第一篇 专题二 第1讲 三角函数的图象和性质-【衡中学案】2025年高考数学二轮总复习学案

专题二 　 三角函数及解三角形 三 年 考 情 题型 单选题 多选题 填空题 解答题 年份题号１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０ ２１ ２２ ２０２２ Ⅰ √ √ √ Ⅱ √ √ √ √ ２０２３ Ⅰ √ √ √ Ⅱ √ √ √ ２０２４ 单选题 多选题 填空题 解答题 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ Ⅰ √ √ √ Ⅱ √ √ √ 第１讲　 三角函数的图象和性质 !"#$ 　 　 　 明方向　 　 　 １．以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性． ２．考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必 考点． %&'( 　 　 　 明体系　 )*+, 　 　 　 明考向　 １．（２０２４·新课标全国Ⅰ卷）当ｘ∈［０，２π］时，曲线ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ与ｙ ＝ ２ｓｉｎ ３ｘ － π( )６ 的交点个数为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ３ Ｂ． ４ Ｃ． ６ Ｄ． ８ ２．（多选）（２０２４·新课标全国Ⅱ卷）对于函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ和ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ － π( )４ ，下列正确的有 （　 　 ） Ａ． ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）有相同零点 Ｂ． ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）有相同最大值 Ｃ． ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）有相同的最小正周期 Ｄ． ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的图象有相同的对称轴 !#& ３．（２０２２·新高考全国Ⅰ卷）记函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ωｘ ＋ π( )４ ＋ ｂ（ω ＞ ０）的最小正周期为Ｔ．若２π３ ＜ Ｔ ＜ π，且ｙ ＝ ｆ（ｘ） 的图象关于点３π２ ，( )２ 中心对称，则ｆ π( )２ ＝ （　 　 ） Ａ． １ Ｂ． ３２ Ｃ． ５ ２ Ｄ． ３ ４．（２０２２·全国甲卷）将函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ωｘ ＋ π( )３ （ω ＞ ０）的图象向左平移π２个单位长度后得到曲线Ｃ，若Ｃ关于ｙ 轴对称，则ω的最小值是 （　 　 ） Ａ． １６ Ｂ． １ ４ Ｃ． １ ３ Ｄ． １ ２ ５．（２０２１·新高考全国Ⅰ卷）下列区间中，函数ｆ（ｘ）＝ ７ｓｉｎ ｘ － π( )６ 单调递增的区间是 （　 　 ） Ａ． ０，π( )２ Ｂ． π２ ，( )π Ｃ． π，３π( )２ Ｄ． ３π２ ，２( )π ６．（２０２２·全国乙卷）函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ ＋（ｘ ＋ １）ｓｉｎ ｘ ＋ １在区间［０，２π］的最小值、最大值分别为 （　 　 ） Ａ． － π２ ， π ２ Ｂ． － ３π ２ ， π ２ Ｃ． － π ２ ， π ２ ＋ ２ Ｄ． － ３π ２ ， π ２ ＋ ２ ７．（２０２４·全国甲卷文科）函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ －槡３ｃｏｓ ｘ在［０，π］上的最大值是　 　 　 　 ． ８．（２０２２·全国乙卷）记函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ（ωｘ ＋ φ）（ω ＞ ０，０ ＜ φ ＜ π）的最小正周期为Ｔ，若ｆ（Ｔ）＝槡３２ ，ｘ ＝ π ９为ｆ（ｘ） 的零点，则ω的最小值为　 　 　 　 ． !-./ 　 　 　 提能力　 !"#$@ˆ%&'‰UQ ŠN‹aŒCDŽ ●-./0 １．各象限角的三角函数的符号 一全正，二正弦，三正切，四余弦 ２．同角关系：ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １，ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ｔａｎ (α α≠π２ ＋ ｋπ，ｋ∈ )Ｚ ． ３．诱导公式：在ｋπ２ ＋ α，ｋ∈Ｚ的诱 导公式中“奇变偶不变，符号看象 限”． ●5678 １．利用诱导公式化简求值时，先利 用公式化任意角的三角函数为锐 角三角函数，其步骤：去负—脱 周—化锐，特别注意函数名称和符 号的确定． ●1234 １．（１）（２０２４·辽宁模拟）已知ｔａｎ α ＝ １２ ，则 ｓｉｎ α ＋ π( )２ － ｃｏｓ ３π２ －( )α ｃｏｓ（－ α）－ ｓｉｎ（π － α） ＝ （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． － １　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． １ Ｃ． － ３ Ｄ． ３ （２）（２０２４·沧州一模）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与ｘ轴的 非负半轴重合，且终边上一点的坐标为（－ ２，－ １），则 槡５ｃｏｓ ７π２ ＋ ３( )α ＋ ｓｉｎ（π － ２α）＝ （　 　 ） Ａ． ７槡５５ Ｂ． － ７ ５ Ｃ． ２槡５２５ Ｄ． － ２ ２５ （３）（２０２４·泰安四模）已知ｓｉｎ ３π２ ＋( )α ＝槡３２且π２ ＜ α ＜ π，则ｔａｎ α ＝ （　 　 ） Ａ． －槡３ Ｂ． －槡３３ Ｃ．槡３３ Ｄ． ３ !#' ２．应用公式时注意方程思想的应用 对于ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α，ｓｉｎ αｃｏｓ α，ｓｉｎ α － ｃｏｓ α这三个式子，利用（ｓｉｎ α ± ｃｏｓ α）２ ＝ １ ± ２ｓｉｎ αｃｏｓ α，可以知 一求二． ３．关于ｓｉｎ α，ｃｏｓ α的齐次式，往往 转化为关于ｔａｎ α的式子求解． 提醒：在利用同角三角函数的平方 关系时，若开方，要特别注意判断 符号． ●9:;< １．已知ｔａｎ α ＝ － ３，则ｓｉｎ ３α － ｓｉｎ α ｓｉｎ α ＋ π( )２ ＝ （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． － ３４ Ｂ． ３ ４ Ｃ． ３ １０ Ｄ． － ３ １０ ２．已知角α终边上一点Ｐ（１，－ ２），则２ｓｉｎ（π － α）－ ｃｏｓ（π ＋ α） ｓｉｎ π２ －( )α ＋ ｃｏｓ ３π２ ＋( )α ＝（　 　 ） Ａ． － ３ Ｂ． ５３ Ｃ． ３ Ｄ． ５ ３．（２０２４·淮北模拟）已知ｓｉｎ α ＋ｃｏｓ α ＝ － １５，α∈（０，π），则ｔａｎ α ＝ 　 　 　 ． !"=$@ˆ%&'>?*„4a ●-./0 三角函数图象的变换 ●5678 １．解析式ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）＋ Ｂ（Ａ ＞ ０）的确定方法 （１ ）Ａ，Ｂ 由最值确定，即Ａ ＝最大值－最小值２ ， Ｂ ＝最大值＋最小值２ ． （２）ω由函数周期确定，相邻两对称 轴（或两对称中心）之间的距离为 Ｔ ２ ，对称轴与相邻对称中心之间的 距离为Ｔ４ ． （３）φ由图象上的特殊点确定，利用 五点作图的五个特殊点直接确定． ●1234 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　２．（１）（２０２４·保定三模）把函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )３ 的图象向右平移 φ ０ ＜ φ ＜ π( )２ 个单位长度，再把横坐标压缩到原来的１２倍，纵坐标 不变，得到图象关于原点对称的函数ｇ（ｘ），则 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ｇ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ　 　 　 　 　 　 Ｂ． π８ ，( )０ 为ｇ（ｘ）的一个对称中心 Ｃ． ｇ（φ）＝ １ Ｄ． ｘ ＝ π８为ｇ（ｘ）的一条对称轴 （２）（２０２４·芜湖模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（ω ＞ ０）的部分图象如图 所示，则函数ｆ（ｘ）的解析式是（　 　 ） Ａ． ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ｘ － π( )４ Ｂ． ｆ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ ２ｘ Ｃ． ｆ（ｘ）＝ － ２ｓｉｎ ｘ － π( )４ Ｄ． ｆ（ｘ）＝ － ２ｓｉｎ ２ｘ （３）（２０２４·东湖区校级三模）已知函数ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞ ０，ω ＞ ０，｜φ ｜ ＜ π）的部分图象如图所示，将ｆ（ｘ）的图象向左平移π４个 单位长度后得到函数ｇ（ｘ）的图象，若ｇ（ｘ）在区间［０，ｔ］上的值域 为［－槡３，２］，则ｔ的取值范围为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ５π１２， ２π[ ]３ 　 　 Ｂ． π４ ，５π[ ]６ 　 　 Ｃ． ５π１２，５π[ ]６ 　 　 Ｄ． ５π１２，[ ]π !#( ２．三角函数图象平移问题处理策略 （１）看平移要求：首先要看题目要求 由哪个函数平移得到哪个函数，这 是判断移动方向的关键点． （２）看移动方向：移动的方向一般记 为“正向左，负向右”，看ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）中φ的正负和它的平移要求． （３）看移动单位：由ｙ ＝ Ａｓｉｎ ωｘ的图 象变换得到ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的图象 时，平移量为φω ，而不是φ． 提醒：正切函数图象的对称中心的坐 标是ｋπ２ ，( )０ （ｋ∈Ｚ）． ●9:;< ４．（２０２４·故城县校级模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ωｘ － π( )３ （ω ＞ ０）在 ０，５π[ ]１２ 上单调递增，在５π１２，５π( ]６ 上单调递减，将函数ｆ（ｘ）的图象向左 平移φ ０ ＜ φ ＜ π( )２ 个单位长度，得到函数ｇ（ｘ）的图象，若函数ｇ（ｘ） 为偶函数，则φ ＝ （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． π６ Ｂ． π ４ Ｃ． π ３ Ｄ． ５π １２ ５．（２０２４·石家庄模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ（ωｘ ＋ φ）的部分图象如下，ｙ ＝ １２与其交于Ａ，Ｂ两点．若｜ＡＢ ｜ ＝ π ３ ，则ω ＝ （　 　 ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ !"@$@ˆ%&'ABŒLM ●-./0 函数ｙ ＝Ａｓｉｎ（ωｘ ＋φ）（Ａ ＞０，ω ＞０）的性质 （１）奇偶性：φ ＝ｋπ（ｋ∈Ｚ）时，函数ｙ ＝Ａｓｉｎ（ωｘ ＋φ）为奇函数；φ ＝ ｋπ ＋ π２（ｋ∈Ｚ）时，函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋φ）为偶函数． （２）三角函数的周期性：ｆ（ｘ）＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋φ）和 ｆ（ｘ）＝Ａｃｏｓ（ωｘ ＋ φ）的最小正周期为２πω；ｙ ＝ Ａｔａｎ（ωｘ ＋φ）的最小正周期为πω ． （３）单调性：单调递增区间[； － π２ω － φω ＋ ２ｋπ ω ，π２ω － φ ω ＋ ２ｋπ ]ω （ｋ∈Ｚ）；单调递减区 间[： π２ω － φω ＋２ｋπω ，３π２ω － φω ＋２ｋπ ]ω （ｋ∈Ｚ）． （４）对称轴：对称轴方程ｘ ＝ ｋπ ω ＋ π２ω － φ ω （ｋ∈ Ｚ）；对称中心ｋπω － φ ω ，( )０ （ｋ∈Ｚ） ●5678 １．求解函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的性质问题的 三种意识 （１）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数 转化为ｆ（ｘ）＝Ａｓｉｎ（ωｘ ＋φ）的形式． ●1234 ３．（１）（２０２４·鹤壁模拟）若偶函数ｆ（ｘ）＝ ｜ ｃｏｓ（ωｘ ＋ φ）｜ ＋ ｜ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ） (｜ ω ＞ ０，｜φ ｜ ＜ π )２ 的最小正周期为π２ ，则 （　 　 ）　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ω ＝ ２ Ｂ． φ的值是唯一的 Ｃ． ｆ（ｘ）的最大值为槡３ Ｄ． ｆ（ｘ）图象的一条对称轴为ｘ ＝ π４ （２）（２０２４·秦皇岛二模）已知函数ｆ（ｘ）＝槡３ｓｉｎ ωｘ ＋ ａｃｏｓ ωｘ （ω ＞ ０）图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π４ ，且 ｆ（０）＋ ｆ π( )３ ＝ ２，则函数ｆ（ｘ）在下列区间单调递增的是 （　 　 ） Ａ． － π６ ， π( )４ 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． － ５π４ ，－ ５π( )６ Ｃ． π，４π( )３ Ｄ． ５π４ ，１９π( )１２ !#) （２）整体意识：类比ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的性质，只需将 ｙ ＝Ａｓｉｎ（ωｘ ＋φ）中的“ωｘ ＋ φ”看成ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ 中的“ｘ”，采用整体代入求解． ①令ωｘ ＋ φ ＝ ｋπ ＋ π２ （ｋ∈Ｚ），可求得对称 轴方程； ②令ωｘ ＋ φ ＝ ｋπ（ｋ∈Ｚ），可求得对称中心 的横坐标； ③将ωｘ ＋ φ看作整体，可求得ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的单调区间，注意ω的符号． （３）讨论意识：当Ａ为参数时，求最值应分 情况讨论Ａ ＞ ０，Ａ ＜ ０． 提醒：求ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）的单调区间时， 要注意ω，Ａ的符号，当ω ＜ ０时，应先利用 诱导公式将ｘ的系数转化为正数后再求 解；在书写单调区间需加２ｋπ时，不要忘掉 ｋ∈Ｚ，所求区间一般为闭区间．如求函数 ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ π３ －( )ｘ 的单调递减区间，应将函 数化为ｆ（ｘ）＝ －２ｓｉｎ ｘ － π( )３ ，转化为求函数 ｙ ＝ｓｉｎ ｘ － π( )３ 的单调递增区间． ２．求三角函数值域（最值）的类型及方法 三角函数 类型 求值域（最值） 方法 ｙ ＝ ａｓｉｎ ｘ ＋ ｂｃｏｓ ｘ ＋ ｃ 先化为ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ） ＋ ｋ的形式，再求值域（最 值） ｙ ＝ ａｓｉｎ２ｘ ＋ ｂｓｉｎ ｘ ＋ ｃ 可先设ｓｉｎ ｘ ＝ ｔ，化为关于ｔ 的二次函数，再求值域（最 值） ｙ ＝ ａｓｉｎ ｘ ｃｏｓ ｘ ＋ ｂ （ｓｉｎ ｘ ± ｃｏｓ ｘ）＋ ｃ 可先设ｔ ＝ ｓｉｎ ｘ ± ｃｏｓ ｘ，化 为关于ｔ的二次函数，再 求值域（最值） ｙ ＝ ａｓｉｎ ２ｘ ＋ ｂｓｉｎ ｘ 求导，利用导数解决 （３）（２０２４·迎江区校级三模）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ（ωｘ ＋ φ (） ω ＞ ０，０ ＜ φ ＜ π )２ 两个相邻的零点为π９ ，４π９ ，距离ｙ轴最近的对称 轴为ｘ ＝ － π１８，则ｆ π( )１２ ＝ （　 　 ） Ａ．槡６ －槡２４ Ｂ．槡 ２ －槡６ ４ Ｃ．槡６ ＋槡２４ Ｄ． １ ３ （４）（多选）（２０２４·蜀山区校级模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（ωｘ ＋ φ (） ω ＞ ０，φ (∈ ０，π ) )２ 在［０，２π］上有且仅有５个零点，则 （　 　 ） Ａ． ｆ（ｘ）在（０，２π）上有且仅有３个极大值点 Ｂ． ｆ（ｘ）在（０，２π）上有且仅有２个极小值点 Ｃ．当φ ＝ π５时，ω的取值范围是 １２ ５ ， ２９[ )１０ Ｄ．当φ ＝ π５时，ｆ（ｘ）图象可能关于直线ｘ ＝ π ２对称 ●9:;< ６．（多选）（２０２４·铁东区校级模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ·ｃｏｓ ｘ， 则 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ｆ（ｘ）是奇函数 Ｂ． ｆ（ｘ）的最小正周期为２π Ｃ． ｆ（ｘ）的最小值为－ １２ Ｄ． ｆ（ｘ）在０，π[ ]２ 上单调递增 ７．（多选）（２０２４·皇姑区校级模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（２ｘ ＋ φ） （０ ＜ φ ＜ π）的图象关于ｘ ＝ － π１２对称，则 （　 　 ） Ａ．函数ｆ ｘ － π( )３ 为奇函数 Ｂ． ｆ（ｘ）在区间－ π１２， １１π( )１２ 有两个极值点 Ｃ． ７π６ ，( )０ 是曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）的对称中心 Ｄ．直线ｙ ＝槡３２ － ｘ是曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）的切线 温馨提示：复习至此，请做练案［６］ !#* 函数f'(x)满足∫'(x)eosx+f(x)sinx>0.则F'(x)>0, k=f(0)=e=山则h(x)=x+1. F(x)在(-受，）内单调递增把选项转化后可知选A lb=1. (2)直线y=h(x)经过点(-1.-1)，理由如下： (3)构造F(x)=fx)·e2",F'(x)=f'(r)·e2+f代x)· 2e2=e2[f'(x)+2x)]>0,F(x)在R上单调递增，且 令函数F(x)=)-D-1=1(o'-x-nx-1)= F0)=f0)·=l,不等式Rx)>可化为)e>1, L(eh:-x-Inx-1), 即F(x)>F(0),x>0,.原不等式的解集为(0，+) 令函数p(x)=e'-x-1,则p'(x)=e-1 题型三 当xe(-x,0)时，e'(x)<0,9(x)单调递减： 典例研析 当xe(0,+e)时，e'（(x)>0,p(x)单端递增. 3.-e-3由题意知，不等式ln(x-1)+(1-k)x≤b在(1，+e): 故g(x)≥0(0)=0，则F(x)≥0，当且仅当+nx=0时，等 上恒成立， 号成立 令t=x-1>0,则ln+1+1-k(t+1)≤b在(0，+)上恒 令函数G(x》=x+lnx,显然G(x)在(0，+∞)上单调递增 成立， 因为日)k0.c1)>0, 令)=n1+t+1-(+1),所以f'()=+1-k, 若≤1，则f'()>0,八)在(0，+)递增，当一→+0时， 所以3e(日)小G)=6+n=0. )→+，不等式不恒成立， 则F(o)=0,即6)=6-D+ 故k>1,当0<1<时f0)>0,当>时f"()<0. 又《x)≥h(x)≥x-山+1对xe(0,+)恒成立. 所以当=时)取得最大值()=h古-1+1- 所以)≥h≥-少+1=)， k=-In (k-1)-k, 所以-1(k-1)-k≤b,所以n(k-1)+4-1≥-2-(b- 所以fx知)=h(xo), 1),所以-≥2(：1 即eo=kxn+b.b=eo-kx k-i≥-1-k-1 令函数M(x)=e-kx-b,则4'(x)=e-k 令g6-=异h-1=-1则8o)=2 由M(x)≥0=()，知x=6是M(x)的一个极小值点， 则'(x。)=e0-k=0.即k=c 由+n而=0，得e”=,即e0=1, 所以g)=子1：，当0<a<时go< 42 则k-b=e0-(e0-k)=k气=oeo=1, 则h(x)=x+k-I=k(x+I)-1,故直线y=h(x)经过点 0,当u>时，g'(u)>0 e (-1,-1) 所以当=。时，()取得最小值日-e-1,会二的最 专题二 三角函数及解三角形 小值是-e-1, 第1讲 三角函数的图象和性质 又2，-2吕-2所球最小值是-e- k-1 =k-1 真题再现明考向 题型四 1.C因为函数y=snx的最小正周期为T=2T. 典例研析 4(1)设h(x与y=f孔x)相切的切点坐标为A(x,e), 函数y=2如(3x-)的最小正周期为T= 3 与g(x)=ln(x+1)+1相切的切点坐标为B(:2,n(x2+1)+ 所以在xe[0,2x]上陌数y= 3=2sin(3x- 1). 2如(3x-若）有三个周期的 因为f'(x)=心gx)=x+ 图象， 所以e=1=e9-h(3+1)-1 在坐标系中结合五点法画出两 1-2 函数图象，如图所示： 1 由图可知，两函数图象有6个 呱1 与￥1+与1 +1 一，整理得1x2=0 交点.故选C -2 若无=0，则e1=1 +7=1,则为=0： 2BC令f)=m2x=0,解得x=受4eZ,即为x)零点. 若60期e=有=1期=0： 令()=如(2-）=0，解得x=受+景keZ,即为 故1==0，切点A(0,1), g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误： 显然fx).=g(x)=1,B选项正确： -263- 根据周期公式)，g)的周期均为受=，C迹项正确： 根据正弦两数的性质代)的对称销满足2x=红+受=受 所以)在区间[0,2]上的最小值为-，最大值为号+ +异ke乙，g)的对称轴满是2x-号=k细+受r 2.故选D 2 行ke工，显然)8()图象的对称销不同，D选项错误 7.2)=mx-5cosx=2sim(x-号）当xe[0,m]时x- 选BC 晋[号 3人由函数的最小正周期T满足子<T<云，利得受<语<m,解 当-号=号时，即x-爱时x)=2 得2<w<3, 8.3因为f(x)=cos(r+e),(w>0,0<p<T),所以最小正 又因为函数图象关于点（受，2对称。 周期T=2知 所以w+年=km,ke乙，且b=2,所以u=-6 因为n=m个o·3语+p)=m(2红+p)=me=5 k∈Z. 所以w=号f(x)=m(3+)+2.所以f(） 又0<p<,所以p=石，即x)=c(r+石）)月 im子r+）+2=1.故选A 又x=号为)的零点，所以号0+石=受+m,k后Z,解得 w=3+9k,k∈Z, 4c由题意知：曲线c为y=血[如(x+受）+号引 因为w>0,所以当4=0时wm.=3. 考点突破提能力 im(or+罗+号） 考点一 又C关于)轴对称，则+号=受+，ke乙解得w=专 典例研析 +2k,k∈Z, 1.(1)D(2)B(3)B(1)由于ama= 2 又w>0,故当k=0时，m的最小值为子放选C m(a+)m停-a csa+sima=】+lmc=3.故 5.A因为函数y=sinx的单调递增区间为 cos(-）-n(T-） cos a-sin a I-tan a 选D. (2km-,2m+2}keZ), (2):∠终边上一点的坐标为(-2，-1)， 对于函数)=7血(-看)由2冰m-号<-名<2：+ -1 5 6 .'sin a= √(-2)+(-1) 受(4e2, -2 C0s= 解得2m-号<x<2km+号(keZ, (-2)+(-1)月 5 s2a=2a-1=2x(-2)-1=号 取k=0,可得函数)的一个单调递增区间为(-号罗) 则(0，）(-号)（受）z(-牙号)A选项满足 血2a=2mawa=2×(-9）×(-2月-号 ,∴.sin3a=sin(2a+）=sin2 acos a+cos2 asin a 条件，B不满足条件： 取k=1,可得函数x)的一个单调递增区间为（停智） =号×9+号( (）(-号且（▣，）()(2 .Scom+3a)+sin(-2a)=/5sin 3a+sin 2a (等，智），C,D选项均不清足条件，故选A =5×(”号子散选B 6.D f'(x)=-sin x+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx, (3)m(受+a个-。 所以在区间(0号）和（受，2上f()>0,即x)单 调递增： 在区间(2，）上f'(x)<0,即)单调递减， 又0)=2m)=2(受）=受+2/（受）=-（受++1放ma=m要=-票故选B 6 3 -264- 跟踪训练 1.C因为tama=-3,所以im'a-ma.sina(sin'a-l 则g(x)=f(x+）=2im(2(x+）-）= sina+) 05a 2sim2x-） =_sin acos'a=_ sin acos a tan o -33 COs sin'a+co atana+1=9+=10 当xe[0,时，2x-子e[-号24-] 故选C 当2x-号-号或等即x=0或x=爱时8)-尽， 2.C因为角a终边上一点P(1,-2), 所以tma=二子=-2，则2in(n-a)）-6os(+a 当2x号=受即x=7时8)=2 1 sn受-a小+m(受+a 所以：的取值范围为[侣引故选C _2sima+eosc_2an+.2x-2)+1-3.故选C 08a+sin1+na1+(-2) 跟踪训练 1 已知mx+eosa=-5ae(0,m,ina+eos'a= 4D由题意可得当x时，两数)取得最大值，且两数同 1 .sin a>0. 期7-品≥若-0.则登-号=2+号4eZ.且u号 4 cos c 4 解得w-+26eZ 考点二 典例研析 又w>0,则a=2,所以代)=im2-号）) 2(1)D(2)A(3)c(1)把函数代)=o(2x+号）的图 所以g()=m[2(x+p)-号】=m(2x+2p-号）为偶函 象向右平移中个单位长度，得y=m2(x-9）)+号】 数则 0(2x-20+）,再把横坐标压缩到原来的2倍，纵坐标不 20-号=号+eZ解得e-侣+受keZ 又0<<受，所以p瓷故选D 变，得y=c(4-20+号），即(x)=oc(4r-20+号），由 函数g(x)图象关于原点对称，得-20+号=km+号，ke乙， D设4)(，)则由4AB1=号得-=号。 得p=红-8，ke乙， 由m=分得x=号+2km或x号+2km,ke. 212 由0<g<受当k=-1时，得径则g()=m4,故A 由图可知.a+p-(o+p)号-骨-号 错误： 即（名-）=誓，所以w=4故选D 因为(）=1，故B错误，D正确： 考点三 典例研析 8p)=4×8）)=n(）=- ,C错误故选D. 3.(1)D(2)B(3)A(4)ACD(1)偶函数f(x)=1cms(x +p)1+1m(r+p)川(o>0,lp1<受)的最小正周期为受 （2)由题意得，4=2，T=4(-）=2,0=1,故f)= 因为周期只与仙有关，因此只需考虑f(x）=Isax1+ 2sin(x+e）, Isin的情况. 由五点作图可知，+9=0，即p=-子，所以(x)= 若对任意xeR,都有f(+受）=， 2simx-）故选A 即f(+受)=m(+受)+m+) (3)设f(x)的最小正周期为T,由图象可知A=2, T=2+ 4 3 =om(ar+）+m(m+受lcos d+Isind, 号票 所以罗=受，所以a=1,所以A错误： 所以T=π，则w=2,故f八x)=2sin(2x+p), 因为八x)为偶函数，所以f八-x)=fx), 又)的图象过点（肾，2小所以2×写+0=受+2m f(x)=lcos(x+o)I+Isin(x+o)1.f(-x)lcos(-x+o) |+l对n(-x+p）l, keZ. 所以p=k,年(keZ).又1g<5 所以p=-要+2km,keZ 6 所以中=0或9=±年，所以B错误： 又1p1<,所以e=-若则)=2n2-） fx)=√lcos(x+p)I+lsin(x+e)下= -265 个+lsim2(x+p)T≤2， G中，当e=号时5n≤2aw+号<6m,解得号≤w<得， 当sim2(x+p)1=1时取得最大值2，所以C错误； 容易知道p=0或p=±牙时，∫（受-） 即。的取值范围是[号，)所以C正确： 受-++m(受-x+ =1sin(x-9）1+ D中，因为+号=受+，e乙，解得w=子+2，e乙。 coslx-ol=f(x), 当=1时，@=号满足要求，放D正确故选ACD 所以代)的图象关于直线x=开对称所以D正确故选D 跟踪训练 (2)由题意可知，函数代)的最小正周期为子，可得T=: 6AC)=mx·osx=in2x,根据正弦函数的性质可 知，函数f代x)为奇的数，最小正周期T=T,选项A正确，B 2红，可得0=2. 错误： 则)5n2x+am2,所以0)=a(）-子+m号 由-1≤血2≤1可得，一之)≤子，即函数)的最小 2 值为-子，选项C正确： 故0+/（号）号+分2解得01， 当0≤x≤受时.0≤2x≤m,此时(x)不单调，选项D错误故 选AC 所以x)=月in2x+6m2x=2im2x+石} .AD)=血(2+)(0<p<m)的图象关于=-号 当e(-石晋）时，所以-<2+石< 对称 (-若)(-受+，受+km)kez, 则/(-)=m(-君+)小=士1，-君+p=km+受 故函数x)在区间(-石，牙）上不单调，故A错误： p=km+得，keZ 当x(-要-爱)时，可得-号<2+<-受 因为0<p<,所以=等，放(x)=m(2+） 而当k=-2时.(-罗-)9(-受+km受+k) (x-号）=m2x为奇函数，故A正确： 放函数)在区间(-平，一）上单调递增，故B正确： 当x(吕)时u=2x+受e(受） 当e(智）时，可得g<2x+号< 由y血：的图象知y=八)在区同(-晋，告）只有1个极 值点，故B错误： 因为g）(-受+受+如k2 当x=君时，2+号=3=)=0，故(0）是)的对 故函数)在区侧（▣，）上不单调，故C错误： 称中心，故C正确： 当x(俘，)时.可得<2x+君<9，面当=3时， 由f")=2m(2x+）=-1得mx+）=- 6 (弩9)s(-受+k,号+， 解得2x+号-号+2m或2x+号-号+2k,ke 函数)在区间于罗）上单调递减.故D铅民故选B 从而得x=知或x=牙+6m,k后乙， 3)由题意，知T=2(号-哥）-号 所以函数y=x)在点(0，处的切线斜率为长=(0)= 又T=2红，所以0=3，又距离y轴最近的对称轴为x=一8 所以-西×3+p=0,解得e=石.所以)=co(3x+君）)】 切线方程为y- 2 。-（:-0),即y=-,放D正确故 选ACD 所以/()=m3×音+)-6：卫赦选A 4 第2讲 三角恒等变换与解三角形 (4)xe[0,2m],可得ur+pe[p,2mw+p]9e(0,）在 真题再现明考向 区间上有且仪有5个零点，所以5π≤2mw+p<6r,在此区间！1.A因为cs(a+B)=m,所以cos acos B-sin asin B=m, 上有3个极大值点，可能有2个，有可能有3个极小值点，所： 而tan atan B=2,所以sin osin B=2 cos crcos B,故c0s rCOS B- 以A正确，B不一定正确： 2 cos acos B=m即cos ae0sB=-m,从而sin asin B=-2m,故 266