第三篇 第1讲 选择题的解法与技巧-【衡中学案】2025年高考数学二轮总复习学案

第三篇 　 方法技巧引领、必考小题练透 第１讲　 选择题的解法与技巧 %&'( 　 　 　 明应用　 9-:; 　 　 　 提能力　 Š"#$MÕÖ×Ä Ø ›’Ù ¬Ú ●Û<\2 １．突出“德育为先，立 德树人”的思想理念． 以德育为背景的考题， 多以民族精神、理想信 念、道德品质、文明行 为、社会公德、遵纪守 法、心理健康、悠久数学 文化等生活内容为题 材，复习中可适当关注． ２．突出“五育并举，全 面发展”的思想理念． 往往以重大体育赛事为 背景，选择学生喜欢的 ●/012 １．（２０２４·天津二模）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱 国的热情，某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将１ ０００名师生的竞 赛成绩（满分１００分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组 数据的第８５百分位数为　 　 　 　 分 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ８４ Ｂ． ８５ Ｃ． ８６ Ｄ． ８７ 【分析】　 根据百分位数定义，结合数据求解即可． %') 足球、游泳、棋类、田赛、竞赛 等项目具体设计试题，突出发 挥高考试题的体育教育功能． 以我国古建筑、体育运动项目 为背景，设计数学计算问题， 考查学生的分析问题能力、数 学运算能力，以及数学文化素 养，同时，将爱国主义教育、美 育教育融入其中，展示了数学 之美，讴歌了中国劳动人民的 勤劳与智慧．以美育为背景的 考题，多以自然之美和创作之 美等为题材，同时，引导学生 增强热爱劳动、热爱工作 意识． ３．青少年的身心健康是素质 教育的核心内容，在高考评价 体系的核心价值指标体系中， 包含健康情感的指标，要求学 生具有健康意识，注重增强体 质，健全人格，锻炼意志品质． ２．（２０２４·新县校级模拟）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在 下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径 为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 （　 　 ( ） 注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台 体的体积公式Ｖ ＝ １３ （Ｓ上＋ Ｓ上Ｓ槡 下＋ Ｓ下）·)ｈ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ２寸 Ｂ． ３寸 Ｃ． ４寸 Ｄ． ５寸 ３．我国古代数学家刘徽于公元２６３年在《九章算术注》中提出“割圆术”：割之 弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．即通过 圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求 得较为精确的圆周率．如果用圆的内接正ｎ边形逼近圆，算得圆周率的近似 值记为πｎ，那么用圆的内接正２ｎ边形逼近圆，算得圆周率的近似值π２ ｎ可 表示成 （　 　 ） Ａ． πｎ ｃｏｓ １８０°ｎ Ｂ． πｎ ｃｏｓ ３６０°ｎ Ｃ． πｎ ｓｉｎ ３６０°ｎ Ｄ． πｎ ｃｏｓ ９０°ｎ ４．（２０２４·河北衡水三模）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射 击一次命中的概率分别为２３ ， １ ２ ， ３ ５ ，且每个人射击相互独立，若每人各射击 一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １３ Ｂ． ２ ３ Ｃ． ８ １３ Ｄ． １０ １３ Š"7$¦Üˆ‰wÝÄ ÞßYà¹F ●Û<\2 “脱贫攻坚”“南水北调”“一 带一路”等，是我国经济生活 中的重大工程、重大事项，“垃 圾分类”是我们积极倡导的文 明生活，以这些社会活动为背 景设计考题，不但考查学生分 析问题和处理数据的能力，更 有助于引导学生关注社会现 实，关注经济发展，增强社会 实践意识，也有助于学生体验 数学的应用之美． ●/012 ５．（２０２３·四川模拟）２０２２年１１月，国 内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用 油、鲜菜价格同比（与去年同期相比） 的变化情况如图所示，则下列说法正 确的是 （　 　 ） Ａ．猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用 油这６种食品中，食用油价格同比 涨幅最小 Ｂ．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的５倍 Ｃ．去年１１月鲜菜价格要比今年１１月低 Ｄ．这７种食品价格同比涨幅的平均值超过７％ ６．（２０２３·江西模拟）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫 功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到 众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为４个等级，其 等级ｘ（ｘ ＝ １，２，３，４）与其对应等级的市场销售单价ｙ（单位：元／千克）近似 满足函数关系式ｙ ＝ ｅａｘ ＋ ｂ ．若花同样的钱买到的１级草莓比４级草莓多１ 倍，且１级草莓的市场销售单价为２４元／千克，则３级草莓的市场销售单价 最接近（参考数据：３槡２≈１． ２６，３槡４≈１． ５９） （　 　 ） Ａ． ３０． ２４元／千克 Ｂ． ３３． ８４元／千克 Ｃ． ３８． １６元／千克 Ｄ． ４２． ６４元／千克 %'* Š"?$¦Üá-âãÄ äåæçŠè ●Û<\2 １．火星探测器“天问一 号”为背景设计试题， 展示我国的航天事业的 重要成果，突出发挥高 考试题的德育教育，同 时引导学生关注社会、 关注科技成果，激发学 生学习热情． ２．以人工智能的应用为 背景设计题目，考查对 数运算问题，涉及指数 衰减的学习率模型，考 查学生对数学模型的理 解能力以及数学运算能 力，突出引导学生关注 最新科技成果，激发学 习热情． ●/012 ７． ２０２１年５月１５日７时１８分，我国首个自主研发的火星探测器“天问一号”，在经 历了２９６天的太空之旅，总距离约４． ７亿公里的飞行后，天问一号火星探测器所携 带的祝融号火星车及其着陆组合体，成功降落在火星北半球的乌托邦平原南部， 实现了中国航天史无前例的突破．已知地球自转的线速度约为火星自转线速度的 两倍，地球自转一周为２４小时，而火星自转一周约为２５小时．地球与火星均视为 球体，则火星的表面积约为地球表面积的 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ２７％ Ｂ． ３７％ Ｃ． ４７％ Ｄ． ５７％ 【分析】　 令地球、火星半径分别为Ｒ，ｒ，结合题设有ｒＲ ＝ ２５ ４８，应用球体表面积公式 即可得火星的表面积相对地球表面积的数量关系． ８．（２０２４·魏都区校级三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它 是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为Ｌ ＝ Ｌ０Ｄ Ｇ Ｇ０，其中Ｌ表示每一轮优化时使用的学习率，Ｌ０表示初始学习率，Ｄ表示衰减系 数，Ｇ表示训练迭代轮数，Ｇ０表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初 始学习率为０． ５，衰减速度为１８，且当训练迭代轮数为１８时，学习率衰减为０． ４，则 学习率衰减到０． ２以下（不含０． ２）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：ｌｇ ２≈ ０． ３０１ ０） （　 　 ） Ａ． ７２ Ｂ． ７４ Ｃ． ７６ Ｄ． ７８ <1 = * 　 　 解法和技巧　 +,#$éê, ●CDEF 直接从题设条件出发， 运用有关概念、性质、定 理、法则和公式等知识， 通过严密地推理和准确 地运算，从而得出正确 的结论，然后对照题目 所给出的选项“对号入 座”，作出相应的选择． 涉及概念、性质的辨析 或运算较简单的题目常 用直接法． ●/012 １．（多选）（２０２４·石家庄模拟）下列说法中，正确的是 （　 　 ） Ａ．一组数据１０，１１，１１，１２，１３，１４，１６，１８，２０，２２的第４０百分位数为１２ Ｂ．两组样本数据ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４和ｙ１，ｙ２，ｙ３，ｙ４的方差分别为ｓ２１，ｓ２２，若已知ｘｉ ＋ ｙｉ ＝ １０（ｉ ＝ １，２，３，４），则ｓ２１ ＝ ｓ２２ Ｃ．已知随机变量Ｘ服从正态分布Ｎ（μ，σ２），若Ｐ（Ｘ≥ －２）＋Ｐ（Ｘ≥６）＝１，则μ ＝２ Ｄ．已知一系列样本点（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ ＝１，２，３，…）的回归方程为^ｙ ＝３ｘ ＋ ａ^，若样本点（ｍ，３）与 （２，ｎ）的残差（残差＝实际值ｙｉ －模型预测值^ｙ）相等，则３ｍ ＋ ｎ ＝１０ ２．（多选）（２０２４·河南模拟）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ３ｘ ＋ π( )３ ，下列说法正确的是 （　 　 ） Ａ． ｆ（ｘ）的最小正周期为２π３ Ｂ．点π６ ，( )０ 为ｆ（ｘ）图象的一个对称中心 Ｃ．若ｆ（ｘ）＝ ａ（ａ∈Ｒ）在ｘ∈ － π１８， π[ ]９ 上有两个实数根，则槡３２ ≤ａ ＜ １ Ｄ．若ｆ（ｘ）的导函数为ｆ ′（ｘ），则函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）＋ ｆ ′（ｘ）的最大值为槡１０ %'# +,7$Ð0, ●CDEF 从题干（或选项）出发，通过选取符合条件 的特殊情况（特殊值、特殊点、特殊位置、特 殊函数等）代入，将问题特殊化或构造满足 题设条件的特殊函数或图形位置，进行判 断．特殊化法是“小题小做”的重要策略． 但要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理； 第二，若在取定的特殊情况下有两个或两 个以上的结论相符，则应选另一特例情况 再检验，或改用其他方法求解． ●/012 ３．若α为第四象限角，则 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ｃｏｓ ２α ＞ ０ Ｂ． ｃｏｓ ２α ＜ ０ Ｃ． ｓｉｎ ２α ＞ ０ Ｄ． ｓｉｎ ２α ＜ ０ ４．已知非零向量ａ，ｂ满足｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ＝ ｜ ａ ＋ ｂ ｜，则ａ与２ａ － ｂ夹角 的余弦值为 （　 　 ） Ａ．槡７７ Ｂ．槡 ７ ８ Ｃ． 槡７ １４ Ｄ． ５槡７ １４ +,?$8ë, ●CDEF 排除法（淘汰法、筛选法）是充分利用选择 题有且只有一个正确的选项这一特征，通 过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求 的选项，从而得出正确结论的一种方法． 排除法使用要点： １．从选项出发，先确定容易判断对错的选 项，再研究其他选项； ２．当题目中的条件多于一个时，先根据某 些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予 以否定，再根据另一些条件在缩小选项的 范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特例 （值）法、验证法等常结合使用． ●/012 ５．（２０２４·河北保定二模）函数ｆ（ｘ）＝ １ － ｅ ｘ １ ＋ ｅｘ ｃｏｓ ２ｘ的部分图象大 致为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ６．（２０２４·安徽三模）已知实数ｘ１，ｘ２，ｘ３ 满足ｘ１２ － ｘ１ ＝ ｅ ｘ２ ２ － １ ＝ ｘ３ １ ＋ ｘ槡 ３ ＋ １ ＝ １２０，则 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ｘ１ ＜ ｘ２ ＜ ｘ３ Ｂ． ｘ１ ＜ ｘ３ ＜ ｘ２ Ｃ． ｘ２ ＜ ｘ３ ＜ ｘ１ Ｄ． ｘ２ ＜ ｘ１ ＜ ｘ３ +,{$(¢‡<, ●CDEF 有些选择题可通过命题条件中的函数关系 或几何意义，作出函数的图象或几何图形， 借助于图象或图形的作法、形状、位置、性 质等，综合图象的特征，得出结论． ●/012 ７．（多选）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，若对于曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）上的任意 点Ｐ，都存在曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）上的点Ｑ，使得→ＯＰ·→ＯＱ ＝ ０成立，则称 函数ｆ（ｘ）具备“性质”．则下列函数具备“性质”的是（　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ｙ ＝ ｘ ＋ １ Ｂ． ｙ ＝ ｃｏｓ２ｘ Ｃ． ｙ ＝ ｌｎ ｘｘ Ｄ． ｙ ＝ ｅ ｘ － ２ ８．（２０２４·沧州一模）如图，在等腰直角△ＡＢＣ 中，斜边ＡＢ ＝ ４槡２，点Ｄ在以ＢＣ为直径的圆 上运动，则｜ →ＡＢ ＋ →ＡＤ ｜的最大值为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ４槡６ Ｂ． ８ Ｃ． ６槡３ Ｄ． １２ %'$ +,›$tì, ●CDEF 选择题提供了唯一正确的选择支，解答又 无需过程．因此，有些题目，不必进行准确 的计算，只需对其数值特点和取值界限作 出适当的估计，便能作出正确的判断，这就 是估算法．估算法往往可以减少运算量，但 是加强了思维的层次． 使用要点： １．使用前提： 针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有 关的问题．常与特例（值）法结合起来使用． ２．使用技巧： 对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、 近似估算、特值估算等，对于几何体问题， 常进行分割、拼凑、位置估算． ●/012 ９．设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是同一个半径为４的球的球面上四点，△ＡＢＣ为 等边三角形且其面积为９槡３，则三棱锥Ｄ － ＡＢＣ体积的最大值 为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １２槡３ Ｂ． １８槡３ Ｃ． ２４槡３ Ｄ． ５４槡３ １０．如图所示，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中，四边 形ＡＢＣＤ是边长为３的正方形，ＥＦ∥ ＡＢ，ＥＦ ＝ ３２ ，ＥＦ与平面ＡＢＣＤ的距离 为２，则该多面体的体积为 （　 　 ） Ａ． ９２ Ｂ． ５ Ｃ． ６ Ｄ． １５２ +,Ÿ$HÇí2, ●CDEF 概念辨析法是从题 设条件出发，通过 对数学概念的辨 析，进行少量运算 或推理，直接选出 正确结论的方法． 这类题目一般是给 出的一个创新定 义，或涉及一些似 是而非、容易混淆 的概念或性质，需 要考生在平时注意 辨析有关概念，准 确区分相应概念的 内涵与外延，同时 在审题时多加小 心． ●/012 １１．（２０２３·全国高三专题练习）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运 用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于２π与多面体在 该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体 面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如： 正四面体在每个顶点有３个面角，每个面角是π３ ，所以正四面体在每个顶点的曲率为 ２π － ３ × π３ ＝ π，故其总曲率为４π． 给出下列三个结论： ①正方体在每个顶点的曲率均为π２ ； ②任意四棱锥的总曲率均为４π； ③若某类多面体的顶点数Ｖ，棱数Ｅ，面数Ｆ满足Ｖ － Ｅ ＋ Ｆ ＝ ２，则该类多面体的总曲率是常数． 其中，所有正确结论的序号是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．①②③ 【分析】　 根据曲率的定义依次判断即可． １２．公元前４世纪，古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐 角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线．之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿 波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深入的研究．直到３世纪末，帕普斯才在其《数学汇 编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线，定比小于、 大于和等于１分别对应椭圆、双曲线和抛物线．已知Ａ，Ｂ是平面内两个定点，且｜ＡＢ ｜ ＝ ４，则下列关于轨迹的说法中错误的是 （　 　 ） Ａ．到Ａ，Ｂ两点距离相等的点的轨迹是直线 Ｂ．到Ａ，Ｂ两点距离之比等于２的点的轨迹是圆 Ｃ．到Ａ，Ｂ两点距离之和等于５的点的轨迹是椭圆 Ｄ．到Ａ，Ｂ两点距离之差等于３的点的轨迹是双曲线 【分析】　 判断到Ａ，Ｂ两点距离相等的点的轨迹是Ａ，Ｂ连线的垂直平分线，判断Ａ；建 立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，可判断Ｂ；根据椭圆以及双曲线的定义可判 断Ｃ，Ｄ． %'" +,Â$©î, ●CDEF 构造法是一种创造性思维，是综合 运用各种知识和方法，依据问题给 出的条件和结论给出的信息，把问 题作适当的加工处理，构造与问题 相关的数学模式，揭示问题的本质， 从而沟通解题思路的方法．常见构 造函数、构造（割补）图形、不等式或 数列等． ●/012 １３．（２０２４·蚌埠期中）已知函数ｆ（ｘ）为定义在Ｒ上的偶函数，当ｘ ＞ ０ 时，ｘｆ ′（ｘ）＋ ２ｆ（ｘ）＞ ０，则下列四个判断正确的为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ｆ（－ ２）＜ ４ｆ（１） Ｂ． ｆ（－ ２）＞ ４ｆ（１） Ｃ． ｆ（－ ２）＜ ｆ（１）４ Ｄ． ｆ（－ ２）＞ ｆ（１） ４ １４．（２０２４·河区校级三模）已知０ ＜ ｘ ＜ ｙ ＜ π，且ｅｙｓｉｎ ｘ ＝ ｅｘｓｉｎ ｙ，其 中ｅ为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是 （　 　 ） Ａ． ｃｏｓ ｘ ＋ ｃｏｓ ｙ ＜ ０ Ｂ． ｃｏｓ ｘ ＋ ｃｏｓ ｙ ＞ ０ Ｃ． ｃｏｓ ｘ ＞ ｓｉｎ ｙ Ｄ． ｓｉｎ ｘ ＞ ｓｉｎ ｙ 第２讲　 填空题的解法和技巧 %&'( 　 　 　 明应用　 <> ? * 　 　 解法和技巧　 +,#$éê, ●CDEF 直接从题设条件出发，运用有关概 念、性质、定理、法则和公式等知识， 通过严密地推理和准确地运算，从 而得出正确的结论．涉及概念、性质 的辨析或运算较简单的题目常用直 接法． ●/012 １．在平面直角坐标系中，已知直线ｙ ＝ ｋ（ｘ ＋１）（ｋ ＞０）与椭圆ｘ ２ ２ ＋ ｙ ２ ＝ １在 第二象限交于点Ａ，交ｙ轴于点Ｂ．设点Ｃ（１，０），若｜ＡＢ ｜ ＝ ｜ＡＣ ｜，则ｋ的值 为　 　 　 　 ． 【分析】　 先根据题设条件可得ｋ ＞ １，再联立直线方程和椭圆方程，求 出点Ａ的横坐标后求出弦长｜ＡＢ ｜，再根据点点距可得｜ ＡＣ ｜，从而得到 关于ｋ的方程，求出其解后可得ｋ的值． ２．（２０２４·香河县校级模拟）已知双曲线ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０）的一条 渐近线平行于直线ｌ：ｘ － ２ｙ － ５ ＝ ０，且双曲线的一个焦点在直线ｌ上， 则该双曲线的方程为　 　 　 　 ． 【分析】　 求出双曲线的渐近线方程，求出双曲线的焦点坐标，然后求 解双曲线方程． %(! 应用三 典例研析 ５．（１）Ｃ　 （２）Ｂ　 （１）５名航天员安排三舱，每个舱至少一人至 多二人，共有Ｃ１５Ｃ１３Ｃ２４ ＝ ９０种安排方法，若甲乙在同一实验舱 的种数有Ｃ１３Ｃ１３Ｃ１２ ＝ １８种，故甲乙不在同一实验舱的种数有 ９０ － １８ ＝ ７２种．故选Ｃ． （２）根据题意，如图：在１０个 点中，任意三点不共线， 在其中任取３个点，可以组 成Ｃ３１０ ＝ １２０个三角形， 其中没有锐角三角形，直角 三角形是包含Ａ、Ｂ点和余下的８点任意取一个构成的三角 形，有８个，则钝角三角形有１２０ － ８ ＝ １１２个．故选Ｂ． 应用四 典例研析 ６．（１）证明：在△ＢＣＤ中，ＢＣ ＝ ２，ＣＤ 槡＝ ５，ｃｏｓ Ｃ ＝ 槡２ ５５ ， 由余弦定理知ＢＤ２ ＝ ２２ 槡＋ ５ － ２ × ２ × ５ × 槡２ ５５ ＝ １，即ＢＤ ＝ １， 所以ＢＤ２ ＋ ＢＣ２ ＝ ＣＤ２，即ＢＣ⊥ＢＤ． 因为平面ＰＢＤ⊥平面ＢＤＣ，平面ＢＣＤ∩平面ＰＢＤ ＝ ＢＤ， 所以ＢＣ⊥平面ＰＢＤ． （２）以Ｂ为坐标原点，ＢＣ所在直线为ｘ轴，ＢＤ所在直线为ｙ 轴，过点Ｂ且垂直于平面ＢＣＤ的直线 为ｚ轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 Ｂ（０，０，０），Ｃ（２，０，０），Ｄ（０，１，０）． 在△ＡＢＣ中，由余弦定理知ＡＢ２ ＝ ２２ ＋ （槡２ ５）２ 槡－ ２ × ２ × ２ ５ × 槡２ ５５ ，解得ＡＢ 槡＝ ２ ２， 所以ｃｏｓ∠ＡＢＤ ＝槡２２ ，∠ＡＢＤ ＝ π ４ ， 可求得Ｐ（０，２，２），从而→ＤＰ ＝（０，１，２），→ＤＣ ＝（２，－ １，０）． 设平面ＰＣＤ的法向量为ｎ ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 由 →ＤＰ·ｎ ＝ ０， →ＤＣ·ｎ ＝ ０{ ，得ｙ ＋ ２ｚ ＝ ０２ｘ － ｙ{ ＝ ０，令ｙ ＝ ２，可得ｎ ＝（１，２，－ １）． 因为ＢＣ⊥平面ＰＢＤ， 所以可取平面ＰＢＤ的一个法向量为ｍ ＝（１，０，０）， 所以ｃｏｓ〈ｍ，ｎ〉＝ １ 槡６ ＝槡６６ ， 即二面角Ｃ － ＰＤ － Ｂ的余弦值为槡６６ ． 应用五 典例研析 ７．（１）因为ａｓｉｎ Ａ ＋ Ｃ２ ＝ ｂｓｉｎ Ａ，所以由正弦定理边角互化得 ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ａ ＋ Ｃ２ ＝ ｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ａ， 因为Ａ∈（０，π），ｓｉｎ Ａ≠０，Ａ ＋ Ｃ ＝ π － Ｂ，所以ｓｉｎ π２ － Ｂ( )２ ＝ ｓｉｎ Ｂ，即ｃｏｓ Ｂ２ ＝ ｓｉｎ Ｂ，所以ｃｏｓ Ｂ ２ ＝ ２ｓｉｎ Ｂ ２ ｃｏｓ Ｂ ２ ， 因为Ｂ∈（０，π），所以Ｂ２ ∈ ０， π( )２ ，ｃｏｓ Ｂ２ ≠０，所以ｓｉｎ Ｂ２ ＝ １ ２ ，所以 Ｂ ２ ＝ π ６ ，即Ｂ ＝ π ３ ． （２）因为ＡＣ ＝ ＢＣ，Ｂ ＝ π３ ，所以△ＡＢＣ为等边三角形，即ＡＣ ＝ ＢＣ ＝ ＡＢ ＝ １， 设ＡＤ ＝ ｍ，则ＢＤ ＝ １ － ｍ，ＰＤ ＝ ｍ， 所以在△ＢＰＤ中，由余弦定理得ｃｏｓ Ｂ ＝ ＢＰ ２ ＋ ＢＤ２ － ＰＤ２ ２ＢＰ·ＢＤ ＝ ＢＰ２ ＋（１ － ｍ）２ － ｍ２ ２ＢＰ·（１ － ｍ） ＝ １ ２ ，整理得ＢＰ ２ ＋（１ － ２ｍ）＝ ＢＰ·（１ － ｍ）， 设ＢＰ ＝ ｘ，０≤ｘ≤１，所以ｍ ＝ ｘ ２ － ｘ ＋１ ２ － ｘ ＝ （２ － ｘ）２ －３（２ － ｘ）＋３ ２ － ｘ ＝ ２ － ｘ ＋ ３２ － ｘ －３， 由于０≤ｘ≤１，故１≤２ － ｘ≤２， 所以ｍ ＝ ２ － ｘ ＋ ３２ － ｘ － ３≥ 槡２ ３ － ３，当且仅当２ － ｘ ＝ ３ ２ － ｘ 槡＝ ３ 时等号成立，此时ｘ 槡＝ ２ － ３， 所以ＡＤ的最小值为槡２ ３ － ３． 第三篇　 方法技巧引领、必考小题练透 第１讲　 选择题的解法与技巧 热点追踪提能力 热点一 典例研析 １． Ｃ　 由１０ ×（２ａ ＋ ３ａ ＋ ３ａ ＋ ６ａ ＋ ５ａ ＋ ａ）＝ １，解得：ａ ＝ ０． ００５， 所以前４组频率之和为１４ × ０． ００５ × １０ ＝ ０． ７，前５组频率之 和为１９ × ０． ００５ × １０ ＝ ０． ９５， 设这组数据的第８５百分位数为ｘ，则０． ７ ＋（ｘ － ８０）× ０． ０２５ ＝ ０． ８５，解得：ｘ ＝ ８６，故选Ｃ． ２． Ｂ　 如图，由题意可知，天池盆上底面半径为１４寸，下底面半 径为６寸，高为１８寸． ∵积水深９寸，∴水面半径为１２ （１４ ＋ ６）＝ １０寸，则盆中水的 体积为１３ π × ９（６ ２ ＋ １０２ ＋ ６ × １０）＝ ５８８π（立方寸）． ∴平地降雨量等于５８８π π × １４２ ＝ ３（寸）．故选Ｂ． ３． Ａ　 令圆的半径为１，则圆内接正ｎ边形的面积为ｎ × １２ × １ ２ × ｓｉｎ ３６０°ｎ ＝ ｎ ２ ｓｉｎ ３６０° ｎ ＝ ｎｓｉｎ １８０° ｎ ｃｏｓ １８０° ｎ ， 圆内接正２ｎ 边形的面积为２ｎ × １２ × １ ２ × ｓｉｎ ３６０°２ｎ ＝ ｎｓｉｎ １８０°ｎ                                                                       ， —７３３— 用圆的内接正ｎ边形逼近圆， 可得Ｓ圆＝ ｎｓｉｎ １８０°ｎ ｃｏｓ １８０° ｎ ＝ πｎ； 用圆的内接正２ｎ边形逼近圆，可得Ｓ圆＝ ｎｓｉｎ １８０°ｎ ＝ π２ｎ； 所以π２ｎ ＝ πｎ ｃｏｓ １８０°ｎ ．故选Ａ． ４． Ｄ　 设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件Ａ，Ｂ，Ｃ， 每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件Ｄ， 则Ｐ（Ｄ）＝ Ｐ（ＡＢＣ）＋ Ｐ（Ａ ＢＣ）＋ Ｐ（ＡＢ Ｃ）＝ １３ × １ ２ × ３ ５ ＋ ２ ３ × １ ２ × ３ ５ ＋ ２ ３ × １ ２ × ２ ５ ＝ １３ ３０，Ｐ（ＡＤ）＝Ｐ（Ａ ＢＣ）＋Ｐ（ＡＢ Ｃ） ＝ ２３ × １ ２ × ３ ５ ＋ ２ ３ × １ ２ × ２ ５ ＝ １ ３ ，则Ｐ（Ａ ｜Ｄ）＝ Ｐ（ＡＤ） Ｐ（Ｄ） ＝ １ ３ １３ ３０ ＝ １０１３ ．故选Ｄ． 热点二 典例研析 ５． Ｄ　 猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这６种食品中，粮食 价格同比涨幅最小，故Ａ错误；猪肉价格同比涨幅超过禽肉价 格同比涨幅的倍数为３４． ３％ ÷ ８． ５％ ≈４，故Ｂ错误；根据图表 可得去年鲜菜价格比今年高，故Ｃ错误；这７种食品价格同比 涨幅的平均值约为（７． ６％ ＋ ３％ ＋ ８． ５％ ＋ ９． ６％ ＋ １０． ４％ ＋ ３４． ４％ － ２１． ２％）÷ ７≈７． ５％，故Ｄ正确．故选Ｄ． ６． Ｃ　 由题意可知ｅ ４ａ ＋ ｂ ｅａ ＋ ｂ ＝ ｅ３ａ ＝ １ ＋ １，解得ｅａ ＝ ３槡２，由ｅａ ＋ ｂ ＝ ２４，可 得ｅ３ａ ＋ ｂ ＝ ｅａ ＋ ｂ·ｅ２ａ ＝ ｅａ ＋ ｂ·（ｅａ）２ ＝ ２４ ×（３槡２）２≈２４ × １． ２６２≈ ３８． １０，故选Ｃ． 热点三 典例研析 ７． Ａ　 令地球、火星半径分别为Ｒ，ｒ，则２πＲ２４ ＝ ２ × ２πｒ ２５ ，故 ｒ Ｒ ＝ ２５４８， 所以火星的表面积约为地球表面积的４πｒ ２ ４πＲ２ ≈２７％ ．故选Ａ． ８． Ｂ　 由题意可得，０． ５Ｄ１８１８ ＝ ０． ４，解得Ｄ ＝ ４５ ， 由题意可知，０． ５ × ( )４５ Ｇ １８ ＜ ０． ２，即Ｇ１８ ＞ ｌｇ ２５ ｌｇ ４５ ＝ ｌｇ ２ － ｌｇ ５ｌｇ ４ － ｌｇ ５ ＝ ｌｇ ２ －（１ － ｌｇ ２） ２ｌｇ ２ －（１ － ｌｇ ２）＝ ２ｌｇ ２ － １ ３ｌｇ ２ － １≈ ２ × ０． ３０１ ０ － １ ３ × ０． ３０１ ０ － １，解得Ｇ≈７４．故 选Ｂ． 选择题解法和技巧 方法一 典例研析 １． ＢＣ　 数据１０，１１，１１，１２，１３，１４，１６，１８，２０，２２，共１０个， ０． ４ × １０ ＝ ４， 故该组数据的第４０百分位数为１２ ＋ １３２ ＝ １２． ５，故Ａ错误； 样本数据ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４和ｙ１，ｙ２，ｙ３，ｙ４的方差分别为ｓ２１，ｓ２２， 二者数据波动性相同，由方差的定义以及线性公式可知，ｓ２１ ＝ ｓ２２，故Ｂ正确； 随机变量Ｘ服从正态分布Ｎ（μ，σ２）， 若Ｐ（Ｘ≥ － ２）＋ Ｐ（Ｘ≥６）＝ １， 则Ｐ（Ｘ≥ － ２）＝ １ － Ｐ（Ｘ≥６）＝ Ｐ（Ｘ ＜ ６）， 故μ ＝ － ２ ＋ ６２ ＝ ２，故Ｃ正确； 一系列样本点（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ ＝ １，２，３，…）的回归方程为^ｙ ＝ ３ｘ ＋ ａ^， 样本点（ｍ，３）与（２，ｎ）的残差（残差＝实际值ｙｉ －模型预测值 ｙ^）相等，则３ －（３ｍ ＋ ａ^）＝ ｎ －（６ ＋ ａ^），化简整理可得，３ｍ ＋ ｎ ＝ ９，故Ｄ错误．故选ＢＣ． ２． ＡＣＤ　 因为ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ３ｘ ＋ π( )３ ，所以函数的最小正周期Ｔ ＝ ２π ３ ，所以Ａ正确； 因为３ × π６ ＋ π ３ ＝ ５π ６ ≠ｋπ，ｋ∈Ｚ，所以Ｂ不正确； ｘ [∈ － π１８，π ]９ ，可得３ｘ ＋ π３ [∈ π６ ，２π ]３ ，当３ｘ ＋ π３ [ ∈ π ６ ， π ]３ 时，ｆ（ｘ）＝ ａ有唯一解， 当３ｘ ＋ π３ ∈ π ３ ， ２π[ ]３ ，且３ｘ ＋ π３ ＝ π２时，ｆ（ｘ）＝ ａ两解， 所以ａ∈ 槡３ ２ ，[ )１ 时，ｆ（ｘ）＝ ａ有两解，所以Ｃ正确； ｆ ′（ｘ）＝ ３ｃｏｓ ３ｘ ＋ π( )３ ， 所以ｙ ＝ ｆ（ｘ）＋ ｆ ′（ｘ）＝ ｓｉｎ ３ｘ ＋ π( )３ ＋ ３ｃｏｓ ３ｘ ＋ π( )３ ＝ 槡１０ｓｉｎ ３ｘ ＋ π３ ＋( )φ ，ｔａｎ φ ＝ ３， 所以当３ｘ ＋ π３ ＋ φ ＝ π ２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ时， 即ｘ ＝ π１２ ＋ φ ３ ＋ ２ｋπ ３ ，ｋ∈Ｚ，函数ｙｍａｘ 槡＝ １０，所以Ｄ正确． 故选ＡＣＤ． 方法二 典例研析 ３． Ｄ　 方法一：由α为第四象限角，可得３π２ ＋ ２ｋπ ＜ α ＜ ２π ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ，所以３π ＋ ４ｋπ ＜ ２α ＜ ４π ＋ ４ｋπ，ｋ∈Ｚ， 此时２α的终边落在第三、四象限及ｙ轴的非正半轴上，所以 ｓｉｎ ２α ＜ ０，故选Ｄ． 方法二：当α ＝ － π６时，ｃｏｓ ２α ＝ ｃｏｓ － π( )３ ＞ ０，选项Ｂ错误； 当α ＝ － π３时，ｃｏｓ ２α ＝ ｃｏｓ － ２π( )３ ＜ ０，选项Ａ错误； 由α在第四象限可得：ｓｉｎ α ＜０，ｃｏｓ α ＞０，则ｓｉｎ ２α ＝２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＜ ０，选项Ｃ错误，选项Ｄ正确．故选Ｄ． ４． Ｄ　 因为非零向量ａ，ｂ满足｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ＝ ｜ ａ ＋ ｂ ｜，所以不妨设ａ ＝（１，０），ｂ ＝ － １２ ，槡 ３( )２ ，则２ａ － ｂ ＝ ５２ ，－槡３( )２ ，所以ａ· （２ａ － ｂ）＝ ５２ ，故ｃｏｓ〈ａ，２ａ － ｂ〉＝ ａ·（２ａ － ｂ） ｜ ａ ｜·｜２ａ － ｂ ｜ ＝ ５ ２ 槡１ × ７ ＝ 槡５ ７１４                                                                       ． —８３３— 方法三 典例研析 ５． Ａ　 设ｇ（ｘ）＝ １ － ｅ ｘ １ ＋ ｅｘ ，则ｇ（－ ｘ）＝ １ － ｅ － ｘ １ ＋ ｅ － ｘ ＝ ｅ ｘ － １ １ ＋ ｅｘ ＝ － ｇ（ｘ）， 所以ｇ（ｘ）为奇函数， 设ｈ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ，可知ｈ（ｘ）为偶函数， 所以ｆ（ｘ）＝ １ － ｅ ｘ １ ＋ ｅｘ ｃｏｓ ２ｘ为奇函数，则Ｂ，Ｃ错误， 易知ｆ（０）＝ ０，所以Ａ正确，Ｄ错误．故选Ａ． ６． Ａ　 依题意２２ － ｘ１ ＝ ｅ ｘ２ ２ ＝ １ ＋ ｘ槡 ３ ＝ １． ０５，则 ｘ１ ＝ ２ １ － １ １．( )０５ ，ｘ２ ＝ ２ｌｎ １． ０５，ｘ３ ＝ １． ０５２ － １． 令ｆ（ｘ）＝ ｘ２ － １ － ２ｌｎ ｘ，故ｆ ′（ｘ）＝ ２（ｘ － １）（ｘ ＋ １）ｘ ， 故当ｘ ＞ １时，ｆ ′（ｘ）＞ ０，ｆ（ｘ）在（１，＋ ∞）上单调递增， 故ｆ（１． ０５）＞ ０，则ｘ３ ＞ ｘ２ ．令ｇ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ － １ － １( )ｘ ， 则ｇ′（ｘ）＝ ｘ － １ ｘ２ ，故当ｘ ＞ １时，ｇ′（ｘ）＞ ０，ｇ（ｘ）在（１，＋ ∞）上 单调递增，则ｇ（１． ０５）＞ ０，则ｘ２ ＞ ｘ１ ． 综上所述：ｘ３ ＞ ｘ２ ＞ ｘ１ ．故选Ａ． 方法四 典例研析 ７． ＢＤ　 如图１所示，曲线ｙ ＝ ｘ ＋ １，当点Ｐ取得－ １２ ，( )１２ 时， 要使得点Ｑ满足→ＯＰ·→ＯＱ ＝ ０成立，那么点Ｑ落在直线ｙ ＝ ｘ 上，而此时ｙ ＝ ｘ ＋ １与ｙ ＝ ｘ两直线是平行的，不存在交点，故 此时不满足在ｙ ＝ ｘ ＋ １上存在点Ｑ，使得→ＯＰ·→ＯＱ ＝ ０成立，故 选项Ａ错误； 图１ 图２ 如图２所示，曲线ｙ ＝ ｃｏｓ２ｘ，对于曲线ｙ ＝ ｃｏｓ２ｘ上的任意点Ｐ， 都存在曲线ｙ ＝ ｃｏｓ２ｘ上的点Ｑ，使得→ＯＰ·→ＯＱ ＝ ０成立，故选项 Ｂ正确； 如图３所示，曲线ｙ ＝ ｌｎ ｘｘ ，当点Ｐ取得（１，０）时，要使得点Ｑ 满足→ＯＰ·→ＯＱ ＝ ０成立，那么点Ｑ落在直线ｙ ＝ ０上，而此时ｙ ＝ ｌｎ ｘｘ 与ｙ ＝ ０两曲线不存在交点， 故此时不满足在ｙ ＝ ｌｎ ｘｘ 上存在点Ｑ，使得 →ＯＰ·→ＯＱ ＝ ０成立， 故选项Ｃ错误； 图３ 图４ 如图４所示，曲线ｙ ＝ ｅｘ － ２，对于曲线ｙ ＝ ｅｘ － ２上的任意点 Ｐ，都存在曲线ｙ ＝ ｅｘ － ２上的点Ｑ，使得→ＯＰ·→ＯＱ ＝ ０成立，故 选项Ｄ正确．故选ＢＤ． ８． Ｄ　 建立如图所示平面直角坐标系，由题意得：Ａ（－ ２，４）， Ｂ（２，０）， 设Ｄ（２ｃｏｓ α，２ｓｉｎ α），α∈（０，２π］， 则→ＡＢ ＝（４，－ ４），→ＡＤ ＝（２ｃｏｓ α ＋ ２，２ｓｉｎ α － ４）， 所以→ＡＢ ＋→ＡＤ ＝（２ｃｏｓ α ＋ ６，２ｓｉｎ α － ８）， 则｜→ＡＢ ＋→ＡＤ ｜ ＝ （２ｃｏｓ α ＋ ６）２ ＋（２ｓｉｎ α － ８）槡 ２ ＝ １０４ ＋ ２４ｃｏｓ α － ３２ｓｉｎ槡 α ＝ １０４ ＋ ４０ ３５ ｃｏｓ α － ４ ５ ｃｏｓ( )槡 α ＝ １０４ ＋ ４０ｃｏｓ（α ＋ φ槡 ），其中ｔａｎ φ ＝ ４３ ， 故当ｃｏｓ（α ＋ φ）＝ １时，｜→ＡＢ ＋→ＡＤ ｜取得最大值１２．故选Ｄ． 方法五 典例研析 ９． Ｂ　 方法一：思路分析：Ｖ三棱锥Ｄ － ＡＢＣ最大值→三棱锥高的最大值 →依据三棱锥和球的关系估算过程：等边三角形ＡＢＣ的面积 为槡９ ３，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最 大时，三棱锥的高ｈ应满足ｈ∈（４，８），所以１３ 槡× ９ ３ × ４ ＜ Ｖ三棱锥Ｄ － ＡＢＣ ＜ １ ３ 槡× ９ ３ × ８，即槡１２ ３ ＜ Ｖ三棱锥Ｄ － ＡＢＣ 槡＜ ２４ ３．选Ｂ                                                                       ． —９３３— 方法二：分析：作图，Ｄ为ＭＯ与球的交点，点Ｍ为三角形ＡＢＣ 的重心，判断出当ＤＭ⊥平面ＡＢＣ时，三棱锥Ｄ － ＡＢＣ体积最 大，然后进行计算可得． 如图所示，点Ｍ为三角形ＡＢＣ的重 心，Ｅ为ＡＣ中点，当ＤＭ⊥平面ＡＢＣ 时，三棱锥Ｄ － ＡＢＣ体积最大，此 时，ＯＤ ＝ ＯＢ ＝ Ｒ ＝ ４， ∵ ｓ△ＡＢＣ ＝槡３４ ＡＢ ２ 槡＝ ９ ３，∴ ＡＢ ＝ ６， ∵点Ｍ为三角形ＡＢＣ的重心， ∴ ＢＭ ＝ ２３ ＢＥ 槡＝ ２ ３，∴ Ｒｔ△ＢＭＯ 中，有ＯＭ ＝ ＯＢ２ － ＢＭ槡 ２ ＝ ２，∴ ＤＭ ＝ ＯＤ ＋ ＯＭ ＝ ４ ＋ ２ ＝ ６， ∴ （ＶＤ － ＡＢＣ）ｍａｘ ＝ １３ 槡 槡× ９ ３ × ６ ＝ １８ ３，故选Ｂ． １０． Ｄ　 可连接ＢＥ，ＣＥ，问题转化为四 棱锥Ｅ － ＡＢＣＤ与三棱锥Ｅ － ＢＣＦ 的体积之和，而ＶＥ － ＡＢＣＤ ＝ １３ Ｓ·ｈ ＝ １ ３ × ９ × ２ ＝ ６．所以只有选项Ｄ符 合题意． 方法六 典例研析 １１． Ｄ　 ①根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为２π － ３ × π２ ＝ π ２ ，故①正确； ②由定义可得多面体的总曲率＝ ２π ×顶点数－各面内角和， 因为四棱锥有５个顶点，５个面，分别为４个三角形和１个四 边形，所以任意四棱锥的总曲率为２π × ５ －（π × ４ ＋ ２π × １） ＝ ４π，故②正确； ③设每个面记为ｎｉ（ｉ∈［１，Ｆ］）边形， 则所有的面角和为∑Ｆ ｉ ＝ １ （ｎｉ － ２）π ＝ π ∑ Ｆ ｉ ＝ １ ｎｉ － ２πＦ ＝ π·２Ｅ － ２πＦ ＝ ２π（Ｅ － Ｆ）， 根据定义可得该类多面体的总曲率２πＶ － ２π（Ｅ － Ｆ）＝ ４π 为常数，故③正确．故选Ｄ． １２． Ｄ　 到Ａ，Ｂ两点距离相等的点的轨迹是Ａ，Ｂ连线的垂直平 分线，Ａ正确； 以ＡＢ为ｘ轴，ＡＢ的中垂线为ｙ轴建立平面直角坐标系， 则Ａ（－ ２，０），Ｂ（２，０），设动点Ｐ（ｘ， ｙ），由题意知｜ＰＡ ｜｜ＰＢ ｜ ＝ ２， 即 （ｘ ＋ ２） ２ ＋ ｙ槡 ２ （ｘ － ２）２ ＋ ｙ槡 ２ ＝ ２ ，化简为 ｘ － １０( )３ ２ ＋ ｙ２ ＝ ６４９ ， 即此时点的轨迹为圆，Ｂ正确； 不妨设动点Ｐ到Ａ，Ｂ两点距离之和等于５ ，即｜ ＰＡ ｜ ＋ ｜ ＰＢ ｜ ＝ ５，由于５ ＞ ４， 故到Ａ，Ｂ两点距离之和等于５的点的轨迹是以Ａ，Ｂ为焦点 的椭圆，Ｃ正确； 设动点Ｐ到Ａ，Ｂ两点距离之差等于３ ，即｜ ＰＡ ｜ － ｜ ＰＢ ｜ ＝ ３， 由于３ ＜ ４， 故到Ａ，Ｂ两点距离之差等于３的点的轨迹是双曲线靠近Ｂ 侧的一支，Ｄ错误．故选Ｄ． 方法七 典例研析 １３． Ｄ　 令ｇ（ｘ）＝ ｘ２ ｆ（ｘ），则ｇ′（ｘ）＝ ２ｘｆ（ｘ）＋ ｘ２ ｆ ′（ｘ）＝ ｘ（２ｆ（ｘ） ＋ ｘｆ ′（ｘ））＞ ０在（０，＋ ∞）恒成立， 所以ｇ（ｘ）＝ ｘ２ ｆ（ｘ）在（０，＋ ∞）单调递增，所以ｇ（１）＜ ｇ（２），即ｆ（１）＜ ４ｆ（２）， 又因为函数ｆ（ｘ）为定义在Ｒ上的偶函数， 所以ｆ（１）＜ ４ｆ（－ ２），即ｆ（－ ２）＞ ｆ（１）４ ．故选Ｄ． １４． Ｂ　 由０ ＜ ｘ ＜ ｙ ＜ π，且ｅｙｓｉｎ ｘ ＝ ｅｘｓｉｎ ｙ得ｅ ｘ ｓｉｎ ｘ ＝ ｅｙ ｓｉｎ ｙ， 令ｆ（ｘ）＝ ｅ ｘ ｓｉｎ ｘ，（０ ＜ ｘ ＜ π），则ｆ ′（ｘ）＝ ｅｘ（ｓｉｎ ｘ － ｃｏｓ ｘ） ｓｉｎ２ｘ ， 当０ ＜ ｘ ＜ π４时，ｆ ′（ｘ）＜０，函数单调递减，当π ＞ ｘ ＞ π ４时，ｆ ′（ｘ） ＞０，函数单调递增， 由ｆ（ｘ）＝ ｆ（ｙ）得０ ＜ ｘ ＜ π４时， π ４ ＜ ｙ ＜ π， 因为０ ＜ ｘ ＜ ｙ ＜ π，ｅｘ ＜ ｅｙ，ｅ ｘ ｓｉｎ ｘ ＝ ｅｙ ｓｉｎ ｙ， 所以ｓｉｎ ｙ ＞ ｓｉｎ ｘ ＞ ０，所以π４ ＜ ｙ ＜ π － ｘ ＜ π， 所以ｃｏｓ ｙ ＞ ｃｏｓ（π － ｘ）＝ － ｃｏｓ ｘ，所以ｃｏｓ ｘ ＋ ｃｏｓ ｙ ＞ ０．故 选Ｂ． 第２讲　 填空题的解法和技巧 填空题解法和技巧 方法一 典例研析 １．槡７　 设Ａ（ｘ１，ｙ１），椭圆的上顶点为Ｓ，左焦点为Ｆ１，则Ｓ（０， １），Ｆ１（－ １，０）． 因为Ａ在第二象限且ｋ ＞ ０，故ｋ ＞ ｋＦ１Ｓ ＝ １． 由ｙ ＝ ｋ（ｘ ＋ １）， ｘ２ ＋ ２ｙ２ ＝ ２{ ，可得（１ ＋ ２ｋ２）ｘ２ ＋ ４ｋ２ｘ ＋ ２ｋ２ － ２ ＝ ０， 因为Ａ在第二象限且ｋ ＞ ０，故ｘ１ ＝ － ２ｋ ２ ＋ ２ｋ２槡＋ ２ １ ＋ ２ｋ２ ＜ ０， 又｜ＡＢ ｜ ＝ １ ＋ ｋ槡 ２ ｜ ｘ１ － ｘＢ ｜ ＝ １ ＋ ｋ槡 ２ × － ２ｋ ２ ＋ ２ｋ２槡＋ ２ １ ＋ ２ｋ２ ＝ １ ＋ ｋ槡 ２ × ２ｋ ２ － ２ｋ２槡＋ ２ １ ＋ ２ｋ２ ． 又｜ＡＣ ｜ ＝ （ｘ１ － １）２ ＋ ｙ槡 ２１ ＝ （ｘ１ － １）２ ＋ １ － ｘ ２ １槡 ２ 槡＝ ２ －槡２２ ｘ１ 槡＝ ２ － － ２ｋ ２ ＋ ２ｋ２槡＋ ２ １ ＋ ２ｋ２ ×槡２２ ＝ 槡 槡 ２ ２ ＋ ６ ２ｋ２ － ２ ｋ２槡＋ １ ２（１ ＋ ２ｋ２） ． 而｜ＡＢ ｜ ＝ ｜ＡＣ ｜， 故１ ＋ ｋ槡 ２ × ２ｋ ２ － ２ｋ２槡＋ ２ １ ＋ ２ｋ２ ＝ 槡 槡２ ２ ＋ ６ ２ｋ ２ － ２ ｋ２槡＋ １ ２（１ ＋ ２ｋ２） ， 所以（４ｋ２ ＋ ２） ｋ２槡 槡＋ １ ＝ ４ ２（１ ＋ ２ｋ２），解得ｋ 槡＝ ７（负解舍 去）． ２． ｘ ２ ２０ － ｙ２ ５ ＝ １　 双曲线 ｘ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０）的一条渐近线 平行于直线ｌ：ｘ － ２ｙ － ５ ＝ ０， 可得双曲线的渐近线方程为ｘ ± ２ｙ ＝ ０，直线ｌ：ｘ － ２ｙ － ５ ＝ ０与 ｘ轴的交点为（５，０                                                                       ）， —０４３—