第三篇 第4讲 集合与常用逻辑用语-【衡中学案】2025年高考数学二轮总复习学案

（２）第２４届冬季奥林匹克运动会，已于２０２２年２月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵 感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代 的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中 间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运 五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见． 其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为１２，则相邻圆圆心水平距离为２６，两排圆 圆心垂直距离为１１，设五个圆的圆心分别为Ｏ１，Ｏ２，Ｏ３，Ｏ４，Ｏ５，若双曲线Ｃ以Ｏ１，Ｏ３为焦点、以直线Ｏ２Ｏ４ 为一条渐近线，则Ｃ的离心率为 （　 　 ） Ａ．槡２９０１１ Ｂ．槡 ２９０ １３ Ｃ． １３ １１ Ｄ． １２ ５ 温馨提示：复习至此，请做练案［２５］ 第４讲　 集合与常用逻辑用语 !"#$ 　 　 　 明方向　 　 　 １．集合是高考必考内容，常与不等式、函数相结合考查集合的运算，偶尔出现集合的新定义问题． ２．常用逻辑用语主要考查命题真假的判断或命题的否定，考查充要条件的判断． %&'( 　 　 　 明应用　 )*+, 　 　 　 明考向　 １．（２０２４·新课标全国Ⅰ卷）已知集合Ａ ＝｛ｘ ｜ － ５ ＜ ｘ３ ＜ ５｝，Ｂ ＝｛－ ３，－ １，０，２，３｝，则Ａ∩Ｂ ＝ （　 　 ） Ａ．｛－ １，０｝　 　 　 　 　 　 　 Ｂ．｛２，３｝　 　 　 　 　 　 　 Ｃ．｛－ ３，－ １，０｝　 　 　 　 　 　 　 Ｄ．｛－ １，０，２｝ %($ ２．（２０２３·新课标全国Ⅱ卷）已知命题ｐ：ｘ∈Ｒ，｜ ｘ ＋ １ ｜ ＞ １；命题ｑ：ｘ ＞ ０，ｘ３ ＝ ｘ，则 （　 　 ） Ａ． ｐ和ｑ都是真命题 Ｂ． 瓙 ｐ和ｑ都是真命题 Ｃ． ｐ和瓙 ｑ都是真命题 Ｄ． 瓙 ｐ和瓙 ｑ都是真命题 ３．（２０２４·全国甲卷数学文）集合Ａ ＝｛１，２，３，４，５，９｝，Ｂ ＝｛ｘ ｜ ｘ ＋ １∈Ａ｝，则Ａ∩Ｂ ＝ （　 　 ） Ａ．｛１，２，３，４｝ Ｂ．｛１，２，３｝ Ｃ．｛３，４｝ Ｄ．｛１，２，９｝ ４．（２０２４·全国甲卷数学理）集合Ａ ＝｛１，２，３，４，５，９｝，Ｂ ＝｛ｘ ｜槡ｘ∈Ａ｝，则瓓Ａ（Ａ∩Ｂ）＝ （　 　 ） Ａ．｛１，４，９｝ Ｂ．｛３，４，９｝ Ｃ．｛１，２，３｝ Ｄ．｛２，３，５｝ ５．（天津卷）设ａ，ｂ∈Ｒ，则“ａ３ ＝ ｂ３”是“３ａ ＝ ３ｂ”的 （　 　 ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ６．（２０２３·全国甲卷理科）“ｓｉｎ２α ＋ ｓｉｎ２β ＝ １”是“ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ β ＝ ０”的 （　 　 ） Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不是充分条件也不是必要条件 ７．（２０２３·新课标全国Ⅰ卷）已知集合Ｍ ＝｛－ ２，－ １，０，１，２｝，Ｎ ＝｛ｘ ｜ ｘ２ － ｘ － ６≥０｝，则Ｍ∩Ｎ ＝ （　 　 ） Ａ．｛－ ２，－ １，０，１｝ Ｂ．｛０，１，２｝ Ｃ．｛－ ２｝ Ｄ．｛２｝ ８．（２０２３·新课标全国Ⅱ卷）设集合Ａ ＝｛０，－ ａ｝，Ｂ ＝｛１，ａ － ２，２ａ － ２｝，若ＡＢ，则ａ ＝ （　 　 ） Ａ． ２ Ｂ． １ Ｃ． ２３ Ｄ． － １ ９．（２０２３·全国甲卷理科）设集合Ａ ＝｛ｘ ｜ ｘ ＝ ３ｋ ＋ １，ｋ∈Ｚ｝，Ｂ ＝｛ｘ ｜ ｘ ＝ ３ｋ ＋ ２，ｋ∈Ｚ｝，Ｕ为整数集，则瓓Ｕ（Ａ∪Ｂ）＝ （　 　 ） Ａ．｛ｘ ｜ ｘ ＝ ３ｋ，ｋ∈Ｚ｝ Ｂ．｛ｘ ｜ ｘ ＝ ３ｋ － １，ｋ∈Ｚ｝ Ｃ．｛ｘ ｜ ｘ ＝ ３ｋ － ２，ｋ∈Ｚ｝ Ｄ． １０．（２０２３·全国乙卷理科）设集合Ｕ ＝Ｒ，集合Ｍ ＝｛ｘ ｜ ｘ ＜ １｝，Ｎ ＝｛ｘ ｜ － １ ＜ ｘ ＜ ２｝，则｛ｘ ｜ ｘ≥２｝＝ （　 　 ） Ａ． 瓓Ｕ（Ｍ∪Ｎ） Ｂ． Ｎ∪瓓Ｕ Ｍ Ｃ． 瓓Ｕ（Ｍ∩Ｎ） Ｄ． Ｍ∪瓓Ｕ Ｎ １１．（２０２３·全国甲卷文科）设全集Ｕ ＝｛１，２，３，４，５｝，集合Ｍ ＝｛１，４｝，Ｎ ＝｛２，５｝，则Ｎ∪瓓Ｕ Ｍ ＝ （　 　 ） Ａ．｛２，３，５｝ Ｂ．｛１，３，４｝ Ｃ．｛１，２，４，５｝ Ｄ．｛２，３，４，５｝ １２．（２０２２·全国乙卷理科）设全集Ｕ ＝｛１，２，３，４，５｝，集合Ｍ满足瓓Ｕ Ｍ ＝｛１，３｝，则 （　 　 ） Ａ． ２∈Ｍ Ｂ． ３∈Ｍ Ｃ． ４Ｍ Ｄ． ５Ｍ １３．（２０２２·全国甲卷理科）设全集Ｕ ＝｛－ ２，－ １，０，１，２，３｝，集合Ａ ＝｛－ １，２｝，Ｂ ＝｛ｘ ! ｘ２ － ４ｘ ＋ ３ ＝ ０｝，则瓓Ｕ（Ａ ∪Ｂ）＝ （　 　 ） Ａ．｛１，３｝ Ｂ． ｛０，３｝ Ｃ． ｛－ ２，１｝ Ｄ． ｛－ ２，０｝ ●š>-, 　 　 １．集合运算中的常用方法 （１）数轴法：若已知集合是不等式的解集，用数轴法求解． （２）数形结合法：若已知集合是点集，用图象法求解． （３）Ｖｅｎｎ图法：若已知的集合是抽象集合，用Ｖｅｎｎ图法求解． （４）间接法：根据选项的差异性，选取特殊元素进行验证． 【提醒】谨防“两个误区” （１）化简集合时注意元素的特定范围（如集合中ｘ∈Ｎ． ｘ∈Ｚ）． （２）在解决含参数的集合问题时，注意几何元素的互异性． ２．判断充分、必要条件的方法 （１）定义法：利用定义转化为两个简单命题“若ｐ，则ｑ”与“若ｑ，则ｐ”的真假判断． （２）集合法：转化为与ｐ，ｑ对应的两个集合之间的关系进行判断． 【提醒】谨防“一个误区” 充分、必要条件的判断要注意区分两种表述：“ｐ是ｑ的充分不必要条件”与“ｐ的一个充分不必要条件是ｑ”． 温馨提示：复习至此，请做练案［２６］ %(" 方法八 典例研析 ８．（１）Ｂ　 （２）Ｃ　 （１）由题意， ｃｏｓ π３ ＋ ｉ·ｓｉｎ π( )３ ２ ＝ ｃｏｓ ２π３ ＋ ｉ·ｓｉｎ ２π３ ＝ － １ ２ ＋ 槡３ ２ ｉ，在复平面内所对应的点为－ １ ２ ，槡 ３( )２ ， 位于第二象限．故选Ｂ． （２）设ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），因ｚ２ ＋ ２ｚ ＋ ５ ＝ ０，则（ａ ＋ ｂｉ）２ ＋ ２（ａ ＋ ｂｉ）＋ ５ ＝ ０，即（ａ２ － ｂ２ ＋ ２ａ ＋ ５）＋ ２ｂ（ａ ＋ １）ｉ ＝ ０，而ａ，ｂ∈ Ｒ，则ａ ２ － ｂ２ ＋ ２ａ ＋ ５ ＝ ０， ２ｂ（ａ ＋ １）＝ ０{ ， 解得ａ ＝ － １， ｂ ＝ ± ２{ ，所以ｚ ＝ － １ ± ２ｉ．故选Ｃ． 方法九 典例研析 ９．（１）Ｃ　 （２）Ｄ　 （１）由图形可知，ＯＦ ＝ １２ ＡＢ ＝ １ ２ （ａ ＋ ｂ），ＯＣ ＝ １ ２ （ａ ＋ ｂ）－ ｂ ＝ １ ２ （ａ － ｂ）， 在Ｒｔ△ＯＣＦ中，由勾股定理可得，ＣＦ ＝ ａ ＋ ｂ( )２ ２ ＋ ａ － ｂ( )２槡 ２ ＝ ａ ２ ＋ ｂ２槡２ ， ∵ ＣＦ≥ＯＦ，∴ ａ ２ ＋ ｂ２槡２ ≥ １２ （ａ ＋ ｂ），故选Ｃ． （２）当ａ ＜ ０ ＜ ｂ时，１ａ ＜ １ ｂ ，选项Ａ错误； ｂ ＋ １ ａ ＋ １ － ｂ ａ ＝ ａ － ｂ ａ（ａ ＋ １）＞ ０，所以 ｂ ＋ １ ａ ＋ １ ＞ ｂ ａ ，所以选项Ｂ错误；ｃ ＝ ０时，ａｃ ２ ＝ ｂｃ２，所以选项Ｃ错误；ａｃ２ ＞ ｂｃ２ 时，ａ ＞ ｂ，所以选项Ｄ正确．故 选Ｄ． 方法十 典例研析 １０．（１）ＡＢ　 （２）Ｂ　 （１）设Ｐ（ｘ，ｙ），由Ａ（－ １，０），Ｂ（２，０），｜ＰＡ ｜｜ＰＢ ｜ ＝槡２２ 可得槡２ ｜ ＰＡ ｜ ＝ ｜ ＰＢ ｜，所以槡２·（ｘ ＋ １） ２ ＋ ｙ槡 ２ ＝ （ｘ － ２）２ ＋ ｙ槡 ２，整理可得ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ８ｘ － ２ ＝ ０，即（ｘ ＋ ４）２ ＋ ｙ２ ＝ １８，故选项Ａ正确； 因为（ｘ ＋ ４）２ ＋ ｙ２ ＝ １８，令ｘ ＝ ０得ｙ 槡＝ ± ２，曲线Ｃ被ｙ轴截 得的弦长为槡２ ２，故选项Ｂ正确； 因为（ｘ ＋ ４）２ ＋ ｙ２ ＝ １８，所以圆心Ｃ（－ ４，０），半径ｒ 槡＝ ３ ２，所 以圆心Ｃ（－ ４，０）到直线ｘ ＋ ｙ － ４ ＝ ０的距离ｄ ＝ ｜ － ４ － ４ ｜ 槡２ ＝ 槡 槡４ ２ ＞ ３ ２，所以直线ｘ ＋ ｙ － ４ ＝ ０与曲线Ｃ相离，故选项Ｃ 错误； 因为Ｐ是曲线Ｃ上任意一点，要使△ＡＢＰ的面积最大，则曲 线Ｃ上的点到ｘ轴的距离最大，即△ＡＢＰ的边ＡＢ上的高等 于圆的半径槡３ ２时，△ＡＢＰ的面积最大，此时点Ｐ的坐标为 （－ ４， 槡± ３ ２），故选项Ｄ错误．故选ＡＢ． （２）依题意，以点Ｏ２为原点，直线Ｏ１Ｏ３为ｘ轴建立平面直角 坐标系，如图，点Ｏ４（－ １３，－ １１）， 设双曲线Ｃ的方程为ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０），其渐近线为ｙ ＝ ± ｂａ ｘ，因 直线Ｏ２Ｏ４ 为一条渐近线，则有ｂａ ＝ １１ １３，双曲线Ｃ的离心率为ｅ ＝ ａ２ ＋ ｂ槡 ２ ａ ＝ １ ＋ ｂ( )ａ槡 ２ ＝ １ ＋ １１( )１３槡 ２ ＝槡２９０１３ ．故选Ｂ． 第４讲　 集合与常用逻辑用语 真题再现明考向 １． Ａ　 因为Ａ ＝｛ｘ ｜ － ３槡５ ＜ ｘ ＜ ３槡５｝，Ｂ ＝｛－ ３，－ １，０，２，３｝，且注意 到１ ＜ ３槡５ ＜ ２，从而Ａ∩Ｂ ＝｛－ １，０｝．故选Ａ． ２． Ｂ　 对于ｐ而言，取ｘ ＝ － １，则有｜ ｘ ＋ １ ｜ ＝ ０ ＜ １，故ｐ是假命 题，瓙 ｐ是真命题，对于ｑ而言，取ｘ ＝ １，则有ｘ３ ＝ １３ ＝ １ ＝ ｘ，故 ｑ是真命题，瓙 ｑ是假命题，综上，瓙 ｐ和ｑ都是真命题．故 选Ｂ． ３． Ａ　 依题意得，对于集合Ｂ中的元素ｘ，满足ｘ ＋ １ ＝ １，２，３，４， ５，９，则ｘ可能的取值为０，１，２，３，４，８，即Ｂ ＝｛０，１，２，３，４，８｝， 于是Ａ∩Ｂ ＝｛１，２，３，４｝．故选Ａ． ４． Ｄ　 因为Ａ ＝｛１，２，３，４，５，９｝，Ｂ ＝｛ｘ ｜槡ｘ∈Ａ｝，所以Ｂ ＝｛１，４， ９，１６，２５，８１｝，则Ａ∩Ｂ ＝｛１，４，９｝，瓓Ａ（Ａ∩Ｂ）＝｛２，３，５｝．故选Ｄ． ５． Ｃ　 根据立方的性质和指数函数的性质，ａ３ ＝ ｂ３ 和３ａ ＝ ３ｂ 都 当且仅当ａ ＝ ｂ，所以二者互为充要条件．故选Ｃ． ６． Ｂ　 ｓｉｎ２α ＋ ｓｉｎ２β ＝ １，可知ｓｉｎ β ＝ ± ｃｏｓ α，可得ｓｉｎ α ± ｃｏｓ β ＝ ０，所以“ｓｉｎ２α ＋ ｓｉｎ２β ＝ １”是“ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ β ＝ ０”的必要不充分 条件，故选Ｂ． ７． Ｃ　 ∵ ｘ２ － ｘ － ６≥０，∴ （ｘ － ３）（ｘ ＋ ２）≥０，∴ ｘ≥３或ｘ≤ － ２， Ｎ ＝（－ ∞，－ ２］∪［３，＋ ∞），则Ｍ∩Ｎ ＝｛－ ２｝．故选Ｃ． ８． Ｂ　 依题意，ａ － ２ ＝ ０或２ａ － ２ ＝ ０，当ａ － ２ ＝ ０时，解得ａ ＝ ２， 此时Ａ ＝｛０，－ ２｝，Ｂ ＝｛１，０，２｝，不符合题意；当２ａ － ２ ＝ ０时， 解得ａ ＝ １，此时Ａ ＝｛０，－ １｝，Ｂ ＝｛１，－ １，０｝，符合题意．故 选Ｂ． ９． Ａ　 ∵ Ａ ＝｛ｘ ｜ ｘ ＝ ３ｋ ＋ １，ｋ∈Ｚ｝，Ｂ ＝｛ｘ ｜ ｘ ＝ ３ｋ ＋ ２，ｋ∈Ｚ｝， ∴ Ａ∪Ｂ ＝｛ｘ ｜ ｘ ＝ ３ｋ ＋ １或ｘ ＝ ３ｋ ＋ ２，ｋ∈Ｚ｝，又Ｕ为整数集， ∴ 瓓Ｕ （Ａ∪Ｂ）＝｛ｘ ｜ ｘ ＝ ３ｋ，ｋ∈Ｚ｝．故选Ａ． １０． Ａ　 由题意：Ｍ∪Ｎ ＝｛ｘ ｜ ｘ ＜ ２｝，又Ｕ ＝ Ｒ， ∴ 瓓Ｕ （Ｍ∪Ｎ）＝｛ｘ ｜ ｘ≥２｝．故选Ａ． １１． Ａ　 因为Ｕ ＝｛１，２，３，４，５｝，集合Ｍ ＝｛１，４｝，Ｎ ＝｛２，５｝，所以 瓓Ｕ Ｍ ＝｛２，３，５｝，则Ｎ∪瓓Ｕ Ｍ ＝｛２，３，５｝．故选Ａ． １２． Ａ　 由题知Ｍ ＝｛２，４，５｝，对比选项知，Ａ正确，Ｂ、Ｃ、Ｄ错误． 故选Ａ． １３． Ｄ　 由题意，Ｂ ＝｛ｘ ｜ ｘ２ － ４ｘ ＋ ３ ＝ ０｝＝｛１，３｝，所以Ａ∪Ｂ ＝ ｛－ １，１，２，３｝，所以瓓Ｕ （Ａ∪Ｂ）＝｛－ ２，０｝，故选Ｄ． 第５讲　 复数、平面向量 真题再现明考向 １． Ｃ　 因为ｚｚ －１ ＝ ｚ －１ ＋１ ｚ －１ ＝１ ＋ １ ｚ －１ ＝１ ＋ ｉ，所以ｚ ＝１ ＋ １ ｉ ＝ １ － ｉ． 故选Ｃ                                                                      ． —５４３—