第一篇 专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程-【衡中学案】2025年高考数学二轮总复习学案

当ｘ ＝ ０时，ｙ ＝ ｆ（４）＞ ０，Ｃ不可能； 当ｘ ＝ ０时，ｙ ＝ － ｆ（４）＜ ０，Ｄ不可能； 当ｘ ＝ ０ 时，ｙ ＝ ｆ（１）＝ ０，而当ｘ ＜ ０ 时，１ － １２ ｘ ＞ １， 则ｆ １ － １２( )ｘ ＞０，Ａ可能； 当ｘ ＝ ０时，ｙ ＝ － ｆ（１）＝ ０，而当ｘ ＜ ０时，１ － １２ ｘ ＞ １， 则－ ｆ １ － １２( )ｘ ＜ ０，Ｂ不可能．故选Ａ． ６． Ｃ　 由图（ａ）可知，方程ｆ（ｘ）＝ ０在［－ ａ，ａ］上有三个实数解， 由图（ｂ）可知，函数ｇ（ｘ）在［－ ａ，ａ］上单调递减，且值域为 ［－ ａ，ａ］， 所以方程ｆ （ｇ（ｘ））＝ ０有三个实数解．故选Ｃ． 考点三 典例研析 ３．（１）Ａ　 （２）Ａ　 （３）Ｃ　 （４）Ｃ　 当－ ２ ＜ ｘ ＜ ０时，ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ｘ ＝ ｘ ＋( )１２ ２ － １４ ，故当ｘ ＝ － １ ２时，ｆ（ｘ）有最小值为－ １ ４ ； ０≤ｘ ＜ ｃ时，ｆ（ｘ）＝ －槡ｘ单调递减，所以－槡ｃ ＜ ｆ（ｘ）≤０， 由题意ｆ（ｘ）存在最小值，则－槡ｃ≥ － １４ ，解得０ ＜ ｃ≤ １ １６，即ｃ的 最大值为１１６ ．故选Ａ． （２）因为ｆ（ｘ）为偶函数，所以ｆ（－ ｘ）＝ ｆ（ｘ）， 则ｆ －２( )２３ ＝ ｆ ２( )２３ ＝ ｌｏｇ４２ ２ ３ － １ ＝ ｌｏｇ ２２２ ２ ３ － １ ＝ ｌｏｇ２２ １ ３ － １ ＝ １ ３ －１ ＝ － ２ ３ ．故选Ａ． （３）由ｆ（ｘ）为定义在Ｒ上的奇函数，故ｆ（０）＝ － ｆ（０），即 ｆ（０）＝ ０，故Ａ正确； 由ｆ（ｘ ＋ ２）＋ ｆ（ｘ）＝ ０，则ｆ（ｘ ＋ ４）＋ ｆ（ｘ ＋ ２）＝ ０，即有ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ ＋ ４）， 故ｆ（ｘ）是以４为周期的周期函数，故Ｂ正确； 由２ ０２４ ＝ ４ × ５０６，ｆ（２ ０２４）＝ ｆ（０）＝ ０，故Ｃ错误； 由ｆ（ｘ ＋ ２）＋ ｆ（ｘ）＝ ０，故ｆ（３）＋ ｆ（１）＝ ０，又ｆ（４）＝ ｆ（０）＝ ０， 故ｆ（１）＋ ｆ（３）＝ ｆ（４），故Ｄ正确．故选Ｃ． （４）令ｘ ＝ １，ｙ ＝ － １，ｆ（－ １）＝ ｆ（１）＋ ｆ（－ １）－ １，所以ｆ（１） ＝ １； 令ｘ ＝ － １，ｙ ＝ － １，ｆ（１）＝ ｆ（－ １）＋ ｆ（－ １）－ １则ｆ（－ １）＝ １． 令ｙ ＝ － １，得ｆ（－ ｘ）＝ ｆ（ｘ），故ｙ ＝ ｆ（ｘ）（ｘ≠０）为偶函数，Ａ 错误， 任取ｘ１，ｘ２∈（０，＋ ∞），ｘ１ ＜ ｘ２，则ｘ２ｘ１ ＞ １， 则ｆ（ｘ２）＝ ｆ（ｘ１）＋ ｆ ｘ２ｘ( )１ － １ ＜ ｆ（ｘ１），故ｙ ＝ ｆ（ｘ）（ｘ≠０）在 （０，＋ ∞）上为减函数． 由已知ｆ（２ｘ ＋ １）＞ １，可得ｆ（ ２ｘ ＋ １ ）＞ ｆ（１），故２ｘ ＋ １ ＜ １，解得－ １ ＜ ｘ ＜ ０，且ｘ≠ － １２ ，Ｂ错误， 若ｆ（２）＝ １２ ，则ｆ（１ ０２４）＝ ｆ（２ １０）＝ ｆ（２９）＋ ｆ（２）－ １ ＝ １０ｆ（２） － ９ ＝ － ４，Ｃ正确， 若ｆ ( )１２ ＝ ２，则ｆ １２( )２ ＝ ２ｆ ( )１２ － １ ＝ ３，ｆ １２( )４ ＝ ２ｆ １２( )２ － １ ＝ ５， ｆ １２( )５ ＝ ｆ ( )１２ ＋ ｆ １２( )５ － １ ＝ ６，所以ｆ １( )１ ０２４ ＝ ２ｆ １２( )５ － １ ＝ １１，Ｄ错误，故选Ｃ． 跟踪训练 ７． Ｂ　 因为ｆ（ｘ ＋ ２）＝ － １ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ ＋ ４）＝ － １ ｆ（ｘ ＋ ２）＝ － １ － １ｆ（ｘ） ＝ ｆ（ｘ）， 所以ｆ（ｘ）是以４为周期的周期函数， 所以ｆ（９９）＝ ｆ（３ ＋ ９６）＝ ｆ（３）＝ １ ＋ ｌｏｇ３３ ＝ ２．故选Ｂ． ８． ＡＣＤ　 ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上连续的奇函数，则ｆ（－ ｘ）＝ － ｆ（ｘ）， 两边求导可得－ ｆ ′（－ ｘ）＝ － ｆ ′（ｘ），所以ｆ ′（－ ｘ）＝ ｆ ′（ｘ）， 因为ｇ（ｘ）为ｆ（ｘ）的导函数，所以有ｇ（－ ｘ）＝ ｆ ′（－ ｘ）＝ ｆ ′（ｘ）＝ ｇ（ｘ），即ｇ（ｘ）为偶函数，故Ａ正确； 若ｆ（４ｘ）＝ ｆ（２ － ４ｘ），则ｆ（ｘ）＝ ｆ（２ － ｘ），则ｆ（１ ＋ ｘ）＝ ｆ（１ － ｘ）， 所以ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ ＝ １对称，故Ｂ错误； 因为ｆ（ｘ）＝ ｆ（２ － ｘ），所以ｆ ′（ｘ）＝ － ｆ ′（２ － ｘ），即ｇ（ｘ）＝ － ｇ（２ － ｘ），又ｇ（ｘ）为偶函数，所以ｇ（ｘ）＝ － ｇ（ｘ － ２），所以 ｇ（ｘ ＋ ２）＝ － ｇ（ｘ）， 所以ｇ（ｘ ＋ ４）＝ － ｇ（ｘ ＋ ２）＝ ｇ（ｘ），故４为ｇ（ｘ）的周期，故Ｃ 正确； 当ｘ∈［－ ２，－ １］时，ｇ′（ｘ）＞ ０，则ｇ（ｘ）在区间［－ ２，－ １］上 为增函数， 由ｇ（ｘ）为偶函数，可得ｇ（ｘ）在区间［１，２］上为减函数， 由４为ｇ（ｘ）的周期，可得ｇ（ｘ）在区间［２，３］上为增函数， 则ｇ（ｘ）在区间［２ ０２５，２ ０２６］上为减函数，在［２ ０２６，２ ０２７］上 单调递增， 故ｇ（ｘ）在ｘ ＝ ２ ０２６处取得极小值，故Ｄ正确．故选ＡＣＤ． 第２讲　 基本初等函数、函数与方程 真题再现明考向 １． Ｃ　 ａ ＝ ｌｏｇ５ ２ ＜ ｌｏｇ５槡５ ＝ １２ ＝ ｌｏｇ８ 槡２ ２ ＜ ｌｏｇ８３ ＝ ｂ，即ａ ＜ ｃ ＜ ｂ． 故选Ｃ． ２． Ｄ　 ∵ ａ ＝ ｌｏｇ２ ０．３ ＜ ｌｏｇ２ １ ＝０，ｂ ＝ ｌｏｇ １２ ０．４ ＝ － ｌｏｇ２ ０．４ ＞ － ｌｏｇ２ ０．５ ＝１，０ ＜ ｃ ＝０．４０．３ ＜０．４０ ＝１，∴ ａ ＜ ｃ ＜ ｂ，故选Ｄ． ３． Ｃ　 因为２ａ ＝ ５，ｂ ＝ ｌｏｇ８ ３ ＝ １３ ｌｏｇ２ ３，即２ ３ｂ ＝ ３，所以４ａ － ３ｂ ＝ ４ａ ４３ｂ ＝ （２ ａ）２ （２３ｂ）２ ＝ ５２ ３２ ＝ ２５９ ．故选Ｃ． ４． Ａ　 由２ｘ － ２ｙ ＜ ３ － ｘ － ３ － ｙ得：２ｘ － ３ － ｘ ＜ ２ｙ － ３ － ｙ，令ｆ（ｔ）＝ ２ ｔ － ３ － ｔ，∵ ｙ ＝ ２ｘ 为Ｒ上的增函数，ｙ ＝ ３ － ｘ为Ｒ上的减函数， ∴ ｆ（ｔ）为Ｒ上的增函数，∴ ｘ ＜ ｙ，∵ ｙ － ｘ ＞ ０，∴ ｙ － ｘ ＋ １ ＞ １， ∴ ｌｎ（ｙ － ｘ ＋ １）＞ ０，则Ａ正确，Ｂ错误；∵ ｜ｘ －ｙ ｜与１的大小不确 定，故Ｃ、Ｄ无法确定．故选Ａ． ５． Ｃ　 在Ｌ ＝ ５ ＋ ｌｇ Ｖ中，Ｌ ＝ ４． ９，所以４． ９ ＝ ５ ＋ ｌｇ Ｖ，即ｌｇ Ｖ ＝ － ０． １，解得Ｖ ＝ １０ －０． １ ＝ １ １００． １ ＝ １１０槡１０ ＝ １１． ２５９≈０． ８，所以其视 力的小数记录法的数据约为０． ８．故选Ｃ． ６． Ａ　 由９ｍ ＝ １０可得ｍ ＝ ｌｏｇ９ １０ ＝ ｌｇ １０ｌｇ ９ ＞ １，而                                                                       ｌｇ ９ｌｇ １１ ＜ —７４２— ｌｇ ９ ＋ ｌｇ １１( )２ ２ ＝ ｌｇ ９９( )２ ２ ＜ １ ＝（ｌｇ １０）２，所以ｌｇ １０ｌｇ ９ ＞ ｌｇ １１ ｌｇ １０，即 ｍ ＞ ｌｇ １１，所以ａ ＝ １０ｍ － １１ ＞ １０ｌｇ １１ － １１ ＝ ０．又ｌｇ ８ｌｇ １０ ＜ ｌｇ ８ ＋ ｌｇ １０( )２ ２ ＝ ｌｇ ８０( )２ ２ ＜ （ｌｇ ９）２，所以ｌｇ ９ｌｇ ８ ＞ ｌｇ １０ ｌｇ ９ ，即 ｌｏｇ８９ ＞ ｍ，所以ｂ ＝８ｍ －９ ＜８ｌｏｇ８９ －９ ＝０．综上，ａ ＞０ ＞ ｂ．故选Ａ． ７． ＡＣＤ　 由题意可知：Ｌｐ１∈［６０，９０］，Ｌｐ２∈［５０，６０］，Ｌｐ３ ＝ ４０， 可得Ｌｐ１ － Ｌｐ２ ＝ ２０ × ｌｇ ｐ１ ｐ０ － ２０ × ｌｇ ｐ２ ｐ０ ＝ ２０ × ｌｇ ｐ１ ｐ２ ， 因为Ｌｐ１≥Ｌｐ２，则Ｌｐ１ － Ｌｐ２ ＝ ２０ × ｌｇ ｐ１ ｐ２ ≥０，即ｌｇ ｐ１ｐ２ ≥０，所以 ｐ１ ｐ２ ≥１且ｐ１，ｐ２ ＞ ０，可得ｐ１≥ｐ２，故Ａ正确； 可得Ｌｐ２ － Ｌｐ３ ＝ ２０ × ｌｇ ｐ２ ｐ０ － ２０ × ｌｇ ｐ３ ｐ０ ＝ ２０ × ｌｇ ｐ２ ｐ３ ， 因为Ｌｐ２ － Ｌｐ３ ＝ Ｌｐ２ － ４０≥１０，则２０ × ｌｇ ｐ２ ｐ３ ≥１０，即ｌｇ ｐ２ｐ３≥ １ ２ ， 所以ｐ２ｐ３≥槡１０且ｐ２，ｐ３ ＞ ０，可得ｐ２≥槡１０ｐ３，当且仅当Ｌｐ２ ＝ ５０ 时，等号成立，故Ｂ错误； 因为Ｌｐ３ ＝ ２０ × ｌｇ ｐ３ ｐ０ ＝ ４０，即ｌｇ ｐ３ｐ０ ＝ ２，可得 ｐ３ ｐ０ ＝ １００，即ｐ３ ＝ １００ｐ０，故Ｃ正确；由选项Ａ可知：Ｌｐ１ － Ｌｐ２ ＝２０ × ｌｇ ｐ１ ｐ２ ， 且Ｌｐ１ － Ｌｐ２≤９０ － ５０ ＝ ４０，则２０ × ｌｇ ｐ１ ｐ２ ≤４０，即ｌｇ ｐ１ｐ２≤２，可得 ｐ１ ｐ２ ≤１００，且ｐ１，ｐ２ ＞ ０，所以ｐ１≤１００ｐ２，故Ｄ正确．故选ＡＣＤ． 考点突破提能力 考点一 典例研析 １．（１）Ｄ　 （２）Ｃ　 （３）Ａ　 （１）函数ｙ ＝ ｘ １２ ＝槡ｘ的定义域为［０，＋∞）， 显然不符合题意，故Ａ错误； 函数ｙ ＝ ｘ － １２ ＝ １ 槡ｘ 的定义域为（０，＋ ∞），显然不符合题意，故 Ｂ错误； 函数ｙ ＝ ｘ３的定义域为Ｒ，又ｙ ＝ ｘ３ 为奇函数，又ｙ ＝ ｘ３ 在（０， ＋ ∞）上函数是下凸递增，故不符合题意，故Ｃ错误； 函数ｙ ＝ ｘ １３ ＝ ３槡ｘ的定义域为Ｒ，又ｙ ＝ ｘ １ ３为奇函数，且ｙ ＝ ｘ １３ 在（０，＋ ∞）上函数是上凸递增，故Ｄ正确．故选Ｄ． （２）由题可知，ｆ（ｘ）的定义域为（－ ３，３）， ∵ ｆ（－ ｘ）＝ － ｘｌｎ ３ ＋ ｘ３ － ｘ ＝ － ｘｌｎ ３ － ｘ ３ ＋( )ｘ － １ ＝ ｘｌｎ ３ － ｘ３ ＋ ｘ ＝ ｆ（ｘ）， ∴ ｆ（ｘ）是偶函数，排除Ａ、Ｂ， 又ｆ（１）＝ ｌｎ １２ ＝ － ｌｎ ２ ＜ ０，排除Ｄ，故选Ｃ． （３）ｆ（ｘ）＝ ｅｘ － ｅ １ｘ － ｌｎ ｘ２ ＝ ｅ ｘ － ｅ １ ｘ － ２ｌｎ（－ ｘ），ｘ ＜ ０， ｅｘ － ｅ １ ｘ － ２ｌｎ ｘ，ｘ ＞ ０{ ， 因为当ｘ ＜ ０时，ｙ ＝ ｅｘ，ｙ ＝ － ｅ １ｘ，ｙ ＝ － ２ｌｎ（－ ｘ）都为增函数， 所以，ｙ ＝ｅｘ －ｅ １ｘ －２ｌｎ（－ｘ）在（－∞，０）上单调递增，故Ｂ、Ｃ错误； 又因为ｆ（－ ｘ）＝ ｅ － ｘ － ｅ － １ｘ － ｌｎ ｘ２≠ － ｆ（ｘ）， 所以ｆ（ｘ）不是奇函数，即图象不关于原点对称，故Ｄ错误．故 选Ａ． ２．（１）Ｃ　 （２）Ｂ　 （３）Ａ　 （１）因为函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ａ( )１２ ｘ ＋ ｂ 图象过原点，所以ａ ( )１２ ０ ＋ ｂ ＝０， 得ａ ＋ ｂ ＝ ０，又该函数图象无限接近直线ｙ ＝ ２，且不与该直线 相交， 所以ｂ ＝ ２，则ａ ＝ － ２，所以ａｂ ＝ － ４．故选Ｃ． （２）当ｘ ＜ ０时，不等式ｆ（ｘ）＜ ２可化为－ ｘ２ － ２ｘ ＜ ２， 所以ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ２ ＞ ０，可得ｘ ＜ ０； 当ｘ≥０时，不等式ｆ（ｘ）＜ ２可化为ｌｏｇ２（ｘ ＋ １）＜ ２， 所以ｘ ＋ １ ＜ ４，且ｘ ＋ １ ＞ ０，所以０≤ｘ ＜ ３， 所以不等式ｆ（ｘ）＜ ２的解集是（－ ∞，３），故选Ｂ． （３）由对数的运算性质可得，ａ ＝ ｌｏｇ５３ ＝ １ｌｏｇ３５，ｂ ＝ ｌｏｇ４３ ＝ １ ｌｏｇ３４ ，因 为ｌｏｇ３５ ＞ ｌｏｇ３４ ＞１， 所以０ ＜ １ｌｏｇ３５ ＜ １ ｌｏｇ３４ ＜ １， 即ａ ＜ ｂ ＜ １，又因为０． ４ － ０． ３ ＞ ０． ４０ ＝ １， 所以ｃ ＞ １，即ａ ＜ ｂ ＜ ｃ．故选Ａ． 跟踪训练 １．（１）Ｂ　 （２）Ｃ　 （３）Ａ　 （１）∵ ｆ（－ ｘ）＝ ｃｏｓ（－ ｘ）＋ ３ ｜ － ｘ ｜ － ３ ＝ ｃｏｓ ｘ ＋ ３ ｜ ｘ ｜ － ３ ＝ ｆ（ｘ）， ∴ ｆ（ｘ）是偶函数，其图象关于ｙ轴对称， 当ｘ ＞ ０时，ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ ＋ ３ｘ － ３，ｆ ′（ｘ）＝ － ｓｉｎ ｘ ＋ ３ｘ·ｌｎ ３，３ｘ ·ｌｎ ３ ＞ １， ∴ ｆ ′（ｘ）＝ － ｓｉｎ ｘ ＋ ３ｘ ｌｎ ３ ＞ ０，∴ ｆ（ｘ）在（０，＋ ∞）上单调递 增．又ｆ（１）＝ ｃｏｓ１ ＋ ３１ － ３ ＝ ｃｏｓ１ ＞ ０， 结合选项可知，选项Ｂ符合题意．故选Ｂ． （２）ａ ＝ ｌｏｇ槡３２ ＞ ｌｏｇ槡３ ３ ＝ １， ｂ ＝ ｌｏｇ２槡２２ ＜ ｌｏｇ２１ ＝ ０，０ ＜ ｃ ＝ ( )１３ １ ３ ＜ １，故ａ ＞ ｃ ＞ ｂ．故选Ｃ． （３）因为函数ｆ（ｘ）的值域为Ｒ，则ｕ ＝ ａｘ２ ＋ ２ｘ ＋ １要取遍所有 的正数． 所以ａ ＝ ０或ａ ＞ ０， Δ ＝ ４ － ４ａ≥０{ ，解得０≤ａ≤１， 即实数ａ的取值范围是［０，１］．故选Ａ． 考点二 典例研析 ３．（１）Ｃ　 （２）Ｄ　 （３）Ａ　 （１）令ｆ（ｘ） 槡＝ １１ｃｏｓ πｘ － ２ｘ ＋ １ ＝ ０， 则有槡１１ｃｏｓ πｘ ＝ ２ｘ － １， 则函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的零点个数即为函数ｙ 槡＝ １１ｃｏｓ πｘ与ｙ ＝ ２ｘ － １图象的交点个数， 作出两函数的图象，如图所示：                                                                       —８４２— 由此可得两函数图象有５个交点， 所以函数ｆ（ｘ）有５个零点．故选Ｃ． （２）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｜ ｌｎ ｘ ｜ － ｋｘ － ２有２个零点， 所以方程｜ ｌｎ ｘ ｜ ＝ ｋｘ ＋ ２有两个根， 即函数ｙ ＝ ｜ ｌｎ ｘ ｜与ｙ ＝ ｋｘ ＋ ２的图象有两个公共点． ①当０ ＜ ｘ ＜ １时，ｆ（ｘ）＝ ｜ ｌｎ ｘ ｜ ＝ － ｌｎ ｘ，ｆ ′（ｘ）＝ － １ｘ ． 若直线ｙ ＝ ｋｘ ＋ ２与曲线ｆ（ｘ）＝ － ｌｎ ｘ相切，设切点坐标为 Ｐ（ｘ１，－ ｌｎ ｘ１）， 则曲线在点Ｐ处的切线方程为ｙ ＋ ｌｎ ｘ１ ＝ － １ｘ( )１ （ｘ － ｘ１）． 又因为切线过点（０，２），所以２ ＋ ｌｎ ｘ１ ＝ － １ｘ( )１ （０ － ｘ１）， 解得ｘ１ ＝ １ｅ ，即ｋ ＝ － １ ｘ１ ＝ － ｅ． ②当ｘ ＞ １时，ｆ（ｘ）＝ ｜ ｌｎ ｘ ｜ ＝ ｌｎ ｘ，ｆ ′（ｘ）＝ １ｘ ． 若直线ｙ ＝ ｋｘ ＋ ２与曲线ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ相切， 设切点坐标为Ｑ（ｘ２，ｌｎ ｘ２）， 则曲线在点Ｑ处的切线方程为ｙ － ｌｎ ｘ２ ＝ １ｘ２（ｘ － ｘ２）． 又因为切线过点（０，２）， 所以２ － ｌｎ ｘ２ ＝ １ｘ２（０ － ｘ２），解得ｘ２ ＝ ｅ ３，即ｋ ＝ １ｘ２ ＝ １ ｅ３ ． 由图象可知当ｋ ＝ ０时，ｙ ＝ ｜ ｌｎ ｘ ｜与ｙ ＝ ２的图象有两个公 共点； 综上，结合函数ｙ ＝ ｜ ｌｎ ｘ ｜与函数ｙ ＝ ｋｘ ＋ ２的图象及增长速度 可知， 当两个函数的图象有两公共点时ｋ∈（－ ｅ，０］∪ １ｅ{ }３ ．故 选Ｄ． （３）函数ｈ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）－ ｇ（ｘ）在区间［－ ５，５］上恰有８个零点． 即函数ｆ（ｘ）与函数ｇ（ｘ）在区间［－ ５，５］上有８个交点， 由ｆ（ｘ ＋ ２）＝ ｆ（ｘ）知， ｆ（ｘ）是Ｒ上周期为２的函数， 作函数ｆ（ｘ）与函数ｇ（ｘ）在区间［－ ５，５］上的图象如下， 由图象知，当ｘ∈［－ ５，１］时，图象有５个交点，故在［１，５］上 有３个交点即可； 故ｌｏｇａ（３ － １）＜ １， ｌｏｇａ（５ － １）＞ １{ ，解得２ ＜ ａ ＜ ４．故选Ａ． 跟踪训练 ２． Ａ　 因为ｆ（ｘ）为偶函数，有且仅有３个零点， 所以ｆ（０）＝ ０，解得ａ ＝ ０，此时当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝ ｘ ｘ －( )３２ ２ ， 由ｆ（ｘ）＞ ｆ ( )１２ ，得ｘ３ － ３ｘ２ ＋ ９４ ｘ － １２ ＝ ｘ －( )１２ ２ （ｘ － ２）＞ ０，解得ｘ ＞ ２， 因为ｆ（ｘ）是定义域为Ｒ的偶函数， 所以ｆ（ｘ）＞ ｆ ( )１２ 的解集为（－ ∞，－ ２）∪（２，＋ ∞）．故 选Ａ． 考点三 典例研析 ４．（１）Ｂ　 （２）Ｄ　 （３）见解析　 （１）检测第ｎ次时，给药时间为 ｂｎ，则｛ｂｎ｝是以３为首项，２为公差的等差数列，所以ｂｎ ＝ ３ ＋ ２（ｎ － １）＝ ２ｎ ＋ １， 设当给药时间为２ｎ ＋ １小时的时候，患者血药浓度为ａｎ，血药 浓度峰值为ａ， 则数列｛ａｎ｝是首项为ａ，公比为０． ４的等比数列，所以ａｎ ＝ ａ × ０． ４ｎ － １， 令ａｎ ＝ ０． ０１０ ２４ａ，即０． ４５ａ ＝ ａ × ０． ４ｎ － １，解得ｎ ＝ ６， 当血药浓度为峰值的１． ０２４％时，给药时间为ｂ６ ＝ ２ × ６ ＋ １ ＝ １３．故选Ｂ． （２）由题意知，ｌｇ（１０ ０００Ｘ０）＝ １６ｌｇ（１ ＋ ｐ）＋ ｌｇ Ｘ０， 即ｌｇ １０４ ＋ ｌｇ Ｘ０ ＝ １６ｌｇ（１ ＋ ｐ）＋ ｌｇ Ｘ０， 即４ ＋ ｌｇ Ｘ０ ＝ １６ｌｇ（１ ＋ ｐ）＋ ｌｇ Ｘ０， 所以１ ＋ ｐ ＝ １００． ２５≈１． ７７８， 解得ｐ≈０． ７７８ ＝ ７７． ８％ ．故选Ｄ． （３）①由题意知，当３０ ＜ ｘ ＜ １００时， ｆ（ｘ）＝ ２ｘ ＋ １ ８００ｘ － ９０ ＞ ４０，即ｘ ２ － ６５ｘ ＋ ９００ ＞ ０， 解得ｘ ＜ ２０或ｘ ＞ ４５， ∴ ｘ∈（４５，１００）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的 人均通勤时间； ②当０ ＜ ｘ≤３０时， ｇ（ｘ）＝ ３０·ｘ％ ＋ ４０（１ － ｘ％）＝ ４０ － ｘ１０， 当３０ ＜ ｘ ＜ １００时， ｇ（ｘ）＝ ２ｘ ＋ １８０ｘ( )－ ９０ ·ｘ％ ＋ ４０（１ － ｘ％）＝ ｘ ２ ５０ － １３ １０ ｘ ＋ ５８， ∴ ｇ（ｘ）＝ ４０ － ｘ１０，０ ＜ ｘ≤３０， ｘ２ ５０ － １３ １０ ｘ ＋ ５８，３０ ＜ ｘ ＜ １００{ ， 由一次函数与二次函数得单调性可知： 当０ ＜ ｘ ＜ ３２． ５时，ｇ（ｘ）单调递减； 当３２． ５ ＜ ｘ ＜ １００时，ｇ（ｘ）单调递增； 说明该地上班族Ｓ中有小于３２． ５％的人自驾时，人均通勤时 间是递减的； 有大于３２． ５％的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为３２． ５％时，人均通勤时间最少． 跟踪训练 ３． Ｂ　 由题可知，函数ｙ ＝ ６０ × ０． ９ ｔ ＋ ２０（ｔ≥０）， 令６０ × ０． ９ ｔ ＋ ２０ ＝ ６０，则０． ９ ｔ ＝ ２３ ， 两边同时取对数可得：ｌｇ ０． ９ ｔ ＝ ｌｇ ２３ ，即ｔｌｇ ９ １０ ＝ ｔ（２ｌｇ ３ － １                                                                       ） —９４２— ＝ ｌｇ ２ － ｌｇ ３， 即ｔ ＝ ｌｇ ２ － ｌｇ ３２ｌｇ ３ － １ ≈ ０． ３０ － ０． ４８ ２ × ０． ４８ － １ ＝ ０． １８ ０． ０４ ＝ ４． ５ ｍｉｎ．故选Ｂ． ４． Ｃ　 设至少需要ｘ小时，则１２０（１ － ２０％）ｘ ＜ ２０，即( )４５ ｘ ＜ １６ ， 所以ｘ ＞ ｌｇ １６ ｌｇ ４５ ＝ － ｌｇ ６ｌｇ ４ － ｌｇ ５ ＝ ｌｇ ６ ｌｇ ５ － ｌｇ ４ ＝ ｌｇ ２ ＋ ｌｇ ３ １ － ３ｌｇ ２ ≈８． ０２２， 即他能驾驶需要８． ０２２小时．故选Ｃ． 第３讲　 导数的简单应用 真题再现明考向 １． Ｃ　 设曲线ｙ ＝ ｅ ｘ ｘ ＋ １在点１， ｅ( )２ 处的切线方程为ｙ － ｅ２ ＝ ｋ（ｘ － １）， 因为ｙ ＝ ｅ ｘ ｘ ＋ １，所以ｙ′ ＝ ｅｘ（ｘ ＋ １）－ ｅｘ （ｘ ＋ １）２ ＝ ｘｅｘ （ｘ ＋ １）２，所以ｋ ＝ ｙ′ ｜ ｘ ＝ １ ＝ ｅ ４所以ｙ － ｅ ２ ＝ ｅ ４ （ｘ － １） 所以曲线ｙ ＝ ｅ ｘ ｘ ＋ １在点１， ｅ( )２ 处的切线方程为ｙ ＝ ｅ４ ｘ ＋ ｅ４ ． ２． Ｂ　 因为ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ａｘ ＋ ２，所以ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ ＋ ａ，若ａ≥０，ｆ（ｘ） 单调递增，只有１个零点，不满足题意，所以ａ ＜ ０，由ｆ ′（ｘ）＝ ０得ｘ ＝ ± － ａ槡３ ，结合ｆ（ｘ）的图象，可得ｆ － ａ槡( )３ ｆ － － ａ槡( )３ ＜ ０，即４２７ａ３ ＋ ４ ＜ ０，所以ａ ＜ － ３，故选Ｂ． ３． Ｃ　 依题可知，ｆ ′（ｘ）＝ ａｅｘ － １ｘ ≥０在（１，２）上恒成立，显然 ａ ＞ ０，所以ｘｅｘ≥ １ａ ， 设ｇ（ｘ）＝ ｘｅｘ，ｘ∈（１，２），所以ｇ′（ｘ）＝（ｘ ＋ １）ｅｘ ＞ ０，所以 ｇ（ｘ）在（１，２）上单调递增， ｇ（ｘ）＞ ｇ（１）＝ ｅ，故ｅ≥ １ａ ，即ａ≥ １ ｅ ＝ ｅ －１，即ａ的最小值为 ｅ －１ ．故选Ｃ． ４． Ｂ　 因为函数ｆ（ｘ）定义域为（０，＋ ∞），所以依题可知，ｆ（１）＝ － ２，ｆ ′（１）＝ ０，而ｆ ′（ｘ）＝ ａｘ － ｂ ｘ２ ，所以ｂ ＝ － ２，ａ － ｂ ＝ ０，即 ａ ＝ － ２，ｂ ＝ － ２，所以ｆ ′（ｘ）＝ － ２ｘ ＋ ２ ｘ２ ，因此函数ｆ（ｘ）在（０， １）上递增，在（１，＋ ∞）上递减，ｘ ＝ １时取最大值，满足题意， 即有ｆ ′（２）＝ － １ ＋ １２ ＝ － １ ２ ．故选Ｂ． ５． １ｅ ，( )１ 　 ｆ ′（ｘ）＝ ２ｌｎ ａ·ａｘ － ２ｅｘ，因为ｘ１，ｘ２ 分别是函数 ｆ（ｘ）＝ ２ａｘ － ｅｘ２的极小值点和极大值点， 所以函数ｆ（ｘ）在（－ ∞，ｘ１）和（ｘ２，＋ ∞）上递减，在（ｘ１，ｘ２）上 递增， 所以当ｘ∈（－ ∞，ｘ１）∪（ｘ２，＋ ∞）时，ｆ ′（ｘ）＜ ０，当ｘ∈（ｘ１， ｘ２）时，ｆ ′（ｘ）＞ ０， 若ａ ＞ １时，当ｘ ＜ ０时，２ｌｎ ａ·ａｘ ＞ ０，２ｅｘ ＜ ０，则此时ｆ ′（ｘ）＞ ０，与前面矛盾， 故ａ ＞ １不符合题意，若０ ＜ ａ ＜ １时，则方程２ｌｎ ａ·ａｘ － ２ｅｘ ＝ ０的两个根为ｘ１，ｘ２， 即方程ｌｎ ａ·ａｘ ＝ ｅｘ的两个根为ｘ１，ｘ２， 即函数ｙ ＝ ｌｎ ａ·ａｘ与函数ｙ ＝ ｅｘ的图象有两个不同的交点， ∵ ０ ＜ ａ ＜ １，∴函数ｙ ＝ ａｘ的图象是单调递减的指数函数， 又∵ ｌｎ ａ ＜ ０，∴ ｙ ＝ ｌｎ ａ·ａｘ 的图象由指数函数ｙ ＝ ａｘ 向下关 于ｘ轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不 变，纵坐标伸长或缩短为原来的｜ ｌｎ ａ ｜倍得到，如图所示： 设过原点且与函数ｙ ＝ ｇ（ｘ）的图象相切的直线的切点为（ｘ０， ｌｎ ａ·ａｘ０）， 则切线的斜率为ｇ′（ｘ０）＝ ｌｎ２ａ·ａｘ０， 故切线方程为ｙ － ｌｎ ａ·ａｘ０ ＝ ｌｎ２ａ·ａｘ０（ｘ － ｘ０）， 则有－ ｌｎ ａ·ａｘ０ ＝ － ｘ０ ｌｎ２ａ·ａｘ０，解得ｘ０ ＝ １ｌｎ ａ， 则切线的斜率为ｌｎ２ａ·ａ １ｌｎ ａ ＝ ｅ ｌｎ２ａ， 因为函数ｙ ＝ ｌｎ ａ·ａｘ 与函数ｙ ＝ ｅｘ的图象有两个不同的 交点， 所以ｅｌｎ２ａ ＜ ｅ，解得１ｅ ＜ ａ ＜ ｅ， 又０ ＜ ａ ＜ １，所以１ｅ ＜ ａ ＜ １，综上所述，ａ的范围为 １ ｅ ，( )１ ． ６． 槡５ － １ ２ ，[ )１ 　 方法一：因为ａ∈（０，１），ｆ（ｘ）＝ ａｘ ＋（ａ ＋ １）ｘ，所 以ｆ ′（ｘ）＝ ａｘ ｌｎ ａ ＋ （ａ ＋ １）ｘ ｌｎ（ａ ＋ １），设ｇ（ｘ）＝ ｆ ′（ｘ）， 则ｇ′（ｘ）＝ ａｘ （ｌｎ ａ）２ ＋ ａｘ ＋ １［ｌｎ（ａ ＋ １）］２ ＞ ０，所以ｆ ′（ｘ）在 （０，＋ ∞）上单调递增，ｆ ′（ｘ）＞ ｆ ′（０），因为ｆ（ｘ）＝ ａｘ ＋ （ａ ＋１）ｘ在（０，＋∞）上单调递增，所以ｆ ′（０）＝ ｌｎ ａ ＋ ｌｎ（ａ ＋１）≥０， 即ａ（ａ ＋ １）≥１，解得槡５ － １２ ≤ ａ ＜ １，所以ａ的取值范围 是槡５ － １ ２ ，[ )１ ． 方法二：由函数的解析式可得ｆ ′（ｘ）＝ ａｘ ｌｎ ａ ＋（１ ＋ ａ）ｘ ｌｎ（１ ＋ ａ）≥０在区间（０，＋ ∞）上恒成立，则 （１ ＋ ａ）ｘ ｌｎ（１ ＋ ａ）≥ － ａｘ ｌｎ ａ，即１ ＋ ａ( )ａ ｘ ≥ － ｌｎ ａｌｎ（１ ＋ ａ）在区间 （０，＋ ∞）上恒成立， 故１ ＋ ａ( )ａ ０ ＝ １≥ － ｌｎ ａｌｎ（１ ＋ ａ），而ａ ＋ １∈（１，２），故ｌｎ（１ ＋ ａ） ＞ ０， 故ｌｎ（ａ ＋ １）≥ － ｌｎ ａ， ０ ＜ ａ ＜ １{ ， 即ａ（ａ ＋ １）≥１，０ ＜ ａ ＜ １{ ， 故槡５ － １２ ≤ａ ＜ １， 结合题意可得实数ａ的取值范围是槡５ － １ ２ ，[ )１                                                                       ． —０５２— ●5678 １．函数单调性应用问题的常见类型和解题策略 （１）比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单 调区间，然后利用函数单调性解决； （２）在求解抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数 的单调性将“ｆ”脱掉，将其转化为具体的不等式求解，此 时应特别注意函数的定义域； （３）利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调 性，然后再由单调性求解； （４）利用单调性求参数时，通常把参数视为已知数， 根据函数的图象和单调性定义，确定函数的单调区 间，将其转化到同一单调区间比较求参数． ２．利用奇偶性及周期性的解题策略 利用函数奇偶性求值，先利用周期性将所求的函数 值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，代 入解析式即可求出函数值．当函数既具有奇偶性又 具有对称性时，先利用周期性和对称性确定函数的 周期，再利用奇偶性和周期性进行变换，将所求得函 数值的自变量转化到已知函数的定义域内求解． ８．（多选）（２０２４·江西鹰潭阶段练习）已知ｆ（ｘ）是定义 在Ｒ上连续的奇函数，其导函数为ｇ（ｘ），ｆ（４ｘ）＝ ｆ（２ － ４ｘ），当ｘ∈［－ ２，－ １］时，ｇ′（ｘ）＞ ０，则 （　 　 ） Ａ． ｇ（ｘ）为偶函数 Ｂ． ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ ＝ １２对称 Ｃ． ４为ｇ（ｘ）的周期 Ｄ． ｇ（ｘ）在ｘ ＝ ２ ０２６处取得极小值 温馨提示：复习至此，请做练案［１］ 第２讲　 基本初等函数、函数与方程 !"#$ 　 　 　 明方向　 　 　 １．在选择、填空题中基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型； ２．函数的零点有关的题目，常结合函数的性质综合考查，注意该知识点易命制成多选题，也可以函数实际应 用呈现． %&'( 　 　 　 明体系　 )*+, 　 　 　 明考向　 １．（２０２１·新高考全国Ⅱ卷）已知ａ ＝ ｌｏｇ５ ２，ｂ ＝ ｌｏｇ８ ３，ｃ ＝ １２ ，则下列判断正确的是 （　 　 ） Ａ． ｃ ＜ ｂ ＜ ａ　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ｂ ＜ ａ ＜ ｃ　 　 　 　 　 　 　 Ｃ． ａ ＜ ｃ ＜ ｂ　 　 　 　 　 　 　 Ｄ． ａ ＜ ｂ ＜ ｃ ２．（２０２１·天津高考）设ａ ＝ ｌｏｇ２ ０． ３，ｂ ＝ ｌｏｇ １２ ０． ４，ｃ ＝ ０． ４０． ３，则ａ、ｂ、ｃ的大小关系为 （　 　 ） Ａ． ａ ＜ ｂ ＜ ｃ Ｂ． ｃ ＜ ａ ＜ ｂ Ｃ． ｂ ＜ ｃ ＜ ａ Ｄ． ａ ＜ ｃ ＜ ｂ ３．（２０２２·浙江卷）已知２ａ ＝５，ｌｏｇ８ ３ ＝ ｂ，则４ａ －３ｂ ＝ （　 　 ） Ａ． ２５ Ｂ． ５ Ｃ． ２５９ Ｄ． ５ ３ ４．（２０２０·新高考全国Ⅱ卷）若２ｘ － ２ｙ ＜ ３ － ｘ － ３ － ｙ，则 （　 　 ） Ａ． ｌｎ（ｙ － ｘ ＋ １）＞ ０ Ｂ． ｌｎ（ｙ － ｘ ＋ １）＜ ０ Ｃ． ｌｎ ｜ ｘ － ｙ ｜ ＞ ０ Ｄ． ｌｎ ｜ ｘ － ｙ ｜ ＜ ０ !!' ５．（２０２１·全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数 记录法记录视力数据，五分记录法的数据Ｌ和小数记录法的数据Ｖ满足Ｌ ＝ ５ ＋ ｌｇ Ｖ．已知某同学视力的五分记 录法的数据为４． ９，则其视力的小数记录法的数据约为（１０槡１０≈１． ２５９） （　 　 ） Ａ． １． ５ Ｂ． １． ２ Ｃ． ０． ８ Ｄ． ０． ６ ６．（２０２２·全国甲卷）已知９ｍ ＝ １０，ａ ＝ １０ｍ － １１，ｂ ＝ ８ｍ － ９，则 （　 　 ） Ａ． ａ ＞ ０ ＞ ｂ Ｂ． ａ ＞ ｂ ＞ ０ Ｃ． ｂ ＞ ａ ＞ ０ Ｄ． ｂ ＞ ０ ＞ ａ ７．（多选）（２０２３·新课标全国Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 Ｌｐ ＝ ２０ × ｌｇ ｐ ｐ０ ，其中常数ｐ０（ｐ０ ＞ ０）是听觉下限阈值，ｐ是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离／ ｍ 声压级／ ｄＢ 燃油汽车 １０ ６０ ～ ９０ 混合动力汽车 １０ ５０ ～ ６０ 电动汽车 １０ ４０ 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车１０ ｍ处测得实际声压分别为ｐ１，ｐ２，ｐ３，则 （　 　 ）． Ａ． ｐ１≥ｐ２ Ｂ． ｐ２ ＞ １０ｐ３ Ｃ． ｐ３ ＝ １００ｐ０ Ｄ． ｐ１≤１００ｐ２ !-./ 　 　 　 提能力　 !"#$CDEF%&'>?*AB ●-./0 １．一般幂函数的图象 特征 （１）所有的幂函数在 （０，＋∞）上都有定义， 并且图象都过点（１，１）． （２）当α ＞ ０时，幂函数 的图象通过原点，并且 在区间［０，＋ ∞）上是 增函数．特别地，当α ＞ １时，幂函数的图象下 凸；当０ ＜ α ＜ １时，幂 函数的图象上凸． （３）当α ＜ ０时，幂函数 的图象在区间 （０，＋ ∞）上是减函数． （４）幂指数互为倒数的 幂函数在第一象限内的 图象关于直线ｙ ＝ ｘ 对称． （５）在第一象限作直线 ｘ ＝ ａ（ａ ＞ １），它同各幂 函数图象相交，按交点 从下到上的顺序，幂指 数按从小到大的顺序排 列． ●1234 幂函数、指数函数、对数函数的图象 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）（２０２４·四川南充二模）已知函数ｆ（ｘ）的图象如图所示，则 ｆ（ｘ）的解析式可能是 （　 　 ） Ａ． ｙ ＝ ｘ １ ２ Ｂ． ｙ ＝ ｘ － １ ２ Ｃ． ｙ ＝ ｘ３ Ｄ． ｙ ＝ ｘ １ ３ （２）（２０２４·全国模拟预测）函数ｆ（ｘ）＝ｘｌｎ ３ －ｘ３ ＋ｘ的大致图象为 （　 　 ） Ａ 　 　 Ｂ 　 　 Ｃ 　 　 Ｄ （３）（２０２４·湖北模拟预测）函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘ － ｅ １ｘ － ｌｎ ｘ２的图象大致为 （　 　 ） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ !!( ２．指数函数ｙ ＝ ａｘ（ａ ＞ ０，ａ ≠１）与对数函数ｙ ＝ ｌｏｇａｘ （ａ ＞ ０，ａ≠１）互为反函数， 其图象关于ｙ ＝ ｘ对称，它 们的图象和性质分０ ＜ ａ ＜ １，ａ ＞ １两种情况，着重 关注两函数图象的异同． ３．常见的几个结论 （１）已知ａ ＞ ０且ａ≠１，则 ａｂ ＞ １（ａ － １）ｂ ＞ ０，０ ＜ ａｂ ＜ １（ａ － １）ｂ ＜ ０， （２）已知ａ ＞ ０且ａ≠１，ｂ ＞ ０，则ｌｏｇａｂ ＞ ０（ａ － １） （ｂ － １）＞ ０， ｌｏｇａｂ ＜ ０（ａ － １）（ｂ － １）＜ ０， （３）指数型函数ｙ ＝ ｋ·ａｍｘ ＋ ｎ ＋ ｐ（ａ ＞０且ａ≠１）的图象经 过定点－ ｎｍ，ｋ ＋( )ｐ ． （４）对数型函数ｙ ＝ ｋ· ｌｏｇａ（ｍｘ ＋ ｎ）＋ ｐ（ａ ＞ ０且ａ ≠ １ ）的图象经过定 点１ － ｎｍ ，( )ｐ ． ●5678 （１）对数函数与指数函数 的单调性都取决于其底数 的取值，当底数ａ的值不 确定时，要注意分ａ ＞ １和 ０ ＜ ａ ＜ １两种情况讨论：当 ａ ＞ １时，两函数在定义域 内都为增函数；当０ ＜ ａ ＜ １ 时，两函数在定义域内都 为减函数． （２）基本初等函数的图象 和性质是统一的，在解题 中可相互转化． 幂函数、指数函数、对数函数的性质 ２．（１）（２０２４·黑龙江二模）已知函数ｙ ＝ ａ １( )２ ｜ ｘ ｜ ＋ ｂ的图象经过原点，且无限接 近直线ｙ ＝ ２，但又不与该直线相交，则ａｂ ＝ （　 　 ） Ａ． － １　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． － ２ Ｃ． － ４ Ｄ． － ９ （２）（２０２４·江西南昌二模）已知ｆ（ｘ）＝ － ｘ ２ －２ｘ，ｘ ＜０， ｌｏｇ２（ｘ ＋１），ｘ≥０{ ，则不等式ｆ（ｘ）＜ ２的 解集是 （　 　 ） Ａ．（－ ∞，２） Ｂ．（－ ∞，３） Ｃ．［０，３） Ｄ．（３，＋ ∞） （３）（２０２４·友谊县校级模拟）已知ａ ＝ ｌｏｇ５３，ｂ ＝ ｌｏｇ４３，ｃ ＝ ０． ４ －０． ３，则 （　 　 ） Ａ． ａ ＜ ｂ ＜ ｃ Ｂ． ａ ＜ ｃ ＜ ｂ Ｃ． ｂ ＜ ｃ ＜ ａ Ｄ． ｃ ＜ ａ ＜ ｂ ●9:;< １．（１）（２０２４·子长市校级三模）函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ ＋ ３ ｜ ｘ ｜ － ３的图象大致是（　 　 ） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ （２）（２０２４·南开区模拟）已知ａ ＝ ｌｏｇ槡３２，ｂ ＝ ｌｏｇ２槡２２ ，ｃ ＝ １( )３ １ ３，则 （　 　 ） Ａ． ａ ＞ ｂ ＞ ｃ Ｂ． ｃ ＞ ｂ ＞ ａ Ｃ． ａ ＞ ｃ ＞ ｂ Ｄ． ｂ ＞ ｃ ＞ ａ （３）（２０２４·新郑市校级一模）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ（ａｘ２ ＋ ２ｘ ＋ １），若ｆ（ｘ）的值域 为Ｒ，则实数ａ的取值范围是 （　 　 ） Ａ．［０，１］ Ｂ．（０，１） Ｃ．（１，＋ ∞） Ｄ．［０，＋ ∞） !"=$%&'G"H5I ●-./0 函数的零点与方程的解 （１）函数零点的概念 对于一般函数ｙ ＝ ｆ（ｘ），我们把使ｆ（ｘ）＝ ０ 的实数ｘ叫做函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的零点． （２）函数零点与方程实数解的关系 方程ｆ（ｘ）＝ ０有实数解函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）有 零点函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象与ｘ轴有公共 点． ●1234 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　３．（１）（２０２４·邢台模拟）函数ｆ（ｘ）＝槡１１ｃｏｓ πｘ － ２ｘ ＋ １零点的 个数为 （　 　 ） Ａ． ３　 　 　 　 　 Ｂ． ４　 　 　 　 　 Ｃ． ５　 　 　 　 　 Ｄ． ６ （２）（２０２４·大庆模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｜ ｌｎ ｘ ｜ － ｋｘ － ２有２个 零点，则实数ｋ的取值范围是 （　 　 ） Ａ． － ｅ，１ｅ( )３ Ｂ． ０，１ｅ[ )３ Ｃ．（－ １，０］∪ １ｅ{ }３ Ｄ．（－ ｅ，０］∪ １ｅ{ }３ !!) （３）函数零点存在定理 如果函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上的图象 是一条连续不断的曲线，且有ｆ（ａ）ｆ（ｂ）＜ ０，那么，函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）内至少 有一个零点，即存在ｃ∈（ａ，ｂ），使得ｆ（ｃ） ＝ ０，这个ｃ也就是方程ｆ（ｘ）＝ ０的解． （４）函数Ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）－ ｇ（ｘ）的零点就是方 程ｆ（ｘ）＝ ｇ（ｘ）的根，即函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）与ｙ ＝ ｇ（ｘ）的图象的交点的横坐标． ●5678 １．判断函数零点个数的方法 （１）利用零点存在性定理判断法． （２）代数法：求方程ｆ（ｘ）＝ ０的实数根． （３）几何法：对于不易求根的方程，将它与 函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象联系起来，利用函数的 性质找出零点或利用两个函数图象的交点 求解．在利用函数性质时，可用求导的方法 判断函数的单调性． ２．利用函数零点的情况求参数值（或取值 范围）的三种方法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　（３）（２０２４·新县校级模拟）已知定义在Ｒ上的函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ ＋２）＝ ｆ（ｘ），当ｘ∈［－ １，１］时，ｆ（ｘ）＝ ｘ２，函数ｇ（ｘ）＝ ｌｏｇａ（ｘ － １），ｘ ＞ １， ２ｘ，ｘ≤１{ ， 若函数ｈ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）－ ｇ（ｘ）在区间 ［－ ５，５］上恰有８个零点，则ａ的取值范围为 （　 　 ） Ａ．（２，４） Ｂ．（２，５） Ｃ．（１，５） Ｄ．（１，４） ●9:;< ２．（２０２４·河北模拟）已知ｆ（ｘ）是定义域为Ｒ的偶函数，当ｘ≥０ 时，ｆ（ｘ）＝（ｘ ＋ ａ） ｘ － ３( )２ ２ ，若ｆ（ｘ）有且仅有３个零点，则关于 ｘ的不等式ｆ（ｘ）＞ ｆ １( )２ 的解集为 （　 　 ） Ａ．（－ ∞，－ ２）∪（２，＋ ∞） Ｂ． － ∞，－ ５( )２ ∪ ５２ ，＋( )∞ Ｃ．（－ ∞，－ ３）∪（３，＋ ∞） Ｄ．（－ ∞，－ ４）∪（４，＋ ∞） !"@$%&'JKLM ●5678 求解函数应用问题的一 般程序及关键 （１）一般程序： 读题 文字语言 建模 数学语言 求解 数学应用 反馈 检验作答 （２）解题关键：解答这 类题的关键是准确地建 立相关函数关系，然后 应用函数、方程、不等式 和导数的有关知识加以 综合解答． ●1234 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　４．（１）（２０２４·上饶一模）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的 安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检 测，当患者Ａ给药３小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过２小时检测一 次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的４０％，当血药浓度为峰值 的１． ０２４％时，给药时间为 （　 　 ） Ａ． １１小时　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． １３小时 Ｃ． １７小时 Ｄ． １９小时 （２）（２０２４·江西模拟）核酸检测分析是用荧光定量ＰＣＲ法，通过化学物质的荧光 信号，对在ＰＣＲ扩增进程中成指数级增加的靶标ＤＮＡ实时监测，在ＰＣＲ扩增 的指数时期，荧光信号强度达到阀初始数值时，ＤＮＡ的数量Ｘｎ与扩增次数ｎ 满足ｌｇ Ｘｎ ＝ ｎｌｇ（１ ＋ ｐ）＋ ｌｇ Ｘ０，其中Ｘ０为ＤＮＡ的初始数量，ｐ为扩增效率．已 知某被测标本ＤＮＡ扩增１６次后，数量变为原来的１０ ０００倍，则扩增效率ｐ约 为（参考数据：１００． ２５≈１． ７７８，１０ － ０． ２５≈０． ５６２） （　 　 ） Ａ． ２２． ２％ Ｂ． ４３． ８％ Ｃ． ５６． ２％ Ｄ． ７７． ８％ !!* （３）（２０２４·淮北模拟）某市随着东部新城迅猛发展，从老城区到新城区的道路交 通压力变大，某高中数学建模小组调查了新城上班族Ｓ从居住地到工作地的 平均用时，上班族Ｓ中的成员仅以公交或自驾的方式通勤，分析显示：当Ｓ中 ｘ％（０ ＜ ｘ ＜ １００）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间ｆ（ｘ）与ｘ满足函数 关系为：ｆ（ｘ）＝ ３０，０ ＜ ｘ≤３０， ２ｘ ＋ １ ８００ｘ － ９０，３０ ＜ ｘ ＜ １００{ ，（单位：分钟），而公交群体的人 均通勤时间不受ｘ影响，恒为４０分钟． ①当ｘ在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤 时间？ ②求该地上班族Ｓ的人均通勤时间ｇ（ｘ）的表达式；讨论ｇ（ｘ）的单调性，并说 明其实际意义． ●9:;< ３．（２０２４·昌平区模拟）中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有 关．经验表明，某种绿茶用９０ ℃的水泡制，再等到茶水温度降至６０ ℃时饮用，可以 产生最佳口感．在２０ ℃室温下，茶水温度从９０ ℃开始，经过ｔ ｍｉｎ后的温度为 ｙ ℃，可选择函数ｙ ＝ ６０ × ０． ９ ｔ ＋ ２０（ｔ≥０）来近似地刻画茶水温度随时间变化的规 律．则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近 的是（参考数据：ｌｇ ２≈０． ３０，ｌｇ ３≈０． ４８） （　 　 ） Ａ． ２． ５ ｍｉｎ Ｂ． ４． ５ ｍｉｎ Ｃ． ６ ｍｉｎ Ｄ． ８ ｍｉｎ ４．（２０２４·安徽模拟）酒驾严重危害交通安全．为了保障交通安全，交通法规定：机动 车驾驶人每１００ ｍＬ血液中酒精含量达到２０ ～ ７９ ｍｇ为酒后驾车，８０ ｍｇ及以上为 醉酒驾车．若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上升到了１． ２ ｍｇ ／ ｍＬ．假 设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时２０％的速度减少，则他能驾驶需要 的时间至少为（精确到０． ００１．参考数据：ｌｇ ２≈０． ３０１ ０，ｌｇ ３≈０． ４７７ １） （　 　 ） Ａ． ７． ９６３小时 Ｂ． ８． ００５小时 Ｃ． ８． ０２２小时 Ｄ． ８． １０５小时 温馨提示：复习至此，请做练案［２］ !"!