第一篇 专题五 第1讲 直线、圆、圆锥曲线-【衡中学案】2025年高考数学二轮总复习学案

专题五 　 解析几何 三 年 考 情 题型 单选题 多选题 填空题 解答题 年份题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０ ２１ ２２ ２０２２ Ⅰ √ √ √ √ √ Ⅱ √ √ √ √ ２０２３ Ⅰ √ √ √ √ Ⅱ √ √ √ √ ２０２４ 单选题 多选题 填空题 解答题 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ Ⅰ √ √ √ Ⅱ √ √ √ 第１讲　 直线、圆、圆锥曲线 !"#$ 　 　 　 明方向　 　 　 １．考查直线与圆相切和相交的问题，与直线被圆所截得的弦长有关的问题． 　 　 ２．考查圆锥曲线的定义、标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的综合问题，难度中档或较难，热点是椭 圆、双曲线的离心率，双曲线的渐近线等问题． %&'( 　 　 　 明体系　 !(* )*+, 　 　 　 明考向　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（２０２４·新课标全国Ⅱ卷）已知曲线Ｃ：ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １６（ｙ ＞ ０），从Ｃ上任意一点Ｐ向ｘ轴作垂线段ＰＰ′，Ｐ′为垂足， 则线段ＰＰ′的中点Ｍ的轨迹方程为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ｘ ２ １６ ＋ ｙ２ ４ ＝ １（ｙ ＞ ０）　 　 　 Ｂ． ｘ２ １６ ＋ ｙ２ ８ ＝ １（ｙ ＞ ０）　 　 　 Ｃ． ｙ２ １６ ＋ ｘ２ ４ ＝ １（ｙ ＞ ０）　 　 　 Ｄ． ｙ２ １６ ＋ ｘ２ ８ ＝ １（ｙ ＞ ０） ２．（多选）（２０２４·新课标全国Ⅰ卷）造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线Ｃ的 一部分．已知Ｃ过坐标原点Ｏ．且Ｃ上的点满足横坐标大于－ ２，到点Ｆ（２，０）的距离与到 定直线ｘ ＝ ａ（ａ ＜ ０）的距离之积为４，则 （　 　 ） Ａ． ａ ＝ － ２ Ｂ． 点（２槡２，０）在Ｃ上 Ｃ． Ｃ在第一象限的点的纵坐标的最大值为１ Ｄ． 当点（ｘ０，ｙ０）在Ｃ上时，ｙ０≤ ４ｘ０ ＋ ２ ３．（多选）（２０２４·新课标全国Ⅱ卷）抛物线Ｃ：ｙ２ ＝ ４ｘ的准线为ｌ，Ｐ为Ｃ上的动点，过Ｐ作⊙Ａ：ｘ２ ＋（ｙ － ４）２ ＝ １ 的一条切线，Ｑ为切点，过Ｐ作ｌ的垂线，垂足为Ｂ，则 （　 　 ） Ａ． ｌ与⊙Ａ相切 Ｂ．当Ｐ，Ａ，Ｂ三点共线时，｜ＰＱ ｜ ＝槡１５ Ｃ．当｜ＰＢ ｜ ＝ ２时，ＰＡ⊥ＡＢ Ｄ．满足｜ＰＡ ｜ ＝ ｜ＰＢ ｜的点Ｐ有且仅有２个 ４．（２０２３·新课标全国Ⅰ卷）过点（０，－ ２）与圆ｘ２ ＋ ｙ２ － ４ｘ － １ ＝ ０相切的两条直线的夹角为α，则ｓｉｎ α ＝ （　 　 ） Ａ． １ Ｂ．槡１５４ Ｃ．槡 １０ ４ Ｄ． 槡６ ４ ５．（２０２４·新课标全国Ⅰ卷）设双曲线Ｃ：ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０）的左右焦点分别为Ｆ１、Ｆ２，过Ｆ２作平行于ｙ轴 的直线交Ｃ于Ａ，Ｂ两点，若｜Ｆ１Ａ ｜ ＝ １３，｜ＡＢ ｜ ＝ １０，则Ｃ的离心率为　 　 　 　 ． ６．（２０２３·新课标全国Ⅱ卷）已知直线ｘ －ｍｙ ＋ １ ＝ ０与⊙Ｃ：（ｘ － １）２ ＋ ｙ２ ＝ ４交于Ａ，Ｂ两点，写出满足“△ＡＢＣ面 积为８５ ”的ｍ的一个值　 　 　 　 　 　 　 　 ． ７．（２０２２·全国乙卷）过四点（０，０），（４，０），（－ １，１），（４，２）中的三点的一个圆的方程为　 　 　 　 　 　 　 　 ． ８．（２０２２·全国甲卷）设点Ｍ在直线２ｘ ＋ｙ －１ ＝０上，点（３，０）和（０，１）均在⊙Ｍ上，则⊙Ｍ的方程为　 　 　 　 　 　 　 　 ． ９．（２０２４·新课标全国Ⅰ卷）已知Ａ（０，３）和Ｐ ３，３( )２ 为椭圆Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ ＞ ｂ ＞ ０）上两点． （１）求Ｃ的离心率； （２）若过Ｐ的直线ｌ交Ｃ于另一点Ｂ，且△ＡＢＰ的面积为９，求ｌ的方程． !)! !-./ 　 　 　 提能力　 !"#$¸²*Ð ●-./0 １．直线与圆的位置关系：相交、相切和相 离，判断的方法 （１）点线距离法． （２）判别式法： 设圆Ｃ：（ｘ － ａ）２ ＋（ｙ － ｂ）２ ＝ ｒ２，直线ｌ：Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０（Ａ２ ＋ Ｂ２≠０），方程组 Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０， （ｘ － ａ）２ ＋（ｙ － ｂ）２ ＝ ｒ２{ ， 消去ｙ，得到关于ｘ的一元二次方程，其根的 判别式为Δ，则直线与圆相离Δ ＜０，直线与 圆相切Δ ＝０，直线与圆相交Δ ＞０． ２．与圆的切线有关的结论 （１）过圆ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ｒ２ 上的一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的 切线方程为ｘ０ｘ ＋ ｙ０ｙ ＝ ｒ２； （２）过圆（ｘ － ａ）２ ＋（ｙ － ｂ）２ ＝ ｒ２ 上的一点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程为（ｘ０ － ａ）（ｘ － ａ）＋ （ｙ０ － ｂ）（ｙ － ｂ）＝ ｒ２； （３）过圆ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ｒ２ 外的一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）作 圆的两条切线，切点为Ａ，Ｂ，则过Ａ，Ｂ两点 的直线方程为ｘ０ｘ ＋ ｙ０ｙ ＝ ｒ２ ． ●5678 １．直线（圆）与圆位置关系问题的求解 思路 （１）研究直线与圆的位置关系主要通过将 圆心到直线的距离同半径作比较实现，两 圆位置关系的判断依据是两圆心之间的距 离与两半径差与和的比较． （２）直线与圆相切时利用“切线与过切点 的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径” 建立关于切线斜率的等式，所以求切线方 程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切 线长的问题，可先求出该点与圆心之间的 距离，再结合半径利用勾股定理计算． ２．直线截圆所得弦长的求解方法 （１）根据平面几何知识构建直角三角形， 把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表 示，即ｌ ＝ ２ ｒ２ － ｄ槡 ２（其中ｌ为弦长，ｒ为圆 的半径，ｄ为圆心到直线的距离）． （２）根据公式ｌ ＝ １ ＋ ｋ槡 ２ ｜ ｘ１ － ｘ２ ｜求解（其 中ｌ为弦长，ｘ１，ｘ２ 为直线与圆相交所得交 点的横坐标，ｋ为直线的斜率）． （３）求出交点坐标，用两点间的距离公式 求解． 提醒：求直线方程，特别是研究含参数的直线 方程问题时，一定要对直线斜率的存在性进 行讨论． ●1234 １．（１）（２０２４·邢台模拟）已知直线ｙ ＝ ｋｘ ＋ １与圆ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ４相交 于Ｍ，Ｎ两点，若｜ＭＮ ｜ ＝槡１４，则｜ ｋ ｜ ＝ （　 　 ） Ａ． １２ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． １ Ｃ．槡２ Ｄ． ２ （２）（２０２４·上高县校级模拟）设Ｐ为直线ｘ － ｙ ＝ ０上的动点， ＰＡ，ＰＢ为圆Ｃ：（ｘ － ２）２ ＋ ｙ２ ＝ １的两条切线，切点分别为 Ａ，Ｂ，则四边形ＡＰＢＣ的周长的最小值为 （　 　 ） Ａ． ３ Ｂ． ２ ＋槡３ Ｃ． ４ Ｄ． ２ ＋ ２槡３ （３）（２０２４·袁州区校级模拟）圆Ｃ１：ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ２ｘ － ８ｙ － ８ ＝ ０与 圆Ｃ２：ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ４ｘ － ４ｙ － ４ ＝ ０的公共弦长为 （　 　 ） Ａ．槡５５５ Ｂ． ２槡５５ ５ Ｃ． ３槡５５５ Ｄ． ４槡５５ ５ ●9:;< １．（２０２４·信州区校级模拟）已知直线ｌ过点Ａ（１，１）交圆Ｏ：ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ４于Ｃ，Ｄ两点，则“｜ＣＤ ｜ ＝ ２槡３是直线ｌ的斜率为０”的 （　 　 ） Ａ．必要而不充分条件 Ｂ．充分必要条件 Ｃ．充分而不必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ２．（２０２４·河北模拟）已知直线ｌ：ｙ ＝ ｋｘ － ｋ与圆Ｃ：（ｘ － ４）２ ＋ （ｙ －槡３）２ ＝ ３有公共点，则直线ｌ的倾斜角的取值范围是 （　 　 ） Ａ． π６ ， π[ )２ Ｂ． ０，π[ ]６ Ｃ． ０，π[ ]３ Ｄ． π３ ，π[ )２ !)" !"=$ÐÑÒ²'‰UHÓÔ5I ●5678 圆锥曲线的定义、标准 方程的关注点 （１）准确把握圆锥曲线 的定义和标准方程及其 简单几何性质，注意焦 点在不同坐标轴上时， 椭圆、双曲线、抛物线方 程的不同表示形式． （２）求圆锥曲线方程的 基本方法就是待定系数 法，可结合草图确定． （３）焦点三角形的作 用：借助焦点三角形能 很好地将定义式与三角 形中的边角关系式构建 方程组，便于解决问题． （４）圆锥曲线基本问题 考查的一个重点是定义 的应用，根据圆锥曲线 的定义分析判断一些问 题，在椭圆、双曲线中如 果已知曲线上一点与一 个焦点的连线，则要把 另一个焦点也考虑 进去． ●1234 ２．（１）（２０２４·河北模拟）已知曲线Ｃ：ｘ ２ ６ ＋ ｙ２ ｍ ＝ １（ｍ≠０），则“ｍ∈（０，６）”是“曲线Ｃ 的焦点在ｘ轴上”的 （　 　 ） Ａ．充分不必要条件　 　 　 　 　 　 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 （２）（２０２４·丰城市校级期末）已知Ｍ（－ ２，０），Ｎ（２，０），｜ ＰＭ ｜ － ｜ ＰＮ ｜ ＝ ４，则动点 Ｐ的轨迹是 （　 　 ） Ａ．一条射线 Ｂ．双曲线 Ｃ．双曲线左支 Ｄ．双曲线右支 （３）（２０２４·新余开学）设椭圆Ｃ１的离心率为５１３，焦点在ｘ轴上且长轴长为２６，若 曲线Ｃ２上的点到Ｃ１的两个焦点的距离的差的绝对值为８，则曲线Ｃ２ 的标准 方程为 （　 　 ） Ａ． ｘ ２ １６ － ｙ２ ９ ＝ １ Ｂ． ｘ２ １６９ － ｙ２ ２５ ＝ １ Ｃ． ｘ ２ ９ － ｙ２ １６ ＝ １ Ｄ． ｘ２ １６９ － ｙ２ １４４ ＝ １ （４）（多选）（２０２４·丰城市校级开学）已知抛物线Ｃ的焦点在直线２ｘ － ｙ ＋ ４ ＝ ０ 上，则抛物线Ｃ的标准方程为 （　 　 ） Ａ． ｙ２ ＝ ８ｘ Ｂ． ｙ２ ＝ － ８ｘ Ｃ． ｘ２ ＝ １６ｙ Ｄ． ｘ２ ＝ － １６ｙ ●9:;< ３．（２０２４·河南模拟）若方程（ｍ ＋ １）ｘ２ ＋（１ － ｍ）ｙ２ ＝ １ － ｍ２表示焦点在ｘ轴上的椭 圆，则 （　 　 ） Ａ． － １ ＜ｍ ＜ １ Ｂ． ０ ＜ｍ ＜ １ Ｃ． － １ ＜ｍ ＜ ０ Ｄ． － １ ＜ｍ ＜ ０或０ ＜ｍ ＜ １ ４．（２０２４·驻马店三模）设点Ｐ是双曲线ｘ ２ ４ － ｙ２ １２ ＝ １上一点，Ｆ１，Ｆ２ 分别是此双曲线 的左右焦点．若｜ＰＦ１ ｜ ＝ ５，则｜ＰＦ２ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． !"@$ÐÑÒ²'RSAB ●1234 ３．（１）（２０２４·吉安月考）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为１２ ，且过点（２，０） 的椭圆方程是 （　 　 ） Ａ． ｘ ２ ４ ＋ ｙ２ ３ ＝ １ Ｂ． ｘ２ ４ ＋ ｙ ２ ＝ １或ｘ２ ＋ ｙ ２ ４ ＝ １ Ｃ． ｘ ２ ４ ＋ ３ｙ２ １６ ＝ １ Ｄ． ｘ２ ４ ＋ ｙ２ ３ ＝ １或 ｘ２ ４ ＋ ３ｙ２ １６ ＝ １ !)# ●5678 １．椭圆、双曲线离心率（离心率范围）的求 解方法 （１）直接求出ａ与ｃ（或ａ与ｃ的关系），然 后通过求比值ｅ ＝ ｃａ，得到椭圆、双曲线的 离心率（离心率范围）． （２）建立一个关于ａ，ｂ，ｃ的方程或不等式， 再根据ａ，ｂ，ｃ的关系消掉ｂ得到ａ，ｃ的关 系式，然后求得椭圆、双曲线的离心率（离 心率范围）．建立关于ａ，ｂ，ｃ的方程或不等 式时，要充分利用椭圆、双曲线的几何性 质、图形的结构特征、点的坐标的范围等． ２．双曲线的渐近线的求法及用法 （１）求法 ①若已知双曲线的标准方程，则把双曲线 标准方程等号右边的１改为０，分解因式可 得渐近线方程； ②若未知双曲线的标准方程，则根据已知 条件求ｂａ或 ａ ｂ的值，然后可得渐近线方程． （２）用法 ①可得ｂａ或 ａ ｂ的值； ②利用渐近线方程设所求双曲线的方程； ③利用渐近线的斜率ｋ求离心率ｅ，双曲线 ｘ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０）渐近线的斜率ｋ与 离心率ｅ之间满足关系式ｅ２ ＝ １ ＋ ｋ２ ． （２）（２０２４·吉林四模）已知双曲线Ｃ：ｙ ２ ３ － ｘ２ ｂ２ ＝ １（ｂ ＞ ０）的一条渐 近线为ｙ ＝槡３ｘ，则双曲线Ｃ的离心率为 （　 　 ） Ａ． ２　 　 　 　 Ｂ． ２槡３３ 　 　 　 　 Ｃ．槡 ６ ２ 　 　 　 　 Ｄ． ２或 ２槡３ ３ （３）（２０２４·河南模拟）抛物线Ｅ：ｙ２ ＝ ２ｘ的焦点为Ｆ，Ｐ为Ｅ上一 点，Ｍ为ｙ轴正半轴上一点，若△ＰＭＦ是等边三角形，则直线 ＰＦ的斜率为　 　 　 　 　 ，｜ＰＭ ｜ ＝ 　 　 　 　 　 ． ●9:;< ５．（２０２４·南昌模拟）已知双曲线Ｍ：ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０）的一 个焦点到一条渐近线的距离为槡２３ ｃ（ｃ为双曲线的半焦距长），则 双曲线的离心率ｅ为 （　 　 ） Ａ．槡７３ Ｂ． ３槡７ ２ Ｃ． ３槡７ ７ Ｄ． ３槡７ ６．（多选）设抛物线Ｃ：ｙ２ ＝ ８ｘ的焦点为Ｆ，准线为ｌ，点Ｍ为Ｃ上 一动点，Ｅ（３，１）为定点，则下列结论正确的有 （　 　 ） Ａ．准线ｌ的方程是ｙ ＝ － ２ Ｂ．以线段ＭＦ为直径的圆与ｙ轴相切 Ｃ． ｜ＭＥ ｜ ＋ ｜ＭＦ ｜的最小值为５ Ｄ． ｜ＭＥ ｜ － ｜ＭＦ ｜的最大值为２ !"]$¸²*ÐÑÒ²'^_lm ●5678 １．解答直线与圆锥曲线相交问题的一般 步骤 （１）设线：讨论直线斜率的存在性，斜率存 在时，设直线的方程为ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ（或斜率不 为零时，设ｘ ＝ｍｙ ＋ ｎ）． （２）设点：设直线与圆锥曲线的两个交点 为Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２）． （３）联立、消元：联立方程组ｙ ＝ｋｘ ＋ｂ，ｆ（ｘ，ｙ）＝０{ ， 消去ｙ得关于ｘ的方程Ａｘ２ ＋ Ｂｘ ＋ Ｃ ＝ ０． （４）根与系数的关系：由判别式和根与系 数的关系列出直线与曲线相交于两个点满 足的条件二次项系数Ａ不为零， Δ ＞ ０{ ， 则 ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ － Ｂ Ａ， ｘ１ｘ２ ＝ Ｃ Ａ { ． （５）代入、化简：把所要解决的问题转化为 含ｘ１ ＋ ｘ２，ｘ１ｘ２的形式，然后代入、化简． ●1234 ４．（１）（２０２４·固始县校级三模）已知椭圆ｙ ２ ９ ＋ ｘ ２ ＝ １，Ｐ为椭圆上 任意一点，过点Ｐ分别作与直线ｌ１：ｙ ＝ ３ｘ和ｌ２：ｙ ＝ － ３ｘ平 行的直线，分别交ｌ２，ｌ１于Ｍ，Ｎ两点，则｜ＭＮ ｜的最大值为 （　 　 ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ （２）（２０２４·河南模拟）设Ｆ１，Ｆ２ 分别为双曲线Ｃ：ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０）的左、右焦点，过Ｆ２ 且斜率为－槡７３的直线ｌ 与Ｃ右支交于点Ａ，与Ｃ左支交于点Ｂ，点Ｄ满足→ＡＢ ＝ ２ →ＡＤ，→ＡＢ·Ｆ１→ Ｄ ＝ ０，则Ｃ的离心率为 （　 　 ） Ａ．槡２ Ｂ． ２槡２ Ｃ．槡３ Ｄ． ２槡３ （３）（２０２４·邢台模拟）倾斜角为θ的直线ｌ经过抛物线Ｃ：ｙ２ ＝ １６ｘ的焦点Ｆ，且与Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点．若θ∈ π６ ， π[ ]４ ，则 ｜ＡＦ ｜ ｜ＢＦ ｜的取值范围为 （　 　 ） !)$ ２．弦中点问题的解决方法 （１）用“点差法”求解弦中点问题的解题 步骤 （２）对于弦中点问题常用“根与系数的关 系”或“点差法”求解，在使用根与系数的 关系时，要注意使用条件Δ ＞ ０，在用“点差 法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 提醒：斜率恰好等于双曲线渐近线的斜率 的直线ｌ可能与双曲线相交，但交点只有 一个．与抛物线的对称轴平行或重合的直 线与抛物线只有一个公共点，故直线与双 曲线（抛物线）有一个公共点是直线与双 曲线（抛物线）相切的必要不充分条件． 　 　 Ａ．［１２８，２５６］ Ｂ．［６４，２５６］ Ｃ． ６４，１９６[ ]３ Ｄ． １９６３ ，[ ]１２８ ●9:;< ７．（多选）（２０２４·河北模拟）已知抛物线Ｅ：ｙ２ ＝ ２ｐｘ（ｐ ＞ ０）焦点 为Ｆ，过点Ｍ（２，０）（不与点Ｆ重合）的直线交Ｅ于Ｐ，Ｑ两点，Ｏ 为坐标原点，直线ＰＦ，ＱＦ分别交Ｅ于Ａ，Ｂ两点，∠ＰＯＱ ＝ ９０°， 则 （　 　 ） Ａ． ｐ ＝ １ Ｂ．直线ＡＢ过定点１４ ，( )０ Ｃ． ｜ＦＰ ｜·｜ＦＱ ｜的最小值为２５４ Ｄ． ｜ＰＡ ｜ ＋ ｜ＱＢ ｜的最小值为２５４ ８．（多选）（２０２４·东湖区校级三模）已知椭圆Ｗ：ｘ ２ ４ ＋ ｙ ２ ＝ １，点 Ｆ１，Ｆ２分别为Ｗ的左、右焦点，点Ｃ，Ｄ分别为Ｗ的左、右顶点， 过原点且斜率不为０的直线ｌ与Ｗ交于Ａ，Ｂ两点，直线ＡＦ２与 Ｗ交于另一点Ｍ，则 （　 　 ） Ａ． Ｗ的离心率为槡３２ Ｂ． ｜ＡＦ２ ｜的最小值为２ －槡３ Ｃ． Ｗ上存在一点Ｐ，使∠ＣＰＤ ＝ ２π３ Ｄ．△ＡＢＭ面积的最大值为２ 温馨提示：复习至此，请做练案［１６］ 第２讲　 圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题 !"#$ 　 　 　 明方向　 　 　 主要考查证明问题（证明位置关系、线段长度关系等）、弦长或图形面积的计算及其最值或范围问题，属于较 难问题，热点是直线与圆锥曲线相交所形成的三角形或四边形面积的最值问题． %&'( 　 　 　 明体系　 !)% 跟踪训练 把平面AGP和平面PGF沿PG展开. 5.(1)证明:由BA1AC.BA 1AA.ACOAA =A.得BA1平 示意图如图(2)所示,作AV1PF交PG于点M 面ACCA. 则AN'即所求.(AM+MV)=AV'=AP·sin(45*+30)= 又A.CC平面ACCA..故BA1A.C. 5+1故选B. 由CD=1.AC=2.AA =4且四边形ACCA. 为矩形,得AD 2 1AC. AOAD=A.故A.C1平面BDA 所以平面BDA1平面ECA. (2)以A为原点,AB,AC.AA.所在直线分别为x.y.:轴建立空 间直角坐标系, B P 点A (0.0.4).B(2.0.0).B(2.0.4).C(0.2.0).D(0.2.1). 设点E(2.0.1). H 则AC-(0.2.-4),AF=(2.0.- 图() , 图(2) 4). 设平面ECA.的法向量n=(x.y. C B 类型三 ),则 典例研析 [·4.C=2y-4:=0. , 3.BD 由A'B=A'D=1.BD=2.得BA'1DA' ln.AE=2+(1-4):=0. 因为平面A'BD1平面BCD.平面A'BDO平面BCD=BD.CD 取y=2.可得平面ECA.的法向量n _.. 1BD. =(4-t4.2). 所以CD1平面A'BD.进而有CD1BA. 由AB =(2.0.0)得点B. 到平面 由DA'oCD=D,得BA'1平面A'CD. 1A.B.nl 18-21 所以BA'1A'C.即乙BA'C=90*.B正确; 若A'C1BD.又CD1BD,易证得BD1平面A'CD.与BA'1平 -. 面A'CD矛盾,A错误;由CD1平面A'BD,得乙CA'D为CA'与 平面A'BD所成的角,由CD=A'D=1.得 CA'D=45*$C 误;由题意知AB=AD=CD=1. 由B=(-2.2.1),n=(4.4.2).得直线BD与平面ECA所 成角的正弦值为leo(B a1-..al.11 1B1 专题五 解析几何 微专题 立体几何中的动态问题 第1讲 直线、圆、圆锥曲线 题型选讲 真题再现明考向 类型一 1.A 设点M(x.y),则P(x.y).P'(x.0),因为M为PP'的中 典例研析 点,所以y。-2y.即P(x.2y). 1.ABD 当P.0分别为线段B.D.,AC的中点时,P0是异面直 又P在圆x+}=16(y>0)上,所以+4}=16(y>0).$ 线B.D,AC的公垂线,此时线段P0长度最小为2.故A正确; P0=2/2.只能是面对角线,此时P0可以是AD.CD..AB。. 0).故选A. CB. 四种,故B正确;当P与B.重合,0与C重合时,此时直 线PO(即B.C)与平面BC.D。垂直,故 PO1BD,故C错误;2. ABD设曲线上的动点P(x.y),则x>-2且(x-2)) 由于点P到平面AB0的距离是2,底面△0BA的面积随着点 xlx-al-4. 0的移动而变化..三校铺P-AB0的体积只与点0的位置 因为曲线过坐标原点,故 (0-2)+0x10-a1-4.解得a 有关,与点P的位置无关,故D正确.故选ABD =-2.故A正确; 类型二 又曲线方程为 (x-2)+yxlx+21=4.而x>-2.故 典例研析 (-2)+yx(x+2)-4. 2.B 将正三校锥P-ABC放入校长为/2的正方体AGII-PCHB 当x=2$2.y=0时.(22-2)ti22+2)=8-4=4.故 中,如图(1)所示,先固定点M 那么MN的最小值即点M到平面PCE的距离 (2/2.0)在曲线上,故B正确; 连接CHI.设GH的中点为F.连接PF.DG 由题意得,平面PGF1平面PCE,且交线为PF. _1--2o.故 故MVIPF. 494 49x4 所以M在PD上运动时,N在PF上运动 时>1. -302- 故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C错误; ×2/22/24 故选B (xo+2) (xo-2)16 (1。+2). 故。4 3.ABD 抛物线y=4x的准线为x=-1.A的园心(0.4)到 直线x=-1的距离显然是1.等于圆的半径,故准线/和A 相切,A选项正确; P.A.B三点共线时,即PA11.则P的纵坐标y.=4.由y= 4x..得到x.=4,故P(4.4). 此时切线长1P1=1PA1-- 4-1=/15.B选项$ 正确; 由题可知A,B,F.三点横坐标 当lPB=2时,x=1此时y=4x.=4.故P(1.2)或P(1. 相等,设A在第一象限,将x三c代 -2). =1. 22 不满足kk=-1;当P1.-2)时,A(0,4).B(-1,-2). ,--5. 不满足kk =-1;于是PA1AB不成立,C选项错误; 又IAF 1 -1AF$ =2 a, 1AF$1=1AF$ + a=2 a+5=13.解 方法一:利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义,1PB1=1PFl,这里F(1,0). 于是1PA1-IPB1时P点的存在性问题转化成1PA1=IPF1时 P点的存在性问题, 由C:(x-1)+=4.可得圆心 坐标为C(1.0).半径为r=2. 于是AF的中垂线方程为y-2x+15.与抛物线y-4x联立可 得-16y+30-0. $=16*-4x30=136 0.即AF的 解得 sin/ AcB-.设/AcB-0.v.2in os -4. 中垂线和抛物线有两个交点, 可得2sinθcos_4 得21n 4.n-: n -- tn 即存在两个P点,使得1PA1=1PF 2tan回-4 1.D选项正确 B 方法二:设点直接求解 =2. 设P().由PB1)可得B(-1. $ t).又A(0,4),又1PA1=1PB1. 根据两点间的距离公式, 4+1,整理得? #16(6~4):- _ -16t+30-0. 7.(x-2) (y-3) =13 或(x-2)+(y-1)=5或 $=16{-4x30=136>0.则关于:的方程有两个解 即存在两个这样的P点,D选项正确.故选ABD. (4) (y-)-(-)+(y-1)-151 4. B 圆x+-4x-1=0可化为(x-2)+=5.则圆心为C$$ 依题意设园的方程为x+y2+Dx+Ey+F=0.若过(0.0). (2.0),半径为,-/5; (4.0).(-1.1). 设$(0.-2).切线为PAPB.则PC=②+2= F=0. 1F=0. 则16+4D+F=0. 解得D:-4. 822' 1+1-D+E+F=0. IE=-6. -303一 (# 所以园的方程为x+y-4x-6y=0,即(x-2)+(y-3 -13; 若过(0,0),(4.0),(4,2). x+2y+6=0. F=0. rF=0. 即B(0,-3)或(-3.-),当B(0.-3)时,此时 &-,直 则16+4D+F=0. 解得 D:-4,所以圆的方程为 IF=-2. 16+4+4D+2E+F=0. 线1的方程为y-3-3.即3x-2y-6-0. +-4x-2y=0.即(x-2)+(y-1)-5; 当B(-3,-)时,此时&=,直线1的方程为y=x,即 若过(0.0),(4.2).(-1.1). F-0. =# x-2y=0. [F=0, 8. 一1.# 则 1+1-D+f+F=0. 解得 当C=-18时,联立 得2-27+117=0. 16+4+4D+2E+F-0. L+2y-18=0 所以圆的方程为+-8x-14y-0.即(x-4) = 7*-4x2x117=-207<0,此时该直线与圆无交点 综上直线/的方程为3x-2v-6=0或x-2=0. (-)#-6# 方法二:同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0 若过(-1.1).(4.0).(4,2). -1. f 1.+2y。-61125 1+1-D+F+F=0. #### 5 则16+4D+F=0. 16 设B(x,),则 16+4+4D+2F+F=0. F=-2, 1=-3。 解得 ##7--3--3. 3/=0. (-1):.169 25 即B(0.-3)或(-3,-).以下同方法一。 8.(x-1)+(y+1)=5点M在直线2x+y-1=0上,:设 点M为(a.1-2a),又因为点(3.0)和(0.1)均在M上, 方法三:同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0. .点M到两点的距离相等且为半径R. .(a-3)+(1-2a)=a+(-2a) = a}-6a+9+4a}-4a+1=5a”,解得a-1. 设B(23cos6.3sinθ),其中6e[0,2π),则有 123cos 8+6sin9-6112/5 &.M(1.-1).R=5.M的方程为(x-1)+(y+1)=5 b-3. 9.(1)由题意得 联立cosθ+sine=1,解得 # #1-- 即B(0.-3)或(-3.-).以下同方法一; 3-}# 方法四:当直线AB的斜率不存在时,此时B(0.-3). +3.即x+2v-6=0. 4P1-(0-3)→(3-)-.(1)知C -1. 当线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+3. ry=+3. 设点B到直线AP的距离为d.则d-2x9 12、5 则(4k+3)x+24kt=0.其中 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移125单位即可, hk,即 此时该平行线与圆的交点即为点B,设该平行线的方程为x 一_2) 4+3 +2y+C=0. 令= 5 同方法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0. -304- &*十,则3r-36k-36k-7. 点B到直线AP的距离d-12、 y& 5 3+4 |24+2×12+9-6| x12-12k-9 4 +3 4+3 3+4 则 5 5 则$=-1 4011×-*×=$$$ 此时B(-3,),则得到此时-,直线(的方程为y 3寻 18 -9.解得k= 1x.即x-2y=0.$ 综上直线1的方程为3x-2y-6=0或x-2=$ 方法五:当1的斜率不存在时,1:x=3,B(3.-).1PBl-3.A 到的PB距离d=3. =0. 此时 $A-×3x3--9不满足条件,当1的斜率存 考点突破提能力 考点一 在时, 典例研析 设PB:y- 1.(1)B(2)C (3)D(1)设坐标原点0到直线&-y+1-0 的距离为d.则d-1 ##1## ##,一1# 消去y可得(4k}+3)x-24k}-12k)x+ 由!MNI=14.得2 +1 36 -36 -27=0$ (2)依题意,圆(x-2)+y=1的圆心C(2.0),半径r=1 =24 -12 k)-4(4}+3) $(36-36k-27)0.Hk AC1PA1PB1=1PAI=1PCI -1. 因此四边形APBC的周长1=21PAI+21ACI=21PCt-1 +2. 【× -24-12 4+3 2 面1PC1.= 1PB1= +1 (x+)*-4x 一=2.当 1+(-1)* 4+3 且仅当PC垂直于直线x-y=0时 取等号, 413 9 所以四边形APBC的周长的最小值 41+3 为4.故选C. 3- (3)根据题意,圆C.:x2+y+2x- A到直线PB的距离d=- $-8=0与C++4-4-4=0. +1 两圆方程作差,可得两圆的公共弦所在直线的方程为x+2v 2=0. 由Cx+y+2x-8y-8=0,得(x+1)+(y-4)=25 4{+3 1+1 所以圆心C(-1.4),半径r=5. 则圆心C.到公共弦x+2y+2-0的距离d-1-1+8+21 ) -2y-6=0或x-2y=0. -2 方法六:当1的斜率不存在时,1 x-3.B(3.-2).1PB1-3.A 到PB的距离d-3. 1.A 当直线的斜率等于0时,直线的方程为y=1.代人方程x +=4中. 设1与y轴的交点为0,令x-0.则o(o.-3t+). 得x=+3.显然1CD1=23; 当直线不存在斜率时,直线的方程为x=1. 联立 代入方程x+=4中,得y=+3,显然1CDl-23 3x+4-36. 因此是必要而不充分条件,故选A -36-27=0. 2.C 园心坐标为(4.③),半径为/3 圆心到直线(的距离为14k-5-113k-51 /1 1 -305一 依题意13k-31 1<. ·园过点(2.0).a=2.b= +1 解得0<k<3. 则倾斜角的范围为[o.于].故选C. 当圆的焦点在y轴上时,b=2,6{-3,得a-45. 考点二 典例研析 选D. 0).me(0.6). 则曲线C表示焦点在x轴上的圆,充分性成立, 若曲线C的焦点在:轴上. 则m<6且m0,必要性不成立 即双曲线的方程为-1, 故“me(0.6)”是“曲线C的焦点在x轴上”的充分不必要条 件,故选A. 可得a-3.b-1.c-3+1-2. (2)如果是双曲线,那么1PM1-1PNI=4=2a,a=2. 则。-2 面两个定点M(-2.0).V(2.0)为双曲线的焦点.c=2 .故选B. 而在双曲线中c>a. (3)抛物线E:y-2x的焦点为F(,0).准线方程为x- 所以把后三个关于双曲线的答案全部排除,故选A (3)根据题意可知圆方程中的a=13. - 设1PF-1,则x=1-yov21-T. 根据双曲线的定义可知曲线C.为双曲线,其中半焦距为5.实 轴长为8, .#(1-v2-1). :.虚轴长为2/25-16=6. ·△PMF是等边三角形. ..IPFI=1PMI-IMFI. (4)直线2x-y+4=0在x轴的交点为(-2.0). 设M(0.m)(m>0). 由题意可知,此时抛物线C的方程为=-8x, 则1-MFl-10r-- 直线2x-y+4=0在x轴的交点为(0.4). 由题意可知,此时抛物线C的方程为x=16y.故选BC (-)(#--)# 跟踪训练 3.C 方程(m+1)+(1-m)}=1-m”可化为 化为+1-1= (2t-1)(4r-1). +1 化为*-6t+3-0.解得1-3+6. =1. :._2-T #-- 所以{-m+1. '解得-1<mc0.故选C 1PMI=1PF1=1=3+6 lm+I>0. 跟踪训练 若P在双曲线的左支上,可得lPF,1的最小值为c-a-2. 由1PF1-1PF$1=2 a=4, 1PF$1=5,即有1PF$ =9; ay=0.焦点坐标为(+c.0),其中c=+. 若P在双曲线的右支上,可得1PF 的最小值为c+a=6. 1PF1=5<6,则P不可能在右支上. 综上可得1PF。1-9 =2*. 考点三 典例研析 3+6 6. BC 抛物线C:y=8x的焦点为F(2.0).准线为l:x=-2.故 (1)当圆的焦点在:轴 A错误;设M(m.n),MF的中点为N.可得1MF1=m+2=2· 1m+21.即N到y轴的距离是1MFl的一半,则以线段MF为 由离心率为士,可得6-a”--} 直径的圆与y轴相切,故B正确; 设M在准线上的射影为HI.由1ME1+1MFI=1MEI+1MH -306一 知,当E.M.I三点共线时,1MEI+1MHI取得最小值,且为3 在△AFF:中,由余弦定理,得 +2=5.故C正确;由IMEI-IMFIIEFI知,当M为EF的延 AF 1?=1F F.+1AF 1-21FF11AF 1cos AF$. 线与抛物线的交点时,ME一MF取得最大值IEF!.目为 #即()}“4(-2){}-2· 2c·(-2a)-整 (3-2)+(1-0)-/2.故D错误.故选BC. 理得4a-_0. (3)由抛物线C:y=16x,得p=8. 1Brl-1+808 10[吾-]: . 则o[寻],.可得14F118r! [128.2501.故选A. 考点四 典例研析 4.(1)C(2)B(3)A(1)设过点P分别作直线.L.由题7. ACD设直线PO:x=my+2与抛物线联立可得y-2.my- 跟踪训练 意,画示意图如下 4p=0. 设M(x,y)N(x,y).P(x,y).则y.=-3x.y=3x. 设#().o(),则) ) 由题意可知四边形PMOV为平行四边形, --4p. 因为乙P00-90,所以0.0 lyy-y。+0=3(x.-). 42 1y.-y=3x。. 得p=I,故A正确;由A可知. f(,o).设直线PF:x=my =1.□1翻 士.与抛物线联立可得y-2my-1-0.设A(xvy)B(tan, ya),所以y.---.同理可得yn--,所以y。。-- #x V 所以1M1= (x-x)+(y-y)* :y2 9 -寸$直线AB:2x-(v+o))-0,即2(x-)-(u 9+(1-)-8x+1. 因为-1<x。=1.所以01. +ya)y-0.所以直线AB过定点(0),故B错误; 所以由函数性质知:当=1时,有1MV1=/8x1+1=3. #P.10-()() 故选C. (2)如图所示. 由-2A,得D为AB的中点;又A: FD-0.所以FD1AB.所以1AF 1= #1,! 1BF. 设1AF1-1BF1=m,由双曲线的定 IPA=_- )1 义,得1BF1=2a+m.IAF.1=m-2a. 所以1AB1=1BF.1-1AF.1-4a.从而 所以1PA1+10B1=- 2 ,,) $ADI-1AB1-2a,所以1DF.1= 17x21y:1+4 1AD1+1AF1=m. 16 -.得 1an Arir .co Ar F. 由直线1的斜率为- A正确; 根据圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点 得,距离最大为a土c.距离最小为a-c. 又直线AB的斜率不为0.所以1AF.1>a-c=2-3.B错误; -307一 由圆的对称可知当P为短轴顶点时,乙CPD取得最大值,此 $2 8}-24-160+24+32} 时1DP1=1CP1=/5.1CD1=4. =- 3+4 2-5 一=0,故y=y。,即A01y轴 由余弦定理得eos CPp-1CPl}+1DP^}-1CD^ 21CPI·IDPI 2.(1)抛物线的准线为x--.当MD与x轴垂直时,点M的 横坐标为p, 正确; 此时1MFl-p+P-3.所以p=2,所以抛物线C的方程为y 设直线AM的方程为x=my+3.联立直线AM与W的方程得 -4x. (m+4)+2/3m-1=0. (2)设().A().A()B)直线 设A(xy),M(xv),则y+y-25m MN:x=my+1. 所以1AMl= 1+mly -y1= #由{:d [x=my+1.可得y}-4my-4-0.A>0,yiy=-4. (4, 1+n 12m{ 44(m+1). m+4 由斜率公式可得kan---4{- )} ## -4 4 所以S"=2Saou=1AM1·-45xm1 m+4 y+ -4.4(=1)3→2. 令:m+1,则S= 4(x-2).-8=0. y& 当且仅当t-3,即t-v5时,等号成立, △>0.yy=-8,所以y=2y,同理可得y=2y,所以k= 所以△ABM面积的最大值为2.D正确.故选ACD 2()“ 第2讲 圆锥曲线的方程及计算、 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为a,B.所以k. =tanB= 证明、最值与范围问题 k_tang,若要使a-B最大,则Be(0.). 真题再现明考向 设k题y=2k n=2k >0.则tan(a-B)-1+ tan atan1+2^k tana-tanB 2 ##2^22-# (2)证明:直线AB的斜率必定存在,设AB:y=k(x-4),A(x. 当且仪当士-24即人-时,等号成立。 yi),B(x,y). ly-b(x-4) 所以当a-B最大时,k.没直线AB:x-v2yn -32x+64}-12-0 故A-1024*-4(3+4)(64- 代人抛物线方程可得-4/2y-4n=0. 12)>0.故-. $>0,yy=-4n=4yy=-16,所以n=4,所以直线AB;x= /2y4. 322 又-324(1-8 642-12 3+4 3.(1)设点P的坐标为(x.y),由题意得lvl= (-) 两边平方可得-y-y-,化简得y-*-,符合 -2 题意。 -3v. 故W的方程为y=x4 3yyx(2x.-5)+3y 所以y-y。=)1+2x。-5= (2)证明;方法一;不妨设A.B.C三点在W上,且AB1BC 2x2-5 设A(a)#.6).C(c). 2x-5 则AB=(b-a.b-).BC=(c-b-b). 2×64-12-532 由题意,AB·B=0.即(b-a)(c-b)+(b-)(-b 2x.x-5(x.+)+8 34+8 &3+4 =0. = 2-5 2-5 显然(b-a)(c-b)0.于是l+(b+a)(c+b)=0 -308-