－ ∞，０） Ｂ． － １２ ，( )０ Ｃ． － １２ ，[ )０ Ｄ．［－ １，０） ５．（２０２４·南明区校级一模）已知定义域为Ｒ的函数ｆ（ｘ），其导 函数为ｆ ′（ｘ），且满足ｆ ′（ｘ） － ２ｆ（ｘ） ＜ ０，ｆ（０） ＝ １，则 （　 　 ） Ａ． ｅ２ ｆ（－ １）＜ １ Ｂ． ｆ（１）＞ ｅ２ Ｃ． ｆ １( )２ ＞ ｅ Ｄ． ｆ（１）＜ ｅ ｆ １( )２ !"@$XMN&3Y%&'Z[*\[ ●-./0 可导函数的极值与最值 （１）若在ｘ０ 附近左侧 ｆ ′（ｘ）＞０，右侧ｆ ′（ｘ）＜ ０，则ｆ（ｘ０）为函数ｆ（ｘ） 的极大值；若在ｘ０ 附近 左侧ｆ ′（ｘ）＜ ０，右侧 ｆ ′（ｘ）＞ ０，则ｆ（ｘ０）为 函数ｆ（ｘ）的极小值． （２）设函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在 ［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ） 内可导，则ｆ （ｘ）在 ［ａ，ｂ］上必有最大值和 最小值且在极值点或端 点处取得． ●1234 ３．（１）（２０２４·河南模拟）已知函数ｆ（ｘ）的导函数为ｆ ′（ｘ），且ｆ（ｘ）＝ － ３７ ｆ ′（３）ｌｎ ｘ － ｆ（１）ｘ ２ － ４ｘ，则ｆ（ｘ）的极值点为 （　 　 ） Ａ． ３２或 １ ２ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． １ ２ Ｃ． － １２或 ３ ２ Ｄ． ３ ２ （２）（２０２４·河南一模）函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘ ＋ ｜ ｌｎ ｘ ＋ １ ｜的最小值为 （　 　 ） Ａ． ｅｅ Ｂ． ｅ １ ｅ Ｃ． ｅ １ ２０ ＋ ｌｎ ２ Ｄ． ｅｅ ＋ ２ （３）（２０２４·承德二模）设ａ为实数，若函数ｆ（ｘ）＝ １３ ｘ ３ － ａｘ２ ＋ ３在ｘ ＝ １处取得极 小值，则ａ ＝ （　 　 ） Ａ． １ Ｂ． １２ Ｃ． ０ Ｄ． － １ （４）（２０２４·大连模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｅ２ａｘ － ３ｌｎ ｘ，若ｆ（ｘ）＞ ｘ３ － ２ａｘ恒成立，则 实数ａ的取值范围为 （　 　 ） Ａ． ０，３( )２ｅ Ｂ． ３２ｅ，＋( )∞ Ｃ． ０，３( )ｅ Ｄ． ３ｅ ，＋( )∞ !"$ ●5678 １．求函数的极值或极值点的步骤 （１）求导数ｆ ′（ｘ），不要忘记函数ｆ（ｘ）的定 义域． （２）求方程ｆ ′（ｘ）＝ ０的根． （３）检查在方程的根的左右两侧ｆ ′（ｘ）的 符号，确定极值点或函数的极值． ２．求函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上最值的方法 （１）若函数在区间［ａ，ｂ］上单调递增或递 减，ｆ（ａ）与ｆ（ｂ）一个为最大值，一个为最 小值． （２）若函数在闭区间［ａ，ｂ］内有极值，要先 求出［ａ，ｂ］上的极值，与ｆ（ａ），ｆ（ｂ）比较， 最大的是最大值，最小的是最小值，可列表 完成． （３）函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上有唯一一个 极值点，这个极值点就是最大（或最小）值 点，此结论在导数的实际应用中经常用到． ●9:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　６．（２０２４·青龙县校级模拟）已知０是函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ａｘ２ ＋ １的 极大值点，则ａ的取值范围为 （　 　 ） Ａ．（－ ∞，０）　 　 　 　 　 　 Ｂ．（０，＋ ∞） Ｃ． － ∞，－ ２( )３ Ｄ． － ２３ ，＋( )∞ ７．（２０２４·石家庄模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘｘ，ｘ∈（０，＋ ∞），则下列 命题不正确的是 （　 　 ） Ａ． ｆ（ｘ）有且只有一个极值点 Ｂ． ｆ（ｘ）在１ｅ ，＋( )∞ 上单调递增 Ｃ．存在实数ａ∈（０，＋ ∞），使得ｆ（ａ）＝ １ｅ Ｄ． ｆ（ｘ）有最小值１ ｅ １ ｅ !"]$%&'Z[H\['^_LM ●5678 等价转化思想在解决极值与 最值问题中的应用 （１）函数在某一区间上有极值 （点），可以转化为方程满足某 种条件的解． （２）求函数的极值、最值问题， 可以转化为函数的单调性 问题． （３）与函数极值、最值有关的 参数问题，可以转化为解方 程、不等式问题，而某些方程 有解、不等式有解、不等式恒 成立问题则可以转化为函数 的最值问题． ●1234 ４．（１）（多选）（２０２４·东湖区校级四模）已知ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ｘｌｎ ｘ ＋ ２，ｇ（ｘ）＝ ｆ（ｘ） － ｅｘ，则 （　 　 ） Ａ．函数ｆ（ｘ）在１４ ，[ )１ 上的最大值为３ Ｂ．ｘ ＞ ０，ｆ（ｘ）＞ ２ Ｃ．函数ｇ（ｘ）在（３，４）上没有零点 Ｄ．函数ｇ（ｘ）的极值点有２个 （２）（２０２４·赣州模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｅｋｘ ＋ １，ｇ（ｘ）＝ １ ＋ １( )ｘ ｌｎ ｘ．若ｋｆ（ｘ） ≥ｇ（ｘ），则ｋ的取值范围为 （　 　 ） Ａ．（０，ｅ］　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ．［ｅ，＋ ∞） Ｃ． １ｅ ，＋[ )∞ Ｄ． ０，１( ]ｅ （３）（２０２４·盐山县校级三模）若函数ｆ（ｘ）＝ ｘｅｘ － ｘ － ｌｎ ｘ ＋ ａ － ２有两个零 点，则实数ａ的取值范围是 （　 　 ） Ａ．（－ ∞，１］ Ｂ．（－ ∞，０］ Ｃ．（－ ∞，０） Ｄ．（－ ∞，１） ●9:;< ８．（２０２４·河北模拟）设函数ｆ（ｘ）＝（ｘ － ａ）ｓｉｎ ａｘ，若存在ｘ０使得ｘ０既是ｆ（ｘ） 的零点，也是ｆ（ｘ）的极值点，则ａ的可能取值为 （　 　 ） Ａ． ０ Ｂ．槡π Ｃ． π Ｄ． π２ ９．（２０２４·上饶二模）已知关于ｘ的不等式ａｅｘｘ － ２ｌｎ ｘ － ２ｘ － ２≥０恒成立，ａ 的最小值为ｍ，则ｆ（ｘ）＝ｍｓｉｎ ｘ ＋ ｓｉｎ ２ｘ的最小值为　 　 　 　 　 　 ．（其中ｅ 为自然对数的底数） 温馨提示：复习至此，请做练案［３］ !"% =lg2-1g3, 故a>1不符合题意，若0<a<1时，则方程2lna·a°-2ex= 即1品是-号08终-845血故选B 0的两个根为无，， 即方程na·a=cx的两个根为无， 4C设至少需要小时，则120(1-20%)广<20，即（告） 即函数y=na·a'与函数y=x的图象有两个不同的交点」 0<a<ㄧ，∴.函数y=a的图象是单调递减的指数函数， 6 又：lna<0,∴y=lna·a的图象由指数函数y=a向下关 于x轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不 所以x> -1g6 1g6 1g2+lg238.022. 变，纵坐标伸长或缩短为原来的1l血al倍得到，如图所示： 4g4-lg5lg5-lg4=1-3g2 即他能驾驶需要8.022小时.故选C 第3讲导数的简单应用 gx)-Inio·t 真题再现明考向 1.C设曲线y=÷在点（小，受）处的切线方程为y-亏=（✉ -1), 因为y=÷所以y= (x+1)2 (x+1),所以k= 设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(， 1=所以y-号=(-） lna·a9) 则切线的斜率为g'()=n'a·a”, 所以曲线本在点(，受）处的切线方程为y=京+子 故切线方程为y-lna·a"=lna·a(x-), 2.B因为代x)=x2+a+2,所以f'(x)=3x2+a,若a≥0x) 则有-n0”=-6la,解得= 单调递增，只有1个零点，不满足题意，所以《<0，由∫'(x)= 则切线的斜率为lna·a=elna, 0得x=±√号，结合f(x)的图象，可得/（√ 因为函数y=na·a”与函数y=ex的图象有两个不同的 交点 (-√号)<0，即+4<0，所以a<-3,故选R 所以en2a<e,解得<a<e, 3.C依题可知了'(x)=ae-上≥0在(1,2)上恒成立，显然 又0<a<1,所以上<a<1,综上所述，u的范围为（日， a>0,所以0≥ 设g(x)=xe,xe(1,2),所以g'(x)=(x+1)c>0,所以 6[5,）方法-因为0e0,)=+a+1八，所 g(x)在(1,2)上单调递增， 以f'(x)=alna+(a+1)ln(a+1),设g(x)=f'(x), g(x)>g1)=e,故e≥，即≥=。，即a的最小值为 则g'(x)=a(lna)2+a+"[ln(a+1)]2>0,所以f'(x)在 (0,+%)上单调递增，f'(x)>f'(0),因为f(x)=a+ e.故选C (+1)在(0，+%)上单调递增，所以f'(0)=na+n(a+1)≥0， 4.B因为函数代x)定义域为(0，+)，所以依题可知，八1)= 即a(a+1)≥L,解得5≤a<1,所以。的取值范围 2/"(1)0,而f"(0=是-名，所以6=-2.4-b=0,即 。=-26=-2.所以)=-是+是因此两数)在0， 5小 方法二：由函数的解析式可得∫'(x)=an:+(1+a)n(1+ 1)上递增，在(1，+)上递减.x=1时取最大值，满足题意， a)≥0在区间(0，+)上恒成立，则 即有(2)=-1+号=-分放选B +oh1+o)≥-h,即（）≥在区间 5(日）了"()=2ha·。-2a,因为分别是函数 (0,+0)上恒戒立， f代x)=2a-ex2的极小值点和极大值点. 故9-1>-ba面a+11,2.放h1+e) 所以函数八x)在(-0，)和(：，+)上递减，在(x,名)上 >0. 递增， 所以当x∈(-0，x)U(2,+0)时/'(x)<0,当xe(x, h(a+1≥-n即a(a+l)引故5-l≤a<1. l0<a<1 l0<a<1, 2 x)时f'(x)>0. 若a>1时，当x<0时，2lna·a>0,2ex<0,则此时f'(x)> 结合题意可得实数。的取值范起[5，小 0,与前面矛盾， 250 考点突破提能力 考点一 典例研析 1.(1)A(2)A(3)B(4)C(1)由fx+1)=(e-e*)sinx 两边分别求导得：∫'(x+1)= (e'+e)sinx+(e'-e)cos x, 当x=0时f'(1)=(e°+e”)sin0+(e°-e")cs0=0.所以 f'(1)=0.故选A (2f八x)=sinx,∴.f(x）=cosx5(x）=-sinx(x）= -sx(x)=ink,6()=ms名，f(君）+6（石）+ 若过点(1，)仅可作曲线y=e的两条切线，则只需y=a与 y=g(x)有两个交点， (8）+6(）=0且2024=4×506 .只需0≤a<e,或u=-5e 考点二 +()=0故选1 典例研析 (3)由八x)=产+2nx,得f'(x)=2x+2 2.(1)A(2)D(3)A(1)n=e-3=e-2-1,b=ln(er-2e)） =n(r-2)+1, 则f(x)=24+2∫'()=2x+2 令fx)=e-(x>1), 则f'(x)=e-1>0在(1，+)上恒成立， 依题意可得2近+2=2互+名，且>0x0×利 故fx)在(1，+)上单调递增， 则f爪r-2)=e21-(m-2)>1)=0,即4>c, “2=1,则1+出>2√属名=2 令g(x)=lnx-x+1(x>1), 经验证，当西分别取3.写时，+与=9调足题意故 则g)=士-1生<0在，+)上恒成立。 选B. 故g(x)在(1，+x)上单调递减， (4)由f八x)=ae+x(a>0),得f'(x)=ae+1(a>0), g(m-2)=ln(m-2)+1-(m-2)<g(1)=0,即6<c, ∴f'(0)=a+1,又f0)=a, 故b<e<a.故选A 切线1的方程为y=(a+I)x+a, (2)由题意可知，函数fx)=x(e+e),定义域为R, 取x=0,得y=a,取y=0,得x=- 又因为f-x)=(-x)(e2+e)=八x), a+1 所以函数代x)为偶函数， 六直线1与两坐标轴闲成的三角形的面积S= 2·a a+1 所以loga)=X-loga)=foga),故a满足(loga）< 子.解得a=2(负值舍去).故选C 跟踪训练 当x≥0时f'(x)=x2(g-e)+2x(e+e）, 因为m(x)=e2-e在[0，+g)单调递增， 1Af=时（胃）=+mf()(）+受 且m(x)=e-e≥m(0)=0,所以f'(x）≥0. 因此fx)在(0，+）上单调递增， (）=原故选A 2.0≤4<e,或4=-5e2设切点坐标为(o0),由y=和， 在(-x,0)上单调递减，注意到1)=e+ e 得y'=-(x+1)e 1 因此-1<bg:a<l,即log4<log,a<log4, y'1x=。=(+1)e”,切线方程为y-xeo=(。+1)eo (x-0), 解出。的取值范围是（行小故选D 又由切线过(1，a).可得为a-xe”=(x+1)e"(1-), (3)设g(x)=x),则g(x)=fx)+'(x)<0, 整理得a=(-x2+o+1)e0, 所以g(x)在R上单调递减，又g(2)-22)-2, 令g(x)=(-2+x+1)e,则g'(x)=(-2x+1)e'+(-x2+ 由(x+1)/x+1)>2,即g(x+1)>g(2),所以x+1<2,所以 x+1)e=(-x2-x+2)e, <1,故选A. 令g'(x)>0,解得-2<x<1,令g‘(x)<0,解得x<-2,或x跟踪训练 >1. “g(x)在(-x,-2)上单调递诚，(-2,1)上单调递增，(1， 3B设函数)=-血e(0,受） +)上单调递减， g(1)=e>0,g(2)=-e2,当x→+0时，g(x)<0. 则f'()=1-m≥0)在(0，受）上单调递增。 当x<-2时，-x2+x+1<0, )>0)=0,即>如05>0.5.即a< g(x)<0,且g(-2)=-5e- 故可作出g(x)的大致图象如图所示， :=gyva3<le,v05=g0.5<g03=l, 251- <c<1, 则)≥f(白）=e+h。+l=e, 34>3°=1.b>1.a<c<h.故选B. 当0<x<时x)=e-nx-1, 4.C由题可得a≠0. 令=ax+1,则y=lna, 求导得∫'(x)=-上<e-e<0(x)单调递减， 因为函数y=nu在(0，+%）上单调递增， 所以M=ax+1在(1,2)上单调递减，且u(x)>0在(1,2)上 因此)>/（日）=e÷-h。-1=e 恒成立， 所以c0. 所以爪x)的最小值为e.故选B. 2a+1≥0，解得-2≤a<0. (3)由题可得f'(x)=x2-2ax=x(x-2a), 即实数a的取值范国是[-分0小放选C 令f'(x)=0,解得x=0或x=2a, 5Dg()=但，则g(）=2c 因为函数x)=了-m2+3在x=1处取得极小值，所以 (e") =(x)-2x 2a=1,即a=分 e 因为f'(x)-2尔x)<0在R上恒成立， 当a=时/()=x-)/"()>0=x<0或x>1 所以g'(x)<0在R上恒成立，故g(x)在R上单调递减， f"(x)<0=0<x<1, 所以g(-1)>g(0)-2=-1)>02=1,放A不正 所以函数代x)在(0,1)上单调递减，在(-，0)，(1，+3)上 单调递增，满足题意.故选B (4)f(x>x2-2x等价于em+2ar>x+3nx=e"·+ 所以D<g0),即9<0，甲)<e0)= 3ln x, 令g(x)=e+x,期g(x)=e+1>0,所以g(x)是增函数， 故B不正确： 所以e2+2r>e+3nx等价于g(2ar)>g(3nx), 所以2ar>3nx(x>0).所以2a>3n￥ 正确： 令h()=3血三，则h'(x)_3-3n三 x 所以在(0，e)上，'(x)>0,g(x)单调递增， 在(e,+)上，'(x)<0,h(x)单调递诚， 确.故选D. 所以4(=he)=是.故2a>2 考点三 典例研析 所以实数：的取值范围为（品，+ 3(1)D(2)B(3)B(4)B(因为)=-千'(3)hmx- 故选B 跟踪训练 f1)x2-4x,x>0. 6.Af'(x)=3x2+2ar=x(3x+2), 所以代1)=-1)-4，所以代1)=-2. 所以)=-f'(3)n+2x-4, 令f'()=0,可得x=0或=-号 因为0是函数fx)=x+2+1的极大值点， 因为f'=-3)士+4-4 所以-号>0，解得a<0, 所以"3)=-(3)·号+8，解得/(3)=7. 所以a的取值范固为(-g,0).故选A 7.C由y=x得lny=xnx,令：=xnx, 所以)=-号×7h+22-4=-3hx+22-4, 则函数：=xnx可以看作为函数：=lny与函数y=x的复合 所以f"(x)=-2+4x-4=4-4-3-(2x+)(2-3) 函数， 因为：=lny为增函数 令f"()=0得=舍去)或x=子 所以z=xnx与y=x单调性，图象变换等基本一致， '=lnx+1,由'=0得x= 上，列表如下： 所以在(0，)上/"(x)<0x)单调递减， 在（子，+上了(s)>0,)弹调递增。 1 e 所以)的极值点为=子放选D 0 (2)当≥。时代)=e+nx+1x)单调递增， 252 由表知，=血在(0，上单调递减，在（合，+=）上单调 若函数g(x)有2个极值点，则g(x)=0有两个实数根， 递增， 设m(x)=g'(x)=2x+nx+1-e(x>0),则m'(x)=2+ 所以在x=。时，取得极小值（最小值）- (x>0), 所以八x)=在(。，+云)上单调递增，在x=。时，取得唯 因为当x>0时，m()=2+>0, 所以m(x)在(0，+0)上单调递增，即g'(x)在(0，+x)上单 极值（极小值，也是最小值）（日）=士 词递增， 所以g(x)=0在(0，+e)至多有1个实数根，故D错误.故 选AC. 故AB,D正确：因为)的最小值（日）广>。，所以不存在 (2)因为八x)=e“+1,所以x)=k(“+1), 实数ae(0,+x),使得a)=上，故C错误.故选C 由机)≥g)得(e+)≥+h(x>0), 即hx(e+1)≥(1+x)lnx(x>0), 考点四 即lne“·(e+1)≥(1+x)nx(x>0) 典例研析 构造函数h(x)=(1+x)1nx(x>0), 4.(1)AC(2)C(3)D(1)f‘(x)=2x+nx+1,g'(x)= lne·(e+I)≥(1+x)lnx(x>0)可化为(e“)≥h(x) 2x+In x+1-e. (x>0), 令h(x)=f'(x)=2x+lnx+1(x>0).则h'(x)=2+ 1 ->0 因为hr(x)=nx++1(x>0),令()=nx+上+1(x> 恒成立， 0) 所以了()在合，小止单调递增.则"()≥（付）子 则r(0=亭学>0，令化=0，解得1 n4=3-n16>0. 所以x∈(0,1)时，'(x)<0,(x)在(0,1)上单调递减. 2 所以x∈(1，+)时.(x)>0,(x)在(1，+x)上单调递增. 所以x)在片小上单调递增，所以x)=1)=3,故A 所以x=1时，(x)取得最小值，即(x)m=(1)=2>0, 所以(x)>0在xE(0,+)上恒成立，即'(x)>0在xe(0,+) 正确： 上恒成立， 由选项A得h(x)=2x+1nx+1(x>0),则h'(x)=2+1>0 所以h(x)在x∈(0，+0)上单调递增，因为h(e“)≥h(x)(x 恒成立。 >0) 所以(x)在(0，+)上单调递增，又因为(）>0，( 所以。≥(x>0),≥nx(x>0),k≥血气x>0). -1<0 令m(x)=气x>0).则m'(x)=-h(x>0). 令m'(x)=0,即1-lnx=0,解得x=e, 所以名∈（侵，）使得6(）=0，即2x,+n气+1=0， 所以x∈(0，e)时，m'(x)>0,m(x)在(0，e)上单调递增， 当气e(信)时，A()<0,即f(）<0,所以在 xe(e,+)时，m'(x)<0,m(x)在(0，e)上单调递减， 所以x=e时，m(x)取得最大值，即m(x)=m(e)= e (侵上单调递减。 所以m()≤。所以≥。，即k的取值范国为[日+】 当6e(,)时，h()>0,即f'()>0,所以)在 故选C. (,上单调递增。 (3)令八x)=xe-x-lnx+a-2=0, 所以xe'-x-lnx=emx-(x+lnx)=2-a. 所以当x=。时x)取得极小值也是最小值 令F(x)=em-(x+lnx),定义域为(0，+)，y=2-a, f八x)=后+nln+2=6+x(-2x-1)+2= 令t=x+lnx,易知t(x)在(0，+)上单调递增，且1∈R 所以F(x)=g()=e'-, 则函数八x)有两个零点转化为函数g()='-1的图象与直 其中e(信）所以)>(）-故B错误： 线y=2-a有两个交点. 则g'(t)=e-1,当t<0时，g'()<0:当1>0时，g'(t)> g'(x)=2x+Inx+1-e, 0. 当x∈(3,4)时，g'(x)>0 即g(t)=e-t在(-，0)上单调递减，在(0+∞)上单调 所以g(x)在(3,4)上单调递增， 递增， 所以g(x)>g(3)=11+3n3-3e>0, 所以g()≥g(0)=e”-0=1,当1一-时，()→+；当 所以函数g(x)在(3,4)上没有零点，故C正确： 1-++x时，g(1)→+x, 253 则y=2-a>1,解得a<1,即实数：的取值范围是(-x, 所以八2-x)>f(x),正确故选ACD. 1).故选D 跟踪训练 2(1)b=0时)=h2产+，其中xa(0,2. 8.Bf'(x)=sin ax+(r-a)csax,令f八x)=(无-a)sina=0, 士2+w22 期f()= x(2-x)+a,xe(0,2). 有6=u或sin。=0, x=a时厂'(x）=0可得sina=0,即sina2=0,则a=kx, 因为(2-)≤(2=1，当且仅当x=1时等号成立. a=k(kEN). 故∫'(x)m=2+4,而∫'(x)≥0成立，故a+2≥0即a≥-2， sina,=0时f'(n)=0,可得a(o-a)c0sa0=0,由cos aro 所以a的最小值为-2 *0. 有a=0或=4，可得a=√云(keN), (2)证明x)=ln2+a+6(x-1少的定义域为(0,2). 又a=0时f(x)是常函数，不存在极值点，故a=√行（∈ 设P(m,n)为y=代x)图象上任意一点 N“).=1时可取云，故选B. P(m,n)关于(1，a)的对称点为Q(2-m,2a-n), 9-33 = 因为P代m,n)在y=)图象上，故n=h2”n+m+b(m- 2 依题意a≥2血x+x+1)-2(nx+x+1业 e'x e'el 1) 2(nx+x+12恒成立 面f(2-m)=n2-m+4(2-m)+b(2-m-1) m 令1=nx+.leR,g0)=2+D.g0)=二2 e -[in2"tom+(m-1)]+2a=-n+2a. 当1<0时g'()>0,1>0时.g()<0, 所以Q(2-m,2-n)也在y=八x)图象上 所以g()最大值为g(0)=2,即a≥2.得m=2 由P的任意性可得y=八x)图象为中心对称图形，且对称中心 由题意可得T=2π是f（x)=2sinx+sin2x的一个周期， 为(1，a) 所以求f八x)的最小值可考虑求八x)在[0,2π)上的最小值， (3)因为f八x)>-2当且仅当1<x<2,故x=1为八x)=-2 由fx)=2sinx+sin2x,得f'(x）=2cosx+2cos2x=40s2x 的一个解， +2c0sx-2, 所以八1)=-2即a=-2, 由/"()=0，得s=或m=-1 先考虑1<x<2时(x)>-2恒成立 5e[0,2m)时，解得x=号或x=受或= 此时)>-2即为n2若+2(1-)+6(x-1)'>0在 (1,2)上恒成立 5 因为)=2nx+m2x的最值只能在=号=号x 设=-1e(0.),则出-21+>0在0D上标 T,或x=0时取到， 成立 设g(0)=n±-2+bd,1e(0,1). 1-t 所以函数x)的最小值为-3,5 2 喝0=己-2+3w-3+2+3 2 1- 第4讲 当b≥0.-3bM2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0 利用导数研究不等式问题 故g'()>0恒成立.故g()在(0,1)上为增函数 真题再现明考向 故g()>g(0)=0即f八x)>-2在(1,2)上恒成立 1.ACD对A,因为函数fx)的定义域为R, 当-子≤6<0时，-3M+2+36≥2+36≥0. 而∫'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3). 易知当xe(1,3)时f'(x)<0,当xe(-%,1)或xe(3, 故：()≥0恒成立，故g()在(0,1)上为增函数， +e)时，f(x)>0 故g()>g(0)=0即八x)>-2在(1,2)上恒成立 函数八x)在(-，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在 当6<- 则当0<1<√+品<1时，g0<0, 2 (3,+)上单调递增， 故x=3是函数代x)的极小值点，正确： 放在(0，√+品上)为减函数，故g)<80)=0,不合 对B,当0<x<1时，x-x2=x(1-x)>0,所以1>x>x2>0, 而由上可知，函数∫(x）在(0，I)上单调递增，所以 题意，舍： 八x)>八x),错误： 综上爪)>-2在(1,2)上恒成立时6≥-子 对C,当1<x<2时，1<2x-1<3,而由上可知，函数f(x)在 (1,3)上单调递减， 而6≥-号时，由上述过程可得g)在(0,1)递增，放g0)> 所以f1)>f2x-1)>f3).即-4<f(2x-1)<0,正确：对 0的解为(0,1)， D.当-1<x<0时， f2-x)-f八x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)= 即x)>-2的解为(1,2.综上，6≥-号 (x-1)2(2-2x)>0. 3.(1)当a=-2时fx）=(1+2x)n(1+x)-x, 254