第一篇 专题四 微专题 立体几何中的动态问题-【衡中学案】2025年高考数学二轮总复习学案

跟踪训练 ５． （１）证明：由ＢＡ⊥ＡＣ，ＢＡ⊥ＡＡ１，ＡＣ∩ＡＡ１ ＝ Ａ，得ＢＡ⊥平 面ＡＣＣ１Ａ１， 又Ａ１Ｃ平面ＡＣＣ１Ａ１，故ＢＡ⊥Ａ１Ｃ， 由ＣＤ ＝ １，ＡＣ ＝ ２，ＡＡ１ ＝ ４且四边形ＡＣＣ１Ａ１ 为矩形，得ＡＤ ⊥Ａ１Ｃ， ＢＡ∩ＡＤ ＝ Ａ，故Ａ１Ｃ⊥平面ＢＤＡ， 所以平面ＢＤＡ⊥平面ＥＣＡ１ ． （２）以Ａ为原点，ＡＢ，ＡＣ，ＡＡ１所在直线分别为ｘ，ｙ，ｚ轴建立空 间直角坐标系， 点Ａ１（０，０，４），Ｂ（２，０，０），Ｂ１（２，０，４），Ｃ（０，２，０），Ｄ（０，２，１）， 设点Ｅ（２，０，ｔ）， 则Ａ１→ Ｃ ＝（０，２，－ ４），Ａ１→ Ｅ ＝（２，０，ｔ － ４）， 设平面ＥＣＡ１ 的法向量ｎ ＝ （ｘ，ｙ， ｚ），则 ｎ·Ａ１→ Ｃ ＝ ２ｙ － ４ｚ ＝ ０， ｎ·Ａ１→ Ｅ ＝ ２ｚ ＋（ｔ － ４）ｚ ＝ ０{ ， 取ｙ ＝ ２，可得平面ＥＣＡ１ 的法向量ｎ ＝（４ － ｔ，４，２）， 由Ａ１Ｂ→ １ ＝ （２，０，０）得点Ｂ１ 到平面 ＥＣＡ１的距离ｄ ＝ ｜Ａ１Ｂ → １·ｎ ｜ ｜ｎ ｜ ＝ ｜８ － ２ｔ ｜ （４ － ｔ）２槡 ＋ ２０ ＝ ４７ ，解得ｔ ＝ ８３ ， 由→ＢＤ ＝（－ ２，２，１），ｎ ＝ ４３ ，４，( )２ ，得直线ＢＤ与平面ＥＣＡ１所 成角的正弦值为｜ ｃｏｓ〈→ＢＤ，ｎ〉｜ ＝ ｜ →ＢＤ·ｎ ｜ ｜→ＢＤ ｜ ｜ｎ ｜ ＝ １１２１ ． 微专题　 立体几何中的动态问题 题型选讲 类型一 典例研析 １． ＡＢＤ　 当Ｐ，Ｑ分别为线段Ｂ１Ｄ１，ＡＣ的中点时，ＰＱ是异面直 线Ｂ１Ｄ１，ＡＣ的公垂线，此时线段ＰＱ长度最小为２，故Ａ正确； ＰＱ 槡＝ ２ ２，只能是面对角线，此时ＰＱ可以是ＡＤ１，ＣＤ１，ＡＢ１， ＣＢ１四种，故Ｂ正确；当Ｐ与Ｂ１ 重合，Ｑ与Ｃ重合时，此时直 线ＰＱ（即Ｂ１Ｃ）与平面ＢＣ１Ｄ１ 垂直，故ＰＱ⊥ＢＤ１，故Ｃ错误； 由于点Ｐ到平面ＡＢＱ的距离是２，底面△ＱＢＡ的面积随着点 Ｑ的移动而变化，∴三棱锥Ｐ － ＡＢＱ的体积只与点Ｑ的位置 有关，与点Ｐ的位置无关，故Ｄ正确．故选ＡＢＤ． 类型二 典例研析 ２． Ｂ　 将正三棱锥Ｐ － ＡＢＣ放入棱长为槡２的正方体ＡＧＩＪ － ＰＣＨＢ 中，如图（１）所示，先固定点Ｍ， 那么ＭＮ的最小值即点Ｍ到平面ＰＣＥ的距离． 连接ＧＨ，设ＧＨ的中点为Ｆ，连接ＰＦ，ＤＧ． 由题意得，平面ＰＧＦ⊥平面ＰＣＥ，且交线为ＰＦ， 故ＭＮ⊥ＰＦ， 所以Ｍ在ＰＤ上运动时，Ｎ在ＰＦ上运动． 把平面ＡＧＰ和平面ＰＧＦ沿ＰＧ展开， 示意图如图（２）所示，作ＡＮ′⊥ＰＦ交ＰＧ于点Ｍ′， 则ＡＮ′即所求，（ＡＭ ＋ ＭＮ）ｍｉｎ ＝ ＡＮ′ ＝ ＡＰ·ｓｉｎ（４５° ＋ ３０°）＝ 槡３ ＋ １ ２ ．故选Ｂ． 　 类型三 典例研析 ３． ＢＤ　 由Ａ′Ｂ ＝ Ａ′Ｄ ＝ １，ＢＤ 槡＝ ２，得ＢＡ′⊥ＤＡ′． 因为平面Ａ′ＢＤ⊥平面ＢＣＤ，平面Ａ′ＢＤ∩平面ＢＣＤ ＝ ＢＤ，ＣＤ ⊥ＢＤ， 所以ＣＤ⊥平面Ａ′ＢＤ，进而有ＣＤ⊥ＢＡ′． 由ＤＡ′∩ＣＤ ＝ Ｄ，得ＢＡ′⊥平面Ａ′ＣＤ． 所以ＢＡ′⊥Ａ′Ｃ，即∠ＢＡ′Ｃ ＝ ９０°，Ｂ正确； 若Ａ′Ｃ⊥ＢＤ，又ＣＤ⊥ＢＤ，易证得ＢＤ⊥平面Ａ′ＣＤ，与ＢＡ′⊥平 面Ａ′ＣＤ矛盾，Ａ错误；由ＣＤ⊥平面Ａ′ＢＤ，得∠ＣＡ′Ｄ为ＣＡ′与 平面Ａ′ＢＤ所成的角，由ＣＤ ＝ Ａ′Ｄ ＝ １，得∠ＣＡ′Ｄ ＝ ４５°，Ｃ错 误；由题意知ＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ＣＤ ＝ １， ＶＡ′ － ＢＣＤ ＝ ＶＣ － Ａ′ＢＤ ＝ １ ３ × １ × １ ２ × １ × １ ＝ １ ６ ，Ｄ正确．故选ＢＤ． 专题五　 解析几何 第１讲　 直线、圆、圆锥曲线 真题再现明考向 １． Ａ　 设点Ｍ（ｘ，ｙ），则Ｐ（ｘ，ｙ０），Ｐ′（ｘ，０），因为Ｍ为ＰＰ′的中 点，所以ｙ０ ＝ ２ｙ，即Ｐ（ｘ，２ｙ）， 又Ｐ在圆ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １６（ｙ ＞ ０）上，所以ｘ２ ＋ ４ｙ２ ＝ １６（ｙ ＞ ０）， 即ｘ ２ １６ ＋ ｙ２ ４ ＝ １（ｙ ＞ ０），即点Ｍ的轨迹方程为 ｘ２ １６ ＋ ｙ２ ４ ＝ １（ｙ ＞ ０）．故选Ａ． ２． ＡＢＤ　 设曲线上的动点Ｐ（ｘ，ｙ），则ｘ ＞ － ２且（ｘ － ２）２ ＋ ｙ槡 ２ × ｜ ｘ － ａ ｜ ＝ ４， 因为曲线过坐标原点，故（０ － ２）２ ＋ ０槡 ２ × ｜ ０ － ａ ｜ ＝ ４，解得ａ ＝ － ２，故Ａ正确； 又曲线方程为（ｘ － ２）２ ＋ ｙ槡 ２ × ｜ ｘ ＋ ２ ｜ ＝ ４，而ｘ ＞ － ２，故 （ｘ － ２）２ ＋ ｙ槡 ２ ×（ｘ ＋ ２）＝ ４． 当ｘ 槡＝ ２ ２，ｙ ＝ ０时， （槡２ ２ － ２）槡 ２ ×（槡２ ２ ＋ ２）＝ ８ － ４ ＝ ４，故 （槡２ ２，０）在曲线上，故Ｂ正确； 由曲线的方程可得ｙ２ ＝ １６（ｘ ＋ ２）２ －（ｘ － ２） ２，取ｘ ＝ ３２ ， 则ｙ２ ＝ ６４４９ － １ ４ ，而 ６４ ４９ － １ ４ － １ ＝ ６４ ４９ － ５ ４ ＝ ２５６ － ２４５ ４９ × ４ ＞ ０，故此 时ｙ２ ＞ １                                                                       ， —２０３— ●5678 空间角存在性问题的解 题策略 借助于空间直角坐标 系，把几何对象上动态 点的坐标用参数（变 量）表示，将几何对象 坐标化，这样根据所要 满足的题设要求得到相 应的方程或方程组．若 方程或方程组在题设范 围内有解，则通过参数 的值反过来确定几何对 象的位置；若方程或方 程组在题设范围内无 解，则表示满足题设要 求的几何对象不存在． ●9:;< ５．（２０２４·淇滨区校级月考）已知直三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１，ＡＢ ＝ ＡＣ ＝ １ ２ ＡＡ１ ＝２，ＡＢ⊥ＡＣ，Ｄ，Ｅ分别为线段ＣＣ１，ＢＢ１上的点，ＣＤ ＝１． （１）证明：平面ＢＤＡ⊥平面ＥＣＡ１； （２）若点Ｂ１到平面ＥＣＡ１ 的距离为４７ ，求直线ＢＤ与平面ＥＣＡ１ 所成角的正弦值． 温馨提示：复习至此，请做练案［１５］ 微专题　 立体几何中的动态问题 ●wmx4 立体几何中的“动态问 题”是指空间图形中的 某些点、线、面的位置是 不确定的、可变的一类 开放型问题，因其某些 点、线、面位置的不确 定，往往成为学生进行 一些常规思考、转化的 障碍；但又因其是可变 的，开放的，更有助于学 生空间想象能力及综合 思维能力的培养，以下 利用运动变化的观点对 几种动态问题的类型加 以分析，探求解决此类 问题的若干途径． *012 Ãy#$ ÄÅÆÇ «3YÄȉÉÆÇ —— Ä#m°!Ç ●1234 １．（多选）如图所示，在棱长为２的正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，Ｐ，Ｑ分别是线段 Ｂ１Ｄ１，ＡＣ上的动点，则下列说法正确的有 （　 　 ） Ａ．线段ＰＱ长度的最小值为２ Ｂ．满足ＰＱ ＝ ２槡２的情况只有４种 Ｃ．无论Ｐ，Ｑ如何运动，直线ＰＱ都不可能与ＢＤ１垂直 Ｄ．三棱锥Ｐ － ＡＢＱ的体积大小只与点Ｑ的位置有关，与点Ｐ的位置无关 !(( ●Ê"Ë 本题通过点Ｐ，Ｑ 的 “动”考查了最值、垂 直、体积等问题，实现了 一题多考，解决此类问 题的关键是掌握几何体 的结构特征和垂直的判 定定理及性质定理，需 具备较强的直观想象 能力． ●Ê"Ë 对于立体几何中的双动 点问题，可先固定一个 动点，如本题先固定点 Ｍ，那么ＭＮ的最小值 就是点Ｍ到平面ＰＣＥ 的距离，进而求得ＡＭ ＋ ＭＮ的最小值．这类 题通常需要利用展开 图，数形结合，达到化动 为静，以静制动的目的， 从而求解． ●Ê"Ë 解决翻折问题，要分析 翻折前后的“变量”与 “不变量”，在翻折前要 标注重要的点或重要的 量，分析其在翻折后的 变化情况．具体到本例， 应重视垂直关系“ＢＡ′ ⊥ＤＡ′，ＣＤ⊥ＢＤ”，才能 顺利地由平面Ａ′ＢＤ⊥ 平面ＢＣＤ得出ＣＤ⊥平 面Ａ′ＢＤ，ＣＤ⊥ＢＡ′，再 得到ＢＡ′⊥平面Ａ′ＣＤ， 从而解决问题． Ãy=$ÄÅÆÇ «3YÄÌÉÍÅÇ —— Ä\[lmÇ ●1234 ２．（２０２３·湖北八校联考）已知在如图所示的正三棱锥Ｐ － ＡＢＣ中，侧棱ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ 的长为槡２，底面△ＡＢＣ的边长为２，Ｄ为ＡＣ的中点，Ｅ为ＡＢ的中点，Ｍ是ＰＤ上的 动点，Ｎ是平面ＰＣＥ上的动点，则ＡＭ ＋ＭＮ的最小值为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ．槡６ ＋槡２４ Ｂ．槡 ３ ＋ １ ２ Ｃ．槡６４ Ｄ．槡 ３ ２ 【分析】　 先固定点Ｍ，再考虑点Ｎ的变化，要求ＡＭ ＋ ＭＮ的最小值，可将立体几 何问题通过展开某几个平面转化为平面几何问题来处理． Ãy@$ÄÅÆÇ «3YĐÎÇ —— ÄϹlmÇ ●1234 ３．（多选）如图１，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ＣＤ ＝ １，ＢＤ ＝槡２，ＢＤ⊥ＣＤ．将四边形 ＡＢＣＤ沿对角线ＢＤ折成四面体Ａ′ － ＢＣＤ（如图２），使平面Ａ′ＢＤ⊥平面ＢＣＤ，则下 列结论正确的是 （　 　 ） Ａ． Ａ′Ｃ⊥ＢＤ Ｂ．∠ＢＡ′Ｃ ＝ ９０° Ｃ． ＣＡ′与平面Ａ′ＢＤ所成的角为３０° Ｄ．四面体Ａ′ － ＢＣＤ的体积为１６ !()